functor Tor

En matemáticas , los functores Tor son los functores derivados del producto tensorial de módulos sobre un anillo . Junto con el functor Ext , Tor es uno de los conceptos centrales del álgebra homológica , en la que se utilizan ideas de la topología algebraica para construir invariantes de estructuras algebraicas. La homología de grupos , las álgebras de Lie y las álgebras asociativas pueden definirse en términos de Tor. El nombre proviene de una relación entre el primer grupo Tor, Tor _1, y el subgrupo de torsión de un grupo abeliano .

En el caso especial de los grupos abelianos, Tor fue introducido por Eduard Čech en 1935 ^{[ 1 ]} y nombrado por Samuel Eilenberg alrededor de 1950. ^{[ 2 ]} Se aplicó por primera vez al teorema de Künneth y al teorema del coeficiente universal en topología. Para módulos sobre cualquier anillo , Ext fue definido por Henri Cartan y Eilenberg en 1956. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle R}$ser un anillo . Escribe${\displaystyle R{\textsf {-Mod}}}$para la categoría de izquierda${\displaystyle R}$-módulos y${\displaystyle {\textsf {Mod-}}R}$para la categoría de derecho${\displaystyle R}$-módulos. (Si${\displaystyle R}$es conmutativo , se pueden identificar las dos categorías.) Para un valor fijo a la izquierda${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle B}$, dejar${\displaystyle T(A)=A\otimes _{R}B}$para${\displaystyle A}$en${\displaystyle {\textsf {Mod-}}R}$Este es un functor exacto derecho de${\displaystyle {\textsf {Mod-}}R}$a la categoría de grupos abelianos${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$y así ha dejado functores derivados${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}T}$Los grupos Tor son los grupos abelianos definidos por $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=({\mathcal {L}}_{i}T)(A),}$$ para un número entero${\displaystyle i}$. Por definición, esto significa: tomar cualquier resolución proyectiva$${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$$ y eliminar${\displaystyle A}$y forman el complejo de cadena : $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$$

Para cada número entero${\displaystyle i}$, el grupo${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$es la homología de este complejo en la posición${\displaystyle i}$Es cero para${\displaystyle i}$negativo. Además,${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$es el conúcleo del mapa${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$, que es isomorfo a${\displaystyle A\otimes _{R}B}$.

Alternativamente, se puede definir${\displaystyle \mathrm {Tor} }$arreglando${\displaystyle A}$y tomando los functores derivados de la izquierda del functor exacto de la derecha${\displaystyle G(B)=A\otimes _{R}B}$. Es decir, tensor${\displaystyle A}$con una resolución proyectiva de${\displaystyle B}$y tomemos homología. Cartan y Eilenberg demostraron que estas construcciones son independientes de la elección de la resolución proyectiva, y que ambas construcciones producen los mismos grupos Tor. ^{[ 4 ]} Además, para un anillo fijo${\displaystyle R}$,${\displaystyle \mathrm {Tor} }$es un functor en cada variable (desde${\displaystyle R}$-módulos a grupos abelianos).

Para un anillo conmutativo${\displaystyle R}$y${\displaystyle R}$-módulos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$,${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$es un${\displaystyle R}$-módulo (usando ese${\displaystyle A\otimes _{R}B}$es un${\displaystyle R}$-módulo en este caso). Para un anillo no conmutativo${\displaystyle R}$,${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$es solo un grupo abeliano, en general. Si${\displaystyle R}$es un álgebra sobre un anillo${\displaystyle S}$(lo que significa en particular que${\displaystyle S}$es conmutativa), entonces${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$es al menos un${\displaystyle S}$-módulo.

Aquí se presentan algunas de las propiedades y cálculos básicos de los grupos de Tor. ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{0}^{R}(A,B)\cong A\otimes _{R}B}$por cualquier derecho${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle A}$y se fue${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle B}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle i>0}$si alguno de los dos${\displaystyle A}$o${\displaystyle B}$es plano (por ejemplo, gratis ) como un${\displaystyle R}$-módulo. De hecho, se puede calcular Tor utilizando una resolución plana de cualquiera de los dos.${\displaystyle A}$o${\displaystyle B}$; esto es más general que una resolución proyectiva (o libre). ^{[ 6 ]}
• Si${\displaystyle A,B}$son grupos abelianos generados finitamente, entonces${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)\cong A_{\text{tor}}\otimes _{\mathbb {Z} }B_{\text{tor}}}$, dónde${\displaystyle A_{\text{tor}}}$es el subgrupo de torsión de${\displaystyle A}$.
• Existen recíprocos a la afirmación anterior:
  • Si${\displaystyle \mathrm {Tor} _ {1}^{R}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle B}$, entonces${\displaystyle A}$es plano (y por lo tanto${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle i>0}$).
  • Si${\displaystyle \mathrm {Tor} _ {1}^{R}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle B}$es plano (y por lo tanto${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle i>0}$).
• Por las propiedades generales de los functores derivados , toda secuencia exacta corta${\displaystyle 0\to K\to L\to M\to 0}$del derecho${\displaystyle R}$-módulos induce una larga secuencia exacta de la forma ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$$por cualquier resto${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle B}$. La secuencia exacta análoga también se cumple para Tor con respecto a la segunda variable.
• Simetría: para un anillo conmutativo${\displaystyle R}$, existe un isomorfismo natural${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \mathrm {Tor} _{i}^{R}(B,A)}$. ^{[ 8 ]} (Para${\displaystyle R}$conmutativo, no hay necesidad de distinguir entre izquierda y derecha${\displaystyle R}$-módulos.)
• Si${\displaystyle R}$es un anillo conmutativo y${\displaystyle u}$en${\displaystyle R}$si no es un divisor de cero , entonces para cualquier${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle B}$,$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$dónde$${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$$es el${\displaystyle u}$-subgrupo de torsión de${\displaystyle B}$Esta es la explicación del nombre Tor. Tomando${\displaystyle R}$ser el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros, este cálculo se puede utilizar para calcular${\displaystyle \operatorname {Tor} _ {1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$para cualquier grupo abeliano finitamente generado${\displaystyle A}$.
• Generalizando el ejemplo anterior, se pueden calcular grupos de Tor que involucran el cociente de un anillo conmutativo por cualquier secuencia regular , utilizando el complejo de Koszul . ^{[ 9 ]} Por ejemplo, si${\displaystyle R}$es el anillo de polinomios${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$sobre un campo${\displaystyle k}$, entonces${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$es el álgebra exterior sobre${\displaystyle k}$en${\displaystyle n}$generadores en${\displaystyle \mathrm {Tor} _ {1}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle i\geq 2}$. La razón: cada grupo abeliano${\displaystyle A}$tiene una resolución libre de longitud 1, ya que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre.
• Generalizando el ejemplo anterior,${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle i\geq 2}$si${\displaystyle R}$es un dominio ideal principal (PID). La razón: cada módulo${\displaystyle A}$sobre un PID tiene una resolución libre de longitud 1, ya que cada submódulo de un módulo libre sobre un PID es libre.
• Para cualquier anillo${\displaystyle R}$, Tor conserva sumas directas (posiblemente infinitas) y colímites filtrados en cada variable. ^{[ 10 ]} Por ejemplo, en la primera variable, esto dice que$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$$
• Cambio de base plana: para una base plana conmutativa${\displaystyle R}$-álgebra${\displaystyle T}$,${\displaystyle R}$-módulos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$y un número entero${\displaystyle i}$, ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$$De ello se deduce que Tor conmuta con la localización . Es decir, para un conjunto multiplicativamente cerrado${\displaystyle S}$en${\displaystyle R}$,$${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$$
• Para un anillo conmutativo${\displaystyle R}$y conmutativo${\displaystyle R}$-álgebras${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$,${\displaystyle \mathrm {Tor} _ {*}^{R}(A,B)}$tiene la estructura de un álgebra conmutativa graduada sobre${\displaystyle R}$. Además, los elementos de grado impar en el álgebra de Tor tienen cuadrado cero, y hay operaciones de potencia dividida en los elementos de grado par positivo. ^{[ 12 ]}

• La homología de grupo se define por${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$donde G es un grupo, M es una representación de G sobre los números enteros y${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$es el anillo de grupo de G.
• Para un álgebra A sobre un cuerpo k y un A - bimódulo M , la homología de Hochschild se define por$${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$$
• La homología del álgebra de Lie se define por${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo R , M es un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo, y${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$es el álgebra envolvente universal .
• Para un anillo conmutativo R con un homomorfismo sobre un cuerpo k ,${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$es un álgebra de Hopf graduada-conmutativa sobre k . ^{[ 13 ]} (Si R es un anillo local noetheriano con campo residual k , entonces el álgebra de Hopf dual a${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$es Ext ^* _R ( k , k ).) Como un álgebra,${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$es el álgebra de potencia dividida graduada-conmutativa libre en un espacio vectorial graduado π _* ( R ). ^{[ 14 ]} Cuando k tiene característica cero, π _* ( R ) puede identificarse con la homología de André-Quillen D _* ( k / R , k ). ^{[ 15 ]}

• Morfismo plano
• Fórmula de intersección de Serre
• Producto tensorial derivado
• secuencia espectral de Eilenberg-Moore

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• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Álgebra homológica , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, MR 0077480 
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• Sjödin, Gunnar (1980), "Álgebras y derivaciones de Hopf", Journal of Algebra , 64 : 218– 229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR 0575792 
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259  
• Weibel, Charles (1999), "Historia del álgebra homológica", Historia de la topología (PDF) , Ámsterdam: North-Holland, págs. 797–836 , MR 1721123  

• Autores del Proyecto Stacks, El Proyecto Stacks