Superficie de fluencia

El criterio de fluencia de Tresca se considera obra de Henri Tresca . ^{[ 12 ]} También se conoce como teoría de la tensión cortante máxima (MSST) y criterio de Tresca-Guest ^{[ 13 ]} (TG). En términos de las tensiones principales, el criterio de Tresca se expresa como

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

Dónde${\displaystyle S_{sy}}$es la resistencia a la fluencia en corte, y${\displaystyle S_{y}}$es el límite elástico a la tracción.

La Figura 1 muestra la superficie de fluencia de Tresca-Guest en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un prisma de seis caras y longitud infinita. Esto significa que el material permanece elástico cuando las tres tensiones principales son aproximadamente equivalentes (una presión hidrostática ), sin importar cuánto se comprima o estire. Sin embargo, cuando una de las tensiones principales se vuelve menor (o mayor) que las otras, el material está sujeto a cizallamiento. En tales situaciones, si la tensión de cizallamiento alcanza el límite de fluencia, entonces el material entra en el dominio plástico. La Figura 2 muestra la superficie de fluencia de Tresca-Guest en el espacio de tensiones bidimensional, es una sección transversal del prisma a lo largo de la${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$avión.

El criterio de fluencia de von Mises se expresa en términos de las tensiones principales como

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

dónde${\displaystyle S_{y}}$es el límite elástico en tensión uniaxial.

La Figura 3 muestra la superficie de fluencia de von Mises en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un cilindro circular de longitud infinita con su eje inclinado en ángulos iguales a las tres tensiones principales. La Figura 4 muestra la superficie de fluencia de von Mises en el espacio bidimensional en comparación con el criterio de Tresca-Guest. Una sección transversal del cilindro de von Mises en el plano de${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$produce la forma elíptica de la superficie de fluencia.

Este criterio ^{[ 14 ] [ 15 ]} se reformuló como la función de los nodos hidrostáticos con las coordenadas${\displaystyle 1/\gamma _{1}}$y${\displaystyle 1/\gamma _{2}}$

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

representa la ecuación general de una superficie de revolución de segundo orden alrededor del eje hidrostático. Algunos casos especiales son: ^{[ 16 ]}

• cilindro${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$(Maxwell (1865), Huber (1904), von Mises (1913), Hencky (1924)),
• cono${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$(Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)),
• paraboloide${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$(Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)),
• elipsoide centrado en el plano de simetría${\displaystyle I_{1}=0}$, ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$(Beltrami (1885)),
• elipsoide centrado en el plano de simetría${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$con ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$(Schleicher (1926)),
• Hiperboloide de dos hojas${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$(Burzynski (1928), Yagn (1931)),
• Hiperboloide de una hoja centrado en el plano de simetría${\displaystyle I_{1}=0}$, ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$, ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$(Kuhn (1980))
• hiperboloide de una hoja${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$, ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$(Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)).

Las relaciones compresión-tensión y torsión-tensión se pueden calcular para

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

Los coeficientes de Poisson en tensión y compresión se obtienen utilizando

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

Para materiales dúctiles la restricción

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

es importante. La aplicación de criterios de simetría rotacional para falla frágil con

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

no se ha estudiado suficientemente. ^{[ 17 ]}

El criterio de Burzyński-Yagn es adecuado para fines académicos. Para aplicaciones prácticas, se debe introducir en la ecuación el tercer invariante del desviador en potencias impares y pares, por ejemplo: ^{[ 18 ].}

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

El criterio de Huber consiste en el elipsoide de Beltrami y un cilindro de von Mises escalado en el espacio de tensiones principales, ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} ver también ^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

con${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$. La transición entre las superficies en la sección transversal${\displaystyle I_{1}=0}$es continuamente diferenciable. El criterio representa la "visión clásica" con respecto al comportamiento inelástico del material:

• comportamiento de materiales sensibles a la presión para${\displaystyle I_{1}>0}$con${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$y
• comportamiento de materiales insensibles a la presión para${\displaystyle I_{1}<0}$con ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

El criterio de Huber puede utilizarse como una superficie de fluencia con una restricción empírica para el coeficiente de Poisson a tensión.${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$, lo que conduce a${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$.

El criterio de Huber modificado, ^{[ 25 ] [ 24 ]} véase también, ^{[ 26 ]} cf. ^{[ 27 ]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

Consiste en el elipsoide de Schleicher con la restricción del coeficiente de Poisson en compresión.

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

y un cilindro con el${\displaystyle C^{1}}$-transición en la sección transversal${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$. La segunda configuración para los parámetros${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$y${\displaystyle \gamma _{2}<0}$sigue con la relación compresión/tensión

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

El criterio de Huber modificado se ajusta mejor a los datos medidos que el criterio de Huber. Para establecer${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$sigue${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$y${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$.

El criterio de Huber y el criterio de Huber modificado deben preferirse al criterio de von Mises, ya que se obtienen resultados más seguros en la región${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$. Para aplicaciones prácticas, el tercer invariante del desviador${\displaystyle I_{3}'}$debe tenerse en cuenta en estos criterios. ^{[ 24 ]}

El criterio de fluencia (falla) de Mohr-Coulomb es similar al criterio de Tresca, con disposiciones adicionales para materiales con diferentes resistencias a la tracción y a la compresión. Este modelo se utiliza frecuentemente para modelar hormigón , suelo o materiales granulares . El criterio de fluencia de Mohr-Coulomb se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

y los parámetros${\displaystyle S_{yc}}$y${\displaystyle S_{yt}}$son las tensiones de fluencia (de fallo) del material en compresión y tracción uniaxial, respectivamente. La fórmula se reduce al criterio de Tresca si${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$.

La figura 5 muestra la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un prisma cónico y${\displaystyle K}$determina el ángulo de inclinación de la superficie cónica. La figura 6 muestra la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio de tensiones bidimensional. En la figura 6${\displaystyle R_{r}}$y${\displaystyle R_{c}}$se utiliza para${\displaystyle S_{yt}}$y${\displaystyle S_{yc}}$, respectivamente, en la fórmula. Es una sección transversal de este prisma cónico en el plano de${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$En la Figura 6, Rr y Rc se utilizan para Syc y Syt, respectivamente, en la fórmula.

El criterio de fluencia de Drucker-Prager es similar al criterio de fluencia de von Mises, con disposiciones para el manejo de materiales con diferentes resistencias a la tracción y a la compresión. Este criterio se utiliza con mayor frecuencia para el hormigón, donde tanto las tensiones normales como las cortantes pueden determinar la falla. El criterio de fluencia de Drucker-Prager se puede expresar como

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

y${\displaystyle S_{yc}}$,${\displaystyle S_{yt}}$son las tensiones de fluencia uniaxiales en compresión y tracción respectivamente. La fórmula se reduce a la ecuación de von Mises si${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$.

La figura 7 muestra la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un cono regular . La figura 8 muestra la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio bidimensional. El dominio elástico elíptico es una sección transversal del cono en el plano de${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$; se puede elegir intersecar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en un número diferente de vértices. Una opción es intersecar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en tres vértices a cada lado de la${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$línea, pero generalmente se seleccionan por convención para ser aquellos en el régimen de compresión. ^{[ 28 ]} Otra opción es intersecar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en cuatro vértices en ambos ejes (ajuste uniaxial) o en dos vértices en la diagonal${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$(ajuste biaxial). ^{[ 29 ]} El criterio de fluencia de Drucker-Prager también se expresa comúnmente en términos de la cohesión del material y el ángulo de fricción .

El criterio de fluencia de Bresler-Pister es una extensión del criterio de fluencia de Drucker-Prager que utiliza tres parámetros y tiene términos adicionales para materiales que ceden bajo compresión hidrostática. En términos de las tensiones principales, este criterio de fluencia puede expresarse como

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

dónde${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$son constantes del material. El parámetro adicional${\displaystyle c_{2}}$le da a la superficie de fluencia una sección transversal elipsoidal cuando se observa desde una dirección perpendicular a su eje. Si${\displaystyle \sigma _{c}}$es la tensión de fluencia en compresión uniaxial,${\displaystyle \sigma _{t}}$es la tensión de fluencia en tensión uniaxial, y${\displaystyle \sigma _{b}}$es la tensión de fluencia en compresión biaxial, los parámetros se pueden expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

El criterio de fluencia de Willam-Warnke es una versión suavizada de tres parámetros del criterio de fluencia de Mohr-Coulomb que presenta similitudes formales con los criterios de fluencia de Drucker-Prager y Bresler-Pister .

El criterio de fluencia tiene la forma funcional

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

Sin embargo, se expresa más comúnmente en coordenadas de Haigh-Westergaard como

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

La sección transversal de la superficie, vista a lo largo de su eje, es un triángulo suavizado (a diferencia del modelo de Mohr-Coulomb). La superficie de fluencia de Willam-Warnke es convexa y presenta derivadas primera y segunda únicas y bien definidas en cada punto. Por lo tanto, el modelo de Willam-Warnke es computacionalmente robusto y se ha utilizado para diversos materiales cohesivos-friccionales.

Normalizado con respecto a la tensión de tracción uniaxial.${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$, el criterio de Podgórski ^{[ 30 ]} en función del ángulo de tensión${\displaystyle \theta }$lecturas

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

con la función de forma de simetría trigonal en el${\displaystyle \pi }$-avión

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

Contiene los criterios de von Mises (círculo en el${\displaystyle \pi }$-avión,${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$,${\displaystyle \chi _{3}=0}$), Tresca (hexágono regular,${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$,${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$), Mariotte (triángulo regular,${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$,${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$), Ivlev ^{[ 31 ]} (triángulo regular,${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$,${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$) y también el criterio cúbico de Sayir ^{[ 32 ]} (el criterio de Ottosen ^{[ 33 ]} ) con${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$y los hexágonos isotoxales (equiláteros) del criterio de Capurso ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 34 ]} con${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$. La transición von Mises - Tresca ^{[ 35 ]} sigue con${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$,${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$. Los hexágonos isogonales (equiangulares) del criterio de Haythornthwaite ^{[ 24 ] [ 36 ] [ 37 ]} que contienen el criterio de Schmidt-Ishlinsky (hexágono regular) no pueden describirse con el criterio de Podgórski.

El criterio de Rosendahl ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]} dice:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

con la función de forma de simetría hexagonal en el${\displaystyle \pi }$-avión

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

Contiene los criterios de von Mises (círculo,${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$,${\displaystyle \chi _{6}=0}$), Tresca (hexágono regular,${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$,${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$), Schmidt—Ishlinsky (hexágono regular,${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$,${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$), Sokolovsky (dodecágono regular,${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$,${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$), y también el criterio bicúbico ^{[ 24 ] [ 38 ] [ 41 ] [ 42 ]} con${\displaystyle \beta _{6}=0}$o igualmente con${\displaystyle \beta _{6}=1}$y los dodecágonos isotoxales del criterio de rendimiento unificado de Yu ^{[ 43 ]} con${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$. Los dodecágonos isogonales del criterio de ansatz multiplicativo de simetría hexagonal ^{[ 24 ]} que contienen el criterio de Ishlinsky-Ivlev (dodecágono regular) no pueden describirse mediante el criterio de Rosendahl.

Los criterios de Podgórski y Rosendahl describen superficies únicas en el espacio de tensiones principales sin contornos externos adicionales ni intersecciones de planos. Nótese que para evitar problemas numéricos la función de la parte real${\displaystyle Re}$se puede introducir en la función de forma:${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$y${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$. La generalización en la forma${\displaystyle \Omega _{3n}}$^{[ 38 ]} es relevante para investigaciones teóricas.

Se puede obtener una extensión de los criterios sensible a la presión con la linealidad.${\displaystyle I_{1}}$-sustitución ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

lo cual es suficiente para muchas aplicaciones, por ejemplo, metales, hierro fundido, aleaciones, hormigón, polímeros sin refuerzo, etc.

El criterio de fluencia de Bigoni-Piccolroaz ^{[ 44 ] [ 45 ]} es una superficie de siete parámetros definida por

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

dónde${\displaystyle F(p)}$es la función "meridiana"

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

describiendo la sensibilidad a la presión y${\displaystyle g(\theta )}$es la función "desviadora" ^{[ 46 ]}

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

que describe la dependencia de Lode de la fluencia. Los siete parámetros materiales no negativos:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

definir la forma de las secciones meridianas y desviadoras.

Este criterio representa una superficie lisa y convexa, cerrada tanto en tensión hidrostática como en compresión, y con forma de gota, especialmente adecuada para describir materiales friccionales y granulares. Este criterio también se ha generalizado al caso de superficies con esquinas. ^{[ 47 ]}

En el espacio 3D de tensiones principales

En el${\displaystyle \pi }$-avión

Superficie de fluencia de Bigoni-Piccolroaz

Para la formulación de los criterios de resistencia el ángulo de tensión

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

puede utilizarse.

El siguiente criterio de comportamiento isotrópico del material

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

Contiene otros criterios menos generales y bien conocidos, siempre que se elijan los valores de los parámetros adecuados.

Parámetros${\displaystyle c_{3}}$y${\displaystyle c_{6}}$describir la geometría de la superficie en el${\displaystyle \pi }$-plano. Están sujetos a las restricciones

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

^{que se derivan de la condición de convexidad. En [ 48 ] [ 49 ]} se propone una formulación más precisa de las terceras restricciones.

Parámetros${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$y${\displaystyle \gamma _{2}}$Describir la posición de los puntos de intersección de la superficie de fluencia con el eje hidrostático (diagonal espacial en el espacio de tensiones principales). Estos puntos de intersección se denominan nodos hidrostáticos. En el caso de materiales que no fallan a presión hidrostática (acero, latón, etc.) se obtiene${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$. En caso contrario, para los materiales que fallan a presión hidrostática (espumas duras, cerámicas, materiales sinterizados, etc.) se sigue${\displaystyle \gamma _{2}<0}$.

Las potencias enteras${\displaystyle l\geq 0}$y${\displaystyle m\geq 0}$, ${\displaystyle l+m<6}$describe la curvatura del meridiano. El meridiano con${\displaystyle l=m=0}$es una línea recta y con${\displaystyle l=0}$– una parábola.

Para los materiales anisotrópicos, dependiendo de la dirección del proceso aplicado (por ejemplo, laminación), las propiedades mecánicas varían y, por lo tanto, el uso de una función de fluencia anisotrópica es crucial. Desde 1989, Frederic Barlat ha desarrollado una familia de funciones de fluencia para el modelado constitutivo de la anisotropía plástica. Entre ellas, el criterio de fluencia Yld2000-2D se ha aplicado a una amplia gama de chapas metálicas (por ejemplo, aleaciones de aluminio y aceros avanzados de alta resistencia). El modelo Yld2000-2D es una función de fluencia de tipo no cuadrático basada en dos transformaciones lineales del tensor de tensiones:

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

dónde${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$es el estrés efectivo. y${\displaystyle X'}$y${\displaystyle X''}$son las matrices transformadas (mediante transformación lineal C o L):

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

donde s es el tensor de esfuerzos desviadores.

Para los valores principales de X' y X”, el modelo podría expresarse como:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

y:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

dónde${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$Se deben identificar ocho parámetros del modelo Yld2000-2D de Barlat mediante una serie de experimentos.