Versor

En matemáticas , un versor es un cuaternión cuya norma es uno, también conocido como cuaternión unitario . Cada versor tiene la forma

${\displaystyle \ u=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\qquad \mathbf {r} ^{2}=-1,\qquad a\in [0,\pi ]\ ,}$

donde la condición${\displaystyle \ \mathbf {r} ^{2}=-1\ }$significa que${\displaystyle \ \mathbf {r} \ }$es una unidad imaginaria algebraica . Hay una esfera de unidades imaginarias en los cuaterniones. Nótese que la expresión para un versor es simplemente la fórmula de Euler para la unidad imaginaria.${\displaystyle \ \mathbf {r} ~.}$Si${\displaystyle \ a={\tfrac {\pi }{2}}\ }$(cuando${\displaystyle \ a\ }$es un ángulo recto ), entonces${\displaystyle \ u=\mathbf {r} \ ,}$y se le llama versor derecho .

El mapeo${\displaystyle \ q\ \longmapsto \ u^{-1}q\ u\ }$corresponde a una rotación tridimensional y tiene el ángulo${\displaystyle \ 2\ a\ }$alrededor del eje${\displaystyle \ \mathbf {r} \ }$en representación eje-ángulo .

La colección de versores, con multiplicación de cuaterniones, forma un grupo y aparece como una 3-esfera en el álgebra de cuaterniones de 4 dimensiones.

Sir William Rowan Hamilton escribió el versor de un cuaternión.${\displaystyle \ q\ }$como símbolo${\displaystyle \ \mathbf {U} \ q~.}$Entonces pudo mostrar el cuaternión general en forma de coordenadas polares.

${\displaystyle \ q\ =\ \mathbf {T} \ \!q~~\mathbf {U} \ \!q\ ,}$

dónde${\displaystyle \ \mathbf {T} \ \!q\ }$es la notación de Hamilton para la norma de${\displaystyle \ q\ }$(en notación moderna)${\displaystyle \ \mathbf {T} \ \!q=\|q\|}$). La norma de un versor siempre es igual a uno; por lo tanto, ocupan la 3-esfera unitaria en${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$. Ejemplos de versores incluyen los ocho elementos del grupo de cuaterniones . De particular importancia son los versores derechos , que tienen ángulo${\displaystyle \ {\tfrac {\pi }{2}}~.}$Estos versores tienen parte escalar cero, por lo que son vectores de longitud uno (vectores unitarios). Los versores derechos forman una esfera de raíces cuadradas de −1 en el álgebra de cuaterniones. Los generadores i , j y k son ejemplos de versores derechos, así como sus inversos aditivos . Otros versores incluyen los veinticuatro cuaterniones de Hurwitz que tienen norma 1 y forman vértices de un policoro de 24 celdas .

Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos vectores. Un versor puede definirse como el cociente de dos vectores unitarios. Para cualquier plano fijo Π, el cociente de dos vectores unitarios que se encuentran en Π depende únicamente del ángulo (dirigido) entre ellos, el mismo a que en la representación vector-ángulo unitario de un versor explicada anteriormente. Por eso, puede ser natural entender los versores correspondientes como arcos dirigidos que conectan pares de vectores unitarios y se encuentran en un círculo máximo formado por la intersección de Π con la esfera unitaria , donde el plano Π pasa por el origen. Los arcos de la misma dirección y longitud (o del mismo ángulo subtendido en radianes ) son equipolentes y corresponden al mismo versor. ^{[ 1 ]}

Dicho arco, aunque se encuentre en el espacio tridimensional , no representa la trayectoria de un punto que gira como se describe con el producto sándwich con el versor. De hecho, representa la multiplicación izquierda del versor sobre cuaterniones que preserva el plano Π y el círculo máximo correspondiente de 3-vectores. La rotación tridimensional definida por el versor tiene un ángulo dos veces mayor que el ángulo subtendido del arco y preserva el mismo plano. Se trata de una rotación alrededor del vector r correspondiente , que es perpendicular a Π .

Sobre tres vectores unitarios, Hamilton escribe ^{[ 2 ]}

${\displaystyle q=\beta$ :\alpha =\mathrm {OB:OA} \qquad } y

${\displaystyle q'=\gamma$ :\beta =\mathrm {OC:OB} \qquad } implica

${\displaystyle q'q=\gamma$ :\alpha =\mathrm {OC:OA} ~.}

La multiplicación de versores corresponde a la "suma" (no conmutativa) de arcos de círculo máximo en la esfera unitaria. Cualquier par de círculos máximos es el mismo círculo o tiene dos puntos de intersección . Por lo tanto, siempre se puede mover el punto B y el vector correspondiente a uno de estos puntos de tal manera que el inicio del segundo arco coincida con el final del primero.

La facilidad con la que los versores expresan geometría elíptica o rotaciones en el espacio tridimensional se debe a la representación paramétrica de los factores. Consideremos un triángulo esférico genérico ABC con ángulos a , b y c como lados opuestos al vértice principal. Se utilizan vectores unitarios perpendiculares al plano de cada lado del triángulo, digamos r , s y t . Entonces, los lados del triángulo son equilenteros a un arco de círculo máximo representado por versores:

${\displaystyle \ \operatorname {arc} \mathrm {AB} =\exp(c\ r)\ ,\qquad \operatorname {arc} \mathrm {BC} =\exp(a\ s)\ ,\qquad \operatorname {arc} \mathrm {AC} =\exp(b\ t)\ ,}$

cada uno expandido por la fórmula de Euler ya que cada uno de los cuadrados de r , s y t es menos uno. Dado que

${\displaystyle \ \exp(b\ t)=\exp(c\ r)\times \exp(a\ s)\ ,}$

El producto versorial corresponde a la suma de arcos esféricos.

La geometría del espacio elíptico se ha descrito como el espacio de versores. ^{[ 3 ]}

Un versor hiperbólico es una generalización de los versores cuaterniónicos a grupos ortogonales indefinidos , como el grupo de Lorentz . Se define como una cantidad de la forma

${\displaystyle \exp(a\mathbf {r} )=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a~~}$dónde${\displaystyle ~~\mathbf {r} ^{2}=+1~.}$

Estos elementos surgen en álgebras escindidas , por ejemplo, en números complejos escindidos o cuaterniones escindidos . Fue el álgebra de tesarinas, descubierta por James Cockle en 1848, la que proporcionó por primera vez versores hiperbólicos. De hecho, Cockle escribió la ecuación anterior (con j en lugar de r ) cuando descubrió que las tesarinas incluían el nuevo tipo de elemento imaginario.

Este versor fue utilizado por Homersham Cox (1882/1883) en relación con la multiplicación de cuaterniones. ^{[ 9 ] [ 10 ]} El principal exponente de los versores hiperbólicos fue Alexander Macfarlane , quien trabajó para adaptar la teoría de los cuaterniones a la ciencia física. ^{[ 11 ]} Vio el poder de modelado de los versores hiperbólicos que operan en el plano de los números complejos divididos, y en 1891 introdujo los cuaterniones hiperbólicos para extender el concepto al espacio de 4 dimensiones. Los problemas en esa álgebra llevaron al uso de bicuaterniones después de 1900. En una reseña ampliamente difundida, Macfarlane escribió:

... la raíz de una ecuación cuadrática puede ser de naturaleza versorial o escalar. Si es de naturaleza versorial, entonces la parte afectada por el radical involucra el eje perpendicular al plano de referencia, y esto es así, independientemente de si el radical involucra la raíz cuadrada de menos uno o no. En el primer caso, el versor es circular; en el segundo, hiperbólico. ^{[ 12 ]}

Hoy en día, el concepto de grupo uniparamétrico engloba los conceptos de versor y versor hiperbólico, ya que la terminología de Sophus Lie ha reemplazado a la de Hamilton y Macfarlane. En particular, para cada r tal que rr = +1 o rr = − 1 , la aplicación${\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )}$toma la recta real a un grupo de versores hiperbólicos u ordinarios. En el caso ordinario, cuando r y − r son antípodas en una esfera, los grupos uniparamétricos tienen los mismos puntos pero están dirigidos en direcciones opuestas. En física, este aspecto de la simetría rotacional se denomina doblete .

Robb (1911) definió el parámetro de rapidez , que especifica un cambio en el marco de referencia . Este parámetro de rapidez corresponde a la variable real en un grupo uniparamétrico de versores hiperbólicos. Con el desarrollo posterior de la relatividad especial, la acción de un versor hiperbólico pasó a denominarse impulso de Lorentz . ^{[ 13 ]}

Sophus Lie tenía menos de un año cuando Hamilton describió por primera vez los cuaterniones, pero el nombre de Lie se ha asociado con todos los grupos generados por exponenciación. El conjunto de versores con su multiplicación ha sido denotado Sl(1,q) por Gilmore (1974) . ^{[ 14 ]} Sl(1,q) es el grupo lineal especial de una dimensión sobre cuaterniones, el "especial" indica que todos los elementos son de norma uno. El grupo es isomorfo a SU(2,c), un grupo unitario especial , una designación frecuentemente utilizada ya que los cuaterniones y versores a veces se consideran arcaicos para la teoría de grupos. El grupo ortogonal especial SO(3,r) de rotaciones en tres dimensiones está estrechamente relacionado: es una imagen homomórfica 2:1 de SU(2,c).

El subespacio${\displaystyle \ \{\ x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} ~:~x,\ y,\ z\in \mathbb {R} \ \}\subset \mathbb {H} \ }$Se denomina álgebra de Lie del grupo de versores. El conmutador${\displaystyle \ {\bigl [}\ u\ ,v\ {\bigr ]}\ \equiv \ u\ v-v\ u\ ,}$es el doble del producto vectorial de dos vectores, que constituye la operación de multiplicación en el álgebra de Lie. La estrecha relación con SU(1,c) y SO(3,r) es evidente en el isomorfismo de sus álgebras de Lie. ^{[ 14 ]}

Los grupos de Lie que contienen versores hiperbólicos incluyen el grupo en la hipérbola unitaria y el grupo unitario especial SU(1,1) .

La palabra deriva del latín versari = "girar", con el sufijo -or formando un sustantivo a partir del verbo (es decir, versor = "el que gira"). Fue introducida por William Rowan Hamilton en la década de 1840 en el contexto de su teoría de los cuaterniones .

El término "versor" se generaliza en álgebra geométrica para indicar un miembro${\displaystyle R}$del álgebra que se puede expresar como el producto de vectores invertibles,${\displaystyle R=v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Al igual que un cuaternión versor${\displaystyle u}$puede utilizarse para representar una rotación de un cuaternión${\displaystyle q}$con mapeo${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$, así también puede un versor${\displaystyle R}$en Álgebra Geométrica se utiliza para representar el resultado de${\displaystyle k}$reflexiones sobre un miembro${\displaystyle A}$del álgebra con mapeo${\displaystyle A\mapsto (-1)^{k}RAR^{-1}}$.

Una rotación puede considerarse el resultado de dos reflexiones, por lo que resulta ser un versor de cuaternión.${\displaystyle u}$puede identificarse como un 2-versor${\displaystyle R=v_{1}v_{2}}$en el álgebra geométrica de tres dimensiones reales${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$.

A diferencia de la definición de Hamilton, los versores multivectoriales no necesitan tener norma unitaria, solo ser invertibles. Sin embargo, la normalización aún puede ser útil, por lo que es conveniente designar los versores como versores unitarios en un álgebra geométrica si${\displaystyle R{\tilde {R}}=\pm 1}$, donde la tilde denota la reversión del versor.

• cis (matemáticas) ( cis( x ) = cos( x ) + i sin( x ) )
• Cuaterniones y rotación espacial
• Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones
• Giro (geometría)
• número complejo de unidades
• Vector unitario

• Versor en la Enciclopedia de Matemáticas .
• Tutorial de cuaterniones de Luis Ibáñez Archivado el 4 de febrero de 2012 en la Wayback Machine de la Biblioteca Nacional de Medicina