u -invariante

En matemáticas , el invariante universal o u- invariante de un cuerpo describe la estructura de las formas cuadráticas sobre dicho cuerpo.

El invariante universal u ( F ) de un cuerpo F es la dimensión máxima de un espacio cuadrático anisotrópico sobre F , o ∞ si este no existe. Dado que los cuerpos formalmente reales tienen formas cuadráticas anisotrópicas (sumas de cuadrados) en cada dimensión, el invariante solo interesa para otros cuerpos. Una formulación equivalente es que u es el número más pequeño tal que toda forma de dimensión mayor que u es isotrópica , o que toda forma de dimensión al menos u es universal .

• Para los números complejos , u ( C ) = 1.
• Si F es cuadráticamente cerrada, entonces u ( F ) = 1.
• El cuerpo de funciones de una curva algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tiene u ≤ 2; esto se deduce del teorema de Tsen que dicho cuerpo es cuasi-algebraicamente cerrado . ^{[ 1 ]}
• Si F es un campo global o local no real , o más generalmente un campo enlazado , entonces u ( F ) = 1, 2, 4 u 8. ^{[ 2 ]}

• Si F no es formalmente real y la característica de F no es 2, entonces u ( F ) es como máximo${\displaystyle q(F)=\left|{F^{\star }/F^{\star 2}}\right|}$, el índice de los cuadrados en el grupo multiplicativo de F . ^{[ 3 ]}
• u ( F ) no puede tomar los valores 3, 5 o 7. ^{[ 4 ]} Existen campos con u  =  6 ^{[ 5 ] [ 6 ]} y u  =  9. ^{[ 7 ]}
• Merkurjev ha demostrado que todo entero par aparece como el valor de u ( F ) para algún F . ^{[ 8 ] [ 9 ]}
• Alexander Vishik demostró que existen campos con u -invariante${\displaystyle 2^{r}+1}$a pesar de${\displaystyle r>3}$. ^{[ 10 ]}
• El invariante u está acotado bajo extensiones de cuerpo de grado finito . Si E / F es una extensión de cuerpo de grado n, entonces

${\displaystyle u(E)\leq {\frac {n+1}{2}}u(F)\ .}$

En el caso de extensiones cuadráticas, el invariante u está acotado por

${\displaystyle u(F)-2\leq u(E)\leq {\frac {3}{2}}u(F)\ }$

y se alcanzan todos los valores de este rango. ^{[ 11 ]}

Dado que el u- invariante es de poco interés en el caso de campos formalmente reales, definimos un u- invariante general como la dimensión máxima de una forma anisotrópica en el subgrupo de torsión del anillo de Witt de F , o ∞ si esto no existe. ^{[ 12 ]} Para campos no formalmente reales, el anillo de Witt es de torsión, por lo que esto concuerda con la definición anterior. ^{[ 13 ]} Para un campo formalmente real, el u- invariante general es par o ∞.

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929 . Zbl 1068.11023 .  
• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 . 
• Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008). La teoría algebraica y geométrica de las formas cuadráticas . Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Americana. Vol.  56. Sociedad Matemática Americana, Providence, RI. ISBN 978-0-8218-4329-1.