Variedad tridimensional esférica

En matemáticas , una 3-variedad esférica M es una 3-variedad de la forma

${\displaystyle M=S^{3}/\Gamma }$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es un subgrupo finito de O(4) que actúa libremente mediante rotaciones en la 3-esfera${\displaystyle S^{3}}$Todas estas variedades son primas , orientables y cerradas . Las 3-variedades esféricas a veces se denominan 3-variedades elípticas .

Un caso particular del teorema de Bonnet-Myers afirma que toda variedad diferenciable que posee una métrica riemanniana diferenciable , geodésicamente completa y de curvatura positiva constante, debe ser cerrada y tener un grupo fundamental finito . La conjetura de eliptización de William Thurston , demostrada por Grigori Perelman mediante el flujo de Ricci de Richard Hamilton , establece una recíproca: toda variedad tridimensional cerrada con grupo fundamental finito posee una métrica riemanniana diferenciable de curvatura positiva constante. (Esta recíproca es particular a tres dimensiones). Por lo tanto, las variedades tridimensionales esféricas son precisamente las variedades tridimensionales cerradas con grupo fundamental finito.

Según el teorema de Synge , toda 3-variedad esférica es orientable , y en particular${\displaystyle \Gamma }$Debe estar incluido en SO(4) . El grupo fundamental es cíclico o bien es una extensión central de un grupo diedral , tetraédrico , octaédrico o icosaédrico mediante un grupo cíclico de orden par. Esto divide el conjunto de dichas variedades en cinco clases, descritas en las siguientes secciones.

Las variedades esféricas son precisamente las variedades con geometría esférica, una de las ocho geometrías de la conjetura de geometrización de Thurston .

Los colectores${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$Los espacios lenticulares tridimensionales con Γ cíclicos son precisamente eso. Un espacio lenticular no está determinado por su grupo fundamental (hay espacios lenticulares no homeomorfos con grupos fundamentales isomorfos ); pero cualquier otra variedad esférica sí lo está.

Los espacios de lentes tridimensionales surgen como cocientes de${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$por la acción del grupo que se genera mediante elementos de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.}$

dónde${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}}$. Dicho espacio de lente${\displaystyle L(p;q)}$tiene grupo fundamental${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$a pesar de${\displaystyle q}$, por lo que espacios con diferentes${\displaystyle p}$no son homotópicamente equivalentes. Además, se conocen clasificaciones hasta homeomorfismo y equivalencia homotópica, como sigue. Los espacios tridimensionales${\displaystyle L(p;q_{1})}$y ${\displaystyle L(p;q_{2})}$son:

1. homotopía equivalente si y solo si${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$para algunos${\displaystyle n\in \mathbb {N}$ ;}
2. homeomorfo si y solo si${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.}$

En particular, los espacios de lentes L (7,1) y L (7,2) dan ejemplos de dos 3-variedades que son homotópicamente equivalentes pero no homeomorfas.

El espacio lente L (1,0) es la 3-esfera, y el espacio lente L (2,1) es el espacio proyectivo real tridimensional.

Los espacios de lentes se pueden representar como espacios de fibras de Seifert de muchas maneras, generalmente como espacios de fibras sobre la 2-esfera con como máximo dos fibras excepcionales, aunque el espacio de lentes con grupo fundamental de orden 4 también tiene una representación como un espacio de fibras de Seifert sobre el plano proyectivo sin fibras excepcionales.

Una variedad prismática es una variedad tridimensional cerrada M cuyo grupo fundamental es una extensión central de un grupo diedral.

El grupo fundamental π ₁ ( M ) de M es un producto de un grupo cíclico de orden m con un grupo que tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\rangle }$

para enteros k , m , n con k ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 2 y m coprimo con 2 n .

Alternativamente, el grupo fundamental tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\rangle }$

para enteros coprimos m , n con m ≥ 1, n ≥ 2. ( Aquí n es igual al n anterior , y aquí m es ^{2k -1} veces el m anterior ).

Continuamos con la última presentación. Este grupo es un grupo metacíclico de orden 4 mn con abelianización de orden 4 m (por lo que m y n están ambos determinados por este grupo). El elemento y genera un subgrupo normal cíclico de orden 2 n , y el elemento x tiene orden 4 m . El centro es cíclico de orden 2 m y está generado por x ² , y el cociente por el centro es el grupo diedral de orden 2 n .

Cuando m = 1, este grupo es un grupo diédrico binario o un grupo dicíclico . El ejemplo más simple es m = 1, n = 2, cuando π ₁ ( M ) es el grupo cuaternión de orden 8.

Las variedades prismáticas están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales: si una 3-variedad cerrada tiene el mismo grupo fundamental que una variedad prismática M , es homeomorfa a M.

Las variedades prismáticas se pueden representar como espacios fibrados de Seifert de dos maneras.

El grupo fundamental es producto de un grupo cíclico de orden m con un grupo que tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3^{k}}=1\rangle }$

para enteros k , m con k ≥ 1, m ≥ 1 y m coprimo con 6.

Alternativamente, el grupo fundamental tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3m}=1\rangle }$

para un entero impar m ≥ 1. ( Aquí, m es ^{3k -1 veces el} m anterior ).

Continuamos con la última presentación. Este grupo tiene orden 24 m . Los elementos x e y generan un subgrupo normal isomorfo al grupo de cuaterniones de orden 8. El centro es cíclico de orden 2 m . Está generado por los elementos z ³ y x ² = y ² , y el cociente por el centro es el grupo tetraédrico, equivalentemente, el grupo alternante A ₄ .

Cuando m = 1, este grupo es el grupo tetraédrico binario .

Estas variedades están determinadas de forma unívoca por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de una manera esencialmente única como espacios fibrados de Seifert : la variedad cociente es una esfera y existen 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 3.

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m coprimo a 6 con el grupo octaédrico binario (de orden 48) que tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle.}$

Estas variedades están determinadas de forma unívoca por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de una manera esencialmente única como espacios fibrados de Seifert : la variedad cociente es una esfera y existen 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 4.

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m coprimo con 30 con el grupo icosaédrico binario (orden 120) que tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle.}$

Cuando m es 1, la variedad es la esfera de homología de Poincaré .

Estas variedades están determinadas de forma unívoca por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de una manera esencialmente única como espacios fibrados de Seifert: la variedad cociente es una esfera y existen 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 5.

• Peter Orlik , Variedades de Seifert , Lecture Notes in Mathematics, vol. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN 0-387-06014-6
• William Jaco , Lecciones sobre topología de variedades tridimensionales ISBN 0-8218-1693-4
• William Thurston , Geometría y topología tridimensional. Vol. 1. Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey , 1997. ISBN 0-691-08304-5