Momento (matemáticas)

En matemáticas, los momentos de una función son medidas cuantitativas relacionadas con la forma de su gráfica . Por ejemplo, si la función representa la densidad de masa, el momento cero es la masa total, el primer momento (normalizado por la masa total) es el centro de masa y el segundo momento es el momento de inercia . Si la función es una distribución de probabilidad , el primer momento es el valor esperado , el segundo momento central es la varianza , el tercer momento estandarizado es la asimetría y el cuarto momento estandarizado es la curtosis .

Para una distribución de masa o probabilidad en un intervalo acotado , el conjunto de todos los momentos (de todos los órdenes, de 0 a ∞ ) determina de forma única la distribución ( problema de los momentos de Hausdorff ). Esto no ocurre en intervalos no acotados ( problema de los momentos de Hamburger ).

A mediados del siglo XIX, Pafnuty Chebyshev se convirtió en la primera persona en pensar sistemáticamente en términos de los momentos de variables aleatorias . ^{[ 1 ]}

El n -ésimo momento bruto (es decir, el momento respecto a cero) de una variable aleatoria.${\displaystyle X}$con función de densidad${\displaystyle f(x)}$se define por ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mu '_{n}=\langle X^{n}\rangle ~{\overset {\mathrm {def} }{=}}~{\begin{cases}\sum _{i}x_{i}^{n}f(x_{i}),&{\text{distribución discreta}}\\[1.2ex]\int x^{n}f(x)\,dx,&{\text{distribución continua}}\end{cases}}}$$El n -ésimo momento de una variable aleatoria continua de valor real con función de densidad${\displaystyle f(x)}$sobre un valor${\displaystyle c}$es la integral$${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(xc)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Es posible definir momentos para variables aleatorias de una manera más general que los momentos para funciones de valor real; véase momentos en espacios métricos . El momento de una función, sin más explicaciones, generalmente se refiere a la expresión anterior con${\displaystyle c=0}$Para los momentos de segundo orden y superiores, se suelen utilizar los momentos centrales (momentos respecto a la media, donde c es la media) en lugar de los momentos respecto a cero, porque proporcionan información más clara sobre la forma de la distribución.

También se pueden definir otros momentos. Por ejemplo, el n -ésimo momento inverso respecto a cero es${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{-n}\right]}$y el n -ésimo momento logarítmico alrededor de cero es${\displaystyle \operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].}$

El n -ésimo momento respecto a cero de una función de densidad de probabilidad${\displaystyle f(x)}$es el valor esperado de${\displaystyle X^{n}}$y se denomina momento bruto , momento crudo , momento de población o momento sin corregir . ^{[ 3 ] [ 4 ]} Los momentos respecto a su media${\displaystyle \mu }$se denominan momentos centrales ; estos describen la forma de la función, independientemente de la traslación .

Si${\displaystyle f}$Si F es una función de densidad de probabilidad , entonces el valor de la integral anterior se denomina el n -ésimo momento de la distribución de probabilidad . De forma más general, si F es una función de distribución de probabilidad acumulada de cualquier distribución de probabilidad, que puede no tener una función de densidad, entonces el n -ésimo momento de la distribución de probabilidad viene dado por la integral de Riemann-Stieltjes.$${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)}$$donde X es una variable aleatoria que tiene esta distribución acumulativa F , y E es el operador de esperanza o media. Cuando$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty }$$Se dice que el momento no existe. Si existe el momento n- ésimo respecto a cualquier punto, también existe el momento ( n -1) (y, por lo tanto, todos los momentos de orden inferior) respecto a cada punto. El momento cero de cualquier función de densidad de probabilidad es 1 , ya que el área bajo cualquier función de densidad de probabilidad debe ser igual a uno.

El primer momento bruto y el segundo y tercer momentos centrales no normalizados son aditivos en el sentido de que si X e Y son variables aleatorias independientes , entonces$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}}$$

(Esto también puede ser válido para variables que satisfacen condiciones más débiles que la independencia. La primera siempre se cumple; si la segunda se cumple, las variables se denominan no correlacionadas ).

Estos son los tres primeros cumulantes y todos los cumulantes comparten esta propiedad de aditividad.

Para todo k , el k -ésimo momento bruto de una población se puede estimar utilizando el k -ésimo momento bruto de la muestra. $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$$ aplicado a una muestra X ₁ , ..., X _n extraída de la población.

Se puede demostrar que el valor esperado del momento muestral bruto es igual al k -ésimo momento bruto de la población, si ese momento existe, para cualquier tamaño de muestra n . Por lo tanto, es un estimador insesgado. Esto contrasta con la situación de los momentos centrales, cuyo cálculo consume un grado de libertad al utilizar la media muestral. Así, por ejemplo, una estimación insesgada de la varianza poblacional (el segundo momento central) viene dada por $${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$$ en el que el denominador anterior n ha sido reemplazado por los grados de libertad n − 1 , y en el que${\displaystyle {\bar {X}}}$se refiere a la media de la muestra. Esta estimación del momento poblacional es mayor que el momento de la muestra observada no ajustada por un factor de${\displaystyle {\tfrac {n}{n-1}},}$y se la conoce como la "varianza muestral ajustada" o, a veces, simplemente la "varianza muestral".

Los problemas de determinar una distribución de probabilidad a partir de su secuencia de momentos se denominan problemas de momentos . Dichos problemas fueron discutidos por primera vez por PL Chebyshev (1874) ^{[ 7 ]} en relación con la investigación sobre teoremas límite. Para que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria${\displaystyle X}$ser definido de forma única por sus momentos${\displaystyle \alpha _{k}=E\left[X^{k}\right]}$Es suficiente, por ejemplo, que se cumpla la condición de Carleman: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty }$$ Un resultado similar se cumple incluso para los momentos de vectores aleatorios. El problema de los momentos busca caracterizaciones de secuencias.${\displaystyle {{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }}$que son secuencias de momentos de alguna función f , todos los momentos${\displaystyle \alpha _{k}(n)}$de los cuales son finitos, y para cada entero${\displaystyle k\geq 1}$dejar $${\displaystyle \alpha _ {k}(n)\rightarrow \alpha _ {k},n\rightarrow \infty,}$$ dónde${\displaystyle \alpha _{k}}$es finito. Entonces hay una secuencia${\displaystyle {\mu _{n}}'}$que converge débilmente a una función de distribución${\displaystyle \mu }$teniendo${\displaystyle \alpha _{k}}$como sus momentos. Si los momentos determinan${\displaystyle \mu }$de forma única, entonces la secuencia${\displaystyle {\mu _{n}}'}$converge débilmente a${\displaystyle \mu }$.

Los momentos parciales a veces se denominan "momentos unilaterales". Los momentos parciales inferior y superior de orden n con respecto a un punto de referencia r se pueden expresar como $${\displaystyle \mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(rx)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,}$$$${\displaystyle \mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Si la función integral no converge, el momento parcial no existe.

Los momentos parciales se normalizan elevándolos a la potencia 1/ n . La relación de potencial superior puede expresarse como la relación entre un momento parcial superior de primer orden y un momento parcial inferior de segundo orden normalizado.

Sea ( M , d ) un espacio métrico , y sea B( M ) el σ -álgebra de Borel en M , el σ -álgebra generada por los subconjuntos d - abiertos de M . (Por razones técnicas, también es conveniente suponer que M es un espacio separable con respecto a la métrica d .) Sea 1 ≤ p ≤ ∞ .

El p -ésimo momento central de una medida μ en el espacio medible ( M , B( M )) alrededor de un punto dado x ₀ ∈ M se define como $${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

Se dice que μ tiene un momento central p finito si elmomento central p de μ con respecto ax 0 _es finito para algún x ₀ ∈ M.

Esta terminología para medidas se traslada a las variables aleatorias de la forma habitual: si (Ω, Σ, P ) es un espacio de probabilidad y X  : Ω → M es una variable aleatoria, entonces el p -ésimo momento central de X con respecto a x₀ ∈ M _se define como $${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],}$$ y X tiene un momento central p -ésimo finito si el momento central p -ésimo de X con respecto a x ₀ es finito para algún x ₀ ∈ M .

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• Spanos, Aris (1999). Teoría de la probabilidad e inferencia estadística . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 109-130 . ISBN  0-521-42408-9.
• Walker, Helen M. (1929). Estudios sobre la historia del método estadístico, con especial referencia a ciertos problemas educativos . Baltimore, Williams & Wilkins Co. pág. 71 . 

• "Momento" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
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