Paquete principal

Sobre una pelota abierta${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, o${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, con coordenadas inducidas${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$cualquier director${\displaystyle G}$-el haz es isomorfo a un haz trivial

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

y una sección lisa${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$se da equivalentemente mediante una función (suave)${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$desde

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

para alguna función suave. Por ejemplo, si${\displaystyle G=U(2)}$, el grupo Lie de${\displaystyle 2\times 2}$matrices unitarias , entonces se puede construir una sección considerando cuatro funciones de valor real.

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

y aplicándolos a la parametrización

$${\displaystyle {\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$Este mismo procedimiento es válido tomando una parametrización de una colección de matrices que definen un grupo de Lie.${\displaystyle G}$y considerando el conjunto de funciones de un parche del espacio base${\displaystyle U\subset X}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$y su inserción en la parametrización.

• El ejemplo prototípico de un fibrado principal liso es el fibrado de marcos de una variedad lisa.${\displaystyle M}$, a menudo denotado${\displaystyle FM}$o${\displaystyle GL(M)}$Aquí la fibra sobre un punto${\displaystyle x\in M}$es el conjunto de todos los marcos (es decir, bases ordenadas) para el espacio tangente${\displaystyle T_{x}M}$. El grupo lineal general${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$actúa libre y transitivamente sobre estos marcos. Estas fibras se pueden pegar entre sí de forma natural para obtener un principal${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$-paquete terminado${\displaystyle M}$.
• Las variaciones del ejemplo anterior incluyen el fibrado de marcos ortonormales de una variedad riemanniana . Aquí se requiere que los marcos sean ortonormales con respecto a la métrica . El grupo de estructura es el grupo ortogonal.${\displaystyle O(n)}$. El ejemplo también funciona para haces distintos del haz tangente; si${\displaystyle E}$es cualquier paquete vectorial de rango${\displaystyle k}$encima${\displaystyle M}$, entonces el conjunto de marcos de${\displaystyle E}$es un director${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$-paquete, a veces denotado${\displaystyle F(E)}$.
• Un espacio de cobertura normal (regular)${\displaystyle p:C\to X}$es un paquete principal donde el grupo de estructura

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

actúa sobre las fibras de${\displaystyle p}$a través de la acción de monodromía . En particular, la cubierta universal de${\displaystyle X}$es un paquete principal sobre${\displaystyle X}$con grupo de estructura${\displaystyle \pi _{1}(X)}$(ya que la cubierta universal está simplemente conectada y por lo tanto${\displaystyle \pi _{1}(C)}$es trivial).

• Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo de mentiras y dejar${\displaystyle H}$ser un subgrupo cerrado (no necesariamente normal ).${\displaystyle G}$es un director${\displaystyle H}$-fibrado sobre el espacio lateral (izquierdo)${\displaystyle G/H}$Aquí la acción de${\displaystyle H}$en${\displaystyle G}$es simplemente la multiplicación correcta. Las fibras son las clases laterales izquierdas de${\displaystyle H}$(en este caso hay una fibra distinguida, la que contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a${\displaystyle H}$).
• Consideremos la proyección${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$dado por${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$Este director${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$El fibrado es el fibrado asociado de la cinta de Möbius . Además del fibrado trivial, este es el único fibrado principal.${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-paquete terminado${\displaystyle S^{1}}$.
• Los espacios proyectivos proporcionan algunos ejemplos más interesantes de haces principales. Recordemos que el${\displaystyle n}$- esfera${\displaystyle S^{n}}$es un espacio de recubrimiento doble del espacio proyectivo real${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$. La acción natural de${\displaystyle O(1)}$en${\displaystyle S^{n}}$le da la estructura de un principal${\displaystyle O(1)}$-paquete terminado${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$. Asimismo,${\displaystyle S^{2n+1}}$es un director${\displaystyle U(1)}$-haz sobre espacio proyectivo complejo${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$y${\displaystyle S^{4n+3}}$es un director${\displaystyle Sp(1)}$-fibrado sobre el espacio proyectivo cuaterniónico${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$. Luego tenemos una serie de paquetes principales para cada positivo${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Aquí${\displaystyle S(V)}$denota la esfera unitaria en${\displaystyle V}$(equipado con la métrica euclidiana). Para todos estos ejemplos,${\displaystyle n=1}$Los casos dan lugar a los llamados haces de Hopf .

Una de las preguntas más importantes sobre cualquier fibrado es si es trivial o no , es decir , isomorfo a un fibrado producto. Para los fibrados principales existe una caracterización conveniente de la trivialidad:

Proposición . Un fibrado principal es trivial si y solo si admite una sección global .

En general, esto no se aplica a otros fibrados. Por ejemplo, los fibrados vectoriales siempre tienen una sección cero, sean triviales o no, y los fibrados esféricos pueden admitir muchas secciones globales sin ser triviales.

El mismo hecho se aplica a las trivializaciones locales de fibrados principales. Sea π  : P → X un fibrado principal G. Un conjunto abierto U en X admite una trivialización local si y solo si existe una sección local en U. Dada una trivialización local

${\displaystyle \Phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}

se puede definir una sección local asociada

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

donde e es la identidad en G. Recíprocamente, dada una sección s se define una trivialización Φ mediante

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

La transitividad simple de la acción de G sobre las fibras de P garantiza que este mapa es una biyección , y también un homeomorfismo . Las trivializaciones locales definidas por secciones locales son G - equivariantes en el siguiente sentido. Si escribimos

${\displaystyle \Phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}

en la forma

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

luego el mapa

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

Satisface

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

Por lo tanto, las trivializaciones equivariantes preservan la estructura G -torsor de las fibras. En términos de la sección local asociada s, el mapa φ viene dado por

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

La versión local del teorema de la sección transversal establece entonces que las trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal están en correspondencia biunívoca con las secciones locales.

Dada una trivialización local equivariante ({ U _i }, {Φ _i }) de P , tenemos secciones locales s _i en cada U _i . En las superposiciones, estas deben estar relacionadas por la acción del grupo de estructura G . De hecho, la relación viene dada por las funciones de transición

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

Al unir las trivializaciones locales mediante estas funciones de transición, se puede reconstruir el fibrado principal original. Este es un ejemplo del teorema de construcción de fibrados . Para cualquier x ∈ U _i ∩ U _j tenemos

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

Si${\displaystyle \pi :P\to X}$es un principio suave${\displaystyle G}$-paquete entonces${\displaystyle G}$actúa libre y correctamente en${\displaystyle P}$para que el espacio orbital${\displaystyle P/G}$es difeomorfo al espacio base${\displaystyle X}$. Resulta que estas propiedades caracterizan completamente los fibrados principales suaves. Es decir, si${\displaystyle P}$es un colector liso,${\displaystyle G}$un grupo de mentiras y${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$una acción correcta, fluida, libre y apropiada entonces

• ${\displaystyle P/G}$es un colector liso,
• la proyección natural${\displaystyle \pi :P\to P/G}$es una inmersión suave y
• ${\displaystyle P}$es un principio suave${\displaystyle G}$-paquete terminado${\displaystyle P/G}$.

Dado un subgrupo H de G, se puede considerar el haz${\displaystyle P/H}$cuyas fibras son homeomorfas al espacio cociente${\displaystyle G/H}$. Si el nuevo fibrado admite una sección global, entonces se dice que la sección es una reducción del grupo de estructura de${\displaystyle G}$a${\displaystyle H}$. La razón de este nombre es que la imagen inversa (fibra a fibra) de los valores de esta sección forma un subhaz de${\displaystyle P}$ese es un principio${\displaystyle H}$-paquete. Si${\displaystyle H}$es la identidad, entonces una sección de${\displaystyle P}$en sí misma es una reducción del grupo de estructura a la identidad. Las reducciones del grupo de estructura no existen en general.

Muchas cuestiones topológicas sobre la estructura de una variedad o la estructura de los haces sobre ella que están asociadas a un principio${\displaystyle G}$-bundle puede reformularse como preguntas sobre la admisibilidad de la reducción del grupo de estructura (de${\displaystyle G}$a${\displaystyle H}$). Por ejemplo:

• A${\displaystyle 2n}$Una variedad real de dimensión admite una estructura casi compleja si el fibrado de marcos en la variedad, cuyas fibras son${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$, se puede reducir al grupo${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$.
• Un${\displaystyle n}$una variedad real de dimensión admite una${\displaystyle k}$-campo plano si el haz de marcos se puede reducir al grupo de estructuras${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$.
• Una variedad es orientable si y solo si su fibrado de marcos puede reducirse al grupo ortogonal especial ,${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$.
• Una variedad tiene estructura de espín si y solo si su fibrado de marcos puede reducirse aún más desde${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$a${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$el grupo Spin , que se asigna a${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$como una doble portada.

Tenga en cuenta también: un${\displaystyle n}$Variedad de -dimensiones admite${\displaystyle n}$Los campos vectoriales son linealmente independientes en cada punto si y solo si su fibrado de marcos admite una sección global. En este caso, la variedad se denomina paralelizable .

Si${\displaystyle P}$es un director${\displaystyle G}$-paquete y${\displaystyle V}$es una representación lineal de${\displaystyle G}$Entonces se puede construir un fibrado vectorial.${\displaystyle E=P\times _{G}V}$con fibra${\displaystyle V}$, como el cociente del producto${\displaystyle P}$×${\displaystyle V}$por la acción diagonal de${\displaystyle G}$. Este es un caso especial de la construcción de haces asociados , y${\displaystyle E}$se denomina haz vectorial asociado a${\displaystyle P}$. Si la representación de${\displaystyle G}$en${\displaystyle V}$es fiel , de modo que${\displaystyle G}$es un subgrupo del grupo lineal general GL(${\displaystyle V}$), entonces${\displaystyle E}$es un${\displaystyle G}$-paquete y${\displaystyle P}$proporciona una reducción del grupo de estructura del haz de marcos de${\displaystyle E}$de${\displaystyle GL(V)}$a${\displaystyle G}$. En este sentido, los haces principales proporcionan una formulación abstracta de la teoría de los haces de marcos.