Simetría

Una figura u objeto geométrico es simétrico si puede dividirse en dos o más piezas idénticas dispuestas de forma organizada. ^{[ 5 ]} Esto significa que un objeto es simétrico si existe una transformación que mueve piezas individuales del objeto, pero no cambia la forma general. El tipo de simetría está determinado por la forma en que se organizan las piezas o por el tipo de transformación.

• Un objeto tiene simetría de reflexión (simetría de línea o simetría especular) si hay una línea (o en 3D un plano) que lo atraviesa y lo divide en dos partes que son imágenes especulares una de la otra. ^{[ 6 ]}
• Un objeto tiene simetría rotacional si puede girar alrededor de un punto fijo (o en 3D alrededor de una línea) sin cambiar su forma general. ^{[ 7 ]}
• Un objeto tiene simetría traslacional si puede trasladarse (moviendo cada punto del objeto la misma distancia) sin cambiar su forma general. ^{[ 8 ]}
• Un objeto tiene simetría helicoidal si puede trasladarse y rotarse simultáneamente en el espacio tridimensional a lo largo de una línea conocida como eje helicoidal . ^{[ 9 ]}
• Un objeto tiene simetría de escala si no cambia de forma al expandirse o contraerse. ^{[ 10 ]} Los fractales también exhiben una forma de simetría de escala, donde las porciones más pequeñas del fractal son similares en forma a las porciones más grandes. ^{[ 11 ]}
• Otras simetrías incluyen la simetría de reflexión de deslizamiento (una reflexión seguida de una traslación) y la simetría de rotoreflexión (una combinación de una rotación y una reflexión ^{[ 12 ]} ).

Una relación diádica R = S × S es simétrica si para todos los elementos a , b en S , siempre que sea cierto que Rab , también es cierto que Rba . ^{[ 13 ]} Por lo tanto, la relación "tiene la misma edad que" es simétrica, porque si Pablo tiene la misma edad que María, entonces María tiene la misma edad que Pablo.

En lógica proposicional, los conectores lógicos binarios simétricos incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo si (↔), mientras que el conector si (→) no es simétrico. ^{[ 14 ]} Otros conectores lógicos simétricos incluyen nand (no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻) y nor (no-o, o ⊽).

Generalizando a partir de la simetría geométrica en la sección anterior, se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada , si, cuando se aplica al objeto, esta operación preserva alguna propiedad del objeto. ^{[ 15 ]} El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo .

En general, toda estructura matemática posee su propia simetría. Algunos ejemplos son las funciones pares e impares en cálculo , los grupos simétricos en álgebra abstracta , las matrices simétricas en álgebra lineal y los grupos de Galois en la teoría de Galois . En estadística , la simetría también se manifiesta como distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría (la asimetría de las distribuciones). ^{[ 16 ]}

La simetría en física se ha generalizado para significar invariancia —es decir, falta de cambio— bajo cualquier tipo de transformación, por ejemplo, transformaciones de coordenadas arbitrarias . ^{[ 17 ]} Este concepto se ha convertido en una de las herramientas más poderosas de la física teórica , ya que se ha hecho evidente que prácticamente todas las leyes de la naturaleza se originan en simetrías. De hecho, este papel inspiró al premio Nobel PW Anderson a escribir en su artículo de 1972, ampliamente leído, More is Different , que «decir que la física es el estudio de la simetría es solo una ligera exageración». ^{[ 18 ]} Véase el teorema de Noether (que, en una forma muy simplificada, establece que para cada simetría matemática continua, existe una cantidad conservada correspondiente, como la energía o el momento; una corriente conservada, en el lenguaje original de Noether); ^{[ 19 ]} y también, la clasificación de Wigner , que dice que las simetrías de las leyes de la física determinan las propiedades de las partículas que se encuentran en la naturaleza. ^{[ 20 ]}

Entre las simetrías importantes en física se incluyen las simetrías continuas y discretas del espacio-tiempo ; las simetrías internas de las partículas; y la supersimetría de las teorías físicas.

En biología, la noción de simetría se utiliza principalmente para describir formas corporales. Los animales bilaterales , incluidos los humanos, son más o menos simétricos con respecto al plano sagital que divide el cuerpo en mitades izquierda y derecha. ^{[ 21 ]} Los animales que se mueven en una dirección necesariamente tienen lados superior e inferior, cabeza y cola, y por lo tanto, un lado izquierdo y un lado derecho. La cabeza se especializa con boca y órganos sensoriales, y el cuerpo se vuelve bilateralmente simétrico para el movimiento, con pares simétricos de músculos y elementos esqueléticos, aunque los órganos internos a menudo permanecen asimétricos. ^{[ 22 ]}

Las plantas y los animales sésiles (fijos), como las anémonas de mar, suelen tener simetría radial o rotacional , lo cual les resulta conveniente porque el alimento o las amenazas pueden llegar desde cualquier dirección. La simetría quíntuple se encuentra en los equinodermos , el grupo que incluye las estrellas de mar , los erizos de mar y los lirios de mar . ^{[ 23 ]}

En biología, la noción de simetría se utiliza también como en física, es decir, para describir las propiedades de los objetos estudiados, incluidas sus interacciones. Una propiedad notable de la evolución biológica son los cambios de simetría que corresponden a la aparición de nuevas partes y dinámicas. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

La simetría es importante para la química porque sustenta prácticamente todas las interacciones específicas entre moléculas en la naturaleza (es decir, a través de la interacción de moléculas quirales naturales y artificiales con sistemas biológicos inherentemente quirales). El control de la simetría de las moléculas producidas en la síntesis química moderna contribuye a que los científicos puedan ofrecer intervenciones terapéuticas con mínimos efectos secundarios . Una comprensión rigurosa de la simetría explica observaciones fundamentales en la química cuántica y en las áreas aplicadas de la espectroscopia y la cristalografía . La teoría y la aplicación de la simetría a estas áreas de la física se basan en gran medida en el área matemática de la teoría de grupos . ^{[ 26 ]}

En química, la simetría de un objeto o molécula se describe mediante operaciones de simetría. Una operación de simetría es una acción que modifica una molécula de tal manera que su apariencia general permanece inalterada. Existen tres tipos principales de operaciones de simetría.

1. Rotación

Esto implica rotar la molécula alrededor de una línea imaginaria llamada eje. Si la molécula permanece igual después de la rotación, se dice que tiene simetría rotacional. El elemento de simetría correspondiente es el eje de rotación.

2. Reflexión

Esta operación refleja la molécula sobre una superficie plana imaginaria, como un espejo. Si la imagen reflejada es idéntica a la original, la molécula posee simetría de reflexión. El elemento de simetría correspondiente es el plano de simetría.

3. Inversión

En esta operación, cada punto de la molécula se desplaza a través de un punto central hasta una distancia igual en el lado opuesto. Si la molécula permanece inalterada tras este proceso, posee simetría de inversión. El elemento de simetría correspondiente es el centro de inversión o un punto.

1. Rotación: Ejes de simetría Este eje se suele denotar como C _n , donde n indica el número de veces que la molécula mantiene su apariencia original durante una rotación completa de 360°. El ángulo requerido para cada paso es 360°/n. Si una molécula permanece inalterada tras una rotación de este ángulo, se dice que tiene un eje de simetría n-ésimo o un eje de orden n. La acción de rotar la molécula una vez 360°/n alrededor de este eje se denomina operación C _n . Por ejemplo, si una molécula se ve igual tras una rotación de 120°, tiene un eje C _{3 .}

Una rotación de 360° deja una molécula exactamente igual que antes de la rotación. En este sentido, una rotación completa es equivalente a una rotación de 0°, lo que significa que no se ha producido ningún cambio visible. En la terminología de simetría, el acto de no realizar ningún cambio se denomina operación identidad y se representa con el símbolo E. La operación identidad está presente en todas las moléculas, independientemente de su simetría, porque no realizar ninguna operación siempre deja el objeto inalterado. Cuando una molécula se rota repetidamente alrededor de un eje de simetría n-ésimo (C _n ), realizar la rotación n veces devuelve la molécula a su orientación original. Esta relación se expresa como C _n ⁿ = E.

2. Reflexiones: Plano de simetría Este plano se representa con el símbolo σ (sigma). Existen diferentes tipos de planos de simetría, según su orientación con respecto a la molécula. El plano vertical (σ _v ) es un plano que contiene el eje principal de rotación (que es el eje de mayor orden o el mayor valor de n). El plano horizontal (σ _h ) es un plano perpendicular al eje principal de rotación. El plano diedro (σ _d ) es un plano vertical que contiene el eje principal y biseca el ángulo entre dos ejes C ₂ perpendiculares al eje principal.

Si se aplica una operación de reflexión dos veces, la molécula regresa a su posición original. Esto se expresa como σ ² = E

3. Inversión: Centro de simetría Esta operación se representa con el símbolo i. La inversión puede entenderse como una combinación de una rotación de 180° seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación (σ _h ). Al aplicar la operación de inversión dos veces, la molécula vuelve a su configuración original: i ² = E.

Para un observador humano, algunos tipos de simetría son más prominentes que otros, en particular el más prominente es un reflejo con un eje vertical, como el presente en el rostro humano. Ernst Mach hizo esta observación en su libro "El análisis de las sensaciones" (1897), ^{[ 27 ]} y esto implica que la percepción de la simetría no es una respuesta general a todos los tipos de regularidades. Tanto los estudios conductuales como neurofisiológicos han confirmado la sensibilidad especial a la simetría de reflexión en humanos y también en otros animales. ^{[ 28 ]} Los primeros estudios dentro de la tradición Gestalt sugirieron que la simetría bilateral era uno de los factores clave en la agrupación perceptiva . Esto se conoce como la Ley de Simetría . El papel de la simetría en la agrupación y la organización figura/fondo ha sido confirmado en muchos estudios. Por ejemplo, la detección de la simetría de reflexión es más rápida cuando esta es una propiedad de un solo objeto. ^{[ 29 ]} Los estudios de percepción humana y psicofísica han demostrado que la detección de la simetría es rápida, eficiente y robusta a las perturbaciones. Por ejemplo, la simetría se puede detectar con presentaciones de entre 100 y 150 milisegundos. ^{[ 30 ]}

Estudios de neuroimagen más recientes han documentado qué regiones cerebrales se activan durante la percepción de la simetría. Sasaki et al. ^{[ 31 ]} utilizaron imágenes de resonancia magnética funcional (fMRI) para comparar las respuestas a patrones con puntos simétricos o aleatorios. Se observó una fuerte actividad en las regiones extraestriadas de la corteza occipital, pero no en la corteza visual primaria. Las regiones extraestriadas incluían V3A, V4, V7 y el complejo occipital lateral (LOC). Estudios electrofisiológicos han encontrado una negatividad posterior tardía que se origina en las mismas áreas. ^{[ 32 ]} En general, una gran parte del sistema visual parece estar involucrada en el procesamiento de la simetría visual, y estas áreas involucran redes similares a las responsables de la detección y el reconocimiento de objetos. ^{[ 33 ]}

La simetría se manifiesta en la arquitectura a todas las escalas, desde las vistas exteriores generales de edificios como las catedrales góticas y la Casa Blanca , pasando por la distribución de los planos de planta individuales , hasta el diseño de elementos constructivos específicos como los mosaicos de azulejos . Edificios islámicos como el Taj Mahal y la mezquita Lotfollah hacen un uso elaborado de la simetría tanto en su estructura como en su ornamentación. ^{[ 38 ] [ 39 ]} Edificios moriscos como la Alhambra están ornamentados con patrones complejos creados mediante simetrías de traslación y reflexión, así como rotaciones. ^{[ 40 ]}

Se ha dicho que solo los malos arquitectos se basan en una "disposición simétrica de bloques, masas y estructuras"; ^{[ 41 ]} La arquitectura modernista , comenzando con el estilo internacional , se basa en cambio en "alas y equilibrio de masas". ^{[ 41 ]}

Desde los primeros usos del torno de alfarero para dar forma a las vasijas de arcilla, la cerámica ha mantenido una estrecha relación con la simetría. La cerámica creada con torno adquiere una simetría rotacional completa en su sección transversal, a la vez que permite una considerable libertad de forma en la dirección vertical. Partiendo de esta simetría inherente, los alfareros, desde la antigüedad, han añadido patrones que modifican la simetría rotacional para lograr objetivos visuales.

Las vasijas de metal fundido carecían de la simetría rotacional inherente a la cerámica torneada, pero ofrecían una oportunidad similar para decorar sus superficies con patrones agradables a quienes las usaban. Los antiguos chinos , por ejemplo, utilizaban patrones simétricos en sus fundiciones de bronce ya en el siglo XVII a. C. Las vasijas de bronce presentaban tanto un motivo principal bilateral como un diseño de borde repetido y trasladado. ^{[ 42 ]}

Una larga tradición en el uso de la simetría en los diseños de alfombras y tapetes abarca diversas culturas. Los indígenas navajos americanos utilizaban diagonales marcadas y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales presentan intrincados centros y bordes reflejados que reproducen un patrón. Como era de esperar, las alfombras rectangulares suelen tener la simetría de un rectángulo , es decir, motivos que se reflejan tanto en el eje horizontal como en el vertical (véase el grupo de cuatro de Klein, §  Geometría ). ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Como las colchas se hacen a partir de bloques cuadrados (generalmente de 9, 16 o 25 piezas por bloque), donde cada pieza más pequeña suele consistir en triángulos de tela, esta técnica se presta fácilmente a la aplicación de la simetría. ^{[ 45 ]}

Las simetrías aparecen en el diseño de objetos de todo tipo. Algunos ejemplos son los trabajos con cuentas , los muebles , las pinturas de arena , los nudos , las máscaras y los instrumentos musicales . Las simetrías son fundamentales en el arte de M. C. Escher y en las numerosas aplicaciones de la teselación en formas artísticas y artesanales como el papel pintado , la cerámica (como en la decoración geométrica islámica ) , el batik , el ikat , la fabricación de alfombras y muchos tipos de patrones textiles y de bordado . ^{[ 46 ]}

La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos. ^{[ 47 ]} Al crear un logotipo en una cuadrícula y utilizar la teoría de la simetría, los diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o asimétrico, determinar el espacio entre las letras, determinar cuánto espacio negativo se requiere en el diseño y cómo acentuar partes del logotipo para que resalte.

La simetría no se limita a las artes visuales. Su papel en la historia de la música influye en muchos aspectos de la creación y la percepción musical.

La relación entre simetría y estética es compleja. Los humanos encuentran la simetría bilateral en los rostros físicamente atractiva; ^{[ 51 ]} indica salud y aptitud genética. ^{[ 52 ] [ 53 ]} En contraposición, existe la tendencia a percibir la simetría excesiva como aburrida o poco interesante. Rudolf Arnheim sugirió que las personas prefieren formas que tengan cierta simetría y la suficiente complejidad para hacerlas interesantes. ^{[ 54 ]}

La simetría se puede encontrar de diversas formas en la literatura ; un ejemplo sencillo es el palíndromo , donde un texto breve se lee igual de adelante hacia atrás que de atrás hacia adelante. Las historias pueden tener una estructura simétrica, como el patrón de ascenso y caída de Beowulf . ^{[ 55 ]}