Lista de teorías de cohomología

Espectro:${\displaystyle H}$( Espectro de Eilenberg-MacLane de los números enteros.)

Anillo de coeficientes:${\displaystyle \pi _{n}(H)=\mathbb {Z} }$si${\displaystyle n=0}$,${\displaystyle 0}$de lo contrario.

La teoría de homología original.

Espectro:${\displaystyle HQ}$(Espectro de Eilenberg-Mac Lane de los racionales.)

Anillo de coeficientes:${\displaystyle \pi _{n}(HQ)=\mathbb {Q} }$si${\displaystyle n=0}$,${\displaystyle 0}$de lo contrario.

Estas son las teorías de homología más fáciles de todas. Los grupos de homología${\displaystyle HQ_{n}(X)}$a menudo se denotan por${\displaystyle H_{n}(X,Q)}$Los grupos de homología${\displaystyle H(X,\mathbb {Q} )}$,${\displaystyle H(X,\mathbb {R} )}$,${\displaystyle H(X,\mathbb {C} )}$Los coeficientes racionales , reales y complejos son todos similares y se utilizan principalmente cuando la torsión no interesa (o es demasiado complicada de calcular). La descomposición de Hodge escribe la cohomología compleja de una variedad proyectiva compleja como una suma de grupos de cohomología de haces .

Espectro:${\displaystyle HZ_{p}}$(Espectro de Eilenberg-Maclane de los números enteros mod${\displaystyle p}$.)

Anillo de coeficientes:${\displaystyle \pi _{n}(HZ_{p})=\mathbb {Z} _{p}}$(enteros módulo${\displaystyle p}$) si${\displaystyle n=0}$,${\displaystyle 0}$de lo contrario.

Espectro: KO

Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π _i (KO) tienen un período de 8 en i , dado por la secuencia Z , Z ₂ , Z ₂ ,0, Z , 0, 0, 0, repetida. Como anillo, está generado por una clase η en grado 1, una clase x ₄ en grado 4 y una clase invertible v ₁ ⁴ en grado 8, sujeta a las relaciones de que 2 η  = η ³ = ηx ₄ = 0 y x ₄ ² = 4 v ₁ ⁴ .      

KO ⁰ ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de fibrados vectoriales reales sobre X . La periodicidad de Bott implica que los K-grupos tienen un período de 8.

Espectro: KU (términos pares BU o Z  ×  BU, términos impares U ).

Anillo de coeficientes: El anillo de coeficientes K ^* (punto) es el anillo de polinomios de Laurent en un generador de grado  2.

K ⁰ ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de fibrados vectoriales complejos sobre X . La periodicidad de Bott implica que los K-grupos tienen periodo 2.

Espectro: KSp

Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π _i (KSp) tienen un período de 8 en i , dado por la secuencia Z , 0, 0, 0, Z , Z ₂ , Z ₂ ,0, repetida.

KSp ⁰ ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de haces vectoriales cuaterniónicos sobre X . La periodicidad de Bott implica que los K-grupos tienen un período de 8.

Espectro: KG

G es algún grupo abeliano; por ejemplo, la localización Z _{( p )} en el primo p . También se pueden dar coeficientes a otras K-teorías.

Espectro: KSC

Anillo de coeficientes: por escribir...

Los grupos de coeficientes${\displaystyle \pi _{i}}$(KSC) tienen un período 4 en i , dado por la secuencia Z , Z ₂ , 0, Z , repetida. Introducida por Donald W. Anderson en su disertación doctoral inédita de 1964 de la Universidad de California, Berkeley , "Una nueva teoría de la cohomología".

Espectro: ku para la teoría K conectiva, ko para la teoría K real conectiva.

Anillo de coeficientes: Para ku, el anillo de coeficientes es el anillo de polinomios sobre Z en una sola clase v ₁ en dimensión 2. Para ko, el anillo de coeficientes es el cociente de un anillo de polinomios en tres generadores, η en dimensión 1, x ₄ en dimensión 4 y v ₁ ⁴ en dimensión  8, el generador de periodicidad, módulo las relaciones que 2 η  =  0, x ₄ ²  =  4 v ₁ ⁴ , η ³  =  0 y ηx = 0.   

En términos generales, se trata de la teoría K sin las partes de dimensión negativa.

Se trata de una teoría de cohomología definida para espacios con involución, a partir de la cual se pueden derivar muchas de las otras teorías K.

Espectro: S ( espectro esférico ).

Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π _n ( S ) son los grupos de homotopía estables de esferas , que son notoriamente difíciles de calcular o comprender para n  >  0. (Para n  <  0 se anulan, y para n  =  0 el grupo es Z .) 

La homotopía estable está estrechamente relacionada con el cobordismo de variedades enmarcadas (variedades con una trivialización del fibrado normal).

Espectro: MO ( espectro de Thom del grupo ortogonal )

Anillo de coeficientes: π _* (MO) es el anillo de clases de cobordismo de variedades no orientadas, y es un anillo de polinomios sobre el cuerpo con 2 elementos en generadores de grado i para cada i que no sea de la forma 2 ⁿ −1. Es decir:${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x_{2},x_{4},x_{5},x_{6},x_{8}\cdots ]}$dónde${\displaystyle x_{2n}}$pueden ser representados por las clases de${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2n}}$mientras que para índices impares se pueden utilizar las variedades de Dold apropiadas .

El bordismo no orientado es 2-torsión, ya que 2M es el límite de${\displaystyle M\times I}$.

MO es una teoría de cobordismo bastante débil, ya que el espectro MO es isomorfo a H(π _* (MO)) ("homología con coeficientes en π _* (MO)") – MO es un producto de espectros de Eilenberg–MacLane . En otras palabras, las teorías de homología y cohomología correspondientes no son más potentes que la homología y la cohomología con coeficientes en Z /2 Z . Esta fue la primera teoría de cobordismo que se describió completamente.

Espectro: MU (espectro de Thom de un grupo unitario )

Anillo de coeficientes: π _* ( MU ) es el anillo de polinomios en generadores de grado 2, 4, 6, 8, ... y es naturalmente isomorfo al anillo universal de Lazard , y es el anillo de cobordismo de variedades casi complejas estables .

Espectro: MSO (espectro de Thom de un grupo ortogonal especial )

Anillo de coeficientes: La clase de cobordismo orientado de una variedad está completamente determinada por sus números característicos: sus números de Stiefel-Whitney y números de Pontryagin , pero el anillo de coeficientes general, denotado${\displaystyle \Omega _{*}=\Omega (*)=MSO(*)}$es bastante complicado. Racionalmente, y en 2 (correspondiente a las clases de Pontryagin y Stiefel-Whitney, respectivamente), MSO es un producto de espectros de Eilenberg-MacLane .${\displaystyle MSO_{\mathbf {Q} }=H(\pi _{*}(MSO_{\mathbf {Q} }))}$y${\displaystyle MSO[2]=H(\pi _{*}(MSO[2]))}$Pero en los números primos impares no lo es, y la estructura es complicada de describir. El anillo ha sido descrito de forma integral gracias al trabajo de John Milnor , Boris Averbuch, Vladimir Rokhlin y CTC Wall .

Espectro: MSU (espectro de Thom de un grupo unitario especial )

Anillo de coeficientes:

Espectro: MSpin (espectro de Thom del grupo de espín )

Anillo de coeficientes: Véase (DW Anderson, EH Brown y F. P. Peterson 1967 ) . 

Espectro: MSp (espectro de Thom del grupo simpléctico )

Anillo de coeficientes:

Espectro: MPL, MSPL, MTop, MSTop

Anillo de coeficientes:

La definición es similar a la del cobordismo, excepto que se utilizan variedades lineales por partes o topológicas en lugar de variedades diferenciables , ya sean orientadas o no orientadas. Los anillos de coeficientes son complejos.

Espectro: BP

Anillo de coeficientes: π _* (BP) es un álgebra polinomial sobre Z _{( p )} en generadores v _n de dimensión 2( p ⁿ  −  1) para n  ≥  1.

La cohomología de Brown-Peterson BP es un sumando de MU _p , que es el cobordismo complejo MU localizado en un primo p . De hecho, MU _{( p )} es una suma de suspensiones de BP.

Espectro: K( n ) (También dependen de un número primo p .)

Anillo de coeficientes: F _p [ v _n , v _n ⁻¹ ], donde v _n tiene grado 2( p ⁿ  -1).

Estas teorías tienen un período de 2( p ⁿ  −  1). Reciben su nombre de Jack Morava .

Espectro E ( n )

Anillo de coeficientes Z ₍₂₎ [ v ₁ , ..., v _n , 1/ v _n ] donde v _i tiene grado 2(2 ⁱ − 1)

Espectro:

Anillo de coeficientes:

Espectro: Ell

Espectros: tmf, TMF (anteriormente llamado eo ₂ .)

El anillo de coeficientes π _* (tmf) se llama anillo de formas modulares topológicas . TMF es tmf con la potencia 24 de la forma modular Δ invertida, y tiene un período 24 ² =576. En el primo p  =  2, la completitud de tmf es el espectro eo ₂ , y la localización K(2) de tmf es el espectro de la teoría K real superior de Hopkins-Miller EO ₂ .