Curva que llena el espacio

En análisis matemático , una curva que llena el espacio es aquella cuyo rango abarca todos los puntos de una región de dimensiones superiores, generalmente el cuadrado unitario (o, de forma más general, un hipercubo unitario n -dimensional ). Dado que Giuseppe Peano (1858-1932) fue el primero en descubrir una, las curvas que llenan el espacio en el plano bidimensional a veces se denominan curvas de Peano , pero esta expresión también se refiere a la curva de Peano , el ejemplo específico de una curva que llena el espacio hallada por Peano.

Las curvas FASS, estrechamente relacionadas (FASS es un acrónimo de curvas "aproximadamente llenas del espacio, autoevitantes, simples y autosimilares"), pueden considerarse aproximaciones finitas de un cierto tipo de curvas que llenan el espacio. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Intuitivamente, una curva en dos o tres (o más) dimensiones puede pensarse como la trayectoria de un punto en movimiento continuo. Para eliminar la vaguedad inherente a esta noción, Jordan introdujo en 1887 la siguiente definición rigurosa, que desde entonces se ha adoptado como la descripción precisa de la noción de curva :

En su forma más general, el rango de dicha función puede estar en un espacio topológico arbitrario , pero en los casos más comúnmente estudiados, el rango estará en un espacio euclidiano como el plano bidimensional (una curva plana ) o el espacio tridimensional ( curva espacial ).

En ocasiones, la curva se identifica con la imagen de la función (el conjunto de todos los valores posibles de la función), en lugar de con la función misma. También es posible definir curvas sin extremos como una función continua en la recta real (o en el intervalo unitario abierto (0, 1) ). 

En 1890, Giuseppe Peano descubrió una curva continua, ahora llamada curva de Peano , que pasa por cada punto del cuadrado unitario. ^{[ 7 ]} Su propósito era construir una aplicación continua del intervalo unitario al cuadrado unitario . Peano se inspiró en el resultado anterior, contraintuitivo, de Georg Cantor, según el cual el número infinito de puntos en un intervalo unitario tiene la misma cardinalidad que el número infinito de puntos en cualquier variedad de dimensión finita , como el cuadrado unitario. El problema que Peano resolvió fue si dicha aplicación podía ser continua; es decir, una curva que llenara un espacio. La solución de Peano no establece una correspondencia biunívoca continua entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario, y de hecho, tal correspondencia no existe (véase §  Propiedades más adelante).

Era común asociar las vagas nociones de delgadez y unidimensionalidad a las curvas; todas las curvas que se encontraban habitualmente eran diferenciables por partes (es decir, tenían derivadas continuas por partes), y tales curvas no pueden llenar todo el cuadrado unitario. Por lo tanto, la curva de Peano que llena el espacio resultó ser muy contraintuitiva.

A partir del ejemplo de Peano, fue fácil deducir curvas continuas cuyos rangos contenían el hipercubo n- dimensional (para cualquier entero positivo n ). También fue fácil extender el ejemplo de Peano a curvas continuas sin puntos extremos, que llenaban todo el espacio euclidiano n- dimensional (donde n es 2, 3 o cualquier otro entero positivo).

La mayoría de las curvas que llenan el espacio, bien conocidas, se construyen iterativamente como el límite de una secuencia de curvas continuas lineales a trozos , cada una de las cuales se aproxima más al límite que llena el espacio.

El innovador artículo de Peano no incluía ilustraciones de su construcción, definida en términos de expansiones ternarias y un operador de simetría . Sin embargo, la construcción gráfica le resultaba perfectamente clara: creó un mosaico ornamental que mostraba una imagen de la curva en su casa de Turín. El artículo de Peano también concluye señalando que la técnica puede extenderse a otras bases impares además de la base 3. Su decisión de evitar cualquier recurso a la visualización gráfica se debió a su deseo de obtener una demostración completamente rigurosa, sin depender de imágenes. En aquel entonces (al comienzo de la fundación de la topología general), los argumentos gráficos aún se incluían en las demostraciones, pero se estaban convirtiendo en un obstáculo para la comprensión de resultados a menudo contraintuitivos.

Un año después, David Hilbert publicó en la misma revista una variación de la construcción de Peano. ^{[ 8 ]} El artículo de Hilbert fue el primero en incluir una imagen que ayudaba a visualizar la técnica de construcción, esencialmente la misma que se ilustra aquí. Sin embargo, la forma analítica de la curva de Hilbert es más compleja que la de Peano.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$denotemos el espacio de Cantor${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$.

Comenzamos con una función continua.${\displaystyle h}$desde el espacio Cantor${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en todo el intervalo unitario${\displaystyle [0,\,1]}$. (La restricción de la función de Cantor al conjunto de Cantor es un ejemplo de dicha función.) A partir de ella, obtenemos una función continua.${\displaystyle H}$del producto topológico${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$sobre toda la unidad cuadrada${\displaystyle [0,\,1]\;\times \;[0,\,1]}$al establecer

$${\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y)).\,}$$

Desde que el Cantor estableció${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es homeomorfo a su producto cartesiano consigo mismo${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$, existe una biyección continua${\displaystyle g}$desde el conjunto del Cantor hasta${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$. La composición${\displaystyle f}$de${\displaystyle H}$y${\displaystyle g}$es una función continua que mapea el conjunto de Cantor sobre todo el cuadrado unitario. (Alternativamente, podríamos usar el teorema de que todo espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor para obtener la función${\displaystyle f}$.)

Finalmente, uno puede extender${\displaystyle f}$a una función continua${\displaystyle F}$cuyo dominio es todo el intervalo unitario${\displaystyle [0,\,1]}$Esto se puede hacer utilizando el teorema de extensión de Tietze en cada uno de los componentes de${\displaystyle f}$o simplemente extendiendo${\displaystyle f}$"linealmente" (es decir, en cada uno de los intervalos abiertos eliminados)${\displaystyle (a,\,b)}$en la construcción del conjunto de Cantor, definimos la parte de extensión de${\displaystyle F}$en${\displaystyle (a,\,b)}$ser el segmento de línea dentro del cuadrado unitario que une los valores${\displaystyle f(a)}$y${\displaystyle f(b)}$).

Si una curva no es inyectiva, se pueden encontrar dos subcurvas que se intersecan , cada una obtenida al considerar las imágenes de dos segmentos disjuntos del dominio de la curva (el segmento de recta unitario). Las dos subcurvas se intersecan si la intersección de las dos imágenes no es vacía . Podría pensarse que el significado de que dos curvas se intersequen es que necesariamente se cruzan, como el punto de intersección de dos rectas no paralelas, de un lado al otro. Sin embargo, dos curvas (o dos subcurvas de una curva) pueden contactarse sin cruzarse, como, por ejemplo, una recta tangente a un círculo.

Una curva continua que no se autointerseca no puede llenar el cuadrado unitario porque eso la convertiría en un homeomorfismo del intervalo unitario sobre el cuadrado unitario (cualquier biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo). Pero un cuadrado unitario no tiene puntos de corte , por lo que no puede ser homeomorfo al intervalo unitario, en el que todos los puntos, excepto los extremos, son puntos de corte. Existen curvas que no se autointersecan y tienen área distinta de cero, las curvas de Osgood , pero según el teorema de Netto, no llenan el espacio. ^{[ 9 ]}

Para las curvas clásicas de Peano y Hilbert que llenan el espacio, donde dos subcurvas se intersecan (en el sentido técnico), existe contacto sin autointersección. Una curva que llena el espacio puede autointersecarse (en todas partes) si sus curvas de aproximación también lo son. Las aproximaciones de una curva que llena el espacio pueden autoevitarse, como ilustran las figuras anteriores. En 3 dimensiones, las curvas de aproximación autoevitantes pueden incluso contener nudos . Las curvas de aproximación permanecen dentro de una porción acotada del espacio n- dimensional, pero su longitud aumenta sin límite.

Las curvas que llenan el espacio son casos especiales de curvas fractales . No puede existir ninguna curva que llene el espacio y que sea diferenciable. En términos generales, la diferenciabilidad impone un límite a la velocidad de giro de la curva. Michał Morayne demostró que la hipótesis del continuo es equivalente a la existencia de una curva de Peano tal que en cada punto de la recta real al menos una de sus componentes es diferenciable. ^{[ 10 ]}

El teorema de Hahn - Mazurkiewicz es la siguiente caracterización de los espacios que son la imagen continua de curvas:

Los espacios que son la imagen continua de un intervalo unitario a veces se denominan espacios de Peano .

En muchas formulaciones del teorema de Hahn-Mazurkiewicz, el término «segundo numerable» se reemplaza por «metrizable» . Estas dos formulaciones son equivalentes. En una dirección, un espacio compacto de Hausdorff es un espacio normal y, según el teorema de metrización de Urysohn , «segundo numerable» implica «metrizable». Recíprocamente, un espacio métrico compacto es «segundo numerable».

En la teoría de los grupos kleinianos doblemente degenerados, existen numerosos ejemplos naturales de curvas que llenan el espacio, o más bien la esfera. Por ejemplo, Cannon y Thurston (2007) demostraron que el círculo en el infinito de la cubierta universal de una fibra de un toro de mapeo de un mapa pseudo-Anosov es una curva que llena la esfera. (En este caso, la esfera es la esfera en el infinito del espacio hiperbólico tridimensional ).

Wiener señaló en su obra The Fourier Integral and Certain of its Applications que las curvas que llenan el espacio podrían utilizarse para reducir la integración de Lebesgue en dimensiones superiores a la integración de Lebesgue en una dimensión.

• Cannon, James W.; Thurston, William P. (2007) [1982], "Curvas de Peano invariantes de grupo", Geometry & Topology , 11 (3): 1315– 1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , ISSN 1465-3060 , MR 2326947  
• Hilbert, D. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück" , Mathematische Annalen (en alemán), 38 (3): 459– 460, doi : 10.1007/BF01199431 , S2CID 123643081 
• Mandelbrot, BB (1982), "Cap. 7: Aprovechando las curvas monstruosas de Peano", La geometría fractal de la naturaleza , WH Freeman, Bibcode : 1982fgn..book.....M.
• McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid", en Guy, Richard K .; Woodrow, Robert E. (eds.), The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , Mathematical Association of America , pp. 49–73 , ISBN  978-0-88385-516-4.
• Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane" , Mathematische Annalen (en francés), 36 (1): 157– 160, doi : 10.1007/BF01199438 , S2CID 179177780 .
• Sagan, Hans (1994), Space-Filling Curves , Universitext, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR 1299533 .

• Curvas multidimensionales que llenan el espacio
• Prueba de la existencia de una biyección en el nudo cortado

applets de Java:

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