Hispanopedia WikiEn geometría de 7 dimensiones , el politopo 3 21 es un 7-politopo uniforme , construido dentro de la simetría del grupo E 7. Fue descubierto por Thorold Gosset y publicado en su artículo de 1900. Lo denominó figura semirregular 7-ica . [ 1 ]
Su símbolo de Coxeter es 3 21 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo en el extremo de una de las secuencias de 3 nodos.
El 3 21 rectificado se construye mediante puntos en los medios bordes del 3 21. El 3 21 birrectificado se construye mediante puntos en los centros de las caras triangulares del 3 21. El 3 21 trirrectificado se construye mediante puntos en los centros tetraédricos del 3 21 , y es igual que el 1 32 rectificado .
Estos politopos son parte de una familia de 127 (2 7 −1) politopos uniformes convexos en 7 dimensiones , formados por facetas y figuras de vértice uniformes de 6 politopos , definidos por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin : .
3 21 politopo
En geometría de 7 dimensiones , el politopo 3 21 es un politopo uniforme . Tiene 56 vértices y 702 facetas: 126 3 11 y 576 6-símplexes .
Para su visualización, este politopo de 7 dimensiones se suele representar mediante una proyección ortográfica sesgada especial que ajusta sus 56 vértices dentro de un polígono regular de 18 lados (denominado polígono de Petrie ). Sus 756 aristas se dibujan entre 3 anillos de 18 vértices y 2 vértices centrales. También es posible extraer y dibujar elementos específicos de orden superior (caras, celdas, etc.) sobre esta proyección.
El esqueleto 1 del politopo 3 21 es el grafo de Gosset .
Este politopo, junto con el 7-símplex , puede teselar el espacio de 7 dimensiones, representado por 3 31 y el diagrama de Coxeter-Dynkin: .
Nombres alternativos
- También se le conoce como el politopo de Hess, en honor a Edmund Hess, quien fue el primero en descubrirlo.
- Fue enumerada por Thorold Gosset en su artículo de 1900. La llamó una figura semirregular 7-ica . [ 1 ]
- EL Elte lo denominó V 56 (por sus 56 vértices) en su lista de politopos semirregulares de 1912. [ 2 ]
- HSM Coxeter lo llamó 3 21 debido a su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin , que tiene 3 ramas de longitud 3, 2 y 1, y tiene un solo anillo en el nodo final de la rama 3.
- Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontahexa-exón (acrónimo: naq) - 126-576 poliexón facetado (Jonathan Bowers) [ 3 ]
Coordenadas
Los 56 vértices se pueden representar de la forma más sencilla en un espacio de 8 dimensiones, obtenido mediante las 28 permutaciones de las coordenadas y su opuesto:
- ± (−3, −3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E7 . Coxeter lo denominó 3 21 por su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin , con un solo anillo al final de la secuencia de 3 nodos.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin , .
Al eliminar el nodo en la rama corta queda el 6-símplex , .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 2, el 6-ortoplex queda en su forma alternada: 3 11 , .
Cada faceta simplex toca una faceta 6-ortoplex, mientras que las facetas alternas del ortoplex tocan una faceta simplex u otra faceta ortoplex.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto hace que el politopo sea 2 21 .
Visto en una matriz de configuración , el recuento de elementos se puede derivar mediante la eliminación de simetrías y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . [ 4 ]
Imágenes
politopos relacionados
El 3 21 es el quinto en una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo es una figura de vértice construida a partir del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como la que contiene todas las facetas de politopos regulares , incluyendo todos los símplexes y ortoplexos .
Se trata de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresada por Coxeter como una serie 3k1 . (Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como teselado de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico ).
Politopo rectificado 3 21
Nombres alternativos
- Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontahexa-exón rectificado como un poliexón facetado rectificado 126-576 (acrónimo: ranq) (Jonathan Bowers) [ 5 ]
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E7 . Coxeter lo denominó 3 21 mediante su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin , con un único nodo al final de la secuencia de 3 nodos.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin , .
Al eliminar el nodo en la rama corta queda el 6-símplex , .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 2, el 6-ortoplex rectificado queda en su forma alternada: t 1 3 11 , .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 3, queda el 2 21 , .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto hace que el prisma 5-demicube sea .
Imágenes
Politopo birectificado 3 21
Nombres alternativos
- Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontahexa-exón birectificado como un poliexón facetado birectificado 126-576 (acrónimo: branq) (Jonathan Bowers) [ 6 ]
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E7 . Coxeter lo denominó 3 21 mediante su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin , con un único nodo al final de la secuencia de 3 nodos.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin , .
Al eliminar el nodo en la rama corta queda el 6-símplex birectificado , .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 2, el 6-ortoplex birectificado queda en su forma alternada: t 2 (3 11 ) , .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 3, el politopo rectificado 2 21 queda en su forma alternada: t 1 (2 21 ) , .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto hace que el duoprismo triangular rectificado de 5 celdas sea .
Imágenes
Véase también
Notas
Referencias
- T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
- Elte, EL (2006). Los politopos semirregulares de los hiperespacios . Oficina de Publicaciones Académicas, Biblioteca de la Universidad de Michigan. ISBN 1-4181-7968-X.
- HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
- Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
- (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45] pág. 342 (figura 3.7c) por Peter McMullen: (grafo de nodos y aristas 18-gonales de 3 21 )
- Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 7D (poliexas) con acrónimos" .o3o3o3o *c3o3o3x - naq, o3o3o3o *c3o3x3o - ranq, o3o3o3o *c3x3o3o - branq
Enlaces externos
- Politopos de Gosset en vZome
- 7-politopos