Método de captura de choques

En dinámica de fluidos computacional , los métodos de captura de ondas de choque constituyen una clase de técnicas para calcular flujos no viscosos con ondas de choque . El cálculo de flujos que contienen ondas de choque es una tarea extremadamente difícil, ya que dichos flujos producen cambios bruscos y discontinuos en variables como la presión, la temperatura, la densidad y la velocidad a través de la onda de choque.

En los métodos de captura de choques, las ecuaciones que rigen los flujos no viscosos (es decir, las ecuaciones de Euler ) se expresan en forma conservativa y las ondas de choque o discontinuidades se calculan como parte de la solución. Aquí, no se emplea ningún tratamiento especial para las ondas de choque en sí, a diferencia del método de ajuste de choques, donde las ondas de choque se introducen explícitamente en la solución mediante relaciones de choque apropiadas ( relaciones de Rankine-Hugoniot ). Las ondas de choque predichas por los métodos de captura de choques generalmente no son nítidas y pueden estar difusas en varios elementos de la malla. Además, los métodos clásicos de captura de choques tienen la desventaja de que pueden desarrollarse oscilaciones no físicas ( fenómeno de Gibbs ) cerca de choques fuertes.

Las ecuaciones de Euler son las ecuaciones que rigen el flujo no viscoso. Para implementar métodos de captura de choques, se utiliza la forma conservativa de las ecuaciones de Euler. Para un flujo sin transferencia de calor ni de trabajo externa (flujo isoenergético), la forma conservativa de la ecuación de Euler en coordenadas cartesianas se puede escribir como $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {U} }}{\partial t}}+{\frac {\partial {\mathbf {F} }}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathbf {G} }}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathbf {H} }}{\partial z}}=0}$$ donde los vectores U , F , G y H están dados por $${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\\rho e_{t}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\rho u\\\rho u^{2}+p\\\rho uv\\\rho uw\\(\rho e_{t}+p)u\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}\rho v\\\rho vu\\\rho v^{2}+p\\\rho vw\\(\rho e_{t}+p)v\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {H} ={\begin{bmatriz}\rho w\\\rho wu\\\rho wv\\\rho w^{2}+p\\(\rho e_{t}+p)w\\\end{bmatrix}}}$$

dónde${\displaystyle e_{t}}$es la energía total (energía interna + energía cinética + energía potencial) por unidad de masa. Es decir $${\displaystyle e_{t}=e+{\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}}+gz}$$

Las ecuaciones de Euler pueden integrarse con cualquiera de los métodos de captura de choques disponibles para obtener la solución.

Desde una perspectiva histórica, los métodos de captura de ondas de choque se pueden clasificar en dos categorías generales: métodos clásicos y métodos modernos (también llamados esquemas de alta resolución). Los métodos modernos suelen tener un sesgo ascendente, a diferencia de las discretizaciones simétricas o centrales clásicas. Los esquemas de diferencias con sesgo ascendente intentan discretizar ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas mediante diferencias basadas en la dirección del flujo. Por otro lado, los esquemas simétricos o centrales no consideran ninguna información sobre la dirección de propagación de la onda.

Independientemente del método de captura de choques utilizado, un cálculo estable en presencia de ondas de choque requiere cierta disipación numérica para evitar oscilaciones no físicas. En los métodos clásicos de captura de choques, los términos de disipación numérica suelen ser lineales y se aplica la misma cantidad uniformemente en todos los puntos de la malla. Estos métodos solo ofrecen resultados precisos en soluciones de choque suaves y débiles, pero cuando hay ondas de choque fuertes en la solución, pueden surgir inestabilidades y oscilaciones no lineales en las discontinuidades. Los métodos modernos de captura de choques suelen emplear disipación numérica no lineal, donde un mecanismo de retroalimentación ajusta la cantidad de disipación artificial añadida en función de las características de la solución. Idealmente, la disipación numérica artificial solo debe añadirse en las proximidades de los choques u otras características pronunciadas, y las regiones de flujo suave deben permanecer inalteradas. Estos métodos han demostrado ser estables y precisos incluso para problemas con ondas de choque fuertes.

Algunos de los métodos clásicos de captura de choques más conocidos incluyen el método de MacCormack (que utiliza un esquema de discretización para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas), el método de Lax-Wendroff (basado en diferencias finitas, que utiliza un método numérico para la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas ) y el método de Beam-Warming . Ejemplos de esquemas modernos de captura de choques incluyen esquemas de disminución de variación total (TVD) de orden superior propuestos por primera vez por Harten , el esquema de transporte corregido por flujo introducido por Boris y Book, los esquemas monotónicos centrados aguas arriba para leyes de conservación (MUSCL) basados ​​en el enfoque de Godunov e introducidos por van Leer , varios esquemas esencialmente no oscilatorios (ENO) propuestos por Harten et al., y el método parabólico por partes (PPM) propuesto por Colella y Woodward. Otra clase importante de esquemas de alta resolución pertenece a los solucionadores de Riemann aproximados propuestos por Roe y por Osher . Los esquemas propuestos por Jameson y Baker, en los que los términos de disipación numérica lineal dependen de funciones de conmutación no lineales, se sitúan entre los métodos clásicos y modernos de captura de choques.