medida neutral al riesgo

En finanzas matemáticas , una medida neutral al riesgo (también llamada medida de equilibrio o medida de martingala equivalente ) es una medida de probabilidad tal que el precio de cada acción es exactamente igual a la expectativa descontada del precio de la acción bajo esta medida.

Esto se utiliza ampliamente en la valoración de derivados financieros debido al teorema fundamental de valoración de activos , que implica que, en un mercado completo , el precio de un derivado es el valor esperado descontado del pago futuro bajo la única medida neutral al riesgo. Dicha medida existe si y solo si el mercado está libre de arbitraje.

La forma más sencilla de recordar qué es la medida neutral al riesgo, o de explicársela a un generalista de probabilidad que quizás no sepa mucho de finanzas, es darse cuenta de que es:

1. La medida de probabilidad de una variable aleatoria transformada. Normalmente, esta transformación es la función de utilidad de la recompensa. La medida neutral al riesgo sería la que corresponde a una esperanza de la recompensa con una utilidad lineal.
2. Una medida de probabilidad implícita , es decir, una implícita a partir de los precios observables/publicados/negociados actuales de los instrumentos relevantes. Relevantes significa aquellos instrumentos que están causalmente vinculados a los eventos en el espacio de probabilidad en consideración (es decir, precios subyacentes más derivados), y
3. Se trata de una medida de probabilidad implícita (que resuelve una especie de problema inverso ) definida mediante una utilidad lineal (neutral al riesgo) en la función de pago, asumiendo un modelo conocido para dicha función. Esto significa que se busca la medida neutral al riesgo resolviendo la ecuación donde los precios actuales representan el valor presente esperado de las funciones de pago futuras bajo la medida neutral al riesgo. El concepto de una medida neutral al riesgo única resulta especialmente útil al considerar la creación de precios para diversos derivados que generarían dicha medida, ya que implica cierta coherencia en los precios hipotéticos no negociados y, teóricamente, apunta a oportunidades de arbitraje en mercados donde los precios de compra/venta son visibles.

Cabe destacar también que, en la mayoría de las aplicaciones introductorias de finanzas, los resultados considerados son deterministas, dado el conocimiento de los precios en un momento determinado, ya sea final o futuro. Sin embargo, esto no es estrictamente necesario para utilizar estas técnicas.

El precio de los activos depende fundamentalmente de su riesgo , ya que los inversores suelen exigir mayor rentabilidad a cambio de asumir mayor riesgo. Por lo tanto, el precio actual de un derecho sobre un importe de riesgo que se materializará mañana generalmente diferirá de su valor esperado. Lo más habitual es que los inversores sean reacios al riesgo y que el precio actual sea inferior al esperado, lo que beneficia a quienes asumen dicho riesgo.

Resulta que en un mercado completo sin oportunidades de arbitraje existe una forma alternativa de realizar este cálculo: en lugar de tomar primero la expectativa y luego ajustarla según la preferencia de riesgo del inversor, se pueden ajustar, de una vez por todas, las probabilidades de los resultados futuros de manera que incorporen las primas de riesgo de todos los inversores, y luego tomar la expectativa bajo esta nueva distribución de probabilidad , la medida neutral al riesgo . El principal beneficio radica en que, una vez encontradas las probabilidades neutrales al riesgo, cada activo puede valorarse simplemente tomando el valor presente de su rendimiento esperado. Cabe señalar que si utilizáramos las probabilidades reales del mundo, cada valor requeriría un ajuste diferente (ya que difieren en riesgo).

La ausencia de arbitraje es crucial para la existencia de una medida neutral al riesgo. De hecho, según el teorema fundamental de la valoración de activos , la condición de no arbitraje equivale a la existencia de una medida neutral al riesgo. La completitud del mercado también es importante, ya que en un mercado incompleto existe una multitud de precios posibles para un activo que corresponden a diferentes medidas neutrales al riesgo. Se suele argumentar que la eficiencia del mercado implica que existe un único precio (la « ley del precio único »); la medida neutral al riesgo correcta para valorar debe seleccionarse mediante argumentos económicos, en lugar de puramente matemáticos.

Un error común es confundir la distribución de probabilidad construida con la probabilidad real. Serán diferentes porque, en el mundo real, los inversores exigen primas de riesgo, mientras que, bajo probabilidades neutrales al riesgo, todos los activos tienen la misma tasa de rendimiento esperada, la tasa libre de riesgo (o tasa a corto plazo ), y por lo tanto no incorporan dichas primas. El método de valoración neutral al riesgo debe considerarse como muchas otras herramientas computacionales útiles: conveniente y potente, aunque aparentemente artificial.

Dado un espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$Consideremos un modelo binomial de un solo período y denotemos el precio inicial de las acciones como${\displaystyle S_{0}}$y el precio de las acciones en el momento 1 como${\displaystyle S_{1}}$que pueden tomar valores posibles de forma aleatoria:${\displaystyle S^{u}}$si las acciones suben, o${\displaystyle S^{d}}$si la acción baja. Finalmente, deje que${\displaystyle r>0}$denota la tasa libre de riesgo. Estas cantidades deben satisfacer${\displaystyle S^{d}\leq (1+r)S_{0}\leq S^{u}}$De lo contrario, existe arbitraje en el mercado y un agente puede generar riqueza de la nada. ^{[ 3 ]}

Una medida de probabilidad${\displaystyle \mathbb {P} ^{*}}$en${\displaystyle \Omega }$se denomina neutral al riesgo si${\displaystyle S_{0}=\mathbb {E} _{\mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r))}$que se puede escribir como${\displaystyle S_{0}(1+r)=\pi S^{u}+(1-\pi )S^{d}}$. Resolviendo para${\displaystyle \pi }$encontramos que la probabilidad neutral al riesgo de un movimiento alcista de las acciones viene dada por el número

${\displaystyle \pi ={\frac {(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}$^{[ 4 ]}

Dado un derivado con pago${\displaystyle X^{u}}$cuando el precio de las acciones sube y${\displaystyle X^{d}}$cuando baja, podemos fijar el precio del derivado a través de

${\displaystyle X={\frac {\pi X^{u}+(1-\pi )X^{d}}{1+r}}.}$

Supongamos que nuestra economía consta de dos activos, una acción y un bono libre de riesgo , y que utilizamos el modelo de Black-Scholes . En este modelo, la evolución del precio de la acción se puede describir mediante el movimiento browniano geométrico :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

dónde${\displaystyle W_{t}}$es un movimiento browniano estándar con respecto a la medida física. Si definimos

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}+{\frac {\mu -r}{\sigma }}t,}$

El teorema de Girsanov establece que existe una medida${\displaystyle Q}$bajo el cual${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$es un movimiento browniano. ${\displaystyle {\frac {\mu -r}{\sigma }}}$se conoce como el precio de mercado del riesgo . Utilizando las reglas del cálculo de Itô , se puede diferenciar informalmente con respecto a${\displaystyle t}$y reordenar la expresión anterior para obtener la EDE

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}-{\frac {\mu -r}{\sigma }}\,dt,}$

Vuelve a incluir esto en la ecuación original:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

Dejar${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}}$sea ​​el precio de las acciones con descuento dado por${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}=e^{-rt}S_{t}}$, entonces por el lema de Ito obtenemos el SDE:

${\displaystyle d{\tilde {S}}_{t}=\sigma {\tilde {S}}_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

${\displaystyle Q}$es la única medida neutral al riesgo para el modelo. El proceso de pago descontado de un derivado sobre la acción${\displaystyle H_{t}=\operatorname {E} _{Q}(H_{T}|F_{t})}$es una martingala bajo${\displaystyle Q}$. Observe la deriva de la EDE es${\displaystyle r}$, la tasa de interés libre de riesgo , lo que implica neutralidad al riesgo. Dado que${\displaystyle {\tilde {S}}}$y${\displaystyle H}$son${\displaystyle Q}$-martingalas podemos invocar el teorema de representación de martingalas para encontrar una estrategia replicadora : una cartera de acciones y bonos que genere ganancias.${\displaystyle H_{t}}$en todo momento${\displaystyle t\leq T}$.

Es natural preguntarse cómo surge una medida neutral al riesgo en un mercado libre de arbitraje. De alguna manera, los precios de todos los activos determinarán una medida de probabilidad. Una explicación se obtiene utilizando el valor Arrow . Para simplificar, consideremos un mundo discreto (incluso finito) con un único horizonte temporal futuro . En otras palabras, existe el presente (tiempo 0) y el futuro (tiempo 1), y en el tiempo 1 el estado del mundo puede ser uno de un número finito de estados. Un valor Arrow correspondiente al estado n , A _n , es aquel que paga $1 en el tiempo 1 en el estado n y $0 en cualquiera de los otros estados del mundo.

¿Cuál es el precio de A _n ahora? Debe ser positivo, ya que existe la posibilidad de ganar $1; debe ser menor que $1, puesto que esa es la ganancia máxima posible. Por lo tanto, el precio de cada A _n , que denotamos por A _n (0) , está estrictamente entre 0 y 1.

En realidad, la suma de los precios de todos los valores debe ser igual al valor presente de $1, ya que mantener una cartera compuesta por cada valor de Arrow generará una ganancia segura de $1. Consideremos una rifa donde un solo boleto gana un premio equivalente a todas las cuotas de inscripción: si el premio es de $1, la cuota de inscripción será 1/número de boletos. Para simplificar, consideraremos que la tasa de interés es 0, de modo que el valor presente de $1 sea $1.

Por lo tanto, los A _n (0) satisfacen los axiomas de una distribución de probabilidad. Cada uno es no negativo y su suma es 1. ¡Esta es la medida neutral al riesgo! Ahora solo queda demostrar que funciona como se anuncia, es decir, que tomar los valores esperados con respecto a esta medida de probabilidad dará el precio correcto en el tiempo 0.

Supongamos que tenemos un valor C cuyo precio en el tiempo 0 es C(0) . En el futuro, en un estado i , su rendimiento será C _i . Consideremos una cartera P compuesta por C _i de cada valor de Arrow A _i . En el futuro, sea cual sea el estado i , A _i paga $1 mientras que los demás valores de Arrow pagan $0, por lo que P pagará C _i . En otras palabras, la cartera P replica el rendimiento de C independientemente de lo que ocurra en el futuro. La falta de oportunidades de arbitraje implica que el precio de P y C debe ser el mismo ahora, ya que cualquier diferencia de precio significa que podemos, sin ningún riesgo, vender en corto el más caro, comprar el más barato y embolsarnos la diferencia. En el futuro tendremos que devolver el activo vendido en corto, pero podemos financiarlo exactamente vendiendo nuestro activo comprado, lo que nos deja con nuestra ganancia inicial.

Al considerar el precio de cada valor de Arrow como una probabilidad , vemos que el precio de la cartera P(0) es el valor esperado de C bajo las probabilidades neutrales al riesgo. Si la tasa de interés R no fuera cero, necesitaríamos descontar el valor esperado adecuadamente para obtener el precio. En particular, la cartera compuesta por cada valor de Arrow ahora tiene un valor presente de${\displaystyle {\frac {1}{1+R}}}$, por lo que la probabilidad neutral al riesgo del estado i se convierte en${\displaystyle (1+R)}$veces el precio de cada valor de Arrow A _i , o su precio a plazo .

Cabe destacar que los valores de Arrow no necesitan negociarse en el mercado. Aquí es donde entra en juego la completitud del mercado. En un mercado completo, cada valor de Arrow puede replicarse utilizando una cartera de activos reales negociados. El argumento anterior sigue siendo válido si consideramos cada valor de Arrow como una cartera.

En un modelo más realista, como el modelo Black-Scholes y sus generalizaciones, nuestro valor Arrow sería similar a una opción de doble dígito , que paga $1 cuando el activo subyacente se encuentra entre un límite inferior y uno superior, y $0 en caso contrario. El precio de dicha opción refleja entonces la percepción del mercado sobre la probabilidad de que el precio al contado se sitúe en ese intervalo de precios, ajustada por las primas de riesgo, de forma totalmente análoga a cómo obtuvimos las probabilidades anteriormente para el mundo discreto de un paso.

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• Gisiger, Nicolas: Explicación de las probabilidades neutrales al riesgo
• Tham, Joseph: Valoración neutral al riesgo: una introducción sencilla , Parte II