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Teorema de uniformización

En matemáticas, el teorema de uniformización establece que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a una de tres superficies de Riemann: el di...

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En matemáticas, el teorema de uniformización establece que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a una de tres superficies de Riemann: el disco unitario abierto , el plano complejo o la esfera de Riemann . Este teorema generaliza el teorema de mapeo de Riemann, que aplica subconjuntos abiertos simplemente conexos del plano a superficies de Riemann simplemente conexas arbitrarias.

Dado que toda superficie de Riemann tiene una cubierta universal que es una superficie de Riemann simplemente conexa, el teorema de uniformización permite clasificar las superficies de Riemann en tres tipos: aquellas que tienen la esfera de Riemann como cubierta universal ("elípticas"), aquellas que tienen el plano como cubierta universal ("parabólicas") y aquellas que tienen el disco unitario como cubierta universal ("hiperbólicas"). Además, se deduce que toda superficie de Riemann admite una métrica riemanniana de curvatura constante , donde la curvatura puede ser 1 en el caso elíptico, 0 en el caso parabólico y -1 en el caso hiperbólico.

El teorema de uniformización también proporciona una clasificación similar de las 2-variedades riemannianas cerradas y orientables en casos elípticos, parabólicos e hiperbólicos. Cada una de estas variedades posee una métrica riemanniana conformemente equivalente con curvatura constante, donde la curvatura puede ser 1 en el caso elíptico, 0 en el parabólico y -1 en el hiperbólico.

Historia

Felix Klein ( 1883 ) y Henri Poincaré ( 1882 ) conjeturaron el teorema de uniformización para las superficies de Riemann de curvas algebraicas. Henri Poincaré ( 1883 ) lo extendió a funciones analíticas multivaluadas arbitrarias y ofreció argumentos informales a su favor. Las primeras demostraciones rigurosas del teorema general de uniformización fueron presentadas por Poincaré ( 1907 ) y Paul Koebe ( 1907a , 1907b , 1907c ) . Posteriormente, Paul Koebe realizó varias demostraciones y generalizaciones adicionales. La historia se describe en Gray (1994) ; una explicación completa de la uniformización hasta los trabajos de Koebe y Poincaré de 1907 se ofrece con demostraciones detalladas en de Saint-Gervais (2016) (el seudónimo tipo Bourbaki del grupo de quince matemáticos que colaboraron en esta publicación).     

Clasificación de superficies de Riemann conectadas

Toda superficie de Riemann es el cociente de la acción libre, propia y holomorfa de un grupo discreto sobre su recubrimiento universal, y este recubrimiento universal, al ser una superficie de Riemann simplemente conexa, es holomorfa isomorfa (también se dice: "conformemente equivalente" o "biholomorfa") a una de las siguientes:

  1. la esfera de Riemann
  2. el plano complejo
  3. el disco unitario en el plano complejo.

Para superficies de Riemann compactas, aquellas con cobertura universal del disco unitario son precisamente las superficies hiperbólicas de género mayor que 1, todas con grupo fundamental no abeliano; aquellas con cobertura universal del plano complejo son las superficies de Riemann de género 1, es decir, los toros complejos o curvas elípticas con grupo fundamental Z 2 ; y aquellas con cobertura universal de la esfera de Riemann son las de género cero, es decir, la propia esfera de Riemann, con grupo fundamental trivial.

Clasificación de variedades riemannianas bidimensionales cerradas y orientadas

En una 2-variedad orientada, una métrica riemanniana induce una estructura compleja mediante el paso a coordenadas isotérmicas . Si la métrica riemanniana se da localmente como

ds2=midincógnita2+2Fdincógnitady+GRAMOdy2,{\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}

entonces en el sistema de coordenadas complejas z = x + i y , toma la forma

ds2=λ|dz+μdz¯|2,{\displaystyle ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}

dónde

λ=14(mi+GRAMO+2miGRAMO−F2),  μ=14λ(mi−GRAMO+2iF),{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{4}}\left(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}\right),\ \ \mu ={\frac {1}{4\lambda }}(E-G+2iF),}

de modo que λ y μ sean suaves con λ > 0 y | μ | < 1. En coordenadas isotérmicas ( u , v ) la métrica debe tomar la forma

ds2=ρ(dtú2+dv2){\displaystyle ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})}

con ρ > 0 suave. La coordenada compleja w = u + i v satisface

ρ|dw|2=ρ|wz|2|dz+wz¯wzdz¯|2,{\displaystyle \rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2},}

de modo que las coordenadas ( u , v ) sean isotérmicas localmente siempre que se cumpla la ecuación de Beltrami.

∂w∂z¯=μ∂w∂z{\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}

tiene una solución localmente difeomorfa, es decir, una solución con jacobiano no nulo.

Estas condiciones pueden formularse de manera equivalente en términos de la derivada exterior y el operador estrella de Hodge ∗ . [ 1 ] u y v serán coordenadas isotérmicas si ∗ du = dv , donde ∗ se define en diferenciales por ∗( p dx + q dy ) = − q dx + p dy . Sea ∆ = ∗ d ∗ d el operador de Laplace-Beltrami . Por la teoría elíptica estándar, u puede elegirse para que sea armónico cerca de un punto dado, es decir Δ u = 0 , con du distinto de cero. Por el lema de Poincaré dv = ∗ du tiene una solución local v exactamente cuando d (∗ du ) = 0 . Esta condición es equivalente a Δ u = 0 , por lo que siempre puede resolverse localmente. Dado que du no es cero y el cuadrado del operador estrella de Hodge es − 1 en las 1-formas, du y dv deben ser linealmente independientes, de modo que u y v den coordenadas isotérmicas locales.

La existencia de coordenadas isotérmicas puede probarse mediante otros métodos, por ejemplo utilizando la teoría general de la ecuación de Beltrami , como en Ahlfors (2006) , o mediante métodos elementales directos, como en Chern (1955) y Jost (2006) .

De esta correspondencia con superficies de Riemann compactas, se deduce una clasificación de 2-variedades riemannianas cerradas y orientables. Cada una de ellas es conformemente equivalente a una única 2-variedad cerrada de curvatura constante , por lo que es un cociente de una de las siguientes por una acción libre de un subgrupo discreto de un grupo de isometría :

  1. la esfera (curvatura +1)
  2. el plano euclidiano (curvatura 0)
  3. el plano hiperbólico (curvatura − 1).

El primer caso da la 2-esfera, la única 2-variedad con curvatura positiva constante y, por lo tanto, característica de Euler positiva (igual a 2). El segundo da todas las 2-variedades planas, es decir, los toros , que tienen característica de Euler 0. El tercer caso abarca todas las 2-variedades de curvatura negativa constante, es decir, las 2-variedades hiperbólicas , todas las cuales tienen característica de Euler negativa. La clasificación es consistente con el teorema de Gauss-Bonnet , que implica que para una superficie cerrada con curvatura constante, el signo de esa curvatura debe coincidir con el signo de la característica de Euler. La característica de Euler es igual a 2 – 2 g , donde g es el género de la 2-variedad, es decir, el número de "agujeros".

Métodos de prueba

Muchas demostraciones clásicas del teorema de uniformización se basan en la construcción de una función armónica de valor real en la superficie de Riemann simplemente conexa, posiblemente con una singularidad en uno o dos puntos y que a menudo corresponde a una forma de la función de Green . Se emplean ampliamente cuatro métodos para construir la función armónica: el método de Perron ; el método de alternancia de Schwarz ; el principio de Dirichlet ; y el método de proyección ortogonal de Weyl . En el contexto de las 2-variedades riemannianas cerradas, varias demostraciones modernas recurren a ecuaciones diferenciales no lineales en el espacio de métricas conformemente equivalentes. Estas incluyen la ecuación de Beltrami de la teoría de Teichmüller y una formulación equivalente en términos de aplicaciones armónicas ; la ecuación de Liouville , ya estudiada por Poincaré; y el flujo de Ricci junto con otros flujos no lineales.

El teorema de Rado demuestra que toda superficie de Riemann es automáticamente segundo-contable . Si bien el teorema de Rado se usa frecuentemente en las demostraciones del teorema de uniformización, algunas demostraciones se han formulado de manera que el teorema de Rado se convierte en una consecuencia. La segunda numerabilidad es automática para superficies de Riemann compactas.

métodos de espacio de Hilbert

En 1913, Hermann Weyl publicó su clásico libro de texto "Die Idee der Riemannschen Fläche", basado en sus clases de Göttingen de 1911 a 1912. Fue el primer libro en presentar la teoría de las superficies de Riemann en un contexto moderno y, a través de sus tres ediciones, ha mantenido su influencia. Dedicada a Felix Klein , la primera edición incorporó el tratamiento de Hilbert del problema de Dirichlet utilizando técnicas de espacios de Hilbert ; las contribuciones de Brouwer a la topología; y la demostración de Koebe del teorema de uniformización y sus mejoras posteriores. Mucho más tarde, Weyl (1940) desarrolló su método de proyección ortogonal, que proporcionó un enfoque simplificado al problema de Dirichlet, también basado en espacios de Hilbert; esa teoría, que incluía el lema de Weyl sobre regularidad elíptica , estaba relacionada con la teoría de Hodge de las integrales armónicas ; y ambas teorías se subsumieron en la teoría moderna de operadores elípticos y espacios de Sobolev L2 . En la tercera edición de su libro de 1955, traducida al inglés por Weyl (1964) , Weyl adoptó la definición moderna de variedad diferencial, en lugar de triangulaciones , pero decidió no utilizar su método de proyección ortogonal. Springer (1957) siguió la explicación de Weyl sobre el teorema de uniformización, pero utilizó el método de proyección ortogonal para tratar el problema de Dirichlet. Kodaira (2007) describe el enfoque del libro de Weyl y también cómo simplificarlo utilizando el método de proyección ortogonal. Una explicación relacionada se puede encontrar en Donaldson (2011) .

flujos no lineales

Richard S. Hamilton demostró que el flujo de Ricci normalizado en una superficie cerrada uniformiza la métrica (es decir, el flujo converge a una métrica de curvatura constante). Sin embargo, su demostración se basó en el teorema de uniformización. El paso que faltaba implicaba el flujo de Ricci en la 2-esfera: Chen, Lu y Tian (2006) proporcionaron un método para evitar recurrir al teorema de uniformización (para género 0) ; [ 2 ] Andrews y Bryan (2010) dieron una breve explicación autocontenida del flujo de Ricci en la 2-esfera .

Generalizaciones

Koebe demostró el teorema general de uniformización que establece que si una superficie de Riemann es homeomorfa a un subconjunto abierto de la esfera compleja (o, equivalentemente, si toda curva de Jordan la separa), entonces es conformemente equivalente a un subconjunto abierto de la esfera compleja.

En tres dimensiones, existen ocho geometrías, denominadas las ocho geometrías de Thurston . No toda variedad tridimensional admite una geometría, pero la conjetura de geometrización de Thurston, demostrada por Grigori Perelman, afirma que toda variedad tridimensional puede dividirse en piezas geometrizables.

El teorema de uniformización simultánea de Lipman Bers muestra que es posible uniformizar simultáneamente dos superficies de Riemann compactas del mismo género >1 con el mismo grupo cuasi-fuchsiano .

El teorema de la aplicación de Riemann medible muestra, de forma más general, que la aplicación a un subconjunto abierto de la esfera compleja en el teorema de uniformización puede elegirse como una aplicación cuasiconforme con cualquier coeficiente de Beltrami medible y acotado dado.

Véase también

Notas

Referencias

Referencias históricas

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Funciones armónicas

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ecuaciones diferenciales no lineales

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Mapas armónicos

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