Lista de sumas de recíprocos

En matemáticas y especialmente en teoría de números , la suma de los recíprocos generalmente se calcula para los recíprocos de algunos o todos los números enteros positivos (números contables), es decir, generalmente es la suma de fracciones unitarias . Si se suman los recíprocos de una cantidad infinita de números, generalmente los términos se dan en una secuencia determinada y se suman los primeros n de ellos, luego se incluye uno más para obtener la suma de los primeros n + 1 de ellos, etc.

Si sólo se incluyen un número finito de números, la cuestión clave suele ser encontrar una expresión simple para el valor de la suma, o exigir que la suma sea menor que un valor determinado, o determinar si la suma es alguna vez un número entero.

Para una serie infinita de recíprocos, las cuestiones son dos: primero, ¿la secuencia de sumas diverge (es decir, eventualmente excede cualquier número dado) o converge , lo que significa que hay algún número al que se acerca arbitrariamente sin excederlo nunca? (Se dice que un conjunto de números enteros positivos es grande si la suma de sus recíprocos diverge, y pequeño si converge). Segundo, si converge, ¿cuál es una expresión simple para el valor al que converge? ¿Ese valor es racional o irracional ? ¿Y ese valor es algebraico o trascendental ? ^[1]

• La media armónica de un conjunto de números enteros positivos es el número de números multiplicado por el recíproco de la suma de sus recíprocos.
• La ecuación óptica requiere que la suma de los recíprocos de dos números enteros positivos a y b sea igual al recíproco de un tercer número entero positivo c . Todas las soluciones están dadas por a  =  mn  +  m ² , b  =  mn  +  n ² , c  =  mn . Esta ecuación aparece en varios contextos de geometría elemental .
• La conjetura de Fermat-Catalan se refiere a una cierta ecuación diofántica , que iguala la suma de dos términos, cada uno un entero positivo elevado a una potencia entera positiva, a un tercer término que también es un entero positivo elevado a una potencia entera positiva (donde los enteros base no tienen ningún factor primo en común). La conjetura pregunta si la ecuación tiene una infinitud de soluciones en las que la suma de los recíprocos de los tres exponentes en la ecuación debe ser menor que 1. El propósito de esta restricción es excluir la infinitud conocida de soluciones en las que dos exponentes son 2 y el otro exponente es cualquier número par.
• El n -ésimo número armónico , que es la suma de los recíprocos de los primeros n enteros positivos, nunca es un entero excepto en el caso  n  = 1.
• Además, József Kürschák demostró en 1918 que la suma de los recíprocos de números naturales consecutivos (comenzando o no desde 1) nunca es un número entero.
• La suma de los recíprocos de los primeros n primos no es un número entero para ningún n .
• Hay 14 combinaciones distintas de cuatro números enteros tales que la suma de sus recíprocos es 1, de las cuales seis utilizan cuatro números enteros distintos y ocho repiten al menos un número entero.
• Una fracción egipcia es la suma de un número finito de recíprocos de números enteros positivos. Según la prueba del problema de Erdős–Graham , si el conjunto de números enteros mayores que uno se divide en un número finito de subconjuntos, entonces uno de los subconjuntos puede utilizarse para formar una representación fraccionaria egipcia de 1.
• La conjetura de Erdős-Straus establece que para todos los números enteros n  ≥ 2, el número racional 4/ n puede expresarse como la suma de tres recíprocos de números enteros positivos.
• El cociente de Fermat en base 2, que es para el primo impar p , cuando se expresa en módulo p y se multiplica por –2, es igual a la suma de los recíprocos módulo  p de los números que se encuentran en la primera mitad del rango {1,  p  − 1}.${\displaystyle {\frac {2^{p-1}-1}{p}}}$
• En cualquier triángulo , la suma de los recíprocos de las alturas es igual al recíproco del radio del círculo inscrito (independientemente de que sean números enteros o no).
• En un triángulo rectángulo , la suma de los recíprocos de los cuadrados de las alturas de los catetos (equivalentemente, de los cuadrados de los propios catetos) es igual al recíproco del cuadrado de la altura de la hipotenusa (el teorema de Pitágoras inverso ). Esto se cumple independientemente de que los números sean enteros o no; existe una fórmula (ver aquí ) que genera todos los casos de números enteros.
• Un triángulo que no está necesariamente en el plano euclidiano puede especificarse como que tiene ángulos y Entonces el triángulo está en el espacio euclidiano si la suma de los recíprocos de p, q y r es igual a 1, en el espacio esférico si esa suma es mayor que 1 y en el espacio hiperbólico si la suma es menor que 1.${\displaystyle {\frac {\pi }{p}},}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{q}},}$${\displaystyle {\frac {\pi }{r}}.}$
• Un número divisor armónico es un número entero positivo cuyos divisores tienen una media armónica que es un número entero. Los primeros cinco de estos son 1, 6, 28, 140 y 270. No se sabe si hay números divisores armónicos (además de 1) que sean impares, pero no hay ninguno impar menor que 10 ²⁴ .
• La suma de los recíprocos de los divisores de un número perfecto es 2.
• Cuando se distribuyen ocho puntos sobre la superficie de una esfera con el objetivo de maximizar en algún sentido la distancia entre ellos, la forma resultante corresponde a un antiprisma cuadrado . Los métodos específicos de distribución de los puntos incluyen, por ejemplo, minimizar la suma de todos los recíprocos de los cuadrados de las distancias entre los puntos.

• Una sucesión de números enteros positivos crecientes sin suma es aquella en la que ningún número es la suma de ningún subconjunto de los anteriores. La suma de los recíprocos de los números en cualquier sucesión sin suma es menor que 2,8570  .

• La suma de los recíprocos de los números heptagonales converge a un valor conocido que no sólo es irracional sino también trascendental , y para el cual existe una fórmula complicada .

• Se sabe que la suma de los recíprocos de los primos gemelos , de los cuales puede haber un número finito o infinito, es finita y se denomina constante de Brun , aproximadamente 1,9022  . El recíproco de cinco aparece convencionalmente dos veces en la suma.

• Se sabe que la suma de los recíprocos de los primos de Proth , de los cuales puede haber un número finito o infinito, es finita, aproximadamente 0,747392479 . ^[2]

• Los cuatrillizos primos son pares de primos gemelos con un solo número impar entre ellos. La suma de los recíprocos de los números en los cuatrillizos primos es aproximadamente 0,8706 .

• La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (incluidos los duplicados) es 1 .

• La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (excluyendo los duplicados) es aproximadamente 0,8745  . ^[3]

• La suma de los recíprocos de las potencias es aproximadamente igual a 1,2913 . La suma es exactamente igual a una integral  definida :${\estilo de visualización \ n^{n}\ }$$${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{n}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\ \mathrm {d} x\ }{\ x^{x}}}\ }$$

Esta identidad fue descubierta por Johann Bernoulli en 1697, y ahora se conoce como una de las dos identidades oníricas de Sophomore .

• El teorema de Goldbach-Euler establece que la suma de los recíprocos de los números que son 1 menos que una potencia perfecta (excluyendo los duplicados) es 1.
• La suma de los recíprocos de todos los números triangulares distintos de cero es 2 .

• La constante recíproca de Fibonacci es la suma de los recíprocos de los números de Fibonacci , que se sabe que es finita e irracional y aproximadamente igual a 3,3599. Para otras sumas finitas de subconjuntos de los recíprocos de los números de Fibonacci, consulte aquí .

• Un factorial exponencial es una operación que se define recursivamente como Por ejemplo, donde los exponentes se evalúan de arriba hacia abajo. La suma de los recíprocos de los factoriales exponenciales de 1 en adelante es aproximadamente 1,6111 y es trascendental.${\displaystyle \ a_{0}=1,~a_{n}=n^{a_{n-1}}~.}$${\displaystyle \ a_{4}=4^{3^{2^{1}}}\ }$

• Un " número poderoso " es un entero positivo en el que cada primo que aparece en su factorización prima aparece allí al menos dos veces. La suma de los recíprocos de los números poderosos es cercana a 1,9436. ^[4]

• Los recíprocos de los factoriales suman el número trascendental e (una de las dos constantes llamadas " número de Euler ").

• La suma de los recíprocos de los números cuadrados (el problema de Basilea ) es el número trascendental  π2^​ /6⁠ ,o ζ (2)dondeζes lafunción zeta de Riemann.

• La suma de los recíprocos de los cubos de los números enteros positivos se denomina constante de Apéry ζ (3)  y es aproximadamente igual a 1,2021. Este número es irracional , pero no se sabe si es o no trascendental .

• Los recíprocos de las potencias enteras no negativas de 2 suman 2  . Este es un caso particular de la suma de los recíprocos de cualquier serie geométrica donde el primer término y la razón común son números enteros positivos. Si el primer término es a y la razón común es r entonces la suma es  ⁠ a/ a ( r − 1) ⁠ .

• La serie de Kempner es la suma de los recíprocos de todos los números enteros positivos que no contienen el dígito "9" en base 10. A diferencia de la serie armónica , que no excluye a esos números, esta serie converge, concretamente a  aproximadamente 22,9207 .

• Un número palindrómico es aquel que permanece igual cuando se invierten sus dígitos. La suma de los recíprocos de los números palindrómicos converge aproximadamente a 3,3703  .

• Un número pentátopo es un número en la quinta celda de cualquier fila del triángulo de Pascal que comienza con la fila de cinco términos 1 4 6 4 1  . La suma de los recíprocos de los números pentátopos es ⁠4/ 3 ⁠  .

• La sucesión de Sylvester es una sucesión de números enteros en la que cada miembro de la sucesión es el producto de los miembros anteriores más uno. Los primeros términos de la sucesión son 2, 3, 7, 43, 1807.  La suma de los recíprocos de los números de la sucesión de Sylvester es 1 .

• La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una función de variable compleja s que continúa analíticamente la suma de la serie infinita hasta una función analítica en todo el plano complejo excepto s = 1, donde ζ ( s ) tiene un polo. Esta serie converge si y solo si la parte real de s es mayor que 1  .$${\displaystyle \ \suma _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{s}\ }}~}$$

• La suma de los recíprocos de todos los números de Fermat (números de la forma ) (secuencia A051158 en la OEIS ) es irracional .${\displaystyle \ 2^{(2^{n})}+1\ }$

• La suma de los recíprocos de los números prónicos (productos de dos enteros consecutivos) (excluyendo  0 ) es  1 (ver Series telescópicas ).

• La n -ésima suma parcial de la serie armónica , que es la suma de los recíprocos de los primeros n números enteros positivos, diverge cuando n tiende al infinito, aunque de manera extremadamente lenta: La suma de los primeros 10⁴³ términos es menor que100. La diferencia entre la suma acumulada y ellogaritmo naturalden converge a laconstante de Euler-Mascheroni, comúnmente denotada comoque es aproximadamente0,5772 .${\displaystyle \\gamma \ ,}$

• La suma de los recíprocos de los primos diverge.

• La forma fuerte del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas implica que la suma de los recíprocos de los primos de la forma 4 n + 3 es divergente.
• De manera similar, la suma de los recíprocos de los primos de la forma 4 n + 1 es divergente. Por el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados , se deduce que la suma de los recíprocos de los números de la forma donde a y b son números enteros no negativos, no ambos iguales a 0 , diverge, con o sin repetición. ${\displaystyle \ a^{2}+b^{2}\ ,}$

• Si a ( k ) es cualquier serie ascendente de números enteros positivos con la propiedad de que existen N tales que a ( k + 1) − a ( k ) < N para todo k entonces la suma de los recíprocos ⁠1/ una ( k ) ⁠ diverge.

• La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas establece que si la suma de los recíprocos de los miembros de un conjunto A de números enteros positivos diverge, entonces A contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud, por grande que sea. A fecha de 2020 ^[actualizar]la conjetura sigue sin demostrarse.

• Conjunto grande
• Suma de cuadrados
• Sumas de potencias