Mapeo de compresión

La geometría del espaciotiempo se desarrolla convencionalmente de la siguiente manera: Se selecciona (0,0) para un "aquí y ahora" en un espaciotiempo. La luz radiante izquierda y derecha a través de este evento central sigue dos líneas en el espaciotiempo, líneas que pueden usarse para dar coordenadas a eventos lejos de (0,0). Las trayectorias de menor velocidad siguen más cerca de la línea de tiempo original (0, t ). Cualquier velocidad de este tipo puede verse como una velocidad cero bajo una transformación de compresión llamada impulso de Lorentz . Esta idea se deriva de un estudio de multiplicaciones de números complejos divididos y la base diagonal que corresponde al par de líneas de luz. Formalmente, una compresión preserva la métrica hiperbólica expresada en la forma xy ; en un sistema de coordenadas diferente. Esta aplicación en la teoría de la relatividad fue señalada en 1912 por Wilson y Lewis, ^{[ 4 ]} por Werner Greub, ^{[ 5 ]} y por Louis Kauffman . ^{[ 6 ]} Además, Gustav Herglotz (1909/10) ^{[ 7 ]} utilizó la forma de mapeo de compresión de las transformaciones de Lorentz al discutir la rigidez de Born , y Wolfgang Rindler la popularizó en su libro de texto sobre relatividad, donde la utilizó en su demostración de su propiedad característica. ^{[ 8 ]}

El término transformación de compresión se utilizó en este contexto en un artículo que relacionaba el grupo de Lorentz con el cálculo de Jones en óptica. ^{[ 9 ]}

En dinámica de fluidos, uno de los movimientos fundamentales de un flujo incompresible implica la bifurcación de un flujo que choca contra una pared inamovible. Representando la pared mediante el eje y = 0 y tomando el parámetro r = exp( t ), donde t es el tiempo, entonces la transformación de compresión con parámetro r aplicada a un estado inicial del fluido produce un flujo con bifurcación a izquierda y derecha del eje x = 0. El mismo modelo proporciona convergencia del fluido cuando el tiempo se retrocede. De hecho, el área de cualquier sector hiperbólico es invariante bajo compresión.

Para otro enfoque de un flujo con líneas de corriente hiperbólicas , véase Flujo potencial §  Leyes de potencia con n = 2 .

En 1989, Ottino ^{[ 10 ]} describió el "flujo bidimensional isocórico lineal" como

${\displaystyle v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}}$

donde K se encuentra en el intervalo [ − 1, 1]. Las líneas de corriente siguen las curvas

${\displaystyle x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant} }$

Así, un valor negativo de K corresponde a una elipse y un valor positivo de K a una hipérbola, correspondiendo el caso rectangular del mapeo de compresión a K = 1.

Stocker y Hosoi ^{[ 11 ]} describieron su enfoque del flujo en las curvas de la siguiente manera:

Proponemos una formulación alternativa para explicar la geometría angular, basada en el uso de coordenadas hiperbólicas, que permite un progreso analítico sustancial hacia la determinación del flujo en un borde de Plateau y filamentos líquidos adheridos. Consideramos una región de flujo que forma un ángulo de π /2 y está delimitada a la izquierda y en la parte inferior por planos de simetría.

Stocker y Hosoi recuerdan entonces la consideración de Moffatt ^{[ 12 ]} sobre el "flujo en una esquina entre límites rígidos, inducido por una perturbación arbitraria a gran distancia". Según Stocker y Hosoi,

Para un fluido libre en una esquina cuadrada, la función de corriente (antisimétrica) de Moffatt... [indica] que las coordenadas hiperbólicas son, de hecho, la opción natural para describir estos flujos.

La propiedad de conservación del área del mapeo de compresión tiene una aplicación en el establecimiento de los fundamentos de las funciones trascendentales logaritmo natural y su inversa, la función exponencial :

Definición: Sector( a,b ) es el sector hiperbólico obtenido con rayos centrales a ( a , 1/ a ) y ( b , 1/ b ).

Lema: Si bc = ad , entonces existe una aplicación de compresión que mueve el sector ( a,b ) al sector ( c,d ).

Prueba: Tomar el parámetro r = c / a de modo que ( u,v ) = ( rx , y / r ) tome ( a , 1/ a ) a ( c , 1/ c ) y ( b , 1/ b ) a ( d , 1/ d ).

Teorema ( Gregoire de Saint-Vincent 1647) Si bc = ad , entonces la cuadratura de la hipérbola xy = 1 contra la asíntota tiene áreas iguales entre a y b en comparación con las áreas entre c y d .

Demostración: Un argumento que consiste en sumar y restar triángulos de área 1/2 , donde uno de los triángulos es {(0,0), (0,1), (1,1)}, muestra que el área del sector hiperbólico es igual al área a lo largo de la asíntota. El teorema se deduce entonces del lema.

Teorema ( Alphonse Antonio de Sarasa, 1649): A medida que el área medida con respecto a la asíntota aumenta en progresión aritmética, las proyecciones sobre la asíntota aumentan en secuencia geométrica. Por lo tanto, las áreas forman logaritmos del índice de la asíntota.

Por ejemplo, para un ángulo de posición estándar que va de (1,  1) a ( x ,  1/ x ), uno puede preguntarse "¿Cuándo es el ángulo hiperbólico igual a uno?" La respuesta es el número trascendental x = e .

Una compresión con r = e desplaza el ángulo unitario a uno entre ( e ,  1/ e ) y ( ee ,  1/ ee ), que subtiende un sector también de área uno. La progresión geométrica

mi , mi ² , mi ³ , ..., mi ⁿ , ...

corresponde al índice asintótico alcanzado con cada suma de áreas

1,2,3, ..., n ,...

que es una progresión aritmética prototípica A + nd donde A = 0 y d = 1.

Tras las investigaciones de Pierre Ossian Bonnet (1867) sobre superficies de curvatura constante, Sophus Lie (1879) encontró una manera de derivar nuevas superficies pseudoesféricas a partir de una conocida. Dichas superficies satisfacen la ecuación de Sine-Gordon :

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,}$

dónde${\displaystyle (s,\sigma )}$son las coordenadas asintóticas de dos curvas tangentes principales y${\displaystyle \Theta }$su ángulo respectivo. Lie demostró que si${\displaystyle \Theta =f(s,\sigma )}$es una solución a la ecuación de Sine-Gordon, entonces el siguiente mapeo de compresión (ahora conocido como transformada de Lie ^{[ 13 ]} ) indica otras soluciones de esa ecuación: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).}$

Lie (1883) observó su relación con otras dos transformaciones de superficies pseudoesféricas: ^{[ 15 ]} La transformación de Bäcklund (introducida por Albert Victor Bäcklund en 1883) puede verse como la combinación de una transformación de Lie con una transformación de Bianchi (introducida por Luigi Bianchi en 1879). Dichas transformaciones de superficies pseudoesféricas fueron discutidas en detalle en las conferencias sobre geometría diferencial de Gaston Darboux (1894), ^{[ 16 ]} Luigi Bianchi (1894), ^{[ 17 ]} o Luther Pfahler Eisenhart (1909). ^{[ 18 ]}

Se sabe que las transformaciones de Lie (o mapeos de compresión) corresponden a los impulsos de Lorentz en términos de coordenadas del cono de luz , como lo señalan Terng y Uhlenbeck (2000): ^{[ 13 ]}

Sophus Lie observó que la ecuación de Sinus-Gordon (SGE) es invariante bajo transformaciones de Lorentz. En coordenadas asintóticas, que corresponden a coordenadas del cono de luz, una transformación de Lorentz es${\displaystyle (x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)}$.

Esto se puede representar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}}$

donde k corresponde al factor Doppler en el cálculo k de Bondi , η es la rapidez .