Polítopo semirregular

En geometría , según la definición de Thorold Gosset , un politopo semirregular se considera generalmente un politopo transitivo en sus vértices y cuyas facetas son politopos regulares . E.L. Elte compiló una lista más extensa en 1912 , titulada "Los politopos semirregulares de los hiperespacios" , que incluía una definición más amplia.

En el espacio tridimensional y dimensiones inferiores, los términos politopo semirregular y politopo uniforme tienen significados idénticos, ya que todos los polígonos uniformes deben ser regulares . Sin embargo, dado que no todos los poliedros uniformes son regulares , el número de politopos semirregulares en dimensiones superiores a tres es mucho menor que el número de politopos uniformes en el mismo número de dimensiones.

Los tres politopos semirregulares convexos de dimensión 4 son el politopo rectificado de 5 celdas , el politopo rectificado de 24 celdas y el politopo rectificado de 600 celdas . Los únicos politopos semirregulares en dimensiones superiores son los politopos k ₂₁ , donde el politopo rectificado de 5 celdas es el caso especial de k = 0. Todos ellos fueron enumerados por Gosset, pero una prueba de la completitud de esta lista no se publicó hasta el trabajo de Makarov (1988) para cuatro dimensiones, y de Blind y Blind (1991) para dimensiones superiores.

Los 4-politopos de Gosset (con sus nombres entre paréntesis)

Rectificado de 5 células (tetroctaédrico),

Rectificado de 600 células (octicosaédrico),

24 células truncadas (tetricosaédrica) , o

Politopos E semirregulares en dimensiones superiores

5-demicube (5-ico semirregular), un 5-politopo , ↔

2 ₂₁ politopo (semirregular 6-ico), un 6-politopo , o

3 ₂₁ politopo (semirregular 7-ico), un 7-politopo ,

4 ₂₁ politopo (semirregular 8-ico), un 8-politopo ,

Los politopos semirregulares pueden extenderse a panales semirregulares . Los panales euclidianos semirregulares son el panal tetraédrico-octaédrico (3D), el panal cúbico alternado girado (3D) y el panal 5 ₂₁ (8D).

Panales de miel Gosset :

1. Panal tetraédrico-octaédrico o panal cúbico alternado (verificación tetroctaédrica simple), ↔ (también politopo cuasirregular )
2. Panal cúbico alternado girado (cuadro tetroctaédrico complejo),

Panal de abejas E semirregular:

• 5 ₂₁ panal (comprobación 9-ic) (panal euclidiano 8D),

Gosset (1900) también permitió que los panales euclidianos fueran facetas de panales euclidianos de dimensiones superiores, dando lugar a las siguientes figuras adicionales:

1. Prisma hipercúbico de panal, denominado por Gosset como el semi-jaque ( n – 1)-ico (análogo a una sola fila o columna de un tablero de ajedrez).
2. Panal de abejas hexagonal alternado (tetroctaédrico semicuadro),

También existen panales hiperbólicos uniformes compuestos únicamente por celdas regulares ( Coxeter y Whitrow, 1950 ) , entre los que se incluyen:

• Panales hiperbólicos uniformes , panales 3D:
  1. Panal cúbico de orden 5 alternado , ↔ (un politopo cuasirregular )
  2. Panal tetraédrico-octaédrico ,
  3. Panal de abejas tetraedro-icosaedro ,
• Panales uniformes paracompactos , panales 3D, que incluyen teselaciones uniformes como celdas:
  1. Panal tetraédrico rectificado de orden 6 ,
  2. Panal de abeja de baldosas cuadradas rectificadas ,
  3. Panal de abejas de teselado cuadrado de orden 4 rectificado , ↔
  4. Panal cúbico de orden 6 alternado , ↔ (cuasiregular)
  5. Teselado hexagonal alterno en forma de panal , ↔
  6. Teselado hexagonal de orden 4 alternado en forma de panal , ↔
  7. Panal de abejas con teselado hexagonal de orden 5 alternado , ↔
  8. Teselado hexagonal de orden 6 alternado en forma de panal , ↔
  9. Teselado cuadrado alternado en forma de panal , ↔ (cuasiregular)
  10. Panal de abejas de teselado cúbico cuadrado ,
  11. Teselado cuadrado de orden 4 tipo panal , = (regular)
  12. Panal de abejas de teselado tetraédrico-triangular ,
• Panal hiperbólico paracompacto 9D:
  1. 6 ₂₁ panal (verificación 10-ic),

• Poliedro semirregular

• Ciego, G.; Ciego, R. (1991). "Los politopos semirregulares". Comentarios Mathematici Helvetici . 66 (1): 150– 154. doi : 10.1007/BF02566640 . SEÑOR 1090169 . S2CID 119695696 .  
• Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3.ª  ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
• Coxeter, HSM ; Whitrow, GJ (1950). "Estructura del mundo y panales no euclidianos". Actas de la Royal Society . 201 (1066): 417– 437. Bibcode : 1950RSPSA.201..417C . doi : 10.1098 / rspa.1950.0070 . MR 0041576. S2CID 120322123 .  
• Elte, EL (1912). Los politopos semirregulares de los hiperespacios . Groningen: Universidad de Groningen. ISBN 1-4181-7968-X.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Gosset, Thorold (1900). "Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones" (PDF) . Messenger of Mathematics . 29 : 43–48 .
• Makarov, PV (1988). "Sobre la derivación de politopos semirregulares de cuatro dimensiones". Voprosy Diskret. Geom. Mat. Issled. Akad. Nauk. Mold . 103 : 139– 150, 177. MR 0958024 .