Geometría algebraica real

En matemáticas , la geometría algebraica real es la subrama de la geometría algebraica que estudia los conjuntos algebraicos reales , es decir, las soluciones de números reales a ecuaciones algebraicas con coeficientes de números reales, y las aplicaciones entre ellos (en particular, las aplicaciones polinómicas reales ).

La geometría semialgebraica estudia los conjuntos semialgebraicos , es decir, las soluciones reales de desigualdades algebraicas con coeficientes reales, y las relaciones entre ellos. Las relaciones más naturales entre conjuntos semialgebraicos son las aplicaciones semialgebraicas , es decir, aplicaciones cuyas gráficas son conjuntos semialgebraicos.

Hoy en día, los términos «geometría semialgebraica» y «geometría algebraica real» se usan como sinónimos, porque los conjuntos algebraicos reales no pueden estudiarse seriamente sin el uso de conjuntos semialgebraicos. Por ejemplo, una proyección de un conjunto algebraico real a lo largo de un eje de coordenadas no tiene por qué ser un conjunto algebraico real, pero siempre es un conjunto semialgebraico: este es el teorema de Tarski-Seidenberg . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Campos relacionados son la teoría o-minimal y la geometría analítica real .

Ejemplos: Las curvas planas reales son ejemplos de conjuntos algebraicos reales, y los poliedros son ejemplos de conjuntos semialgebraicos. Las funciones algebraicas reales y las funciones de Nash son ejemplos de aplicaciones semialgebraicas. Las aplicaciones polinómicas por partes (véase la conjetura de Pierce-Birkhoff ) también son aplicaciones semialgebraicas.

La geometría algebraica real computacional se ocupa de los aspectos algorítmicos de la geometría algebraica (y semialgebraica) real. El algoritmo principal es la descomposición algebraica cilíndrica . Se utiliza para dividir conjuntos semialgebraicos en partes bien definidas y para calcular sus proyecciones.

El álgebra real es la parte del álgebra relevante para la geometría algebraica (y semialgebraica) real. Se ocupa principalmente del estudio de cuerpos ordenados y anillos ordenados (en particular, cuerpos reales cerrados ) y sus aplicaciones al estudio de polinomios positivos y sumas de cuadrados de polinomios . (Véase el problema 17 de Hilbert y el problema de la positividad de Krivine-Stengle ). La relación del álgebra real con la geometría algebraica real es similar a la relación del álgebra conmutativa con la geometría algebraica compleja . Los campos relacionados son la teoría de los problemas de momentos , la optimización convexa , la teoría de las formas cuadráticas , la teoría de la valuación y la teoría de modelos .

• 1826 Algoritmo de Fourier para sistemas de desigualdades lineales. ^{[ 3 ]} Redescubierto por Lloyd Dines en 1919 ^{[ 4 ]} y Theodore Motzkin en 1936. ^{[ 5 ]}
• 1835 Teorema de Sturm sobre el conteo de raíces reales ^{[ 6 ]}
• 1856 Teorema de Hermite sobre el conteo de raíces reales. ^{[ 7 ]}
• 1876 ​​Teorema de la curva de Harnack . ^{[ 8 ]} (Esta cota sobre el número de componentes se extendió posteriormente a todos los números de Betti de todos los conjuntos algebraicos reales ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} y todos los conjuntos semialgebraicos. ^{[ 12 ]} )
• 1888 Teorema de Hilbert sobre cuárticas ternarias. ^{[ 13 ]}
• Problemas de Hilbert de 1900 (especialmente el 16º y el 17º problema)
• 1902 Lema de Farkas ^{[ 14 ]} (Puede reformularse como positivstellensatz lineal.)
• En 1914, Annibale Comessatti demostró que no toda superficie algebraica real es birracional a RP ^{2 [ 15 ].}
• 1916 Conjetura de Fejér sobre polinomios trigonométricos no negativos. ^{[ 16 ]} (Resuelto por Frigyes Riesz . ^{[ 17 ]} )
• 1927 Solución de Emil Artin al problema número 17 de Hilbert ^{[ 18 ]}
• 1927 Teorema de Krull-Baer ^{[ 19 ] [ 20 ]} (conexión entre ordenamientos y valoraciones)
• 1928 Teorema de Pólya sobre polinomios positivos en un simplex ^{[ 21 ]}
• 1929 BL van der Waerden esboza una demostración de que los conjuntos algebraicos y semialgebraicos reales son triangularizables, ^{[ 22 ]} pero no se han desarrollado las herramientas necesarias para hacer que el argumento sea riguroso.
• 1931 Eliminación de cuantificadores reales de Alfred Tarski . ^{[ 23 ]} Mejorada y popularizada por Abraham Seidenberg en 1954. ^{[ 24 ]} (Ambos utilizan el teorema de Sturm ).
• 1936 Herbert Seifert demostró que toda subvariedad cerrada y lisa de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con fibrado normal trivial, se puede isotopar a un componente de un subconjunto algebraico real no singular de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que es una intersección completa ^{[ 25 ]} (de la conclusión de este teorema no se puede eliminar la palabra "componente" ^{[ 26 ]} ).
• 1940 Teorema de representación de Marshall Stone para anillos parcialmente ordenados. ^{[ 27 ]} Mejorado por Richard Kadison en 1951 ^{[ 28 ]} y Donald Dubois en 1967 ^{[ 29 ]} (teorema de representación de Kadison-Dubois). Mejorado posteriormente por Mihai Putinar en 1993 ^{[ 30 ]} y Jacobi en 2001 ^{[ 31 ]} (teorema de representación de Putinar-Jacobi).
• En 1952, John Nash demostró que toda variedad lisa cerrada es difeomorfa a una componente no singular de un conjunto algebraico real. ^{[ 32 ]}
• En 1956 se formuló la conjetura de Pierce-Birkhoff . ^{[ 33 ]} (Resuelta en dimensiones ≤ 2. ^{[ 34 ]} )
• 1964 Teorema de Nullstellensatz y Positivestellensatz de Krivine . ^{[ 35 ]} Redescubierto y popularizado por Stengle en 1974. ^{[ 36 ]} (Krivine utiliza la eliminación de cuantificadores reales, mientras que Stengle utiliza el teorema de homomorfismo de Lang. ^{[ 37 ]} )
• 1964 Lojasiewicz trianguló conjuntos semianalíticos ^{[ 38 ]}
• 1964 Heisuke Hironaka demostró el teorema de resolución de singularidad ^{[ 39 ]}
• En 1964, Hassler Whitney demostró que toda variedad analítica admite una estratificación que satisface las condiciones de Whitney . ^{[ 40 ]}
• 1967 Theodore Motzkin encuentra un polinomio positivo que no es una suma de cuadrados de polinomios . ^{[ 41 ]}
• En 1972, Vladimir Rokhlin demostró la conjetura de Gudkov . ^{[ 42 ]}
• En 1973, Alberto Tognoli demostró que toda variedad lisa cerrada es difeomorfa a un conjunto algebraico real no singular. ^{[ 43 ]}
• En 1975, George E. Collins descubre el algoritmo de descomposición algebraica cilíndrica , que mejora la eliminación de cuantificadores reales de Tarski y permite implementarlo en una computadora. ^{[ 44 ]}
• En 1973, Jean-Louis Verdier demostró que todo conjunto subanalítico admite una estratificación con condición (w). ^{[ 45 ]}
• 1979 Michel Coste y Marie-Françoise Roy descubren el espectro real de un anillo conmutativo. ^{[ 46 ]}
• En 1980, Oleg Viro introdujo la técnica del "trabajo de parches" y la utilizó para clasificar curvas algebraicas reales de bajo grado. ^{[ 47 ]} Posteriormente, Ilya Itenberg y Viro la utilizaron para producir contraejemplos a la conjetura de Ragsdale , ^{[ 48 ] [ 49 ]} y Grigory Mikhalkin la aplicó a la geometría tropical para el conteo de curvas. ^{[ 50 ]}
• En 1980, Selman Akbulut y Henry C. King dieron una caracterización topológica de conjuntos algebraicos reales con singularidades aisladas, y caracterizaron topológicamente conjuntos algebraicos reales no singulares (no necesariamente compactos) ^{[ 51 ].}
• 1980 Akbulut y King demostraron que cada nudo en${\displaystyle S^{n}}$es el vínculo de un conjunto algebraico real con singularidad aislada en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$^{[ 52 ]}
• En 1981, Akbulut y King demostraron que toda variedad PL compacta es PL homeomorfa a un conjunto algebraico real. ^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]}
• En 1983, Akbulut y King introdujeron las "Torres de Resolución Topológica" como modelos topológicos de conjuntos algebraicos reales. A partir de esto, obtuvieron nuevos invariantes topológicos de conjuntos algebraicos reales y caracterizaron topológicamente todos los conjuntos algebraicos tridimensionales. ^{[ 56 ]} Estos invariantes fueron generalizados posteriormente por Michel Coste y Krzysztof Kurdyka ^{[ 57 ]} , así como por Clint McCrory y Adam Parusiński. ^{[ 58 ]}
• 1984 Teorema de Ludwig Bröcker sobre la generación mínima de conjuntos semialgebraicos abiertos básicos ^{[ 59 ]} (mejorado y extendido a conjuntos semialgebraicos cerrados básicos por Scheiderer. ^{[ 60 ]} )
• En 1984, Benedetti y Dedo demostraron que no toda variedad lisa cerrada es difeomorfa a un conjunto algebraico real no singular totalmente algebraico (totalmente algebraico significa que todos sus ciclos de homología Z/2Z están representados por subconjuntos algebraicos reales). ^{[ 61 ]}
• En 1991, Akbulut y King demostraron que toda variedad lisa cerrada es homeomorfa a un conjunto algebraico real totalmente algebraico. ^{[ 62 ]}
• 1991 Solución de Schmüdgen del problema del momento multidimensional para conjuntos semialgebraicos compactos y positivstellensatz estricto relacionado. ^{[ 63 ]} Demostración algebraica hallada por Wörmann. ^{[ 64 ]} Implica la versión de Reznick del teorema de Artin con denominadores uniformes. ^{[ 65 ]}
• En 1992, Akbulut y King demostraron versiones ambientales del teorema de Nash-Tognoli: Toda subvariedad lisa cerrada de R ⁿ es isotópica a los puntos no singulares (componente) de un subconjunto algebraico real de R ⁿ , y extendieron este resultado a subvariedades inmersas de R ⁿ . ^{[ 66 ] [ 67 ]}
• En 1992, Benedetti y Marin demostraron que toda variedad tridimensional compacta, cerrada y lisa M puede obtenerse a partir de${\displaystyle S^{3}}$mediante una secuencia de explosiones hacia arriba y hacia abajo a lo largo de centros suaves, y que M es homeomorfo a una variedad racional algebraica real afín posiblemente singular ^{[ 68 ].}
• 1997 Bierstone y Milman demostraron un teorema de resolución canónica de singularidades ^{[ 69 ].}
• En 1997, Mikhalkin demostró que toda n-variedad cerrada y lisa puede obtenerse a partir de${\displaystyle S^{n}}$mediante una secuencia de explosiones y caídas topológicas ^{[ 70 ]}
• 1998 János Kollár demostró que no toda 3-variedad cerrada es una 3-variedad real proyectiva que sea birracional a RP ^{3 [ 71 ].}
• 2000 Principio local-global de Scheiderer y extensión no estricta relacionada del positivstellensatz de Schmüdgen en dimensiones ≤ 2. ^{[ 72 ] [ 73 ] [ 74 ]}
• En 2000, János Kollár demostró que toda 3-variedad lisa cerrada es la parte real de una variedad compleja compacta que se puede obtener a partir de ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$mediante una secuencia de explosiones y derrumbes reales. ^{[ 75 ]}
• En 2003, Welschinger introduce un invariante para contar curvas racionales reales ^{[ 76 ].}
• 2005 Akbulut y King demostraron que no todo subconjunto algebraico real no singular de RP ⁿ es isotópico suavemente a la parte real de un subconjunto algebraico complejo no singular de CP ^{n [ 77 ] [ 78 ]}

• S. Akbulut y HC King, Topología de conjuntos algebraicos reales, MSRI Pub, 25. Springer-Verlag, Nueva York (1992) ISBN 0-387-97744-9
• Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Geometría Algebraica Real. Traducido del original francés de 1987. Revisado por los autores. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas afines (3)], 36. Springer-Verlag, Berlín, 1998. x+430 págs. ISBN 3-540-64663-9
• Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise. Algoritmos en geometría algebraica real. Segunda edición. Algoritmos y computación en matemáticas, 10. Springer-Verlag, Berlín, 2006. x+662 pp. ISBN 978-3-540-33098-1; 3-540-33098-4
• Marshall, Murray. Polinomios positivos y sumas de cuadrados. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1; 0-8218-4402-4

• El papel de los problemas de Hilbert en la geometría algebraica real (PostScript)
• Servidor de preimpresiones de geometría analítica y algebraica real