Proceso estacionario

Formalmente, dejemos${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$sea ​​un proceso estocástico y deje que${\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })}$representa la función de distribución acumulativa de la distribución conjunta incondicional (es decir, sin referencia a ningún valor inicial en particular) de${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$a veces${\displaystyle t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau }$⁠ . Entonces,${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$Se dice que es estrictamente estacionario , fuertemente estacionario o estacionario en sentido estricto si ^{[ 1 ] : 155}

Desde${\displaystyle \tau }$no afecta${\displaystyle F_{X}(\cdot )}$⁠ ,${\displaystyle F_{X}}$es independiente del tiempo.

El ruido blanco es el ejemplo más sencillo de un proceso estacionario.

Un ejemplo de un proceso estacionario de tiempo discreto donde el espacio muestral también es discreto (de modo que la variable aleatoria puede tomar uno de ⁠${\displaystyle N}$( valores posibles) es un esquema de Bernoulli . Otros ejemplos de un proceso estacionario de tiempo discreto con espacio muestral continuo incluyen algunos procesos autorregresivos y de media móvil que son subconjuntos del modelo autorregresivo de media móvil . Los modelos con un componente autorregresivo no trivial pueden ser estacionarios o no estacionarios, dependiendo de los valores de los parámetros, y los casos especiales no estacionarios importantes son aquellos en los que existen raíces unitarias en el modelo.

Una forma más débil de estacionariedad comúnmente empleada en el procesamiento de señales se conoce como estacionariedad en sentido débil , estacionariedad en sentido amplio (WSS) o estacionariedad de covarianza . Los procesos aleatorios WSS solo requieren que el primer momento (es decir, la media) y la autocovarianza no varíen con respecto al tiempo y que el segundo momento sea finito para todo tiempo. Cualquier proceso estrictamente estacionario que tenga una media y una covarianza finitas también es WSS. ^{[ 2 ] : 299}

Por lo tanto, un proceso aleatorio de tiempo continuo${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$es decir, WSS tiene las siguientes restricciones en su función media${\displaystyle m_{X}(t)\triangleq \operatorname {E} [X_{t}]}$y función de autocovarianza${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$:​

La primera propiedad implica que la función media${\displaystyle m_{X}(t)}$debe ser constante. La segunda propiedad implica que la función de autocovarianza depende únicamente de la diferencia entre${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$y solo necesita ser indexado por una variable en lugar de dos variables. ^{[ 1 ] : 159} Por lo tanto, en lugar de escribir,

${\displaystyle \,\!K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)\,}$

La notación se abrevia a menudo mediante la sustitución ⁠${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$:​

${\displaystyle K_{XX}(\tau )\triangleq K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)}$

Esto también implica que la autocorrelación depende únicamente de${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$⁠ , es decir

${\displaystyle R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1}-t_{2},0)\triangleq R_{X}(\tau ).}$

La tercera propiedad establece que los segundos momentos deben ser finitos para cualquier instante de tiempo .${\displaystyle t}$.​

La principal ventaja de la estacionariedad en sentido amplio es que sitúa la serie temporal en el contexto de los espacios de Hilbert . Sea${\displaystyle H}$Sea el espacio de Hilbert generado por${\displaystyle \{x(t)\}}$( es decir, el cierre del conjunto de todas las combinaciones lineales de estas variables aleatorias en el espacio de Hilbert de todas las variables aleatorias de cuadrado integrable en el espacio de probabilidad dado). Debido a la positividad definida de la función de autocovarianza, se deduce del teorema de Bochner que existe una medida positiva${\displaystyle \mu }$en la recta real de tal manera que${\displaystyle H}$es isomorfo al subespacio de Hilbert de${\displaystyle L^{2}(\mu )}$generado por​${\displaystyle \{e^{-2\pi i\xi \cdot t}\}}$⁠ . Esto da como resultado la siguiente descomposición de tipo Fourier para un proceso estocástico estacionario en tiempo continuo: existe un proceso estocástico${\displaystyle \omega _{\xi }}$con incrementos ortogonales tales que, para todo ⁠${\displaystyle t}$:​

${\displaystyle X_{t}=\int e^{-2\pi i\lambda \cdot t}\,d\omega _{\lambda },}$

donde la integral del lado derecho se interpreta en un sentido apropiado (de Riemann). El mismo resultado es válido para un proceso estacionario en tiempo discreto, con la medida espectral definida ahora en el círculo unitario.

Al procesar señales aleatorias WSS con filtros lineales e invariantes en el tiempo ( LTI ) , resulta útil considerar la función de correlación como un operador lineal . Dado que es un operador circulante (depende únicamente de la diferencia entre los dos argumentos), sus autofunciones son las exponenciales complejas de Fourier . Además, como las autofunciones de los operadores LTI también son exponenciales complejas , el procesamiento LTI de señales aleatorias WSS es muy manejable: todos los cálculos pueden realizarse en el dominio de la frecuencia . Por lo tanto, la suposición WSS se utiliza ampliamente en algoritmos de procesamiento de señales .

En el caso donde${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$es un proceso estocástico complejo la función de autocovarianza se define como${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]}$y, además de los requisitos de la ecuación 3 , se requiere que la función de pseudoautocovarianza${\displaystyle J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$depende únicamente del desfase temporal. En las fórmulas,${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$es WSS, si

Dos procesos estocásticos${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$y${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$se denominan conjuntamente estacionarias en sentido estricto si su distribución acumulativa conjunta${\displaystyle F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})}$permanece sin cambios bajo cambios de tiempo, es decir, si

Dos procesos aleatorios${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$y${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$Se dice que es conjuntamente ( ⁠${\displaystyle M+N}$) estacionario de ordensi: ^{[ 1 ] : 159}

Dos procesos estocásticos${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$y${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$Se denominan conjuntamente estacionarias en sentido amplio si son estacionarias en sentido amplio y su función de covarianza cruzada${\displaystyle K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]}$Depende únicamente de la diferencia horaria .${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$Esto se puede resumir de la siguiente manera:

Una forma de lograr que una serie temporal sea estacionaria de primer orden es calcular las diferencias entre observaciones consecutivas. Este proceso se conoce como diferenciación . La diferenciación puede ayudar a estabilizar la media de una serie temporal eliminando las variaciones en su nivel y, por lo tanto, las tendencias. También puede eliminar la estacionalidad si las diferencias se calculan adecuadamente (por ejemplo, diferenciando observaciones con un año de diferencia para eliminar una tendencia anual). Las transformaciones como los logaritmos pueden ayudar a estabilizar la varianza de una serie temporal.

El método sustituto para la estacionarización ^{[ 7 ]} funciona generando una nueva serie temporal que conserva ciertas propiedades estadísticas de la serie original, eliminando al mismo tiempo sus componentes no estacionarias. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} Un enfoque común es aplicar la transformada de Fourier a la serie temporal original para obtener sus espectros de magnitud y fase. El espectro de magnitud, que determina la distribución de potencia en las frecuencias, se conserva para preservar la estructura de autocorrelación global. El espectro de fase, que codifica la alineación temporal de los componentes de frecuencia y suele ser responsable de la dinámica dependiente del tiempo en la serie temporal (como las no estacionariedades), se aleatoriza, normalmente reemplazándolo con un conjunto de fases aleatorias extraídas uniformemente de${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$mientras se impone la simetría conjugada para asegurar un inverso de valor real. Al aplicar la transformada inversa de Fourier a los espectros modificados se obtiene una serie temporal sustituta estrictamente estacionaria: ^{[ 11 ]} una con el mismo espectro de potencia que la original pero sin las estructuras temporales que causaron la no estacionariedad. Esta técnica se usa a menudo en pruebas de hipótesis para investigar la propiedad de estacionariedad. ^{[ 8 ] [ 10 ] [ 12 ] [ 13 ]}