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Ciencia sin números

Ciencia sin números: Una defensa del nominalismo es un libro de 1980 sobre filosofía de las matemáticas, escrito por Hartry Field . En él, Field defiende el nominalismo , la pos...

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Ciencia sin números: Una defensa del nominalismo es un libro de 1980 sobre filosofía de las matemáticas, escrito por Hartry Field . En él, Field defiende el nominalismo , la postura que sostiene que los objetos matemáticos, como los números, no existen. El libro fue escrito, en gran medida, como respuesta a un argumento a favor de la existencia de objetos matemáticos conocido como el argumento de la indispensabilidad . Según este argumento, la creencia en los objetos matemáticos se justifica porque las matemáticas son indispensables para la ciencia. El objetivo principal del libro es producir reconstrucciones técnicas de la ciencia que eliminen la referencia a entidades matemáticas, demostrando así que las matemáticas no son indispensables para la ciencia.

Inspirándose en la axiomatización de la geometría de Hilbert , que prescinde de las distancias numéricas en favor de las relaciones geométricas primitivas, Field demuestra un método para reformular la teoría de la gravedad de Newton sin necesidad de recurrir a números. Según el programa filosófico de Field, las matemáticas se utilizan en la ciencia por su utilidad, no por su veracidad. Apoya esta postura con la idea de que las matemáticas son conservadoras ; es decir, no pueden utilizarse para derivar hechos físicos más allá de los ya implícitos en los aspectos físicos de una teoría. Además, demuestra que las afirmaciones de su reformulación nominalista pueden asociarse sistemáticamente con enunciados matemáticos, lo que, según él, explica cómo las matemáticas pueden utilizarse para derivar legítimamente hechos físicos a partir de teorías científicas.

La obra Ciencia sin números tuvo una gran influencia tras su publicación y generó un amplio debate en la filosofía de las matemáticas. Entre los temas de discusión se encontraban hasta qué punto la reformulación de Field de la teoría gravitacional newtoniana constituía una alternativa atractiva a la teoría matemática original, y si su dependencia de objetos geométricos como los puntos del espacio-tiempo era aceptable. También se plantearon cuestiones técnicas relativas a la definición de conservadurismo y al uso que Field hacía de la metalógica y la lógica de segundo orden . Tras la publicación del libro, otros filósofos trabajaron para extender la explicación de Field a áreas como la mecánica cuántica y la relatividad general .

Fondo

La obra Ciencia sin números surgió durante un período de renovado interés en la filosofía de las matemáticas tras una serie de influyentes artículos de Paul Benacerraf , en particular su artículo de 1973 «Verdad matemática». En dicho artículo, Benacerraf argumentó que no está claro cómo se puede conciliar la existencia de objetos matemáticos no físicos, como los números y los conjuntos, con una epistemología científicamente aceptable . [ 1 ] Este argumento fue una de las motivaciones de Field para escribir Ciencia sin números ; su objetivo era proporcionar una explicación de las matemáticas compatible con una visión naturalista del mundo. [ 2 ]

El objetivo principal del libro era defender el nominalismo , la postura de que los objetos matemáticos no existen, y socavar las motivaciones del platonismo , la postura de que los objetos matemáticos sí existen. Field creía que el único buen argumento a favor del platonismo es el argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam , que defiende la creencia en los objetos matemáticos porque las matemáticas son indispensables para la ciencia. Una motivación clave del libro era socavar este argumento demostrando que las matemáticas son, de hecho, prescindibles para la ciencia. [ 3 ] [ a ]

Independientemente del atractivo del nominalismo, Field estaba motivado por el deseo de formular explicaciones científicas «en términos de las características intrínsecas del sistema, sin invocar entidades extrínsecas». [ 4 ] Para Field, los números son extrínsecos a la física, ya que son causalmente irrelevantes para el comportamiento de los sistemas físicos. Sostenía que , al construir explicaciones científicas, deberían preferirse los elementos intrínsecos a las teorías físicas, como los objetos físicos y el espacio-tiempo . [ 5 ]

Según Field, comenzó a trabajar en el libro en el invierno de 1978/79, con la intención de escribir un extenso artículo para una revista. Sin embargo, durante el proceso de escritura, se volvió demasiado largo para ser publicado en formato de revista. [ 6 ] Inicialmente fue publicado en 1980 por Princeton University Press ; una segunda edición fue publicada en 2016 por Oxford University Press con cambios mínimos en el texto principal y un nuevo prefacio. [ 7 ]

Resumen

La obra Ciencia sin números comienza con algunas observaciones preliminares en las que Field aclara sus objetivos para el libro. [ 8 ] Explica que su principal preocupación es defender el nominalismo de los argumentos más sólidos a favor del platonismo —en particular, el argumento de la indispensabilidad— y que se centra menos en presentar un argumento positivo a favor de su propia postura. [ 9 ] Distingue la forma de nominalismo que pretende defender, el ficcionalismo , de otros tipos de nominalismo que eran más populares en la filosofía de las matemáticas de la época. Las formas de nominalismo populares en ese momento eran revisionistas, ya que buscaban reinterpretar las proposiciones matemáticas para que no se refirieran a objetos matemáticos. En contraste, el ficcionalismo de Field acepta que las matemáticas están comprometidas con la existencia de objetos matemáticos, pero argumenta que las matemáticas son simplemente falsas. [ 10 ]

Field adopta una concepción instrumentalista de las matemáticas, argumentando que las matemáticas no tienen por qué ser verdaderas para ser útiles. Field sostiene que, a diferencia de entidades teóricas como los electrones y los quarks , los objetos matemáticos no permiten que las teorías predigan nada nuevo. En cambio, el papel de las matemáticas en la ciencia consiste simplemente en ayudar a derivar conclusiones empíricas a partir de otras afirmaciones empíricas, lo cual podría ocurrir teóricamente sin utilizar las matemáticas en absoluto. [ 11 ] Field desarrolla esta idea instrumentalista con mayor detalle técnico utilizando la idea de que las matemáticas son conservadoras . [ 12 ] Esto significa que si una afirmación nominalista se puede derivar de una teoría científica con el uso de las matemáticas, entonces también se puede derivar sin ellas. [ 13 ] Por lo tanto, el éxito predictivo de la teoría puede explicarse completamente por la verdad de las partes nominalistas de la ciencia, excluyendo cualquier matemática. [ 14 ]

Field recurre al conservadurismo de las matemáticas para explicar por qué es aceptable su uso en la ciencia. Argumenta además que su utilidad radica en que simplifica la derivación de conclusiones empíricas. [ 15 ] Por ejemplo, aunque la aritmética básica puede reproducirse de forma no numérica en la lógica de primer orden , las derivaciones que esto produce son mucho más extensas. [ b ] Field muestra cómo las matemáticas pueden omitir estas derivaciones mediante el uso de leyes puente, que pueden conectar enunciados nominalistas con enunciados matemáticos, permitiendo que las derivaciones procedan eficientemente dentro de las matemáticas antes de regresar a la teoría nominalista. [ 16 ]

La reformulación de la física de Field se basa en la axiomatización de la geometría de Hilbert , en la que las distancias numéricas se reemplazan por relaciones entre puntos del espaciotiempo, como la intermediación y la congruencia . Hilbert demostró un teorema de representación que muestra que estas relaciones entre puntos del espaciotiempo son homomorfas a las relaciones de distancia numérica. [ 17 ] Esta noción de teorema de representación sirve como ley puente en el enfoque de Field, permitiendo que el razonamiento matemático se asocie con contrapartes nominalistas de una manera que preserva estrictamente la estructura. [ 18 ]

Además del tratamiento de la geometría por parte de Hilbert, la reformulación de Field toma ideas similares de la teoría de la medición para nominalizar cantidades físicas escalares como la temperatura y el potencial gravitatorio . Field vuelve a utilizar conceptos relacionales (como la temperatura-intermediación y la temperatura-congruencia) para recuperar varias características de los campos escalares en física. [ 19 ] Extendiendo ideas de las secciones anteriores del libro, Field produce versiones nominalistas de los conceptos de continuidad , productos , derivadas , gradientes , laplacianos y cálculo vectorial . [ 20 ] Utilizando estas reconstrucciones nominalistas, Field muestra cómo reformular tanto la ecuación de campo de la gravedad newtoniana ( ecuación de Poisson ) como su ecuación de movimiento . [ 21 ] Además del contenido técnico del libro, Ciencia sin números también incluye discusiones sobre la viabilidad filosófica del enfoque de Field, incluyendo los beneficios de las explicaciones intrínsecas y los desafíos de su prolífico uso de puntos espaciotemporales y lógica de segundo orden. [ 22 ]

Detalles técnicos y análisis

Prescindibilidad y atractivo

La obra Ciencia sin números intenta demostrar la prescindibilidad de las matemáticas para la ciencia. Sin embargo, Field no entendía la prescindibilidad simplemente como la capacidad de eliminar las matemáticas de la ciencia; además, exigía que dicha eliminación diera como resultado una teoría "atractiva". Técnicamente, cualquier clase de entidades puede eliminarse de una teoría siempre que pueda separarse del resto de la misma, según el teorema de Craig . No obstante, Field rechazó este enfoque para eliminar entidades por considerarlo poco informativo, ya que no da como resultado una teoría basada en "un pequeño número de principios básicos". [ 23 ]

En Ciencia sin números , Field argumentó que su teoría nominalista era atractiva porque ofrece explicaciones intrínsecas de los hechos físicos. [ 24 ] Field no define con precisión la intrínsecaidad [ 25 ] , pero sí afirma que las entidades extrínsecas son aquellas "cuyas propiedades son irrelevantes para el comportamiento del sistema que se explica". [ 4 ] También afirma que las explicaciones extrínsecas tienden a ser arbitrarias porque se basan en elecciones arbitrarias sobre unidades de medida como pulgadas o metros. [ 25 ] Argumenta que las teorías intrínsecas pueden eliminar la arbitrariedad e incluso explicar la arbitrariedad que se encuentra en otras formulaciones. Por ejemplo, un teorema de unicidad para los axiomas de Hilbert muestra que las reglas de la geometría son invariantes bajo un factor multiplicativo de la distancia; para Field, esto explica por qué diferentes unidades de medida son igualmente válidas y lo hace en términos de la estructura intrínseca del espacio-tiempo. [ 26 ]

Una crítica al enfoque de Field sostiene que este ha ignorado virtudes teóricas más allá de la intrínseca naturaleza, como la unificación y la simplicidad . Según esta línea de pensamiento, las teorías científicas matemáticas resultan más atractivas que las teorías nominalistas precisamente porque las matemáticas unifican y simplifican la teoría. El método de Field para nominalizar la ciencia, en cambio, es necesariamente un enfoque fragmentario, ya que debe proceder teoría por teoría y no necesariamente proporcionará un marco general como lo hacen las matemáticas. [ 27 ]

Conservadurismo

El conservadurismo de las matemáticas afirma que para cualquier teoría nominalista N y teoría matemática M , todo lo que es una consecuencia lógica de N + M también debe ser una consecuencia lógica de N únicamente . [ c ] Sin embargo, el concepto de consecuencia lógica es ambiguo. Puede pensarse semánticamente ; en cuyo caso, se expresa en términos de la imposibilidad lógica de que la teoría sea verdadera y la proposición implicada sea falsa. O puede pensarse sintácticamente; es decir, expresarse en términos de la derivabilidad de la proposición implicada a partir de la teoría. [ 29 ] En Ciencia sin números , Field incluyó pruebas en lógica de primer orden de que las matemáticas son conservadoras tanto sintáctica como semánticamente. Sin embargo, para su nominalización completa de la teoría gravitacional newtoniana, que se basa en lógica de segundo orden , solo demostró que las matemáticas son semánticamente conservadoras. [ 30 ]

Un área prominente de discusión en Ciencia sin números son los problemas que surgen de estas dos ideas de consecuencia lógica. [ 31 ] Según Stewart Shapiro , el proyecto dentro de Ciencia sin números se entiende mejor cuando se asume una versión sintáctica de conservadurismo. A lo largo de Ciencia sin números , el conservadurismo se explica en términos de derivabilidad, y la interpretación semántica es potencialmente problemática para el nominalismo porque se basa en la existencia de cosas como modelos o posibilidades. [ 32 ] Por otro lado, una versión de los teoremas de incompletitud de Gödel es válida para la nominalización de Field. Esto significa que hay algunos hechos sobre el espacio-tiempo que no pueden derivarse de la teoría nominalista de Field y, por lo tanto, el resultado de conservadurismo sintáctico no es válido para la teoría completa de segundo orden de Field. [ 33 ]

Un tema relacionado concierne al uso que hace Field de la metalógica . Su prueba de conservadurismo semántico fue una prueba de teoría de modelos que utiliza la teoría de conjuntos , y su prueba de conservadurismo sintáctico fue una prueba de teoría de la demostración que utiliza la teoría de la demostración estándar. Estas pruebas son metalógicas porque tratan sobre las propiedades de los sistemas lógicos y definen términos lógicos como la consecuencia lógica. [ 34 ] Un argumento en contra de Field es que su uso de la metalógica no es aceptable porque sus pruebas incluyen objetos matemáticos como modelos y demostraciones, pero no proporcionó una nominalización de la metalógica. [ 35 ]

En Science Without Numbers , Field afirmó que su uso de objetos matemáticos era válido porque su argumento era simplemente una reducción al absurdo ; un argumento que supone que asumir que las matemáticas son verdaderas las deja en "una posición inestable: implica su propia injustificabilidad". [ 36 ] Sin embargo, algunos análisis de la obra criticaron esta justificación, alegando que Field utilizó el conservadurismo para explicar por qué es aceptable que las matemáticas se utilicen en la ciencia, lo cual va más allá de un argumento de reducción al absurdo. [ 37 ] En artículos publicados después de Science Without Numbers en respuesta a estas objeciones, Field intentó dar una interpretación nominalista de la metalógica tomando los operadores modales como primitivos y usándolos para definir una versión semántica de la consecuencia lógica. [ 38 ] [ d ]

Puntos espaciotemporales y uso de la lógica de segundo orden

En Ciencia sin números , la nominalización que Field hizo de la gravedad newtoniana reemplazó la referencia a los números por puntos espaciotemporales. Al hacerlo, Field asumió que los puntos espaciotemporales son objetos físicos concretos, una visión del espaciotiempo denominada sustancialismo . [ 40 ] Esto se opone al relacionalismo , que afirma que el espaciotiempo no existe más allá de un conjunto de relaciones entre objetos físicos. [ 41 ] Algunas críticas a Ciencia sin números se centraron en la aceptación del sustancialismo por parte de Field y en la idea de que los puntos espaciotemporales son tan problemáticos como los números. En Ciencia sin números , Field justificó su aceptación del sustancialismo basándose en que el espaciotiempo es accesible causal y espaciotemporalmente, a diferencia de los números. [ 42 ]

Otro ámbito de debate se refiere a la riqueza estructural del espaciotiempo. En la nominalización de Field, se permite que el espaciotiempo tenga una estructura rica con infinitos puntos y regiones espaciotemporales. De esta forma, Field incorpora al espaciotiempo casi toda la estructura de los números reales , lo que lleva a la crítica de que la nominalización de Field es tan ontológicamente exuberante como admitir la teoría de números. [ 43 ] Además, bajo la nominalización de Field, enunciados que son indecidibles en la teoría de conjuntos estándar, como la hipótesis del continuo , se vuelven enunciables como afirmaciones sobre el espaciotiempo. En otras palabras, la nominalización de Field crea hechos sobre la estructura del espaciotiempo que son posiblemente incognoscibles o físicamente indeterminados. [ 44 ] Field argumenta en Ciencia sin números que su nominalización es menos rica que los números reales, ya que no incluye ninguna métrica ni marco de referencia preferido con el que definir una recta numérica objetiva u operaciones aritméticas. [ 45 ] Y argumenta que cualquier afirmación indecidible en su teoría es " recherche " y es poco probable que afecte a la física práctica. [ 46 ]

La nominalización completa de Field en Ciencia sin números cuantifica no solo sobre puntos espaciotemporales, sino también sobre regiones de puntos. Técnicamente, esto requiere alguna forma de lógica de segundo orden para cuantificar sobre conjuntos o sumas de puntos. [ 47 ] Para evitar una interpretación que comprometiera su reformulación con la existencia de conjuntos, Field sugirió que su uso de la lógica de segundo orden podría entenderse como una lógica de mereología , lo que él llamó "la lógica completa de las sumas goodmanianas ". [ 48 ] No obstante, la nominalización de Field conserva algunas desventajas técnicas derivadas de su uso de la lógica de segundo orden; en particular, la teoría no es recursivamente enumerable y convierte algunas afirmaciones existenciales en verdades lógicas . [ 49 ]

En *Ciencia sin números* , Field consideró un enfoque basado completamente en la lógica de primer orden. Este enfoque, en lugar de tomar los puntos como fundamentales e interpretar las regiones como sumas de puntos, toma las regiones como fundamentales y considera los puntos simplemente como regiones mínimas. Sin embargo, se ha demostrado que, dentro de un sistema de primer orden como este, los teoremas de representación de Field contradicen su prueba de conservadurismo. [ 50 ]

Extensiones

A partir de una reseña de *Science Without Numbers* de David Malament , muchos han cuestionado si el enfoque de Field puede extenderse a áreas de la física moderna como la mecánica cuántica . Malament argumentó que la teoría gravitacional newtoniana es particularmente susceptible al enfoque de Field porque es una teoría del espacio-tiempo. Sin embargo, las teorías del espacio de fases, como la mecánica hamiltoniana y la mecánica cuántica, plantean un desafío mayor para la reformulación nominalista porque son teorías sobre posibles estados físicos de un sistema, que probablemente sean nominalísticamente inaceptables. [ 51 ] Argumentos similares de Alasdair Urquhart y Michael Resnik han afirmado que el enfoque de Field no se extenderá a la teoría general de la relatividad de Einstein ni a la física estadística . [ 52 ]

Tras la publicación de Ciencia sin números , otros teóricos han intentado extender las nominalizaciones de Field a otras áreas de la física. Por ejemplo, Mark Balaguer ha argumentado que la mecánica cuántica puede reformularse siempre que se interpreten las probabilidades inherentes a la teoría cuántica como propensiones físicas reales de los sistemas. [ 53 ] Otro enfoque es propuesto por Eddy Keming Chen, que busca nominalizar la mecánica cuántica en términos de fases y amplitudes locales de la función de onda universal . [ 54 ] Frank Arntzenius y Cian Dorr han intentado una reformulación nominalista de la relatividad general, [ 55 ] mientras que el trabajo realizado por Glen Meyer sobre física estadística es menos optimista. [ 56 ]

Las reformulaciones de la mecánica cuántica de Balaguer y Chen son nominalizaciones únicamente de la parte del espacio de fases que corresponde a los estados reales de los sistemas físicos. Sin embargo, Geoffrey Hellman y Mary Leng señalan que, a menos que se nominalice el espacio de fases completo, las reformulaciones nominalistas carecerán del razonamiento causal-explicativo completo de la versión matemática de la teoría. Debido a los problemas particulares de la nominalización de los espacios de fases, para cuando se publicó la segunda edición en 2016, Field expresó cierto pesimismo sobre la posibilidad de que su proyecto se llevara a cabo por completo en el campo de la mecánica cuántica. [ 57 ]

Recepción y legado

En las primeras reseñas , Science Without Numbers fue descrito como una contribución importante y novedosa a la filosofía de las matemáticas. [ 58 ] Su enfoque en las matemáticas aplicadas fue bien recibido como un desarrollo significativo [ 59 ] y sus resultados técnicos fueron vistos como logros impresionantes que, en sí mismos, eran de considerable interés filosófico. [ 60 ] No obstante, las reseñas señalaron que el trabajo de Field era un primer paso hacia una nominalización completa de la ciencia y que requeriría más trabajo. Esto incluía tanto extensiones a otras teorías científicas como un mayor enfoque en las cuestiones filosóficas involucradas. [ 61 ] Algunos críticos encontraron que, si bien el libro era técnicamente impresionante, no proporcionaba una motivación filosófica adecuada para abordar el nominalismo en primer lugar. [ 62 ]

La argumentación de Field fue generalmente elogiada por su detalle y contundencia, [ 63 ] y David Malament alabó la «prosa concisa y clara». [ 64 ] Algunos consideraron que el estilo de presentación era técnico en algunos pasajes y no accesible para quienes no tenían experiencia en los enfoques utilizados, [ 65 ] pero Bernard Linsky afirmó que era suficientemente accesible para quienes tenían interés en la filosofía de las matemáticas. [ 66 ] Kenneth Manders encontró chocante el cambio repentino de la lógica de primer orden utilizada en las primeras secciones del libro a la lógica de segundo orden dentro de la nominalización completa. [ 67 ] Field explicó en la segunda edición que esto se debía a que no había «apreciado completamente las presiones para ir más allá de la lógica de primer orden» al escribir los primeros capítulos. [ 68 ]

Science Without Numbers ganó conjuntamente el Premio Lakatos de 1986 , un galardón otorgado por la London School of Economics a las "contribuciones destacadas a la filosofía de la ciencia " , con The Scientific Image de Bas van Fraassen . [ 69 ] A estas dos publicaciones se les atribuye el surgimiento del ficcionalismo como una posición filosófica viable en la filosofía contemporánea , que hasta entonces había sido una postura impopular. [ 70 ] Science Without Numbers dominó los debates sobre el nominalismo a lo largo de las décadas de 1980 y 1990. [ 71 ] Según John P. Burgess y Gideon Rosen , la obra de Field ha sido tan influyente que "al atribuir el mérito (o la culpa) de la prominencia contemporánea del tema del nominalismo, Field debe ser nombrado inmediatamente después de Quine , Goodman , Benacerraf y Putnam ". [ 72 ]

Con la publicación de la segunda edición por Oxford University Press en 2016, Stefan Buijsman calificó a Ciencia sin números como «sin duda una obra clásica» que había «causado revuelo en la comunidad filosófica que, en cierto modo, aún no se ha disipado». [ 73 ] Buijsman elogió la segunda edición por su nuevo prefacio que esclarece las motivaciones de Field al escribir originalmente el libro y cómo sus puntos de vista habían evolucionado desde su publicación, [ 8 ] una opinión compartida por Geoffrey Hellman y Mary Leng . [ 56 ] La segunda edición incluía una carta enviada a Field en 1980 por WV Quine, el creador del argumento de la indispensabilidad, quien calificó el libro como «una obra impresionante: razonable, ingeniosa, erudita y tan central filosóficamente como puede ser». [ 74 ]

Un taller titulado «Ciencia sin números, 40 años después» —originalmente programado como una sesión de simposio para la Asociación Filosófica Estadounidense— se llevó a cabo de forma remota en noviembre de 2020 debido a la pandemia de COVID-19 . El sitio web del taller afirmó que el libro se había convertido en una de las obras más influyentes en la filosofía de las matemáticas y que su impacto se había extendido a otras áreas de la filosofía. [ 75 ] Los resultados técnicos de Field, como su nominalización de la teoría gravitacional newtoniana y el teorema de representación correspondiente, siguen considerándose logros importantes. Sin embargo, para el siglo XXI, había surgido un consenso de que el proyecto de Field no se había llevado a cabo con éxito, particularmente debido a problemas para extender su enfoque a las teorías físicas modernas. [ 76 ] Como respuesta al argumento de la indispensabilidad, su eficacia sigue siendo objeto de debate. [ 77 ]

Notas

  1. ↑ Para una definición más explícita de platonismo y nominalismo, véase, por ejemplo, Colyvan 2012 , pp. 8–9.
  2. ↑ Para el ejemplo específico de aritmética, véase Ciencia sin números , cap. 2. "Primera ilustración de por qué las entidades matemáticas son útiles: la aritmética".
  3. ↑ Técnicamente, esta afirmación sobre el conservadurismo de las matemáticas solo es válida si N es matemáticamente agnóstico. En general, las teorías científicas formulan afirmaciones que no son matemáticamente agnósticas. Por ejemplo, la afirmación «todos los objetos obedecen las leyes de Newton» implica que los objetos matemáticos no existen porque no obedecen dichas leyes. Si esto es así, la combinación de N + M es simplemente inconsistente; N implica que no existen objetos matemáticos, mientras que M implica que existen algunos. Para una afirmación más general sobre el conservadurismo de las matemáticas, las afirmaciones y teorías nominalistas deben primero reformularse en una forma matemáticamente agnóstica, como «todos los objetos que no son objetos matemáticos obedecen las leyes de Newton». [ 28 ]
  4. ↑ Las principales objeciones a la nominalización de la metalógica por parte de Field provienen de Bob Hale y Crispin Wright , quienes se centran en particular en una supuesta tensión entre el conservadurismo y la caracterización que hace Field de las matemáticas como falsas pero posiblemente verdaderas. [ 39 ] Véase, por ejemplo, Hale 1990 y Wright & Hale 1992 .

Referencias

Citas

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  2. ↑ Irvine 1990 , pág. xi; Burgess 1990 , pág. 2.
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  6. ↑ Field 2016 , Prefacio a la segunda edición, P-1.
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  8. 1 2 Buijsman 2017 , pág. 508.
  9. ↑ Clendinnen 1982 , pág. 283.
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  24. ↑ Colyvan 2001 , pág. 88.
  25. 1 2 Milne 1986 , pág. 341.
  26. ↑ Milne 1986 , pág. 342; Eddon 2014 , pág. 281; Colyvan 2001 , págs. 73–74.
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  75. ↑ " Ciencia sin números , 40 años después" . Universidad de California, San Diego . Noviembre de 2020. Introducción . Consultado el 10 de junio de 2025 .
  76. ↑ Paseau y Baker 2023 , pág. 22; Plebani 2020 , pág. 9; Buijsman 2017 , pág. 509; Colyvan 2011 , §3.
  77. ↑ Balaguer 2018 , §2.1.

Fuentes

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