Álgebra interior

En álgebra abstracta , un álgebra interior es un tipo específico de estructura algebraica que codifica la idea del interior topológico de un conjunto. Las álgebras interiores son a la topología y a la lógica modal S4 lo que las álgebras booleanas son a la teoría de conjuntos y a la lógica proposicional ordinaria . Las álgebras interiores forman una variedad de álgebras modales .

Definición

Un álgebra interior es una estructura algebraica con la signatura

⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, ^I ⟩

dónde

⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩

es un álgebra booleana y el sufijo ^I designa un operador unario , el operador interior , que satisface las identidades:

x ^I ≤ x
x ^II = x ^I
( xy ) ^I = x ^Iy ^I
1 ^I = 1

x ^I se denomina el interior de x .

El dual del operador interior es el operador de clausura^C definido por x ^C = (( x ′) ^I )′. x ^C se denomina clausura de x . Por el principio de dualidad , el operador de clausura satisface las identidades:

x ^C ≥ x
x ^CC = x ^C
( x + y ) ^C = x ^C + y ^C
0 ^C = 0

Si se toma el operador de cierre como primitivo, el operador interior se puede definir como x ^I = (( x ′) ^C )′. Por lo tanto, la teoría de las álgebras interiores se puede formular usando el operador de cierre en lugar del operador interior, en cuyo caso se consideran álgebras de cierre de la forma ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, ^C ⟩, donde ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩ es nuevamente un álgebra booleana y ^C satisface las identidades anteriores para el operador de cierre. Las álgebras de cierre e interiores forman pares duales y son instancias paradigmáticas de "álgebras booleanas con operadores". La literatura temprana sobre este tema (principalmente la topología polaca) invocaba operadores de cierre, pero la formulación del operador interior finalmente se convirtió en la norma después del trabajo de Wim Blok .

Elementos abiertos y cerrados

Los elementos de un álgebra interior que satisfacen la condición x ^I = x se denominan abiertos . Los complementos de los elementos abiertos se denominan cerrados y se caracterizan por la condición x ^C = x . El interior de un elemento siempre es abierto y su clausura siempre es cerrada. Los interiores de los elementos cerrados se denominan abiertos regulares y las clausuras de los elementos abiertos se denominan cerrados regulares . Los elementos que son a la vez abiertos y cerrados se denominan clopen . 0 y 1 son clopen.

Un álgebra interior se denomina booleana si todos sus elementos son abiertos (y, por lo tanto, abiertos y cerrados). Las álgebras interiores booleanas se pueden identificar con las álgebras booleanas ordinarias, ya que sus operadores de interior y de cierre no proporcionan ninguna estructura adicional significativa. Un caso especial es la clase de álgebras interiores triviales , que son las álgebras interiores de un solo elemento caracterizadas por la identidad 0 = 1.

Morfismos de álgebras interiores

Homomorfismos

Las álgebras interiores, por ser estructuras algebraicas , poseen homomorfismos . Dadas dos álgebras interiores A y B , una aplicación f : A → B es un homomorfismo de álgebras interiores si y solo si f es un homomorfismo entre las álgebras booleanas subyacentes de A y B , que además preserva interiores y clausuras. Por lo tanto:

f ( x ^I ) = f ( x ) ^I ;
f ( x ^C ) = f ( x ) ^C .

Topomorfismos

Los topomorfismos son otra clase importante, y más general, de morfismos entre álgebras interiores. Una aplicación f : A → B es un topomorfismo si y solo si f es un homomorfismo entre las álgebras booleanas subyacentes a A y B , que además preserva los elementos abiertos y cerrados de A. Por lo tanto:

Si x es abierto en A , entonces f ( x ) es abierto en B ;
Si x es cerrado en A , entonces f ( x ) es cerrado en B.

(Estos morfismos también se han denominado homomorfismos estables y semihomomorfismos de álgebra de cierre ). Todo homomorfismo de álgebra interior es un topomorfismo, pero no todo topomorfismo es un homomorfismo de álgebra interior.

homomorfismos booleanos

Las primeras investigaciones a menudo consideraban mapeos entre álgebras interiores que eran homomorfismos de las álgebras booleanas subyacentes, pero que no necesariamente preservaban el operador interior o de cierre. Dichos mapeos se denominaban homomorfismos booleanos . (Los términos homomorfismo de cierre u homomorfismo topológico se usaban cuando estos se preservaban, pero esta terminología ahora es redundante, ya que la definición estándar de un homomorfismo en álgebra universal requiere que preserve todas las operaciones). Las aplicaciones que involucran álgebras interiores numerablemente completas (en las que siempre existen intersecciones y uniones numerables , también llamadas σ-completas ) generalmente usaban homomorfismos booleanos numerablemente completos, también llamados σ - homomorfismos booleanos ; estos preservan las intersecciones y uniones numerables.

Morfismos continuos

La primera generalización de la continuidad a álgebras interiores fue la de Sikorski , basada en el mapa imagen inversa de un mapa continuo . Este es un homomorfismo booleano, preserva uniones de secuencias e incluye la clausura de una imagen inversa en la imagen inversa de la clausura. Sikorski definió así un homomorfismo continuo como un σ- homomorfismo booleano f entre dos álgebras interiores σ -completas tal que f ( x ) ^C ≤ f ( x ^C ). Esta definición tenía varias dificultades: la construcción actúa contravariantemente produciendo un dual de un mapa continuo en lugar de una generalización. Por un lado, la σ -completitud es demasiado débil para caracterizar mapas imagen inversa (se requiere completitud), por otro lado es demasiado restrictiva para una generalización. (Sikorski comentó sobre el uso de homomorfismos no σ- completos, pero incluyó la σ- completitud en sus axiomas para álgebras de clausura ). Más tarde, J. Schmid definió un homomorfismo continuo o morfismo continuo para álgebras interiores como un homomorfismo booleano f entre dos álgebras interiores que satisface f ( x ^C ) ≤ f ( x ) ^C . Esto generaliza el mapa de imagen hacia adelante de un mapa continuo: la imagen de una clausura está contenida en la clausura de la imagen. Esta construcción es covariante , pero no es adecuada para aplicaciones de teoría de categorías, ya que solo permite la construcción de morfismos continuos a partir de mapas continuos en el caso de biyecciones. (C. Naturman retomó el enfoque de Sikorski, pero prescindiendo de la σ- completitud para generar topomorfismos tal como se definieron anteriormente. En esta terminología, los "homomorfismos continuos" originales de Sikorski son topomorfismos σ -completos entre álgebras interiores σ -completas).

Relación con otras áreas de las matemáticas

Topología

Dado un espacio topológico X = ⟨ X , T ⟩ se puede formar el álgebra booleana de conjuntos potencia de X :

⟨ P (X), \cap, \cup, ', ø, X ⟩

y extenderlo a un álgebra interior

A (X) = ⟨ P (X), \cap, \cup, ', ø, X, I ⟩

,

donde ^I es el operador interior topológico usual. Para todo S ⊆ X se define por

S I = \cup {O | O \subseteq S y O es abierto en X}

Para todo S ⊆ X, el operador de cierre correspondiente viene dado por

S C = \cap {C | S \subseteq C y C es cerrado en X}

S ^I es el subconjunto abierto más grande de S y S ^C es el superconjunto cerrado más pequeño de S en X. Los elementos abiertos, cerrados, abiertos regulares, cerrados regulares y clopen del álgebra interior A ( X ) son simplemente los subconjuntos abiertos, cerrados, abiertos regulares, cerrados regulares y clopen de X respectivamente en el sentido topológico usual.

Toda álgebra interior atómica completa es isomorfa a un álgebra interior de la forma A ( X ) para algún espacio topológico X. Además, toda álgebra interior puede incrustarse en dicha álgebra interior, lo que da como resultado una representación de un álgebra interior como un cuerpo topológico de conjuntos . Las propiedades de la estructura A ( X ) son la motivación principal para la definición de álgebras interiores. Debido a esta estrecha conexión con la topología, las álgebras interiores también se han denominado álgebras topo-booleanas o álgebras booleanas topológicas .

Dado un mapa continuo entre dos espacios topológicos

f : X \to Y

podemos definir un topomorfismo completo

A (f) : A (Y)\to A (X)

por

A ( f )( S ) = f ⁻¹ [ S ]

para todos los subconjuntos S de Y. Todo topomorfismo completo entre dos álgebras interiores atómicas completas puede derivarse de esta manera. Si Top es la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas y Cit es la categoría de álgebras interiores atómicas completas y topomorfismos completos, entonces Top y Cit son dualmente isomorfos y $A : Top \to Cit$ es un functor contravariante que es un isomorfismo dual de categorías. A ( f ) es un homomorfismo si y solo si f es una aplicación abierta continua .

Bajo este isomorfismo dual de categorías, muchas propiedades topológicas naturales se corresponden con propiedades algebraicas; en particular, las propiedades de conectividad se corresponden con propiedades de irreducibilidad:

X es vacío si y solo si A ( X ) es trivial.
X es indiscreta si y solo si A ( X ) es simple.
X es discreto si y solo si A ( X ) es booleano.
X es casi discreto si y solo si A ( X ) es semisimple.
X es finitamente generado (Alexandrov) si y solo si A ( X ) es completa en términos de operadores , es decir, sus operadores de interior y de clausura se distribuyen sobre intersecciones y uniones arbitrarias, respectivamente.
X está conectado si y solo si A ( X ) es directamente indescomponible.
X es ultraconexo si y solo si A ( X ) es subdirectamente irreducible finitamente
X esultraconexo compacto si y solo si A ( X ) es subdirectamente irreducible.

Topología generalizada

La formulación moderna de los espacios topológicos en términos de topologías de subconjuntos abiertos motiva una formulación alternativa de las álgebras interiores: Un espacio topológico generalizado es una estructura algebraica de la forma

⟨ B , ·, +, ′, 0, 1, T ⟩

donde ⟨ B , ·, +, ′, 0, 1⟩ es un álgebra booleana como de costumbre, y T es una relación unaria en B (subconjunto de B ) tal que:

$0,1 \in T$
T es cerrado bajo uniones arbitrarias (es decir, si existe una unión de un subconjunto arbitrario de T , entonces estará en T ).
T es cerrado bajo satisfacciones finitas
Para cada elemento b de B , existe la unión $Σ{a \in T | a \leq b}.$

Se dice que T es una topología generalizada en el álgebra de Boole.

Dado un álgebra interior, sus elementos abiertos forman una topología generalizada. Recíprocamente, dado un espacio topológico generalizado

⟨ B , ·, +, ′, 0, 1, T ⟩

Podemos definir un operador interior en B mediante $b I = Σ{a \in T | a \leq b}$ , lo que produce un álgebra interior cuyos elementos abiertos son precisamente T. Por lo tanto, los espacios topológicos generalizados son equivalentes a álgebras interiores.

Si consideramos que las álgebras interiores son espacios topológicos generalizados, los topomorfismos son entonces los homomorfismos estándar de las álgebras booleanas con relaciones añadidas, de modo que se aplican los resultados estándar del álgebra universal .

Funciones de vecindario y redes de vecindario

El concepto topológico de vecindades puede generalizarse a álgebras interiores: Un elemento y de un álgebra interior se denomina vecindad de un elemento x si $x \leq y \in I.$ El conjunto de vecindades de x se denota por N ( x ) y forma un filtro . Esto conduce a otra formulación de álgebras interiores:

Una función de vecindad en un álgebra booleana es una aplicación N de su conjunto subyacente B a su conjunto de filtros, de tal manera que:

Para todo $x \in B$ , existe $max{$ $y$ $\in$ $B$ $|$ $x$ $\in$ $N$ $($ $y$ $)}$
Para todo $x, y \in B, x \in N (y)$ si y solo si hay un $z \in B$ tal que $y \leq z \leq x$ y $z \in N (z)$ .

La función de mapeo N de elementos de un álgebra interior a sus filtros de vecindad es una función de vecindad en el álgebra booleana subyacente del álgebra interior. Además, dada una función de vecindad N en un álgebra booleana con conjunto subyacente B , podemos definir un operador interior mediante $x I = max{y \in B | x \in N (y)},$ obteniendo así un álgebra interior. $N(x)$ Entonces , será precisamente el filtro de vecindades de x en esta álgebra interior. Por lo tanto, las álgebras interiores son equivalentes a las álgebras booleanas con funciones de vecindad especificadas.

En términos de funciones de vecindad, los elementos abiertos son precisamente aquellos elementos x tales que $x \in N (x)$ . En términos de elementos abiertos $x \in N (y)$ si y solo si existe un elemento abierto z tal que $y \leq z \leq x$ .

Las funciones de vecindad pueden definirse de forma más general en semirretículos (de intersección) que producen las estructuras conocidas como semirretículos de vecindad . Por lo tanto, las álgebras interiores pueden considerarse precisamente como retículos de vecindad booleanos, es decir, aquellos retículos de vecindad cuyo semirretículo subyacente forma un álgebra booleana.

Lógica modal

Dada una teoría (conjunto de oraciones formales) M en la lógica modal S4 , podemos formar su álgebra de Lindenbaum-Tarski :

L ( M ) = ⟨ M / ~, ∧, ∨, ¬, F , T , □⟩

donde ~ es la relación de equivalencia en sentencias en M dada por p ~ q si y solo si p y q son lógicamente equivalentes en M , y M / ~ es el conjunto de clases de equivalencia bajo esta relación. Entonces L ( M ) es un álgebra interior. El operador interior en este caso corresponde al operador modal □ ( necesariamente ), mientras que el operador de cierre corresponde a ◊ ( posiblemente ). Esta construcción es un caso especial de un resultado más general para álgebras modales y lógica modal.

Los elementos abiertos de L ( M ) corresponden a oraciones que son verdaderas solo si son necesariamente verdaderas, mientras que los elementos cerrados corresponden a aquellas que son falsas solo si son necesariamente falsas.

Debido a su relación con S4 , las álgebras interiores a veces se denominan álgebras S4 o álgebras de Lewis , en honor al lógico C. I. Lewis , quien propuso por primera vez las lógicas modales S4 y S5 .

Pedidos anticipados

Dado que las álgebras interiores son álgebras booleanas (normales) con operadores , pueden representarse mediante cuerpos de conjuntos sobre estructuras relacionales apropiadas. En particular, al ser álgebras modales , pueden representarse como cuerpos de conjuntos sobre un conjunto con una única relación binaria , denominada marco de Kripke . Los marcos de Kripke correspondientes a las álgebras interiores son precisamente los conjuntos preordenados . Los conjuntos preordenados (también llamados marcos S4 ) proporcionan la semántica de Kripke de la lógica modal S4 , y la conexión entre las álgebras interiores y los preórdenes está profundamente relacionada con su conexión con la lógica modal.

Dado un conjunto preordenado X = ⟨ X , «⟩ podemos construir un álgebra interior

B (X) = ⟨ P (X), \cap, \cup, ', ø, X, I ⟩

del álgebra booleana del conjunto potencia de X donde el operador interior ^I está dado por

S I = {x \in X | para todo y \in X, x « y implica y \in S}

para todo S ⊆ X .

El operador de cierre correspondiente viene dado por

S C = {x \in X | existe un y \in S tal que y « x}

para todo S ⊆ X .

S ^I es el conjunto de todos los mundos inaccesibles desde mundos fuera de S , y S ^C es el conjunto de todos los mundos accesibles desde algún mundo en S. Toda álgebra interior puede incrustarse en un álgebra interior de la forma B ( X ) para algún conjunto preordenado X que da la representación antes mencionada como un cuerpo de conjuntos (un cuerpo de preorden ).

Este teorema de construcción y representación es un caso especial del resultado más general para álgebras modales y marcos de Kripke. En este sentido, las álgebras interiores son particularmente interesantes debido a su conexión con la topología . La construcción proporciona al conjunto preordenado X una topología , la topología de Alexandrov , produciendo un espacio topológico T ( X ) cuyos conjuntos abiertos son:

{O \subseteq X | para todo x \in O y todo y \in X, x « y implica y \in O}

.

Los conjuntos cerrados correspondientes son:

{C \subseteq X | para todo x \in C y todo y \in X, y « x implica y \in C}

.

En otras palabras, los conjuntos abiertos son aquellos cuyos mundos son inaccesibles desde el exterior (los conjuntos abiertos ), y los conjuntos cerrados son aquellos para los cuales todo mundo exterior es inaccesible desde el interior (los conjuntos cerrados ). Además, B ( X ) = A ( T ( X )).

Álgebras booleanas monádicas

Cualquier álgebra booleana monádica puede considerarse un álgebra interior donde el operador interior es el cuantificador universal y el operador de cierre es el cuantificador existencial. Las álgebras booleanas monádicas son, por lo tanto, precisamente la variedad de álgebras interiores que satisfacen la identidad x ^IC = x ^I. En otras palabras, son precisamente las álgebras interiores en las que todo elemento abierto es cerrado o, equivalentemente, en las que todo elemento cerrado es abierto. Además, dichas álgebras interiores son precisamente las álgebras interiores semisimples . También son las álgebras interiores correspondientes a la lógica modal S5 , y por ello también se las ha denominado álgebras S5 .

En la relación entre conjuntos preordenados y álgebras interiores, estos corresponden al caso en que el preorden es una relación de equivalencia , lo que refleja el hecho de que dichos conjuntos preordenados proporcionan la semántica de Kripke para S5 . Esto también refleja la relación entre la lógica monádica de cuantificación (para la cual las álgebras booleanas monádicas proporcionan una descripción algebraica ) y S5, donde los operadores modales □ ( necesariamente ) y ◊ ( posiblemente ) pueden interpretarse en la semántica de Kripke utilizando cuantificación universal monádica y existencial, respectivamente, sin referencia a una relación de accesibilidad.

Álgebras de Heyting

Los elementos abiertos de un álgebra interior forman un álgebra de Heyting , y los elementos cerrados forman un álgebra de Heyting dual . Los elementos abiertos regulares y los elementos cerrados regulares corresponden a los elementos pseudocomplementados y a los elementos pseudocomplementados duales de estas álgebras, respectivamente, y forman así álgebras booleanas. Los elementos clopen corresponden a los elementos complementados y forman una subálgebra común de estas álgebras booleanas, así como del álgebra interior misma. Toda álgebra de Heyting puede representarse como los elementos abiertos de un álgebra interior, y esta última puede elegirse como un álgebra interior generada por sus elementos abiertos; dichas álgebras interiores se corresponden biunívocamente con las álgebras de Heyting (salvo isomorfismo), que son las extensiones booleanas libres de estas últimas.

Las álgebras de Heyting desempeñan para la lógica intuicionista el mismo papel que las álgebras interiores desempeñan para la lógica modal S4 y las álgebras booleanas para la lógica proposicional . La relación entre las álgebras de Heyting y las álgebras interiores refleja la relación entre la lógica intuicionista y S4 , en la que se pueden interpretar las teorías de la lógica intuicionista como teorías S4 cerradas bajo necesidad . La correspondencia biunívoca entre las álgebras de Heyting y las álgebras interiores generadas por sus elementos abiertos refleja la correspondencia entre las extensiones de la lógica intuicionista y las extensiones normales de la lógica modal S4.Grz .

Álgebras derivadas

Dada una álgebra interior A , el operador de cierre obedece los axiomas del operador de derivada D. ^Por lo tanto, podemos formar un álgebra de derivada D ( A ) con la misma álgebra booleana subyacente que A, utilizando el operador de cierre como operador de derivada.

Así, las álgebras interiores son álgebras derivadas . Desde esta perspectiva, son precisamente la variedad de álgebras derivadas que satisfacen la identidad x ^D ≥ x . Las álgebras derivadas proporcionan la semántica algebraica apropiada para la lógica modal wK4 . Por lo tanto, las álgebras derivadas se relacionan con los conjuntos derivados topológicos y wK4 como las álgebras interiores/de clausura se relacionan con los interiores/clausuras topológicos y S4 .

Dada una álgebra de derivadas V con operador de derivadas ^D , podemos formar una álgebra interior $I (V)$ con la misma álgebra booleana subyacente que V , con operadores de interior y de cierre definidos por $x I = x \cdot x' D'$ y $x C = x + x D$ , respectivamente. Por lo tanto, toda álgebra de derivadas puede considerarse como un álgebra interior. Además, dada una álgebra interior A , tenemos $I (D (A)) = A.$ Sin embargo, $D (I (V)) = V$ no necesariamente se cumple para toda álgebra de derivadas V.

Dualidad de Stone y representación para álgebras interiores

La dualidad de Stone proporciona una dualidad categórica entre álgebras booleanas y una clase de espacios topológicos conocidos como espacios booleanos . Partiendo de ideas incipientes de semántica relacional (formalizadas posteriormente por Kripke ) y un resultado de R. S. Pierce, Jónsson , Tarski y G. Hansoul extendieron la dualidad de Stone a álgebras booleanas con operadores , dotando a los espacios booleanos de relaciones que corresponden a los operadores mediante una construcción de conjuntos potencia . En el caso de las álgebras interiores, el operador interior (o de cierre) corresponde a un preorden en el espacio booleano. Los homomorfismos entre álgebras interiores corresponden a una clase de aplicaciones continuas entre los espacios booleanos, conocidas como pseudoepimorfismos o p-morfismos . Esta generalización de la dualidad de Stone a las álgebras interiores, basada en la representación de Jónsson-Tarski, fue investigada por Leo Esakia y también se conoce como la dualidad de Esakia para las álgebras S4 (álgebras interiores) , estando estrechamente relacionada con la dualidad de Esakia para las álgebras de Heyting.

Mientras que la generalización de Jónsson-Tarski de la dualidad de Stone se aplica a las álgebras booleanas con operadores en general, la conexión entre las álgebras interiores y la topología permite otro método de generalización de la dualidad de Stone que es exclusivo de las álgebras interiores. Un paso intermedio en el desarrollo de la dualidad de Stone es el teorema de representación de Stone , que representa un álgebra booleana como un cuerpo de conjuntos . La topología de Stone del espacio booleano correspondiente se genera entonces utilizando el cuerpo de conjuntos como base topológica . Partiendo de la semántica topológica introducida por Tang Tsao-Chen para la lógica modal de Lewis, McKinsey y Tarski demostraron que al generar una topología equivalente a usar solo los complejos que corresponden a elementos abiertos como base, se obtiene una representación de un álgebra interior como un cuerpo topológico de conjuntos : un cuerpo de conjuntos en un espacio topológico que es cerrado con respecto a tomar interiores o clausuras. Al dotar a los campos topológicos de conjuntos de morfismos apropiados conocidos como mapas de campo , C. Naturman demostró que este enfoque puede formalizarse como una dualidad de Stone teórica de categorías en la que la dualidad de Stone usual para álgebras booleanas corresponde al caso de álgebras interiores que tienen un operador interior redundante (álgebras interiores booleanas).

El preorden obtenido en el enfoque de Jónsson-Tarski corresponde a la relación de accesibilidad en la semántica de Kripke para una teoría S4, mientras que el campo intermedio de conjuntos corresponde a una representación del álgebra de Lindenbaum-Tarski para la teoría utilizando los conjuntos de mundos posibles en la semántica de Kripke en los que se cumplen las sentencias de la teoría. Pasar del campo de conjuntos a un espacio booleano oscurece en cierta medida esta conexión. Al tratar los campos de conjuntos en preórdenes como una categoría en sí misma, esta profunda conexión puede formularse como una dualidad de teoría de categorías que generaliza la representación de Stone sin topología. R. Goldblatt había demostrado que, con restricciones a homomorfismos apropiados, dicha dualidad puede formularse para álgebras modales arbitrarias y marcos de Kripke. Naturman demostró que, en el caso de álgebras interiores, esta dualidad se aplica a topomorfismos más generales y puede factorizarse mediante un functor de teoría de categorías a través de la dualidad con campos topológicos de conjuntos. Estos últimos representan el álgebra de Lindenbaum-Tarski usando conjuntos de puntos que satisfacen sentencias de la teoría S4 en la semántica topológica. El preorden se puede obtener como el preorden de especialización de la topología de McKinsey-Tarski. La dualidad de Esakia se puede recuperar mediante un functor que reemplaza el campo de conjuntos con el espacio booleano que genera. Mediante un functor que reemplaza el preorden con su topología de Alexandrov correspondiente, se obtiene una representación alternativa del álgebra interior como un campo de conjuntos donde la topología es la bico-reflexión de Alexandrov de la topología de McKinsey-Tarski. El enfoque de formular una dualidad topológica para álgebras interiores usando tanto la topología de Stone del enfoque de Jónsson-Tarski como la topología de Alexandrov del preorden para formar un espacio bi-topológico ha sido investigado por G. Bezhanishvili, R. Mines y P.J. Morandi. La topología de McKinsey-Tarski de un álgebra interior es la intersección de las dos topologías anteriores.

Metamatemáticas

Grzegorczyk demostró que la teoría de primer orden de las álgebras de cierre es indecidible . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Naturman demostró que la teoría es hereditariamente indecidible (todas sus subteorías son indecidibles) y demostró una cadena infinita de clases elementales de álgebras interiores con teorías hereditariamente indecidibles.

Notas

^ Andrzej Grzegorczyk (1951), "Indecidibilidad de algunas teorías topológicas", Fundamenta Mathematicae 38 : 137–52.
↑ Según la nota al pie 19 en McKinsey y Tarski, 1944, el resultado había sido demostrado anteriormente por Stanisław Jaśkowski en 1939, pero permaneció inédito e inaccesible en vista de las condiciones de guerra presentes [en ese momento] .

Referencias

Blok, WA, 1976, Variedades de álgebras interiores, tesis doctoral, Universidad de Ámsterdam.
Esakia, L., 2004, " Lógica intuicionista y modalidad a través de la topología ," Annals of Pure and Applied Logic 127 : 155–70.
McKinsey, JCC y Alfred Tarski , 1944, "El álgebra de la topología", Annals of Mathematics 45 : 141–91.
Naturman, CA, 1991, Álgebras interiores y topología , tesis doctoral, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Ciudad del Cabo.
Bezhanishvili, G., Mines, R. y Morandi, PJ, 2008, Completaciones topocanónicas de álgebras de cierre y álgebras de Heyting , Algebra Universalis 58 : 1–34.
Schmid, J., 1973, Sobre la compactificación de álgebras de cierre , Fundamenta Mathematicae 79 : 33–48
Sikorski R., 1955, Homomorfismos de cierre y aplicaciones interiores , Fundamenta Mathematicae 41 : 12–20

[1] Andrzej Grzegorczyk (1951), "Indecidibilidad de algunas teorías topológicas", Fundamenta Mathematicae 38 : 137–52.

[2] Según la nota al pie 19 en McKinsey y Tarski, 1944, el resultado había sido demostrado anteriormente por Stanisław Jaśkowski en 1939, pero permaneció inédito e inaccesible en vista de las condiciones de guerra presentes [en ese momento] .

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