Squaring the circle

Squaring the circle is a problem in geometry first proposed in Greek mathematics. It is the challenge of constructing a square with the area of a given circle by using only a finite number of steps with a compass and straightedge. The difficulty of the problem raised the question of whether specified axioms of Euclidean geometry concerning the existence of lines and circles implied the existence of such a square.

In 1882, the task was proven to be impossible, as a consequence of the Lindemann–Weierstrass theorem, which proves that pi (${\displaystyle \pi }$) is a transcendental number. That is, ${\displaystyle \pi }$ is not the root of any polynomial with rational coefficients. It had been known for decades that the construction would be impossible if ${\displaystyle \pi }$ were transcendental, but that fact was not proven until 1882. Approximate constructions with any given non-perfect accuracy exist, and many such constructions have been found.

Despite the proof that it is impossible, attempts to square the circle have been common in mathematical crankery. The expression "squaring the circle" is sometimes used as a metaphor for trying to do the impossible.^[1] The term quadrature of the circle is sometimes used as a synonym for squaring the circle. It may also refer to approximate or numerical methods for finding the area of a circle. In general, quadrature or squaring may also be applied to other plane figures.

Methods to calculate the approximate area of a given circle, which can be thought of as a precursor problem to squaring the circle, were known already in many ancient cultures. These methods can be summarized by stating the approximation to π that they produce. In around 2000 BCE, the Babylonian mathematicians used the approximation ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3.125}$, and at approximately the same time the ancient Egyptian mathematicians used ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16}$. Over 1000 years later, the Old TestamentBooks of Kings used the simpler approximation ${\displaystyle \pi \approx 3}$. ^{[ 2 ]} Las matemáticas de la antigua India , tal como se registran en el Shatapatha Brahmana y los Shulba Sutras , utilizaron varias aproximaciones diferentes para${\displaystyle \pi }$. ^{[ 3 ]} Arquímedes demostró una fórmula para el área de un círculo, según la cual${\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143}$[ ^{2 ]} En matemáticas chinas , en el siglo III d. C., ^Liu Hui encontró aproximaciones aún más precisas utilizando un método similar al de Arquímedes, y en el siglo V Zu Chongzhi encontró${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3.141593}$, una aproximación conocida como Milü . ^{[ 4 ]}

El problema de construir un cuadrado cuya área sea exactamente la de un círculo, en lugar de una aproximación, proviene de las matemáticas griegas . Los matemáticos griegos encontraron construcciones con compás y regla para convertir cualquier polígono en un cuadrado de área equivalente. ^{[ 5 ]} Utilizaron esta construcción para comparar áreas de polígonos geométricamente, en lugar de mediante el cálculo numérico de áreas que sería más típico en las matemáticas modernas. Como escribió Proclo muchos siglos después, esto motivó la búsqueda de métodos que permitieran comparaciones con figuras no poligonales:

El primer griego conocido que estudió el problema fue Anaxágoras , quien trabajó en él mientras estaba en prisión. Hipócrates de Quíos abordó el problema encontrando una figura delimitada por arcos circulares, la lúna de Hipócrates , que podía ser cuadrada. Antifonte el Sofista creía que inscribir polígonos regulares dentro de un círculo y duplicar el número de lados eventualmente llenaría el área del círculo (este es el método de agotamiento ). Dado que cualquier polígono puede ser cuadrado, ^{[ 5 ]} argumentó, el círculo puede ser cuadrado. En contraste, Eudemo argumentó que las magnitudes pueden dividirse sin límite, por lo que el área del círculo nunca se agotaría. ^{[ 7 ]} Contemporáneamente con Antifonte, Brisón de Heraclea argumentó que, dado que existen círculos más grandes y más pequeños, debe haber un círculo de igual área; este principio puede verse como una forma del moderno teorema del valor intermedio . ^{[ 8 ]} El objetivo más general de realizar todas las construcciones geométricas utilizando únicamente un compás y una regla se ha atribuido a menudo a Enópides , pero la evidencia de esto es circunstancial. ^{[ 9 ]}

El problema de hallar el área bajo una curva arbitraria, ahora conocido como integración en cálculo o cuadratura en análisis numérico , se conocía como cuadratura antes de la invención del cálculo. ^{[ 10 ]} Dado que las técnicas del cálculo eran desconocidas, generalmente se presumía que la cuadratura debía realizarse mediante construcciones geométricas, es decir, con compás y regla. Por ejemplo, Newton escribió a Oldenburg en 1676: «Creo que al Sr. Leibniz no le disgustará el teorema que aparece al principio de mi carta, pág. 4, para cuadrar curvas geométricamente». ^{[ 11 ]} En matemáticas modernas, los términos han divergido en significado: la cuadratura se usa generalmente cuando se permiten métodos del cálculo, mientras que la cuadratura de la curva conserva la idea de usar solo métodos geométricos restringidos.

Un intento de cuadrar el círculo en 1647, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum de Grégoire de Saint-Vincent , fue duramente criticado por Vincent Léotaud . ^{[ 12 ]} Sin embargo, de Saint-Vincent logró cuadrar la hipérbola y, al hacerlo, fue uno de los primeros en desarrollar el logaritmo natural . ^{[ 13 ]} James Gregory , siguiendo a de Saint-Vincent, intentó otra demostración de la imposibilidad de cuadrar el círculo en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su demostración fue errónea, fue el primer trabajo en intentar resolver el problema utilizando propiedades algebraicas de${\displaystyle \pi }$. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Johann Heinrich Lambert demostró en 1761 que${\displaystyle \pi }$es un número irracional . ^{[ 16 ] [ 17 ]} No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann logró demostrar con mayor contundencia que π es un número trascendental , y al hacerlo también demostró la imposibilidad de cuadrar el círculo con compás y regla. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Tras la demostración de imposibilidad de Lindemann, el problema fue considerado resuelto por los matemáticos profesionales, y su historia matemática posterior está dominada por intentos pseudomatemáticos de construcciones para cuadrar círculos, en gran parte por aficionados, y por la refutación de estos esfuerzos. ^{[ 20 ]} Asimismo, varios matemáticos posteriores, entre ellos Srinivasa Ramanujan, desarrollaron construcciones con compás y regla que aproximan el problema con precisión en pocos pasos. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Otros dos problemas clásicos de la antigüedad, famosos por su imposibilidad, eran la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo . Al igual que la cuadratura del círculo, estos problemas no se pueden resolver con regla y compás. Sin embargo, tienen un carácter diferente al de la cuadratura del círculo, ya que su solución implica la raíz de una ecuación cúbica , en lugar de ser trascendental. Por lo tanto, se pueden utilizar métodos más potentes que las construcciones con regla y compás, como la construcción de neusis o el plegado matemático de papel , para construir soluciones a estos problemas. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

La solución del problema de cuadrar el círculo con compás y regla requiere la construcción del número${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$, la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a la de un círculo unitario. Si${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$Si fuera un número construible , se seguiría de las construcciones estándar con compás y regla que${\displaystyle \pi }$También sería construible. En 1837, Pierre Wantzel demostró que las longitudes que se podían construir con compás y regla debían ser soluciones de ciertas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. ^{[ 25 ] [ 26 ]} Por lo tanto, las longitudes construibles deben ser números algebraicos . Si el círculo se pudiera cuadrar usando solo compás y regla, entonces${\displaystyle \pi }$tendría que ser un número algebraico. No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró la trascendencia de${\displaystyle \pi }$y así demostró la imposibilidad de esta construcción. La idea de Lindemann era combinar la prueba de la trascendencia del número de Euler.${\displaystyle e}$, mostrado por Charles Hermite en 1873, con la identidad de Euler$${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$$ Esta identidad muestra inmediatamente que${\displaystyle \pi }$es un número irracional , porque una potencia racional de un número trascendental sigue siendo trascendental. Lindemann pudo extender este argumento, a través del teorema de Lindemann-Weierstrass sobre la independencia lineal de las potencias algebraicas de${\displaystyle e}$para demostrar que${\displaystyle \pi }$es trascendental y por lo tanto que cuadrar el círculo es imposible. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Flexibilizar las reglas introduciendo una herramienta suplementaria, permitiendo un número infinito de operaciones con regla y compás o realizando las operaciones en ciertas geometrías no euclidianas hace posible cuadrar el círculo en cierto sentido. Por ejemplo, el teorema de Dinostrato utiliza la cuadratriz de Hipias para cuadrar el círculo, lo que significa que si esta curva ya está dada de alguna manera, entonces se puede construir a partir de ella un cuadrado y un círculo de áreas iguales. La espiral de Arquímedes puede utilizarse para otra construcción similar. ^{[ 27 ]} Sin embargo, la construcción de neusis no puede cuadrar el círculo, ya que solo puede construir ciertas razones algebraicas, y no la razón trascendental requerida para este problema. ^{[ 28 ]} Aunque el círculo no puede cuadrarse en el espacio euclidiano , a veces puede hacerse en geometría hiperbólica bajo interpretaciones adecuadas de los términos. El plano hiperbólico no contiene cuadrados (cuadriláteros con cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales), sino cuadriláteros regulares , figuras con cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales más agudos que los ángulos rectos. En el plano hiperbólico existen ( contablemente ) infinitos pares de círculos construibles y cuadriláteros regulares construibles de igual área, los cuales, sin embargo, se construyen simultáneamente. No existe un método para partir de un cuadrilátero regular arbitrario y construir el círculo de igual área. De forma simétrica, no existe un método para partir de un círculo arbitrario y construir un cuadrilátero regular de igual área, y para círculos suficientemente grandes no existe tal cuadrilátero. ^{[ 29 ] [ 30 ]}

Aunque cuadrar el círculo exactamente con compás y regla es imposible, se pueden dar aproximaciones a la cuadratura del círculo construyendo longitudes cercanas a${\displaystyle \pi }$. Solo se necesita geometría elemental para convertir cualquier aproximación racional dada de${\displaystyle \pi }$en una construcción correspondiente con compás y regla , pero tales construcciones tienden a ser muy laboriosas en comparación con la precisión que logran. Después de que se demostró que el problema exacto era irresoluble, algunos matemáticos aplicaron su ingenio para encontrar aproximaciones a la cuadratura del círculo que son particularmente simples entre otras construcciones imaginables que brindan una precisión similar.

Construcción a cargo de Kochański

Construcción aproximada de Kochański

Continuación con círculo y cuadrado de igual área;${\displaystyle r}$denota el radio inicial

Una de las muchas construcciones aproximadas históricas tempranas con compás y regla proviene de un artículo de 1685 del jesuita polaco Adam Adamandy Kochański , que produce una aproximación que diverge de${\displaystyle \pi }$en el quinto lugar decimal. Aunque existen aproximaciones numéricas mucho más precisas para${\displaystyle \pi }$Aunque ya se conocían, la construcción de Kochański tiene la ventaja de ser bastante simple. ^{[ 31 ]} En el diagrama de la izquierda $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {|P_{3}P_{9}|}{|P_{1}P_{2}|}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\\[3mu]&=3.141\;5{\color {red}33\,338\;\ldots }\end{aligned}}}$$ En el mismo trabajo, Kochański también derivó una secuencia de aproximaciones racionales cada vez más precisas para${\displaystyle \pi }$. ^{[ 32 ]}

Construcciones que utilizan 355/113

Construcción 355/113 de Jacob de Gelder

Construcción 355/113 de Ramanujan

Jacob de Gelder publicó en 1849 una construcción basada en la aproximación $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {355}{113}}\\[3mu]&=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }\end{aligned}}}$$ Este valor es exacto hasta seis decimales y se conoce en China desde el siglo V como Milü , y en Europa desde el siglo XVII. ^{[ 33 ]}

Gelder no construyó el lado del cuadrado; le bastó con hallar el valor. $${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$ La ilustración muestra la construcción de De Gelder.

En 1914, el matemático indio Srinivasa Ramanujan dio otra construcción geométrica para la misma aproximación. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Construcciones que utilizan la proporción áurea.

Construcción de la proporción áurea de Hobson

Construcción de la proporción áurea de Dixon

La construcción de Beatrix en 13 pasos

Una construcción aproximada realizada por EW Hobson en 1913 ^{[ 33 ]} es precisa hasta tres decimales. La construcción de Hobson corresponde a un valor aproximado de $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)\\[3mu]&=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },\end{aligned}}}$$dónde${\displaystyle \varphi }$es la proporción áurea ,${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$.

El mismo valor aproximado aparece en una construcción de Robert Dixon de 1991. ^{[ 34 ]} En 2022, Frédéric Beatrix presentó una construcción geometrográfica en 13 pasos. ^{[ 35 ]}

Segunda construcción de Ramanujan

Cuadratura del círculo, construcción aproximada según Ramanujan de 1914, con continuación de la construcción (líneas punteadas, línea roja proporcional media), ver animación .

Boceto del "Libro manuscrito 1 de Srinivasa Ramanujan", pág. 54, construcción 355/113 de Ramanujan.

En 1914, Ramanujan dio una construcción que era equivalente a tomar el valor aproximado de${\displaystyle \pi }$ser $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}\\[3mu]&=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }\end{aligned}}}$$ dando ocho decimales de${\displaystyle \pi }$. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Describe la construcción del segmento de línea OS de la siguiente manera. ^{[ 21 ]}

Sea AB (Fig. 2) un diámetro de un círculo cuyo centro es O. Biseca el arco ACB en C y triseca AO en T. Une BC y corta de él CM y MN igual a AT. Une AM y AN y corta de este último AP igual a AM. Pasa por P traza PQ paralela a MN y que interseca a AM en Q. Une OQ y pasa por T traza TR, paralela a OQ y que interseca a AQ en R. Traza AS perpendicular a AO e igual a AR, y une OS. Entonces la media proporcional entre OS y OB será muy cercana a un sexto de la circunferencia, siendo el error menor a un doceavo de pulgada cuando el diámetro es de 8000 millas de largo.

En su vejez, el filósofo inglés Thomas Hobbes se convenció de que había logrado cuadrar el círculo, una afirmación refutada por John Wallis como parte de la controversia Hobbes-Wallis . ^{[ 36 ]} Durante los siglos XVIII y XIX, las falsas nociones de que el problema de cuadrar el círculo estaba de alguna manera relacionado con el problema de la longitud , y que se ofrecería una gran recompensa por una solución, se generalizaron entre los aspirantes a cuadrar el círculo. ^{[ 37 ] [ 38 ]} En 1851, John Parker publicó un libro, Quadrature of the Circle, en el que afirmaba haber cuadrado el círculo. Su método en realidad produjo una aproximación de${\displaystyle \pi }$con una precisión de seis dígitos. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

El matemático, lógico y escritor de la época victoriana Charles Lutwidge Dodgson, más conocido por su seudónimo Lewis Carroll , también expresó interés en desacreditar las teorías ilógicas de cuadratura de círculos. En una de las entradas de su diario de 1855, Dodgson enumeró los libros que esperaba escribir, incluyendo uno titulado "Hechos sencillos para quienes construyen cuadrados de círculos". En la introducción a "Una nueva teoría de los paralelos", Dodgson relató un intento de demostrar errores lógicos a un par de quienes construían cuadrados de círculos, afirmando: ^{[ 42 ]}

Una burla a la cuadratura del círculo aparece en el libro de Augustus De Morgan, *Un presupuesto de paradojas* , publicado póstumamente por su viuda en 1872. Tras haber publicado originalmente la obra como una serie de artículos en *The Athenæum* , la estaba revisando para su publicación en el momento de su muerte. La cuadratura del círculo perdió popularidad después del siglo XIX, y se cree que la obra de De Morgan contribuyó a ello. ^{[ 20 ]}

Incluso después de que se demostrara su imposibilidad, en 1894, el matemático aficionado Edwin J. Goodwin afirmó haber desarrollado un método para cuadrar el círculo. La técnica que desarrolló no cuadraba el círculo con precisión y proporcionaba un área incorrecta del círculo que esencialmente redefinía${\displaystyle \pi }$igual a 3,2. Goodwin propuso entonces el proyecto de ley pi de Indiana en la legislatura estatal de Indiana, que permitía al estado utilizar su método en la educación sin pagarle regalías. El proyecto de ley fue aprobado sin objeciones en la cámara estatal, pero fue archivado y nunca se votó en el Senado, en medio de crecientes burlas por parte de la prensa. ^{[ 43 ]}

El excéntrico matemático Carl Theodore Heisel también afirmó haber cuadrado el círculo en su libro de 1934, "¡He aquí!:  el gran problema ya no está sin resolver: el círculo al cuadrado más allá de toda refutación". ^{[ 44 ]} Paul Halmos se refirió al libro como un "libro clásico de excéntricos". ^{[ 45 ]}

El problema de cuadrar el círculo se ha mencionado en diversas épocas literarias, con una variedad de significados metafóricos . ^{[ 46 ]} Su uso literario se remonta al menos al 414 a. C., cuando se estrenó la obra Las aves de Aristófanes . En ella, el personaje Metón de Atenas menciona la cuadratura del círculo, posiblemente para indicar la naturaleza paradójica de su ciudad utópica. ^{[ 47 ]}

El Paraíso de Dante , canto XXXIII, versos 133-135, contienen el siguiente versículo:

Para Dante, cuadrar el círculo representa una tarea más allá de la comprensión humana, que compara con su propia incapacidad para comprender el Paraíso. ^{[ 48 ]} La imagen de Dante también evoca un pasaje de Vitruvio , ilustrado posteriormente en el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci , de un hombre inscrito simultáneamente en un círculo y un cuadrado. ^{[ 49 ]} Dante usa el círculo como símbolo de Dios, y puede haber mencionado esta combinación de formas en referencia a la naturaleza simultáneamente divina y humana de Jesús. ^{[ 46 ] [ 49 ]} Anteriormente, en el canto XIII, Dante acusa al griego Bryson, quien cuadró el círculo, de haber buscado conocimiento en lugar de sabiduría. ^{[ 46 ]}

Varias obras de la poetisa del siglo XVII Margaret Cavendish profundizan en el problema de la cuadratura del círculo y sus significados metafóricos, incluyendo un contraste entre la unidad de la verdad y el faccionalismo, y la imposibilidad de racionalizar la "fantasía y la naturaleza femenina". ^{[ 46 ]} Para 1742, cuando Alexander Pope publicó el cuarto libro de su Dunciada , los intentos de cuadratura del círculo habían llegado a ser vistos como "salvajes e infructuosos": ^{[ 40 ]}

De manera similar, la ópera cómica de Gilbert y Sullivan, Princess Ida, incluye una canción que enumera satíricamente los objetivos imposibles de la universidad femenina dirigida por el personaje principal, como encontrar el movimiento perpetuo . Uno de estos objetivos es: «Y el círculo, lo cuadrarán / Algún día». ^{[ 50 ]}

Se ha dicho que la sestina , una forma poética utilizada por primera vez en el siglo XII por Arnaut Daniel , cuadra metafóricamente el círculo al emplear un número cuadrado de versos (seis estrofas de seis versos cada una) con un esquema circular de seis palabras repetidas. Spanos (1978) escribe que esta forma evoca un significado simbólico en el que el círculo representa el cielo y el cuadrado la tierra. ^{[ 51 ]} Una metáfora similar se utilizó en «Cuadrar el círculo», un cuento de O. Henry de 1908 , sobre una larga disputa familiar. En el título de este cuento, el círculo representa el mundo natural, mientras que el cuadrado representa la ciudad, el mundo del hombre. ^{[ 52 ]}

En obras posteriores, los pensadores de la teoría del círculo y el cuadrado, como Leopold Bloom en la novela Ulises de James Joyce y el abogado Paravant en La montaña mágica de Thomas Mann, son vistos como tristemente engañados o como soñadores ajenos al mundo, inconscientes de su imposibilidad matemática y haciendo planes grandiosos para un resultado que nunca alcanzarán. ^{[ 53 ] [ 54 ]}

• El problema de la Sra. Miniver : Problema sobre áreas de círculos que se intersecan. 
• Cópula cuadrada redonda – Tratamiento filosófico de los oxímorones Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento 
• Squircle : forma intermedia entre un cuadrado y un círculo. 
• Problema de Tarski para cuadrar un círculo : Problema de cortar y volver a ensamblar un disco para formar un cuadrado. 

• Bogomolny, Alexander. "Cuadrar el círculo" . cut-the-knot .
• Grime, James (25 de marzo de 2013). "Cuadrando el círculo" . Numberphile . Brady Haran – vía YouTube.
• Harper, Suzanne; Driskell, Shannon (agosto de 2010). "Una investigación sobre construcciones geométricas históricas" . Convergencia . Asociación Matemática de América.
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (abril de 1999). "Cuadrando el círculo" . Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
• Otero, Daniel E. (julio de 2010). "La cuadratura del círculo y las lunas de Hipócrates" . Convergencia . Asociación Matemática de América.
• Polster, Burkard (29 de junio de 2019). "2000 años sin resolver: ¿Por qué es imposible duplicar cubos y cuadrar círculos?" . Mathologer – vía YouTube.