Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Filosofía de las matemáticas

La filosofía de las matemáticas es la rama de la filosofía que se ocupa de la naturaleza de las matemáticas y su relación con otras áreas de la filosofía, en particular la epist...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

La filosofía de las matemáticas es la rama de la filosofía que se ocupa de la naturaleza de las matemáticas y su relación con otras áreas de la filosofía, en particular la epistemología y la metafísica . Entre las cuestiones centrales que plantea se encuentran si los objetos matemáticos son entidades puramente abstractas o si son de alguna manera concretos, y en qué consiste la relación que dichos objetos tienen con la realidad física. [ 1 ]

Entre los temas principales que se abordan en la filosofía de las matemáticas se incluyen:

  • Realidad : La cuestión es si las matemáticas son un producto puro de la mente humana o si poseen alguna realidad en sí mismas.
  • Lógica y rigor
  • Relación con la realidad física
  • Relación con la ciencia
  • Relación con las aplicaciones
  • Verdad matemática
  • La naturaleza como actividad humana ( ciencia , arte , juego o todo ello a la vez).

Temas principales

Realidad

La conexión entre las matemáticas y la realidad material ha dado lugar a debates filosóficos al menos desde la época de Pitágoras . El filósofo antiguo Platón argumentó que las abstracciones que reflejan la realidad material poseen una realidad propia que existe fuera del espacio y el tiempo. En consecuencia, la visión filosófica de que los objetos matemáticos existen de alguna manera por sí mismos en la abstracción se conoce a menudo como platonismo . Independientemente de sus posibles opiniones filosóficas, los matemáticos modernos pueden considerarse generalmente platónicos, ya que conciben y hablan de sus objetos de estudio como objetos reales. [ 2 ]

Armand Borel resumió esta visión de la realidad matemática de la siguiente manera, y proporcionó citas de GH Hardy , Charles Hermite , Henri Poincaré y Albert Einstein que respaldan sus puntos de vista. [ 3 ]

Algo se vuelve objetivo (en contraposición a lo «subjetivo») en cuanto nos convencemos de que existe en la mente de los demás de la misma forma que en la nuestra y de que podemos reflexionar sobre ello y discutirlo juntos. [ 4 ] Debido a la precisión del lenguaje matemático, resulta idóneo para definir conceptos sobre los que existe tal consenso. En mi opinión, esto basta para darnos la sensación de una existencia objetiva, de una realidad matemática…

Sin embargo, el platonismo y las concepciones concurrentes sobre la abstracción no explican la eficacia irracional de las matemáticas (ya que el platonismo presupone que las matemáticas existen independientemente, pero no explica por qué coinciden con la realidad). [ 5 ]

Lógica y rigor

El razonamiento matemático requiere rigor . Esto significa que las definiciones deben ser absolutamente inequívocas y las demostraciones deben ser reducibles a una sucesión de aplicaciones de silogismos o reglas de inferencia , [ a ] sin ningún uso de evidencia empírica e intuición . [ b ] [ 6 ]

Las reglas del razonamiento riguroso fueron establecidas por los antiguos filósofos griegos bajo el nombre de lógica . La lógica no es exclusiva de las matemáticas, pero en matemáticas el nivel de rigor es mucho mayor que en otras disciplinas.

Durante muchos siglos, la lógica, aunque se utilizaba para demostraciones matemáticas, pertenecía a la filosofía y no era estudiada específicamente por los matemáticos. [ 7 ] Hacia finales del siglo XIX, varias paradojas pusieron en entredicho el fundamento lógico de las matemáticas y, por consiguiente, la validez de toda la disciplina. Esto se ha denominado la crisis fundacional de las matemáticas . Algunas de estas paradojas consisten en resultados que parecen contradecir la intuición común, como la posibilidad de construir geometrías no euclidianas válidas en las que el postulado de las paralelas es erróneo, la función de Weierstrass que es continua pero no diferenciable en ningún punto , y el estudio de Georg Cantor sobre conjuntos infinitos , que llevó a considerar varios tamaños de infinito ( cardinales infinitos ). Aún más sorprendente, la paradoja de Russell muestra que la frase "el conjunto de todos los conjuntos" es contradictoria en sí misma.

Se han propuesto varios métodos para resolver el problema mediante el cambio de marco lógico, como la matemática constructiva y la lógica intuicionista . En términos generales, el primero consiste en exigir que todo teorema de existencia proporcione un ejemplo explícito, y el segundo excluye del razonamiento matemático la ley del tercero excluido y la eliminación de la doble negación .

Estas lógicas tienen menos reglas de inferencia que la lógica clásica. Por otro lado, la lógica clásica era una lógica de primer orden , lo que significa, en términos generales, que los cuantificadores no se pueden aplicar libremente a conjuntos infinitos. Esto implica que el conjunto de los números reales no se puede definir en la lógica clásica y que el teorema del valor intermedio no se puede demostrar. Esto condujo a la introducción de lógicas de orden superior , que actualmente se utilizan comúnmente en matemáticas.

Los problemas de los fundamentos de las matemáticas se resolvieron finalmente con el surgimiento de la lógica matemática como una nueva área de las matemáticas. En este marco, una teoría matemática o lógica consta de un lenguaje formal que define las afirmaciones bien formadas , un conjunto de afirmaciones básicas llamadas axiomas y un conjunto de reglas de inferencia que permiten generar nuevas afirmaciones a partir de una o varias afirmaciones conocidas. Un teorema de dicha teoría es un axioma o una afirmación que se puede obtener a partir de teoremas previamente conocidos mediante la aplicación de una regla de inferencia. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección , generalmente llamada ZFC , es una lógica de orden superior en la que se han reformulado todas las matemáticas; se utiliza implícitamente en todos los textos de matemáticas que no especifican explícitamente en qué fundamentos se basan. Además, los demás fundamentos propuestos pueden modelarse y estudiarse dentro de ZFC.

Resulta que el «rigor» ya no es un concepto relevante en matemáticas, puesto que una demostración es correcta o errónea, y una «demostración rigurosa» es simplemente un pleonasmo . Donde entra en juego un concepto especial de rigor es en los aspectos sociales de una demostración. En particular, las demostraciones rara vez se escriben con todo detalle, y algunos pasos de una demostración generalmente se consideran triviales , fáciles o directos , y por lo tanto se dejan al lector. Como la mayoría de los errores de demostración ocurren en estos pasos omitidos, una nueva demostración requiere ser verificada por otros especialistas en la materia, y puede considerarse fiable solo después de haber sido aceptada por la comunidad de especialistas, lo que puede llevar varios años. [ 8 ]

Además, el concepto de "rigor" puede seguir siendo útil para enseñar a los principiantes qué es una demostración matemática. [ 9 ]

Relación con las ciencias

Las matemáticas se utilizan en la mayoría de las ciencias para modelar fenómenos, lo que permite realizar predicciones a partir de leyes experimentales. [ 10 ] La independencia de la verdad matemática respecto de cualquier experimentación implica que la precisión de dichas predicciones depende únicamente de la adecuación del modelo. [ 11 ] Las predicciones inexactas, en lugar de ser causadas por conceptos matemáticos inválidos, implican la necesidad de cambiar el modelo matemático utilizado. [ 12 ] Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio solo pudo explicarse tras el surgimiento de la relatividad general de Einstein , que reemplazó la ley de gravitación de Newton como un modelo matemático superior. [ 13 ]

Todavía existe un debate filosófico sobre si las matemáticas son una ciencia. Sin embargo, en la práctica, los matemáticos suelen agruparse con los científicos, y las matemáticas comparten muchas similitudes con las ciencias físicas. Al igual que ellas, son falsables , lo que significa que en matemáticas, si un resultado o una teoría es erróneo, esto puede demostrarse aportando un contraejemplo . De forma similar a la ciencia, las teorías y los resultados (teoremas) a menudo se obtienen mediante experimentación . [ 14 ] En matemáticas, la experimentación puede consistir en cálculos sobre ejemplos seleccionados o en el estudio de figuras u otras representaciones de objetos matemáticos (a menudo representaciones mentales sin soporte físico). Por ejemplo, cuando se le preguntó cómo llegó a sus teoremas, Gauss respondió una vez "durch planmässiges Tattonieren" (mediante experimentación sistemática). [ 15 ] Sin embargo, algunos autores enfatizan que las matemáticas difieren de la noción moderna de ciencia al no basarse en la evidencia empírica. [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]

Eficacia irrazonable

La eficacia irracional de las matemáticas es un fenómeno que fue nombrado y explicitado por primera vez por el físico Eugene Wigner . [ 20 ] Se refiere al hecho de que muchas teorías matemáticas (incluso las "puras") tienen aplicaciones fuera de su objeto inicial. Estas aplicaciones pueden estar completamente fuera de su área original de las matemáticas y pueden referirse a fenómenos físicos que eran completamente desconocidos cuando se introdujo la teoría matemática. [ 21 ] Se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones inesperadas de teorías matemáticas en muchas áreas de las matemáticas.

Un ejemplo notable es la factorización prima de los números naturales, descubierta más de 2000 años antes de su uso común para comunicaciones seguras en internet mediante el criptosistema RSA . [ 22 ] Un segundo ejemplo histórico es la teoría de las elipses . Los antiguos matemáticos griegos las estudiaron como secciones cónicas (es decir, intersecciones de conos con planos). Casi 2000 años después, Johannes Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses. [ 23 ]

En el siglo XIX, el desarrollo interno de la geometría (matemáticas puras) condujo a la definición y el estudio de geometrías no euclidianas, espacios de dimensión superior a tres y variedades . En aquel entonces, estos conceptos parecían totalmente desconectados de la realidad física, pero a principios del siglo XX, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad, que utiliza fundamentalmente estos conceptos. En particular, el espaciotiempo de la relatividad especial es un espacio no euclidiano de dimensión cuatro, y el espaciotiempo de la relatividad general es una variedad (curva) de dimensión cuatro. [ 24 ] [ 25 ]

Un aspecto llamativo de la interacción entre las matemáticas y la física es cuando las matemáticas impulsan la investigación en física. Esto se ilustra con los descubrimientos del positrón y el barión.Ω−.{\displaystyle \Omega ^{-}.}En ambos casos, las ecuaciones de las teorías presentaban soluciones inexplicables, lo que llevó a conjeturar la existencia de una partícula desconocida y a la búsqueda de dichas partículas. En ambos casos, estas partículas fueron descubiertas unos años después mediante experimentos específicos. [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]

Historia

El origen de las matemáticas está marcado por discusiones y desacuerdos. Si su nacimiento fue fortuito o producto de la necesidad durante el desarrollo de disciplinas similares, como la física, sigue siendo un tema controvertido. [ 29 ] [ 30 ]

Un tema recurrente en la filosofía de las matemáticas concierne a la relación entre la lógica y las matemáticas en sus fundamentos comunes. Si bien los filósofos del siglo XX continuaron planteando las preguntas mencionadas al comienzo de este artículo, la filosofía de las matemáticas en ese siglo se caracterizó por un interés predominante en la lógica formal , la teoría de conjuntos (tanto la teoría de conjuntos ingenua como la teoría de conjuntos axiomática ) y las cuestiones fundamentales.

Resulta paradójico que, por un lado, las verdades matemáticas parezcan tener una inevitabilidad convincente, pero, por otro, el origen de su veracidad siga siendo un misterio. Las investigaciones sobre este tema se conocen como el programa de fundamentos de las matemáticas .

A principios del siglo XX, los filósofos de las matemáticas ya comenzaban a dividirse en diversas escuelas de pensamiento respecto a todas estas cuestiones, que se distinguían principalmente por sus concepciones de la epistemología y la ontología matemáticas . Tres escuelas —el formalismo , el intuicionismo y el logicismo— surgieron en ese momento, en parte como respuesta a la creciente preocupación de que las matemáticas, tal como se entendían, y el análisis en particular, no cumplían con los estándares de certeza y rigor que se habían dado por sentados. Cada escuela abordó los problemas que surgieron en ese momento, ya sea intentando resolverlos o afirmando que las matemáticas no merecían su estatus como nuestro conocimiento más fiable.

Los sorprendentes e inesperados avances en lógica formal y teoría de conjuntos a principios del  siglo XX plantearon nuevas preguntas sobre lo que tradicionalmente se denominaba los fundamentos de las matemáticas . A medida que avanzaba el siglo, el foco inicial de interés se amplió a una exploración abierta de los axiomas fundamentales de las matemáticas, dado que el enfoque axiomático se había considerado desde la época de Euclides, alrededor del año 300  a. C., como la base natural de las matemáticas. Se formalizaron las nociones de axioma , proposición y demostración , así como la noción de que una proposición sea verdadera para un objeto matemático , lo que permitió tratarlas matemáticamente. Se formularon los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos, que proporcionaron un marco conceptual en el que se interpretaría gran parte del discurso matemático. En matemáticas, al igual que en física, surgieron ideas nuevas e inesperadas y se avecinaban cambios significativos. Con la numeración de Gödel , las proposiciones podían interpretarse como referidas a sí mismas o a otras proposiciones, lo que permitió investigar la consistencia de las teorías matemáticas. Esta crítica reflexiva en la que la teoría en revisión "se convierte en objeto de un estudio matemático" llevó a Hilbert a llamar a dicho estudio metamatemática o teoría de la demostración . [ 31 ]

A mediados de siglo, Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane crearon una nueva teoría matemática , conocida como teoría de categorías , que se convirtió en una nueva candidata para el lenguaje natural del pensamiento matemático. [ 32 ] Sin embargo, a medida que avanzaba el siglo XX  , las opiniones filosóficas divergieron en cuanto a cuán bien fundamentadas estaban las preguntas sobre los fundamentos que se plantearon a principios de siglo. Hilary Putnam resumió una visión común de la situación en el último tercio del siglo diciendo:

Cuando la filosofía descubre algún error en la ciencia, a veces es necesario cambiar la ciencia —me viene a la mente la paradoja de Russell , así como el ataque de Berkeley al infinitesimal— , pero con mayor frecuencia es la filosofía la que debe cambiar. No creo que las dificultades que la filosofía encuentra hoy en día con las matemáticas clásicas sean dificultades genuinas; y creo que las interpretaciones filosóficas de las matemáticas que se nos ofrecen por doquier son erróneas, y que la «interpretación filosófica» es precisamente lo que las matemáticas no necesitan. [ 33 ] : 169–170

La filosofía de las matemáticas actual se desarrolla a través de diversas líneas de investigación, llevadas a cabo por filósofos de las matemáticas, lógicos y matemáticos, y existen numerosas escuelas de pensamiento sobre el tema. Estas escuelas se abordan por separado en la siguiente sección, donde se explican sus supuestos.

Escuelas de pensamiento contemporáneas

Las escuelas de pensamiento contemporáneas en la filosofía de las matemáticas incluyen: el artístico, el platonismo, el matematismo, el logicismo, el formalismo, el convencionalismo, el intuicionismo, el constructivismo, el finitismo, el estructuralismo, las teorías de la mente encarnada (realismo aristotélico, psicologismo, empirismo), el ficcionalismo, el constructivismo social y las escuelas no tradicionales.

Sin embargo, muchas de estas escuelas de pensamiento son mutuamente compatibles. Por ejemplo, la mayoría de los matemáticos actuales son a la vez platónicos y formalistas, otorgan gran importancia a la estética y consideran que los axiomas deben elegirse por los resultados que producen, no por su coherencia con la intuición humana de la realidad (convencionalismo). [ 26 ]

Artístico

La postura que afirma que las matemáticas son la combinación estética de supuestos, y que además sostiene que las matemáticas son un arte . Un matemático famoso que defiende esta postura es el británico G. H. Hardy . Para Hardy, en su libro Apología de un matemático , la definición de matemáticas se asemejaba más a la combinación estética de conceptos. [ 34 ]

platonismo

El platonismo matemático es la forma de realismo que sugiere que las entidades matemáticas son abstractas, carecen de propiedades espaciotemporales o causales, y son eternas e inmutables. Se suele afirmar que esta es la visión que la mayoría de la gente tiene de los números.

Matemáticas

La hipótesis del universo matemático de Max Tegmark (o matematismo ) va más allá del platonismo al afirmar que no solo existen todos los objetos matemáticos, sino que nada más existe. El único postulado de Tegmark es: Todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente . Es decir, en el sentido de que «en aquellos [mundos] lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes, [ellos] se percibirán subjetivamente como existentes en un mundo físicamente "real"». [ 35 ] [ 36 ]

Logicismo

El logicismo es la tesis de que las matemáticas son reducibles a la lógica y, por lo tanto, no son más que una parte de ella. [ 37 ] : 41 Los lógicos sostienen que las matemáticas pueden conocerse a priori , pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo una parte de nuestro conocimiento de la lógica en general y, por lo tanto, es analítico , sin requerir ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde esta perspectiva, la lógica es el fundamento propio de las matemáticas, y todas las proposiciones matemáticas son verdades lógicas necesarias .

Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes: [ 37 ]

  1. Los conceptos matemáticos pueden derivarse de conceptos lógicos mediante definiciones explícitas.
  2. Los teoremas matemáticos pueden derivarse de axiomas lógicos mediante una deducción puramente lógica.

Gottlob Frege fue el fundador del logicismo. En su obra fundamental Die Grundgesetze der Arithmetik ( Leyes básicas de la aritmética ), construyó la aritmética a partir de un sistema lógico con un principio general de comprensión, al que llamó " Ley básica V " (para los conceptos F y G , la extensión de F es igual a la extensión de G si y solo si para todos los objetos a , Fa es igual a Ga ), un principio que consideró aceptable como parte de la lógica.

La construcción de Frege era defectuosa. Bertrand Russell descubrió que la Ley Fundamental V es inconsistente (esta es la paradoja de Russell ). Frege abandonó su programa logicista poco después, pero Russell y Whitehead lo continuaron . Atribuyeron la paradoja a la "circularidad viciosa" y desarrollaron lo que llamaron teoría de tipos ramificada para abordarla. En este sistema, lograron construir gran parte de las matemáticas modernas, pero de una forma alterada y excesivamente compleja (por ejemplo, había diferentes números naturales en cada tipo, e infinitos tipos). También tuvieron que hacer varias concesiones para desarrollar gran parte de las matemáticas, como el " axioma de reducibilidad ". Incluso Russell afirmó que este axioma no pertenecía realmente a la lógica.

Los lógicos modernos (como Bob Hale , Crispin Wright y quizás otros) han retomado un programa más cercano al de Frege. Han abandonado la Ley Fundamental V en favor de principios de abstracción como el principio de Hume (el número de objetos que se incluyen en el concepto F es igual al número de objetos que se incluyen en el concepto G si y solo si la extensión de F y la extensión de G pueden establecerse en correspondencia biunívoca ). Frege requería la Ley Fundamental V para poder dar una definición explícita de los números, pero todas las propiedades de los números pueden derivarse del principio de Hume. Esto no habría sido suficiente para Frege porque (parafraseándolo) no excluye la posibilidad de que el número 3 sea, de hecho, Julio César. Además, muchos de los principios debilitados que han tenido que adoptar para reemplazar la Ley Fundamental V ya no parecen tan obviamente analíticos y, por lo tanto, puramente lógicos.

Formalismo

El formalismo sostiene que las proposiciones matemáticas pueden considerarse enunciados sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de cadenas. Por ejemplo, en el "juego" de la geometría euclidiana (que se concibe como un conjunto de cadenas llamadas "axiomas" y "reglas de inferencia" para generar nuevas cadenas a partir de las dadas), se puede demostrar que el teorema de Pitágoras es válido (es decir, se puede generar la cadena correspondiente al teorema de Pitágoras). Según el formalismo, las verdades matemáticas no tratan sobre números, conjuntos, triángulos ni nada parecido; de hecho, no tratan sobre nada en absoluto.

Otra versión del formalismo se conoce como deductivismo . [ 38 ] En el deductivismo, el teorema de Pitágoras no es una verdad absoluta, sino relativa, si se deduce de los axiomas correspondientes. Lo mismo se aplica a todas las demás proposiciones matemáticas.

El formalismo no implica necesariamente que las matemáticas sean un mero juego simbólico sin sentido. Generalmente se espera que exista alguna interpretación que respete las reglas del juego. (Compárese esta postura con el estructuralismo ). Sin embargo, permite al matemático continuar con su trabajo y dejar estos problemas al filósofo o al científico. Muchos formalistas dirían que, en la práctica, los sistemas axiomáticos que se estudian vienen determinados por las exigencias de la ciencia u otras áreas de las matemáticas.

David Hilbert

Uno de los primeros y principales defensores del formalismo fue David Hilbert , cuyo programa pretendía ser una axiomatización completa y consistente de todas las matemáticas. [ 39 ] Hilbert buscaba demostrar la consistencia de los sistemas matemáticos a partir del supuesto de que la "aritmética finita" (un subsistema de la aritmética usual de los enteros positivos , elegida por ser filosóficamente indiscutible) era consistente. Los objetivos de Hilbert de crear un sistema matemático que fuera a la vez completo y consistente se vieron seriamente socavados por el segundo de los teoremas de incompletitud de Gödel , que establece que los sistemas axiomáticos consistentes suficientemente expresivos nunca pueden probar su propia consistencia. Dado que cualquier sistema axiomático de este tipo contendría la aritmética finita como subsistema, el teorema de Gödel implicaba que sería imposible probar la consistencia del sistema en relación con ella (ya que entonces probaría su propia consistencia, lo cual Gödel había demostrado que era imposible). Por lo tanto, para demostrar que cualquier sistema axiomático de matemáticas es de hecho consistente, primero hay que asumir la consistencia de un sistema matemático que, en cierto sentido, es más fuerte que el sistema cuya consistencia se pretende demostrar.

Hilbert fue inicialmente deductivista, pero, como se desprende de lo anterior, consideraba que ciertos métodos metamatemáticos producían resultados intrínsecamente significativos y era realista con respecto a la aritmética finita. Posteriormente, sostuvo que no existía ninguna otra matemática significativa, independientemente de su interpretación.

Otros formalistas, como Rudolf Carnap , Alfred Tarski y Haskell Curry , consideraban que las matemáticas consistían en la investigación de sistemas de axiomas formales . Los lógicos matemáticos estudian sistemas formales, pero con la misma frecuencia son realistas que formalistas.

Los formalistas son relativamente tolerantes y receptivos a nuevos enfoques de la lógica, sistemas numéricos no estándar, nuevas teorías de conjuntos, etc. Cuantos más juegos estudiemos, mejor. Sin embargo, en los tres ejemplos mencionados, la motivación surge de inquietudes matemáticas o filosóficas preexistentes. Los "juegos" no suelen ser arbitrarios.

La principal crítica al formalismo radica en que las ideas matemáticas que realmente ocupan a los matemáticos distan mucho de los juegos de manipulación de cadenas mencionados anteriormente. Por lo tanto, el formalismo guarda silencio sobre qué sistemas axiomáticos deberían estudiarse, ya que ninguno es más significativo que otro desde un punto de vista formalista.

Recientemente, algunos matemáticos formalistas han propuesto que todo nuestro conocimiento matemático formal se codifique sistemáticamente en formatos legibles por computadora , para facilitar la verificación automatizada de pruebas matemáticas y el uso de la demostración interactiva de teoremas en el desarrollo de teorías matemáticas y software informático. Debido a su estrecha conexión con la informática , esta idea también es defendida por intuicionistas matemáticos y constructivistas en la tradición de la "computabilidad" .

Convencionalismo

El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en articular una visión convencionalista . El uso que hizo Poincaré de geometrías no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convenció de que la geometría euclidiana no debía considerarse una verdad a priori . Sostenía que los axiomas en geometría debían elegirse por los resultados que producían, no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico.

intuicionismo

En matemáticas, el intuicionismo es un programa de reforma metodológica cuyo lema es que «no existen verdades matemáticas no experimentadas» ( LEJ Brouwer ). Partiendo de esta premisa, los intuicionistas buscan reconstruir lo que consideran la parte corregible de las matemáticas de acuerdo con los conceptos kantianos de ser, devenir, intuición y conocimiento. Brouwer, fundador del movimiento, sostenía que los objetos matemáticos surgen de las formas a priori de las voliciones que informan la percepción de los objetos empíricos. [ 40 ]

Una figura clave del intuicionismo fue L. E. J. Brouwer , quien rechazó la utilidad de la lógica formalizada en cualquier ámbito de las matemáticas. Su alumno Arend Heyting postuló una lógica intuicionista , distinta de la lógica aristotélica clásica ; esta lógica no incluye el principio del tercero excluido y, por lo tanto, desaprueba las demostraciones por contradicción . El axioma de elección también se rechaza en la mayoría de las teorías de conjuntos intuicionistas, aunque en algunas versiones se acepta.

En el intuicionismo, el término "construcción explícita" no está claramente definido, lo que ha generado críticas. Se ha intentado subsanar esta deficiencia utilizando los conceptos de máquina de Turing o función computable , lo que ha llevado a afirmar que solo las cuestiones relativas al comportamiento de algoritmos finitos son relevantes y deben investigarse en matemáticas. Esto ha impulsado el estudio de los números computables , introducidos por primera vez por Alan Turing . No es de extrañar, entonces, que este enfoque matemático se asocie a veces con la informática teórica .

Constructivismo

Al igual que el intuicionismo, el constructivismo implica el principio regulador de que solo las entidades matemáticas que pueden construirse explícitamente en cierto sentido deben admitirse en el discurso matemático. Desde esta perspectiva, las matemáticas son un ejercicio de la intuición humana, no un juego con símbolos sin sentido. Se trata, en cambio, de entidades que podemos crear directamente mediante la actividad mental. Además, algunos seguidores de estas escuelas rechazan las demostraciones no constructivas, como el uso de la demostración por contradicción para mostrar la existencia de un objeto o para intentar establecer la verdad de alguna proposición. Errett Bishop realizó un trabajo importante al lograr demostrar versiones de los teoremas más importantes del análisis real como análisis constructivo en su obra de 1967, Foundations of Constructive Analysis. [ 41 ]

Finitismo

Leopold Kronecker

El finitismo es una forma extrema de constructivismo , según la cual un objeto matemático no existe a menos que pueda construirse a partir de números naturales en un número finito de pasos. En su libro Filosofía de la teoría de conjuntos , Mary Tiles caracterizó a quienes admiten objetos infinitos numerables como finitistas clásicos, y a quienes niegan incluso los objetos infinitos numerables como finitistas estrictos.

El defensor más famoso del finitismo fue Leopold Kronecker , [ 42 ] quien dijo:

Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra del hombre.

El ultrafinitismo es una versión aún más extrema del finitismo, que rechaza no solo los infinitos, sino también las cantidades finitas que no pueden construirse de manera factible con los recursos disponibles. Otra variante del finitismo es la aritmética euclidiana, un sistema desarrollado por John Penn Mayberry en su libro Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . [ 43 ] El sistema de Mayberry tiene una inspiración general aristotélica y, a pesar de su fuerte rechazo a cualquier papel del operacionalismo o la factibilidad en los fundamentos de las matemáticas, llega a conclusiones algo similares, como, por ejemplo, que la superexponenciación no es una función finita legítima.

Estructuralismo

El estructuralismo es una postura que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras y que los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por su posición en dichas estructuras, careciendo, por consiguiente, de propiedades intrínsecas . Por ejemplo, afirma que lo único que se necesita saber sobre el número 1 es que es el primer número entero después del 0. Del mismo modo, todos los demás números enteros se definen por su posición en una estructura: la recta numérica . Otros ejemplos de objetos matemáticos podrían ser las líneas y los planos en geometría, o los elementos y las operaciones en álgebra abstracta .

El estructuralismo es una perspectiva epistemológicamente realista, ya que sostiene que las proposiciones matemáticas poseen un valor de verdad objetivo. Sin embargo, su afirmación central se refiere únicamente al tipo de entidad que es un objeto matemático, no al tipo de existencia que poseen los objetos o estructuras matemáticas (es decir, no a su ontología ). El tipo de existencia de los objetos matemáticos dependería claramente de la de las estructuras en las que están integrados; las distintas subvariedades del estructuralismo plantean diferentes afirmaciones ontológicas al respecto. [ 44 ]

El estructuralismo ante rem ("antes de la cosa") tiene una ontología similar al platonismo . Se considera que las estructuras tienen una existencia real, pero abstracta e inmaterial. Por lo tanto, se enfrenta al problema epistemológico habitual de explicar la interacción entre dichas estructuras abstractas y los matemáticos de carne y hueso .

El estructuralismo in re ("en la cosa") es el equivalente del realismo aristotélico . Se considera que las estructuras existen en la medida en que algún sistema concreto las ejemplifica. Esto conlleva los problemas habituales de que algunas estructuras perfectamente legítimas podrían, por casualidad, no existir, y de que un mundo físico finito podría no ser lo suficientemente grande como para albergar algunas estructuras que, de otro modo, serían legítimas.

El estructuralismo post rem ("después de la cosa") es antirrealista respecto a las estructuras, de forma similar al nominalismo . Al igual que este último, el enfoque post rem niega la existencia de objetos matemáticos abstractos con propiedades distintas a su lugar en una estructura relacional. Según esta perspectiva, los sistemas matemáticos existen y comparten características estructurales. Si algo es cierto para una estructura, lo será para todos los sistemas que la ejemplifican. Sin embargo, hablar de estructuras "compartidas" entre sistemas es meramente instrumental: en realidad, carecen de existencia independiente.

Teorías de la mente encarnada

Las teorías de la mente encarnada sostienen que el pensamiento matemático es una consecuencia natural del aparato cognitivo humano, que se manifiesta en nuestro universo físico. Por ejemplo, el concepto abstracto de número surge de la experiencia de contar objetos discretos (lo cual requiere los sentidos humanos, como la vista para detectarlos, el tacto y la información que envía el cerebro). Se afirma que las matemáticas no son universales y que, en realidad, no existen más allá del cerebro humano. Los humanos construyen las matemáticas, pero no las descubren.

Los procesos cognitivos de búsqueda de patrones y distinción de objetos también están sujetos a la neurociencia ; si se considera que las matemáticas son relevantes para un mundo natural (como desde el realismo o un grado de él, en contraposición al solipsismo puro ).

Su relevancia real para la realidad, si bien se acepta como una aproximación confiable (también se sugiere que la evolución de las percepciones, el cuerpo y los sentidos pudo haber sido necesaria para la supervivencia), no es necesariamente precisa hasta un realismo completo (y aún está sujeta a fallas como la ilusión , las suposiciones (en consecuencia; los fundamentos y axiomas sobre los que los humanos han formado las matemáticas), las generalizaciones, el engaño y las alucinaciones ). Como tal, esto también puede plantear interrogantes sobre el método científico moderno en cuanto a su compatibilidad con las matemáticas generales; ya que, si bien es relativamente confiable, todavía está limitado por lo que se puede medir mediante el empirismo , que puede no ser tan confiable como se suponía anteriormente (véase también: conceptos "contraintuitivos" como la no localidad cuántica y la acción a distancia ).

Otro problema es que un sistema numérico no siempre es aplicable a la resolución de problemas. Temas como los números complejos o los números imaginarios requieren modificaciones específicas de los axiomas matemáticos más comunes; de lo contrario, no pueden comprenderse adecuadamente.

Alternativamente, los programadores informáticos pueden usar el sistema hexadecimal por su representación más "fácil de entender" de los valores binarios , en lugar del decimal (que resulta más práctico para contar, ya que los humanos tenemos diez dedos). Los axiomas o reglas lógicas que sustentan las matemáticas también varían con el tiempo (como la invención y adaptación del cero ).

Dado que las percepciones del cerebro humano están sujetas a ilusiones , suposiciones, engaños, alucinaciones (inducidas) , errores cognitivos o suposiciones en un contexto general, cabe preguntarse si son precisas o estrictamente indicativas de la verdad (véase también: filosofía del ser ), y la naturaleza del empirismo en sí mismo en relación con el universo y si es independiente de los sentidos y del universo.

La mente humana no tiene ningún derecho especial sobre la realidad ni sobre los enfoques matemáticos. Si construcciones como la identidad de Euler son ciertas, entonces lo son como un mapa de la mente y la cognición humanas .

Los teóricos de la mente encarnada explican así la eficacia de las matemáticas: las matemáticas fueron construidas por el cerebro para ser efectivas en este universo.

El análisis más accesible, famoso e infame de esta perspectiva es *Where Mathematics Comes From* , de George Lakoff y Rafael E. Núñez . Además, el matemático Keith Devlin ha investigado conceptos similares en su libro *The Math Instinct* , al igual que el neurocientífico Stanislas Dehaene en *The Number Sense *.

realismo aristotélico

El realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo físico (o en cualquier otro mundo que pueda existir). Se contrapone al platonismo al sostener que los objetos de las matemáticas, como los números, no existen en un mundo "abstracto", sino que pueden realizarse físicamente. Por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de loros y el "ser universal de un loro" que divide el montón en tantos loros. [ 45 ] [ 46 ] El realismo aristotélico es defendido por James Franklin y la Escuela de Sídney en la filosofía de las matemáticas y es cercano a la visión de Penelope Maddy de que cuando se abre una huevera, se percibe un conjunto de tres huevos (es decir, una entidad matemática realizada en el mundo físico). [ 47 ] Un problema para el realismo aristotélico es cómo explicar los infinitos superiores, que pueden no ser realizables en el mundo físico.

La aritmética euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos [ 43 ] también se inscribe en la tradición realista aristotélica. Mayberry, siguiendo a Euclides, considera que los números son simplemente «multitudes definidas de unidades» que se realizan en la naturaleza, como «los miembros de la Orquesta Sinfónica de Londres» o «los árboles del bosque de Birnam». Para Mayberry, la existencia o no de multitud definida de unidades para las que falla la Noción Común 5 de Euclides (el todo es mayor que la parte) y que, por consiguiente, se considerarían infinitas, es esencialmente una cuestión sobre la Naturaleza y no implica ninguna suposición trascendental.

Psicología

En la filosofía de las matemáticas, el psicologismo es la postura según la cual los conceptos y/o verdades matemáticas se fundamentan en hechos (o leyes) psicológicos, se derivan de ellos o se explican mediante ellos.

John Stuart Mill parece haber sido defensor de un tipo de psicologismo lógico, al igual que muchos lógicos alemanes del siglo XIX, como Sigwart y Erdmann, así como varios psicólogos , tanto del pasado como del presente: por ejemplo, Gustave Le Bon . El psicologismo fue criticado duramente por Frege en su obra Fundamentos de la aritmética , y en muchos de sus trabajos y ensayos, incluyendo su reseña de la Filosofía de la aritmética de Husserl . Edmund Husserl, en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas , titulado «Los prolegómenos de la lógica pura», criticó el psicologismo exhaustivamente y buscó distanciarse de él. Los «Prolegómenos» se consideran una refutación del psicologismo más concisa, justa y completa que las críticas de Frege, y también se consideran hoy en día una refutación memorable por su golpe decisivo al psicologismo. El psicologismo también fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau-Ponty .

Empirismo

El empirismo matemático es una forma de realismo que niega que las matemáticas puedan conocerse a priori . Afirma que descubrimos los hechos matemáticos mediante la investigación empírica , al igual que los hechos en cualquier otra ciencia. No es una de las tres posturas clásicas defendidas a principios del  siglo XX, sino que surgió principalmente a mediados de siglo. Sin embargo, un importante defensor inicial de esta visión fue John Stuart Mill . La postura de Mill fue ampliamente criticada porque, según críticos como AJ Ayer, [ 48 ] hace que afirmaciones como "2 + 2 = 4" se presenten como verdades inciertas y contingentes, que solo podemos aprender observando casos en los que dos pares se unen y forman un cuarteto.

Karl Popper fue otro filósofo que señaló aspectos empíricos de las matemáticas, observando que «la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y la biología, hipotético-deductivas: por lo tanto, las matemáticas puras resultan estar mucho más cerca de las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, de lo que parecía incluso recientemente». [ 49 ] Popper también señaló que «solo admitiría un sistema como empírico o científico si es susceptible de ser probado mediante la experiencia». [ 50 ]

El empirismo matemático contemporáneo, formulado por WVO Quine y Hilary Putnam , se sustenta principalmente en el argumento de la indispensabilidad : las matemáticas son indispensables para todas las ciencias empíricas, y si queremos creer en la realidad de los fenómenos descritos por las ciencias, también debemos creer en la realidad de las entidades necesarias para dicha descripción. Es decir, puesto que la física necesita hablar de electrones para explicar el comportamiento de las bombillas, entonces los electrones deben existir . Puesto que la física necesita hablar de números para ofrecer cualquiera de sus explicaciones, entonces los números deben existir. En consonancia con la filosofía general de Quine y Putnam, este es un argumento naturalista. Defiende la existencia de entidades matemáticas como la mejor explicación de la experiencia, despojando así a las matemáticas de su distinción respecto a las demás ciencias.

Putnam rechazó categóricamente el término « platónico » por implicar una ontología excesivamente específica , innecesaria para la práctica matemática en un sentido real. Abogó por una forma de «realismo puro» que rechazaba las nociones místicas de verdad y aceptaba un alto grado de cuasiempirismo en matemáticas . Esto surgió de la afirmación, cada vez más popular a finales del siglo XX, de que nunca se podría demostrar la existencia de un fundamento único de las matemáticas . También se le denomina a veces «posmodernismo matemático», aunque este término es considerado excesivo por algunos e insultante por otros. El cuasiempirismo sostiene que, al realizar sus investigaciones, los matemáticos ponen a prueba hipótesis además de demostrar teoremas. Un argumento matemático puede transmitir falsedad de la conclusión a las premisas, al igual que puede transmitir verdad de las premisas a la conclusión. Putnam argumentó que cualquier teoría del realismo matemático incluiría métodos cuasiempíricos. Propuso que una especie alienígena que hiciera matemáticas bien podría basarse principalmente en métodos cuasiempíricos, estando dispuesta a menudo a prescindir de pruebas rigurosas y axiomáticas, y aun así estar haciendo matemáticas, aunque quizás con un riesgo algo mayor de que sus cálculos fallen. Presentó un argumento detallado al respecto en New Directions . [ 51 ] El cuasiempirismo también fue desarrollado por Imre Lakatos .

La crítica más importante a las concepciones empíricas de las matemáticas es prácticamente la misma que la planteada contra Mill. Si las matemáticas son tan empíricas como las demás ciencias, esto sugiere que sus resultados son igual de falibles y contingentes. En el caso de Mill, la justificación empírica es directa, mientras que en el de Quine es indirecta, a través de la coherencia de nuestra teoría científica en su conjunto, es decir, la consiliencia, según E. O. Wilson . Quine sugiere que las matemáticas parecen completamente ciertas porque el papel que desempeñan en nuestro entramado de creencias es extraordinariamente central, y que nos resultaría extremadamente difícil, aunque no imposible, revisarlas.

Para una filosofía de las matemáticas que intenta superar algunas de las deficiencias de los enfoques de Quine y Gödel tomando aspectos de cada uno, véase Realismo en las matemáticas de Penelope Maddy . Otro ejemplo de teoría realista es la teoría de la mente encarnada .

Ficticio

El ficcionalismo matemático alcanzó la fama en 1980 cuando Hartry Field publicó Ciencia sin números [ 52 ] , que rechazaba e incluso invertía el argumento de indispensabilidad de Quine. Mientras que Quine sugería que las matemáticas eran indispensables para nuestras mejores teorías científicas y, por lo tanto, debían aceptarse como un conjunto de verdades que hablaban de entidades existentes de forma independiente, Field sugería que las matemáticas eran prescindibles y, por lo tanto, debían considerarse como un conjunto de falsedades que no hablaban de nada real. Lo hizo proporcionando una axiomatización completa de la mecánica newtoniana sin ninguna referencia a números ni funciones. Partió de la «intermedia» de los axiomas de Hilbert para caracterizar el espacio sin coordinarlo, y luego añadió relaciones adicionales entre puntos para realizar el trabajo que antes hacían los campos vectoriales . La geometría de Hilbert es matemática porque habla de puntos abstractos, pero en la teoría de Field, estos puntos son los puntos concretos del espacio físico, por lo que no se necesitan objetos matemáticos especiales.

Tras demostrar cómo hacer ciencia sin usar números, Field procedió a reivindicar las matemáticas como una especie de ficción útil . Demostró que la física matemática es una extensión conservadora de su física no matemática (es decir, todo hecho físico demostrable en física matemática ya es demostrable a partir del sistema de Field), de modo que las matemáticas son un proceso fiable cuyas aplicaciones físicas son todas verdaderas, aunque sus propias afirmaciones sean falsas. Así, al hacer matemáticas, podemos vernos a nosotros mismos contando una especie de historia, hablando como si los números existieran. Para Field, una afirmación como "2 + 2 = 4" es tan ficticia como " Sherlock Holmes vivía en el 221B de Baker Street", pero ambas son verdaderas según las ficciones pertinentes.

Otra autora de ficción, Mary Leng , expresa esta perspectiva sucintamente al descartar cualquier aparente conexión entre las matemáticas y el mundo físico como una «feliz coincidencia». Este rechazo distingue el ficcionalismo de otras formas de antirrealismo, que consideran las matemáticas como artificiales, pero aun así limitadas o ajustadas a la realidad de alguna manera. [ 53 ]

Según esta perspectiva, no existen problemas metafísicos ni epistemológicos propios de las matemáticas. Las únicas preocupaciones que subsisten son las generales sobre la física no matemática y sobre la ficción en general. El enfoque de Field ha sido muy influyente, pero es ampliamente rechazado. Esto se debe, en parte, a la necesidad de utilizar fragmentos sólidos de lógica de segundo orden para llevar a cabo su reducción, y a que la afirmación de conservatividad parece requerir cuantificación sobre modelos abstractos o deducciones.

Constructivismo social

El constructivismo social considera las matemáticas principalmente como una construcción social , un producto de la cultura, sujeto a corrección y cambio. Al igual que las demás ciencias, las matemáticas se conciben como una actividad empírica cuyos resultados se evalúan constantemente y pueden descartarse. Sin embargo, mientras que desde una perspectiva empirista la evaluación consiste en una comparación con la "realidad", los constructivistas sociales enfatizan que la dirección de la investigación matemática está determinada por las tendencias del grupo social que la realiza o por las necesidades de la sociedad que la financia. No obstante, si bien tales fuerzas externas pueden modificar la dirección de algunas investigaciones matemáticas, existen fuertes limitaciones internas —las tradiciones, los métodos, los problemas, los significados y los valores matemáticos en los que se inculcan los matemáticos— que contribuyen a preservar la disciplina definida históricamente.

Esto contradice las creencias tradicionales de los matemáticos profesionales, quienes consideran que las matemáticas son puras u objetivas. Sin embargo, los constructivistas sociales argumentan que, de hecho, las matemáticas se fundamentan en una gran incertidumbre: a medida que la práctica matemática evoluciona, el estatus de las matemáticas anteriores se pone en duda y se corrige en la medida en que la comunidad matemática actual lo requiere o desea. Esto se observa en el desarrollo del análisis a partir de la revisión del cálculo de Leibniz y Newton. Argumentan, además, que a las matemáticas consolidadas se les suele otorgar demasiado prestigio, mientras que a las matemáticas populares se les resta importancia, debido a un énfasis excesivo en la demostración axiomática y la revisión por pares como prácticas.

La naturaleza social de las matemáticas se pone de manifiesto en sus subculturas . Se pueden realizar descubrimientos importantes en una rama de las matemáticas que resulten relevantes para otra, pero esta relación permanece oculta por la falta de contacto social entre los matemáticos. Los constructivistas sociales argumentan que cada especialidad conforma su propia comunidad epistémica y, a menudo, tiene grandes dificultades para comunicarse o para motivar la investigación de conjeturas unificadoras que puedan relacionar diferentes áreas de las matemáticas. Los constructivistas sociales consideran que el proceso de "hacer matemáticas" es, en realidad, la creación de significado, mientras que los realistas sociales ven una deficiencia, ya sea en la capacidad humana de abstracción, en los sesgos cognitivos humanos o en la inteligencia colectiva de los matemáticos , como impedimento para la comprensión de un universo real de objetos matemáticos. Los constructivistas sociales a veces rechazan la búsqueda de los fundamentos de las matemáticas por considerarla condenada al fracaso, inútil o incluso carente de sentido.

Imre Lakatos y Thomas Tymoczko han contribuido a esta escuela , aunque no está claro que alguno de ellos apoye el título. Más recientemente, Paul Ernest ha formulado explícitamente una filosofía constructivista social de las matemáticas. [ 54 ] Algunos consideran que el trabajo de Paul Erdős en su conjunto impulsó esta visión (aunque él personalmente la rechazó) debido a sus colaboraciones excepcionalmente amplias, que llevaron a otros a ver y estudiar "las matemáticas como una actividad social", por ejemplo, a través del número de Erdős . Reuben Hersh también ha promovido la visión social de las matemáticas, llamándola un enfoque "humanista", [ 55 ] similar pero no exactamente igual al asociado con Alvin White; [ 56 ] uno de los coautores de Hersh, Philip J. Davis , también ha expresado simpatía por la visión social.

Más allá de las escuelas tradicionales

Eficacia irrazonable

En lugar de centrarse en debates limitados sobre la verdadera naturaleza de la verdad matemática , o incluso en prácticas exclusivas de los matemáticos como la demostración , un movimiento creciente desde la década de 1960 hasta la de 1990 comenzó a cuestionar la idea de buscar fundamentos o encontrar una única respuesta correcta sobre por qué funcionan las matemáticas. El punto de partida fue el famoso artículo de Eugene Wigner de 1960, " La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales ", en el que argumentaba que la feliz coincidencia de que las matemáticas y la física estuvieran tan bien alineadas parecía irrazonable y difícil de explicar.

Los dos sentidos de los enunciados numéricos de Popper

Las teorías realistas y constructivistas suelen considerarse contradictorias. Sin embargo, Karl Popper [ 57 ] argumentó que una proposición numérica como "2 manzanas + 2 manzanas = 4 manzanas" puede interpretarse de dos maneras. Por un lado, es irrefutable y lógicamente verdadera. Por otro, es objetivamente verdadera y falsable. Dicho de otro modo, una misma proposición numérica puede expresar dos proposiciones: una que puede explicarse desde una perspectiva constructivista y la otra desde una perspectiva realista. [ 58 ]

Filosofía del lenguaje

Mohan Ganesalingam ha analizado el lenguaje matemático utilizando herramientas de la lingüística formal. [ 59 ] Ganesalingam señala que algunas características del lenguaje natural no son necesarias al analizar el lenguaje matemático (como el tiempo verbal ), pero se pueden utilizar muchas de las mismas herramientas analíticas (como las gramáticas libres de contexto ). Una diferencia importante es que los objetos matemáticos tienen tipos claramente definidos , que pueden definirse explícitamente en un texto: «En efecto, podemos introducir una palabra en una parte de la oración y declarar su categoría gramatical en otra; y esta operación no tiene análogo en el lenguaje natural». [ 59 ] : 251

Argumentos

Argumento de indispensabilidad a favor del realismo

Este argumento, asociado con Willard Quine y Hilary Putnam , es considerado por Stephen Yablo como uno de los argumentos más desafiantes a favor de la aceptación de la existencia de entidades matemáticas abstractas, como números y conjuntos. [ 60 ] La forma del argumento es la siguiente.

  1. Es necesario tener compromisos ontológicos con todas las entidades que son indispensables para las mejores teorías científicas, y solo con esas entidades (a las que comúnmente se hace referencia como "todas y solo").
  2. Las entidades matemáticas son indispensables para las mejores teorías científicas. Por lo tanto,
  3. Es necesario tener compromisos ontológicos con las entidades matemáticas. [ 61 ]

La justificación de la primera premisa es la más controvertida. Tanto Putnam como Quine invocan el naturalismo para justificar la exclusión de todas las entidades no científicas y, por lo tanto, para defender la parte de "únicamente" de "todo y únicamente". La afirmación de que "todas" las entidades postuladas en las teorías científicas, incluidos los números, deben aceptarse como reales se justifica por el holismo de confirmación . Dado que las teorías no se confirman de forma fragmentaria, sino en su conjunto, no hay justificación para excluir ninguna de las entidades a las que se refieren las teorías bien confirmadas. Esto coloca al nominalista que desea excluir la existencia de conjuntos y geometría no euclidiana , pero incluir la existencia de quarks y otras entidades indetectables de la física, por ejemplo, en una posición difícil. [ 61 ]

Argumento epistémico contra el realismo

El argumento epistémico antirrealista contra el platonismo fue presentado por Paul Benacerraf y Hartry Field . El platonismo postula que los objetos matemáticos son entidades abstractas . Por consenso general, las entidades abstractas no pueden interactuar causalmente con entidades físicas concretas ("los valores de verdad de nuestras afirmaciones matemáticas dependen de hechos que involucran entidades platónicas que residen en un reino fuera del espacio-tiempo" [ 62 ] ). Si bien nuestro conocimiento de los objetos físicos concretos se basa en nuestra capacidad de percibirlos y, por lo tanto, de interactuar causalmente con ellos, no existe una explicación paralela de cómo los matemáticos llegan a tener conocimiento de los objetos abstractos. [ 63 ] [ 64 ] [ 65 ] Otra forma de plantear el punto es que si el mundo platónico desapareciera, no afectaría la capacidad de los matemáticos para generar demostraciones , etc., lo cual ya se explica completamente en términos de procesos físicos en sus cerebros.

Field desarrolló sus ideas hasta convertirlas en ficcionalismo . Benacerraf también desarrolló la filosofía del estructuralismo matemático , según la cual no existen objetos matemáticos. No obstante, algunas versiones del estructuralismo son compatibles con ciertas versiones del realismo.

El argumento se basa en la idea de que se puede ofrecer una explicación naturalista satisfactoria de los procesos de pensamiento en términos de procesos cerebrales para el razonamiento matemático, al igual que para todo lo demás. Una línea de defensa consiste en sostener que esto es falso, de modo que el razonamiento matemático utiliza una intuición especial que implica contacto con el ámbito platónico. Sir Roger Penrose presenta una versión moderna de este argumento . [ 66 ]

Otra línea de defensa consiste en sostener que los objetos abstractos son relevantes para el razonamiento matemático de una manera no causal y no análoga a la percepción. Este argumento es desarrollado por Jerrold Katz en su libro de 2000, Racionalismo realista .

Una defensa más radical es la negación de la realidad física, es decir, la hipótesis del universo matemático . En ese caso, el conocimiento matemático de las matemáticas se reduce a la interacción entre dos objetos matemáticos.

Estética

Muchos matemáticos en ejercicio se han sentido atraídos por su disciplina debido a la belleza que perciben en ella. A veces se escucha la opinión de que los matemáticos desearían dejar la filosofía a los filósofos y volver a las matemáticas, donde, supuestamente, reside la belleza.

En su obra sobre la proporción divina , H. E. Huntley relaciona la sensación de leer y comprender la demostración de un teorema matemático con la de un espectador de una obra maestra: el lector de una demostración experimenta una euforia similar a la del autor original, del mismo modo que, según argumenta, el espectador de una obra maestra experimenta una euforia similar a la del pintor o escultor original. De hecho, se pueden estudiar los escritos matemáticos y científicos como literatura .

Philip J. Davis y Reuben Hersh han comentado que el sentido de la belleza matemática es universal entre los matemáticos en ejercicio. A modo de ejemplo, proporcionan dos demostraciones de la irracionalidad de √2 . La primera es la demostración tradicional por contradicción , atribuida a Euclides ; la segunda es una demostración más directa que involucra el teorema fundamental de la aritmética y que, según argumentan, llega al meollo de la cuestión. Davis y Hersh sostienen que los matemáticos encuentran la segunda demostración más atractiva estéticamente porque se acerca más a la naturaleza del problema.

Paul Erdős era conocido por su idea de un hipotético "Libro" que contenía las demostraciones matemáticas más elegantes o bellas. No existe un consenso universal sobre si un resultado tiene una única demostración "más elegante"; Gregory Chaitin se ha opuesto a esta idea.

En ocasiones, los filósofos han criticado el sentido de la belleza o la elegancia de los matemáticos, considerándolo, en el mejor de los casos, vago. Sin embargo, del mismo modo, los filósofos de las matemáticas han intentado caracterizar qué hace que una demostración sea más deseable que otra cuando ambas son lógicamente sólidas.

Otro aspecto de la estética en relación con las matemáticas son las opiniones de los matemáticos sobre los posibles usos de las matemáticas para fines considerados poco éticos o inapropiados. La exposición más conocida de esta postura se encuentra en el libro de G. H. Hardy , *Apología de un matemático* , en el que Hardy argumenta que las matemáticas puras son superiores en belleza a las matemáticas aplicadas precisamente porque no pueden utilizarse para la guerra ni para fines similares.

Véase también

Temas históricos

Revistas

Notas

  1. ↑ Esto no implica explicitar todas las reglas de inferencia utilizadas. Al contrario, esto suele ser imposible sin ordenadores y asistentes de demostración . Incluso con esta tecnología moderna, redactar una demostración completamente detallada puede llevar años de trabajo humano.
  2. ↑ Esto no significa que la evidencia empírica y la intuición no sean necesarias para elegir los teoremas que se van a demostrar y para demostrarlos.

Referencias

  1. ↑ Horsten, Leon (25 de enero de 2022). "Filosofía de las matemáticas" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  2. ↑ Balaguer, Mark (2016). «Platonismo en la metafísica» . En Zalta, Edward N. (ed.). La enciclopedia de filosofía de Stanford ( edición de primavera de 2016). Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford. Archivado del original el 30 de enero de 2022. Recuperado el 2 de abril de 2022 . 
  3. ↑ Borel, Armand (1983). "Matemáticas: Arte y Ciencia" . The Mathematical Intelligencer . 5 (4). Springer: 9–17 . doi : 10.4171/news/103/8 . ISSN 1027-488X . 
  4. ↑ Véase White, L. (1947). "El lugar de la realidad matemática: una nota a pie de página antropológica". Filosofía de la ciencia . 14 (4): 289– 303. doi : 10.1086/286957 . S2CID 119887253. 189303; También en Newman, JR (1956). El mundo de las matemáticas . Vol. 4. Nueva York: Simon and Schuster. págs. 2348–2364 .  
  5. ↑ Dorato, Mauro (2005). "¿Por qué las leyes son matemáticas?" (PDF) . El software del universo: una introducción a la historia y la filosofía de las leyes de la naturaleza . Ashgate. pp. 31–66 . ISBN  978-0-7546-3994-7. Archivado (PDF) del original el 17 de agosto de 2023. Recuperado el 5 de diciembre de 2022 .
  6. ↑ Hamami, Yacin (junio de 2022). "Rigor matemático y demostración" ( PDF) . The Review of Symbolic Logic . 15 (2): 409– 449. doi : 10.1017/S1755020319000443 . S2CID 209980693. Archivado (PDF) del original el 5 de diciembre de 2022. Recuperado el 21 de noviembre de 2022 . 
  7. ↑ Ferreirós, José (2001). "El camino a la lógica moderna: una interpretación" ( PDF ) . Boletín de lógica simbólica . 7 (4): 441– 484. doi : 10.2307/2687794 . hdl : 11441/38373 . JSTOR 2687794. S2CID 43258676. Archivado (PDF) del original el 2 de febrero de 2023. Recuperado el 11 de noviembre de 2022 .  
  8. ↑ Perminov, V. Ya. (1988). "Sobre la fiabilidad de las demostraciones matemáticas". Filosofía de las matemáticas . 42 (167 (4)). Revue Internationale de Philosophie: 500– 508.
  9. ↑ Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth ; Drake, Corey; Seiwell, Amanda L. (2019). "Percepciones de los docentes sobre el currículo oficial: resolución de problemas y rigor". Revista Internacional de Investigación Educativa . 93 : 91–100 . doi : 10.1016/j.ijer.2018.10.002 . S2CID 149753721 . 
  10. ↑ Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (22 de diciembre de 1994). Modelado de métodos matemáticos y computación científica . Modelado matemático. Vol. 1. CRC Press. pág. 1. ISBN   978-0-8493-8331-1Consultado el 16 de noviembre de 2022 .
  11. ↑ Hennig, Christian (2010). "Modelos matemáticos y realidad: una perspectiva constructivista" . Foundations of Science . 15 : 29–48 . doi : 10.1007/s10699-009-9167-x . S2CID 6229200. Consultado el 17 de noviembre de 2022 . 
  12. ↑ Frigg, Roman ; Hartmann, Stephan (4 de febrero de 2020). "Modelos en la ciencia" . Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Archivado del original el 17 de noviembre de 2022. Recuperado el 17 de noviembre de 2022 .
  13. ↑ Stewart, Ian (2018). «Matemáticas, mapas y modelos» . En Wuppuluri, Shyam; Doria, Francisco Antonio (eds.). El mapa y el territorio: Explorando los fundamentos de la ciencia, el pensamiento y la realidad . The Frontiers Collection. Springer. pp. 345–356 . doi : 10.1007/978-3-319-72478-2_18 . ISBN  978-3-319-72478-2. Consultado el 17 de noviembre de 2022 .
  14. ↑ "La lista de verificación científica aplicada: Matemáticas" . Comprensión de la ciencia . Universidad de California, Berkeley. Archivado del original el 27 de octubre de 2019. Recuperado el 27 de octubre de 2019 .
  15. ↑ Mackay, AL (1991). Diccionario de citas científicas . Londres: Taylor & Francis. pág. 100. ISBN  978-0-7503-0106-0. Consultado el 19 de marzo de 2023 .
  16. ↑ Bishop, Alan (1991). «Actividades ambientales y cultura matemática» . Enculturación matemática: una perspectiva cultural sobre la educación matemática . Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. pp. 20–59 . ISBN  978-0-7923-1270-3. Consultado el 5 de abril de 2020 .
  17. ↑ Shasha, Dennis Elliot ; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists . Springer. p. 228. ISBN  978-0-387-98269-4.
  18. ↑ Nickles, Thomas (2013). «El problema de la demarcación». Filosofía de la pseudociencia: una reconsideración del problema de la demarcación . Chicago: The University of Chicago Press. pág. 104. ISBN  978-0-226-05182-6.
  19. ↑ Pigliucci, Massimo (2014). "¿Existen 'otras' formas de conocimiento?" . Philosophy Now . Archivado del original el 13 de mayo de 2020. Recuperado el 6 de abril de 2020 .
  20. ↑ Wigner, Eugene (1960). «La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales» . Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 (1): 1– 14. Bibcode : 1960CPAM...13....1W . doi : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252. Archivado del original el 28 de febrero de 2011 . 
  21. ↑ Sarukkai, Sundar (10 de febrero de 2005). "Revisitando la 'eficacia irrazonable' de las matemáticas". Current Science . 88 (3): 415– 423. JSTOR 24110208 . 
  22. ↑ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2021). "Historia de la factorización de enteros" (PDF) . En Bos, Joppe W.; Stam, Martijn (eds.). Criptografía computacional, aspectos algorítmicos de la criptografía, un homenaje a AKL . London Mathematical Society Lecture Notes Series 469. Cambridge University Press. pp. 41–77 . Archivado (PDF) del original el 20 de noviembre de 2022. Recuperado el 20 de noviembre de 2022 . 
  23. ↑ "Curvas: Elipse" . MacTutor . Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia. Archivado del original el 14 de octubre de 2022. Consultado el 20 de noviembre de 2022 .
  24. ↑ Mukunth, Vasudevan (10 de septiembre de 2015). "Más allá de la superficie de la relatividad de Einstein yace una geometría quimérica" . The Wire . Archivado del original el 20 de noviembre de 2022. Recuperado el 20 de noviembre de 2022 .
  25. ↑ Wilson, Edwin B.; Lewis, Gilbert N. (noviembre de 1912). "La variedad espaciotemporal de la relatividad. La geometría no euclidiana de la mecánica y el electromagnetismo". Actas de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias . 48 (11): 389– 507. doi : 10.2307/20022840 . JSTOR 20022840 . 
  26. 1 2 Borel, Armand (1983). "Matemáticas: Arte y Ciencia" . The Mathematical Intelligencer . 5 (4). Springer: 9– 17. doi : 10.4171/news/103/8 . ISSN 1027-488X . 
  27. ↑ Hanson, Norwood Russell (noviembre de 1961). "Descubriendo el positrón (I)". The British Journal for the Philosophy of Science . 12 (47). The University of Chicago Press: 194–214 . doi : 10.1093/bjps/xiii.49.54 . JSTOR 685207 . 
  28. ↑ Ginammi, Michele (febrero de 2016). "Evitando la reificación: efectividad heurística de las matemáticas y la predicción de la partícula Ω". Estudios en Historia y Filosofía de la Ciencia Parte B: Estudios en Historia y Filosofía de la Física Moderna . 53 : 20–27 . Bibcode : 2016SHPMP..53...20G . doi : 10.1016/j.shpsb.2015.12.001 .
  29. ↑ "¿Se descubren o se inventan las matemáticas?" . Universidad de Exeter . Archivado del original el 27 de julio de 2018. Consultado el 28 de marzo de 2018 .
  30. ↑ «Matemáticas: ¿Descubiertas, inventadas o ambas?» . pbs.org . 13 de abril de 2015. Archivado del original el 28 de marzo de 2018. Consultado el 28 de marzo de 2018 .
  31. ↑ Kleene, Stephen (1971). Introducción a la metamatemática . Ámsterdam, Países Bajos: North-Holland Publishing Company. pág. 5. 
  32. ↑ Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo , 2.ª edición, Springer-Verlag, Nueva York, NY.
  33. ↑
    • Putnam, Hilary (1967), "Matemáticas sin fundamentos", Journal of Philosophy 64/1, 5-22. Reimpreso, pp.  168–184 en WD Hart (ed., 1996).
  34. ↑ S, F. (enero de 1941). "Apología de un matemático". Nature . 147 (3714): 3– 5. Bibcode : 1941Natur.147....3S . doi : 10.1038/147003a0 . S2CID 4212863 . 
  35. ↑ Tegmark, Max (febrero de 2008). "El universo matemático". Foundations of Physics . 38 (2): 101– 150. arXiv : 0704.0646 . Bibcode : 2008FoPh...38..101T . doi : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID 9890455 . 
  36. ↑ Tegmark (1998), pág. 1.
  37. ^ Carnap, Rudolf ( 1931 ), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik", Erkenntnis 2, 91-121. Republicado, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam y GJ Massey (trad.), en Benacerraf y Putnam (1964). Reimpreso, págs.41–52 en Benacerraf y Putnam (1983). 
  38. ↑ Alexander Paseau; Fabian Pregel (2023). Deductivismo en la filosofía de las matemáticas . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford.
  39. ↑ Zach, Richard (2019), "El programa de Hilbert" , en Zalta, Edward N. (ed.), La enciclopedia de filosofía de Stanford ( edición de verano de 2019), Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford, archivado del original el 8 de febrero de 2022 , consultado el 25 de mayo de 2019. 
  40. ↑ Audi, Robert (1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy , Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1995. 2.ª edición. Página 542.
  41. ↑ Bishop, Errett (2012) [1967], Fundamentos del análisis constructivo ( Edición de bolsillo), Nueva York: Ishi Press, ISBN  978-4-87187-714-5
  42. ↑ De una conferencia de 1886 en la 'Berliner Naturforscher-Versammlung', segúnel artículo conmemorativo de HM Weber , citado y traducido en Gonzalez Cabillon, Julio (2000-02-03). "FOM: ¿Qué eran las fom de Kronecker?" . Archivado del original el 2007-10-09 . Recuperado el 2008-07-19 . González da como fuentes para el artículo conmemorativo las siguientes: Weber, H: "Leopold Kronecker", Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung , vol ii (1893), págs. 5-31. Cf. página 19. Véase también Mathematische Annalen vol. xliii (1893), págs. 1-25.
  43. 1 2 Mayberry, JP (2001). Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . Cambridge University Press .
  44. ↑ Brown, James (2008). Filosofía de las matemáticas . Nueva York: Routledge. ISBN 978-0-415-96047-2.
  45. ↑ Franklin, James (2014). Una filosofía realista aristotélica de las matemáticas: las matemáticas como ciencia de la cantidad y la estructura (PDF) . Palgrave Macmillan. ISBN 9781137400727.
  46. ↑ Franklin, James (2022). "Las matemáticas como ciencia de la realidad no abstracta: filosofías realistas aristotélicas de las matemáticas" . Foundations of Science . 27 (2): 327– 344. doi : 10.1007/s10699-021-09786-1 . hdl : 1959.4/unsworks_74712 . S2CID 233658181. Consultado el 30 de junio de 2021 . 
  47. ↑ Maddy, Penelope (1990), Realismo en matemáticas , Oxford University Press, Oxford, Reino Unido.
  48. ↑ Ayer, Alfred Jules (2017) [1952]. Lenguaje, verdad y lógica . Nueva York: Dover Publications, Inc. pág. 74 y ss . ISBN  978-0-486-20010-1.
  49. ↑ Popper, Karl R. (1995). «Sobre el conocimiento». En busca de un mundo mejor: Conferencias y ensayos de treinta años . Nueva York: Routledge. pág. 56. Bibcode : 1992sbwl.book.....P . ISBN  978-0-415-13548-1.
  50. ↑ Popper, Karl R. (2002) [1959]. La lógica del descubrimiento científico . Abingdon-on-Thames: Routledge. pág. 18. ISBN  978-0-415-27843-0.
  51. ↑ Tymoczko, Thomas (1998), Nuevas direcciones en la filosofía de las matemáticas . ISBN 978-0691034980.
  52. ↑ Field, Hartry , Ciencia sin números , Blackwell, 1980.
  53. ↑ Leng, Mary (2010). Matemáticas y realidad . Oxford University Press. pág. 239. ISBN  978-0199280797.
  54. ↑ Ernest, Paul. "¿Se descubren o se inventan las matemáticas?" . Universidad de Exeter. Archivado del original el 5 de abril de 2008. Consultado el 26 de diciembre de 2008 .
  55. ↑ Hersh, Reuben (10 de febrero de 1997). "¿Qué clase de cosa es un número?" (Entrevista). Entrevistado por John Brockman. Edge Foundation. Archivado del original el 16 de mayo de 2008. Recuperado el 26 de diciembre de 2008 .
  56. ↑ "Humanismo y educación matemática" . Math Forum . Revista de la Red de Matemáticas Humanísticas. Archivado del original el 24 de julio de 2008. Consultado el 26 de diciembre de 2008 .
  57. ↑ Popper, Karl Raimund (1946) Aristotelian Society Supplementary Volume XX.
  58. ↑ Gregory, Frank Hutson (1996) " Aritmética y realidad: un desarrollo de las ideas de Popper ". City University of Hong Kong. Republicado en Philosophy of Mathematics Education Journal n.º 26 (diciembre de 2011).
  59. 1 2 Ganesalingam, Mohan (2013). El lenguaje de las matemáticas: una investigación lingüística y filosófica . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7805. Springer. doi : 10.1007/978-3-642-37012-0 . ISBN  978-3-642-37011-3. S2CID 14260721 . 
  60. ↑ Yablo, S. (8 de noviembre de 1998). "Una paradoja de la existencia" . Archivado del original el 7 de enero de 2020. Recuperado el 26 de agosto de 2019 .
  61. 1 2 Putnam, H. Matemáticas, materia y método. Artículos filosóficos, vol. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1975. 2.ª ed., 1985.
  62. ↑ Field, Hartry, 1989, Realismo, matemáticas y modalidad , Oxford: Blackwell, pág. 68
  63. ↑ "Dado que los objetos abstractos están fuera del nexo de causas y efectos, y por lo tanto son perceptualmente inaccesibles, no pueden conocerse a través de sus efectos sobre nosotros" — Katz, J. Racionalismo realista , 2000, p. 15
  64. ↑ " Filosofía Ahora : "El conocimiento matemático: un dilema"Archivado del original el 7 de febrero de 2011.
  65. ↑ "El platonismo en la filosofía de las matemáticas" . Enciclopedia estándar de filosofía . Laboratorio de investigación en metafísica, Universidad de Stanford. 2018. Archivado del original el 4 de diciembre de 2010. Consultado el 13 de febrero de 2011 .
  66. ↑ Reseña archivada el 14 de mayo de 2011 en la Wayback Machine de La nueva mente del emperador .

Lecturas adicionales

  • Benacerraf, Paul ; Putnam, Hilary , eds. (1983). Filosofía de las matemáticas, lecturas selectas (2.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781107268135.
  • Hart, WD (1996). Wilbur Dyre Hart (ed.). La filosofía de las matemáticas . Oxford University Press. ISBN 9780198751199.
  • Irvine, A., ed. (2009). La filosofía de las matemáticas . Manual de filosofía de la ciencia. North-Holland Elsevier. ISBN 9780080930589.
  • Körner, Stephan (1960). La filosofía de las matemáticas, una introducción . Harper Books. OCLC 1054045322 . 
  • Russell, Bertrand (1993) [1919]. Introducción a la filosofía matemática . Routledge. ISBN 9780486277240OCLC 1097317975​​ 
  • Shapiro, Stewart (2000). Pensando en las matemáticas: La filosofía de las matemáticas . Oxford University Press. ISBN 9780192893062.
  • Linnebo, Øystein (2017). Filosofía de las matemáticas . Princeton University Press. ISBN 9780691161402.
  • Filosofía de las matemáticas en PhilPapers
  • Filosofía de las matemáticas en el Proyecto de Ontología Filosófica de Indiana
  • Horsten, Leon. "Filosofía de las matemáticas" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  • Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). "Filosofía de las matemáticas" . Internet Encyclopedia of Philosophy . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
    • "Estructuralismo matemático", Enciclopedia de filosofía en Internet
    • "Abstractismo", Enciclopedia de Filosofía en Internet
    • Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). "Los fundamentos cognitivos y la epistemología de la aritmética y la geometría" . Internet Encyclopedia of Philosophy . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
    • Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). "Ludwig Wittgenstein: Filosofía tardía de las matemáticas" . Internet Encyclopedia of Philosophy . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
  • La Guía de Estudio de Filosofía de Londres, archivada el 23 de septiembre de 2009 en la Wayback Machine, ofrece muchas sugerencias sobre qué leer, dependiendo del grado de familiaridad del estudiante con el tema:
  • Página de filosofía de las matemáticas de RB Jones
  • Corfield, David . "La filosofía de las matemáticas reales - Blog" .
  • Peirce, CS (1998). «22. Nuevos elementos (Καινα Στοιχεία)» . En Peirce Edition Project (ed.). The Essential Peirce, Selected Philosophical Writings . Vol.  2 (1893–1913). Indiana University Press. pp. 300–324 . ISBN  9780253007810.