Grupo de renormalización

Murray Gell-Mann y Francis E. Low restringieron la idea a las transformaciones de escala en QED en 1954 y se centraron en las formas asintóticas del propagador del fotón a altas energías. ^{[ 2 ]} Determinaron la variación del acoplamiento electromagnético en QED considerando la estructura de escala y descubrieron que el parámetro de acoplamiento g ( μ ) en la escala de energía μ viene dado efectivamente por la ecuación de grupo $${\displaystyle g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}$$para una función de escala de Wegner arbitraria G y una constante d , en términos del acoplamiento g(M) en una escala de referencia M.

Gell-Mann y Low se dieron cuenta de que la escala efectiva puede tomarse arbitrariamente como μ , y puede variar para definir la teoría en cualquier otra escala: $${\displaystyle g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}$$El núcleo del RG es esta propiedad de grupo: a medida que la escala μ varía, la teoría se presenta de forma autosimilar, y se puede acceder a cualquier escala desde cualquier otra escala mediante esta acción de grupo. Formalmente, esta transformación se describe matemáticamente mediante la ecuación de Schröder . ^{[ 3 ]}

Sobre la base de esta ecuación de grupo finito y su propiedad de escala, Gell-Mann y Low se centraron en transformaciones infinitesimales e inventaron un método computacional basado en la función ψ ( g ) = G d /(∂ G /∂ g ) que introdujeron. Al igual que la función anterior h ( e ), su función determina el cambio del acoplamiento g ( μ ) con respecto al cambio en la escala de energía μ a través de una ecuación diferencial, la ecuación del grupo de renormalización. $${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)}$$o la función beta . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Dado que es una función de g , la integración en g de una estimación perturbativa de la misma permite especificar la variación de la función con la energía, efectivamente la función G en esta aproximación. La predicción del grupo de renormalización se confirmó 40 años después en los experimentos del Gran Colisionador de Electrones y Positrones : la "constante" de estructura fina de la QED se midió ^{[ 6 ]} en aproximadamente 1 ⁄ 127 a energías cercanas a 200 GeV, en contraposición al valor estándar de la física de baja energía de 1 ⁄ 137 . ^{[ b ]}

El grupo de renormalización surge de la renormalización de las variables de campo cuánticas, que debe abordar el problema de los términos infinitos en una teoría de campo cuántica. ^{[ c ]} El proceso para hacer esto sistemáticamente para QED fue creado por Richard Feynman , Julian Schwinger y Shin'ichirō Tomonaga , quienes recibieron el Premio Nobel de 1965 por estas contribuciones. Ellos idearon la teoría de la renormalización de masa y carga, en la que el infinito en la escala de momento es cortado por un regulador ultragrande , Λ. ^{[ d ]}

La dependencia de las cantidades físicas en la escala Λ está oculta, efectivamente intercambiada por las escalas de mayor distancia en las que se miden las cantidades físicas; como resultado, todas las cantidades observables son finitas incluso para un Λ infinito. Gell-Mann y Low se dieron cuenta así en estos resultados de que, si bien un pequeño cambio en g es proporcionado por la ecuación RG anterior dado ψ( g ), la autosimilitud se expresa por el hecho de que ψ( g ) depende explícitamente solo de los parámetros de la teoría, y no de la escala μ . En consecuencia, la ecuación del grupo de renormalización anterior puede resolverse para ( G y por lo tanto) g ( μ ).

Una comprensión más profunda del significado físico y la generalización del proceso de renormalización, que va más allá del grupo de dilatación de las teorías renormalizables convencionales, considera métodos donde aparecen simultáneamente escalas muy diferentes. Surgió de la física de la materia condensada : el artículo de Leo P. Kadanoff de 1966 propuso el grupo de renormalización de "bloqueo de espín". ^{[ 8 ]} La "idea de bloqueo" es una forma de definir los componentes de la teoría a grandes distancias como agregados de componentes a distancias más cortas.

Este enfoque cubrió el punto conceptual y se le dio sustancia computacional completa en el trabajo de Kenneth Wilson . Wilson demostró una solución de renormalización iterativa constructiva de un problema de larga data, el problema de Kondo , en 1975, ^{[ 9 ]} así como los desarrollos seminales previos de su nuevo método en la teoría de transiciones de fase de segundo orden y fenómenos críticos en 1971. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Fue galardonado con el Premio Nobel por estas contribuciones en 1982. ^{[ 13 ]}

El RG en física de partículas fue reformulado en términos más prácticos por Callan y Symanzik en 1970. ^{[ 4 ] [ 14 ]} Se encontró que la función beta anterior, que describe la "variación del parámetro de acoplamiento" con la escala, representa la ruptura cuántico-mecánica de la simetría de escala en una teoría de campos. Las aplicaciones del RG a la física de partículas aumentaron drásticamente en la década de 1970 con el establecimiento del Modelo Estándar .

En 1973, se descubrió que una teoría de quarks interactuantes tenía una función beta negativa. ^{[ 15 ] [ 16 ]} Esto significa que un valor inicial de alta energía del acoplamiento dará lugar a un valor especial de μ en el que el acoplamiento diverge. Este valor especial es la escala de las interacciones fuertes , μ = Λ _QCD (~200 megaelectronvoltios ). Por el contrario, el acoplamiento se vuelve débil a energías muy altas ( libertad asintótica ), y los quarks se vuelven observables como partículas puntuales, en dispersión inelástica profunda , como anticipaba la escala de Feynman-Bjorken. De este modo, se estableció la QCD como la teoría cuántica de campos que controla las interacciones fuertes de las partículas.

El grupo de renormalización en el espacio de momentos también se convirtió en una herramienta muy desarrollada en la física del estado sólido, pero se vio obstaculizado por el uso extensivo de la teoría de perturbaciones, que impidió que la teoría tuviera éxito en sistemas fuertemente correlacionados. ^{[ e ]}

La simetría conforme está asociada con la anulación de la función beta. Esto puede ocurrir naturalmente si una constante de acoplamiento es atraída, corriendo, hacia un punto fijo en el que β ( g ) = 0. En QCD, el punto fijo se encuentra a distancias cortas donde g → 0 y se denomina punto fijo ultravioleta ( trivial ) . Para quarks pesados, como el quark top , el acoplamiento al bosón de Higgs corre hacia un punto fijo infrarrojo no nulo (no trivial) ^{[ 17 ] [ 18 ]} El acoplamiento de Yukawa del quark top se encuentra ligeramente por debajo del punto fijo infrarrojo del Modelo Estándar, lo que sugiere la posibilidad de nueva física adicional, como bosones de Higgs pesados ​​secuenciales.

En la teoría de cuerdas , la invariancia conforme de la hoja de mundo de la cuerda es una simetría fundamental: β = 0 es un requisito. Aquí, β es una función de la geometría del espacio-tiempo en el que se mueve la cuerda. Esto determina la dimensionalidad del espacio-tiempo de la teoría de cuerdas e impone las ecuaciones de la relatividad general de Einstein sobre la geometría. La relatividad general es de fundamental importancia para la teoría de cuerdas y las teorías de la gran unificación .

Si los puntos fijos del sistema corresponden a una teoría de campo libre , se dice que la teoría exhibe trivialidad cuántica y posee un polo de Landau . Para una interacción φ ^{4 ,} Michael Aizenman demostró que esta teoría es realmente trivial, para dimensión espacio-temporal D ≥ 5. ^{[ 19 ]} Para D = 4, la trivialidad aún no se ha demostrado rigurosamente, pero los cálculos de retículo han proporcionado una fuerte evidencia de esto. Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica puede usarse para acotar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs en escenarios de seguridad asintótica . Numerosos puntos fijos aparecen en el estudio de las teorías de Higgs de retículo , pero la naturaleza de las teorías de campo cuánticas asociadas con estos sigue siendo una cuestión abierta. Dado que las transformaciones RG en tales sistemas son con pérdidas (es decir, el número de variables disminuye), no es necesario que haya una inversa para una transformación RG dada.

Para una determinada observable A de un sistema físico que experimenta una transformación RG, la magnitud de la observable a medida que la escala del sistema pasa de pequeña a grande determina la importancia de la observable para la ley de escala:

Se necesita una observable relevante para describir el comportamiento macroscópico del sistema; las observables irrelevantes no son necesarias. Las observables marginales pueden o no ser necesarias. La mayoría de las observables son irrelevantes, es decir, la física macroscópica está dominada por solo unas pocas observables en la mayoría de los sistemas. Como ejemplo, en física microscópica, para describir un sistema que consiste en un mol de átomos de carbono-12 necesitamos del orden de ^10²³ (el número de Avogadro ) variables, mientras que para describirlo como un sistema macroscópico (12 gramos de carbono-12) solo necesitamos unas pocas. 

Antes del enfoque RG de Wilson, no estaba claro por qué los exponentes críticos describían transiciones en fenómenos muy dispares. En general, las características termodinámicas de un sistema cerca de una transición de fase dependen solo de un pequeño número de variables, como la dimensionalidad y la simetría, pero son insensibles a los detalles de las propiedades microscópicas subyacentes del sistema. Esta propiedad se conoce como universalidad .

La universalidad puede explicarse utilizando el grupo de renormalización, demostrando que las diferencias en los fenómenos entre los componentes individuales de pequeña escala están determinadas por observables irrelevantes, mientras que los observables relevantes son comunes. Por lo tanto, muchos fenómenos macroscópicos pueden agruparse en un pequeño conjunto de clases de universalidad , especificadas por los conjuntos compartidos de observables relevantes. ^{[ f ]}

El método Wilson ERGE es conceptualmente el más simple, pero es difícil de implementar. El método comienza con una transformada de Fourier en el espacio de momentos después de la rotación de Wick en el espacio euclidiano . Al establecer un límite de momento estricto , p ² ≤ Λ ² , los únicos grados de libertad son aquellos con momentos menores que Λ . La función de partición es $${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi ]\right].}$$Para cualquier Λ ′ positivo menor que Λ, el funcional S _{Λ ′} se define como$${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi ]\right].}$$Si S _Λ depende solo de ϕ y no de sus derivados, esto puede reescribirse como $${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\varphi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi (p)]\right],}$$ Dado que solo se integran las funciones φ bien definidas entre Λ' y Λ , el lado izquierdo aún puede depender de ϕ fuera de ese rango. Por lo tanto, $${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right].}$$De hecho, esta transformación es transitiva . Si calculas S _{Λ ′} a partir de S _Λ y luego calculas S _{Λ ′ ′} a partir de S _{Λ ′} , esto te da la misma acción wilsoniana que calcular S _{Λ ″} directamente a partir de S _Λ .

El ERGE de Polchinski implica un corte suave del regulador UV ^{[ 20 ]} , una mejora respecto al ERGE de Wilson. Esto suprime fuertemente las contribuciones de momentos mayores que Λ . Sin embargo, la suavidad del corte genera una ecuación diferencial funcional en la escala de corte Λ . Al igual que en el enfoque de Wilson, existe un funcional de acción diferente para cada Λ . Se supone que cada una de estas acciones describe exactamente el mismo modelo, lo que significa que sus funcionales de partición deben coincidir exactamente.

Como ejemplo (en notación de DeWitt condensada ), para un campo escalar real, $${\displaystyle Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-S_{\Lambda }[\varphi ]+J\cdot \varphi \right)=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\varphi \cdot R_{\Lambda }\cdot \varphi -S_{\operatorname {int} \Lambda }[\varphi ]+J\cdot \varphi \right)}$$ y Z _Λ es independiente de Λ . La acción se divide en una parte cinética cuadrática y una parte de interacción S _{int Λ} . Esta división no es limpia genéricamente; la parte "de interacción" también puede contener términos cinéticos cuadráticos y si hay alguna renormalización de la función de onda , debe contenerla. Esto se puede reducir introduciendo reescalamientos de campo. R _Λ es una función del momento p y el segundo término en el exponente es $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\varphi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\varphi }}(p)}$$ cuando se expande.

Cuando${\displaystyle p\ll \Lambda }$, R _Λ ( p )/ p ² es esencialmente 1. Cuando${\displaystyle p\gg \Lambda }$, R _Λ ( p )/ p ² tiende a infinito. R _Λ ( p )/ p ² siempre es mayor o igual que 1 y es suave. Esto deja las fluctuaciones con momentos menores que el límite de corte Λ sin afectar, pero suprime fuertemente las contribuciones de aquellas con momentos mayores que el límite de corte. La condición de que el funcional de partición sea independiente del límite de corte (es decir, que la derivada con respecto al límite de corte sea cero) puede ser satisfecha por, por ejemplo, $${\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}S_{\operatorname {int} \Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi \,\delta \varphi }}\cdot {\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right].}$$Jacques Distler afirmó sin pruebas que este ERGE no es correcto de forma no perturbativa . ^{[ 21 ]}

La acción media efectiva ERGE implica un corte suave del regulador IR, que tiene en cuenta todas las fluctuaciones hasta una escala IR k . La acción media efectiva (EAA) será precisa para fluctuaciones con momentos mayores que k . A medida que k disminuye, la acción media efectiva se aproxima a la acción efectiva que incluye todas las fluctuaciones cuánticas y clásicas. Por el contrario, para k grande , la acción media efectiva está cerca de la "acción desnuda". Por lo tanto, la acción media efectiva interpola entre la "acción desnuda" y la acción efectiva .

Para un campo escalar real , se añade un corte IR. $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\varphi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\varphi }}(p)}$$ a la acción S , donde R _k es una función tanto de k como de p tal que para${\displaystyle p\gg k}$, R _k (p) es muy pequeño y se aproxima a 0 y para${\displaystyle p\ll k}$,${\displaystyle R_{k}(p)\gtrsim k^{2}}$. R _k es suave y no negativo. Su gran valor para momentos pequeños conlleva una supresión de su contribución a la función de partición, lo que equivale prácticamente a ignorar las fluctuaciones a gran escala.

Defina el regulador como $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi }$$Entonces, $${\displaystyle \exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-S[\varphi ]-{\frac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi +J\cdot \varphi \right)}$$ donde J es el campo fuente . La transformada de Legendre de W _k normalmente da la acción efectiva . Sin embargo, la acción inicial es de hecho S [ φ ]  +  1/2 φ⋅R _k ⋅ φ y por lo tanto el segundo término debe restarse para obtener la acción promedio efectiva. En otras palabras, $${\displaystyle \varphi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]}$$ se puede invertir para obtener J _k [ φ ] . Finalmente, definimos la acción promedio efectiva Γ _k como $${\displaystyle \Gamma _{k}[\varphi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\varphi ]\right]+J_{k}[\varphi ]\cdot \varphi \right)-{\tfrac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi .}$$Nótese que la acción efectiva Γ _k está relacionada con la acción efectiva de Polchinski S _int mediante una relación de transformación de Legendre. ^{[ 22 ]} Tomar una derivada con respecto al punto de corte completa el proceso, produciendo una expresión conocida como la ecuación de Wetterich. ^{[ 23 ]}

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