Teorema del virial

En mecánica , el teorema del virial proporciona una ecuación general que relaciona el promedio en el tiempo de la energía cinética total de un sistema estable de partículas discretas, unidas por una fuerza conservativa , con la de la energía potencial total del sistema. Matemáticamente, el teorema establece que

$${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _ {k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

dónde${\displaystyle T}$es la energía cinética total de la${\displaystyle N}$partículas,${\displaystyle F_{k}}$representa la fuerza sobre el${\displaystyle k}$La partícula, que se encuentra en la posición r _k , y los corchetes angulares representan el promedio en el tiempo de la cantidad encerrada. La palabra virial para el lado derecho de la ecuación deriva de vis , la palabra latina para "fuerza" o "energía", y fue definida técnicamente por Rudolf Clausius en 1870. ^{[ 1 ]}

La importancia del teorema del virial radica en que permite calcular la energía cinética total promedio incluso para sistemas muy complejos que no admiten una solución exacta, como los considerados en mecánica estadística . Esta energía cinética total promedio está relacionada con la temperatura del sistema mediante el teorema de equipartición . Sin embargo, el teorema del virial no depende de la noción de temperatura y se cumple incluso para sistemas que no se encuentran en equilibrio térmico . El teorema del virial se ha generalizado de diversas maneras, sobre todo a una forma tensorial .

Si la fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema resulta de una energía potencial${\displaystyle V(r)=\alpha r^{n}}$que es proporcional a alguna potencia${\displaystyle n}$de la distancia entre partículas${\displaystyle r}$, el teorema del virial toma la forma simple

$${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$$

Por lo tanto, el doble de la energía cinética total promedio${\displaystyle \langle T\rangle }$igual${\displaystyle n}$veces la energía potencial total promedio ${\displaystyle \langle V_{\text{TOT}}\rangle }$. Mientras${\displaystyle V(r)}$representa la energía potencial entre dos partículas separadas por una distancia${\displaystyle r}$,${\displaystyle V_{\text{TOT}}}$representa la energía potencial total del sistema, es decir, la suma de la energía potencial${\displaystyle V(r)}$sobre todos los pares de partículas en el sistema. Un ejemplo común de tal sistema es una estrella mantenida unida por su propia gravedad, donde${\displaystyle n=-1}$.

En 1870, Rudolf Clausius impartió la conferencia "Sobre un teorema mecánico aplicable al calor" a la Asociación de Ciencias Naturales y Médicas del Bajo Rin, tras 20 años de estudio de la termodinámica. La conferencia afirmaba que la vis viva media del sistema es igual a su virial, o que la energía cinética media es la mitad de la energía potencial media. El teorema del virial se puede obtener directamente de la identidad de Lagrange aplicada en la dinámica gravitacional clásica, cuya forma original se incluyó en el "Ensayo sobre el problema de los tres cuerpos" de Lagrange, publicado en 1772. La generalización de la identidad de Carl Jacobi a${\displaystyle N}$cuerpos y a la forma actual de la identidad de Laplace se asemeja mucho al teorema virial clásico. Sin embargo, las interpretaciones que llevaron al desarrollo de las ecuaciones fueron muy diferentes, ya que en el momento de su desarrollo, la dinámica estadística aún no había unificado los estudios separados de la termodinámica y la dinámica clásica. ^{[ 2 ]} El teorema fue posteriormente utilizado, popularizado, generalizado y desarrollado por James Clerk Maxwell , Lord Rayleigh , Henri Poincaré , Subrahmanyan Chandrasekhar , Enrico Fermi , Paul Ledoux , Richard Bader y Eugene Parker . Fritz Zwicky fue el primero en utilizar el teorema virial para deducir la existencia de materia invisible, que ahora se llama materia oscura . Richard Bader demostró que la distribución de carga de un sistema total puede dividirse en sus energías cinética y potencial que obedecen al teorema virial. ^{[ 3 ]} Como otro ejemplo de sus muchas aplicaciones, el teorema del virial se ha utilizado para derivar el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas .

Considerar${\displaystyle N=2}$partículas con igual masa${\displaystyle m}$, sometidas a fuerzas mutuamente atractivas. Supongamos que las partículas se encuentran en puntos diametralmente opuestos de una órbita circular con radio${\displaystyle r}$Las velocidades son${\displaystyle \mathbf {v} _{1}(t)}$y${\displaystyle \mathbf {v} _{2}(t)=-\mathbf {v} _{1}(t)}$, que son normales a las fuerzas${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)}$y${\displaystyle \mathbf {F} _{2}(t)=-\mathbf {F} _{1}(t)}$. Las magnitudes respectivas se fijan en${\displaystyle v}$y${\displaystyle F}$. La energía cinética promedio del sistema en un intervalo de tiempo desde${\displaystyle t_{1}}$a${\displaystyle t_{2}}$es

$${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}|\mathbf {v} _{k}(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)\,dt=mv^{2}.}$$

Tomando el centro de masa como origen, las partículas tienen posiciones${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(t)}$y${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(t)=-\mathbf {r} _{1}(t)}$con magnitud fija${\displaystyle r}$. Las fuerzas de atracción actúan en direcciones opuestas a las posiciones, por lo que${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)\cdot \mathbf {r} _{1}(t)=\mathbf {F} _{2}(t)\mathbf {r} _{2}(t)=-Fr}$Aplicando la fórmula de la fuerza centrípeta${\displaystyle F=mv^{2}/r}$resultados en

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle =-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle ,}$$

según se requiera. Nota: Si el origen se desplaza, obtendríamos el mismo resultado. Esto se debe al producto escalar del desplazamiento con fuerzas iguales y opuestas.${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)}$,${\displaystyle \mathbf {F} _{2}(t)}$da como resultado una cancelación neta.

Aunque el teorema del virial depende del promedio de las energías cinética y potencial totales, la presentación aquí pospone el cálculo del promedio hasta el último paso.

Para una colección de${\displaystyle N}$partículas puntuales, el momento escalar de inercia${\displaystyle I}$sobre el origen es

$${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}|\mathbf {r} _{k}|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2},}$$

dónde${\displaystyle m_{k}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$representar la masa y la posición de la${\displaystyle k}$partícula y${\displaystyle r_{k}=|\mathbf {r} _{k}|}$es la magnitud del vector de posición. Consideremos el escalar

$${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$es el vector de momento del${\displaystyle k}$partícula. ^{[ 4 ]} Suponiendo que las masas son constantes,${\displaystyle G}$es la mitad de la derivada temporal de este momento de inercia:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G.\end{aligned}}}$$

A su vez, la derivada temporal de${\displaystyle G}$es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle m_{k}}$es la masa de la${\displaystyle k}$partícula,${\displaystyle \mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}}$es la fuerza neta sobre esa partícula, y${\displaystyle T}$es la energía cinética total del sistema según la${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}$velocidad de cada partícula,

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$$

El hecho de que el teorema del virial también se aplique a la mecánica cuántica fue esbozado por primera vez en el Dreimännerarbeit en 1926. Posteriormente fue demostrado en el formalismo de Schrödinger por Finkelstein en 1928, y utilizando técnicas variacionales por Vladimir Fock ^{[ 5 ]} en 1930.

Evaluar el conmutador del hamiltoniano

$${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m_{n}}}}$$

con el operador de posición${\displaystyle X_{n}}$y el operador de momento

$${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$$

de partícula${\displaystyle n}$,

$${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m_{n}}}.}$$

Sumando sobre todas las partículas, se encuentra que para

$${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$$

el conmutador es

$${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}},}$$

dónde${\textstyle T=\sum _{n}P_{n}^{2}/2m_{n}}$es la energía cinética. El lado izquierdo de esta ecuación es simplemente ${\displaystyle dQ/dt}$, según la ecuación de movimiento de Heisenberg. El valor esperado${\displaystyle \langle dQ/dt\rangle }$de esta derivada temporal se desvanece en un estado estacionario, lo que lleva al teorema del virial cuántico :

$${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle .}$$

Para una sola partícula en la relatividad especial , no es el caso que ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} }$En cambio, es cierto que${\displaystyle T=(\gamma -1)mc^{2}}$, dónde${\displaystyle \gamma }$es el factor de Lorentz

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$$

y definiendo${\displaystyle \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T.\end{aligned}}}$$

La última expresión se puede simplificar a

$${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T=\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T.}$$

Por lo tanto, bajo las condiciones descritas en secciones anteriores (incluida la tercera ley del movimiento de Newton , ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}}$, a pesar de la relatividad), el promedio de tiempo para${\displaystyle N}$partículas con un potencial de ley de potencias es

$${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

En particular, la relación entre la energía cinética y la energía potencial ya no es fija, sino que necesariamente se encuentra dentro de un intervalo:

$${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\text{TOT}}\rangle }{n\langle V_{\text{TOT}}\rangle }}\en [1,2],}$$

donde los sistemas más relativistas exhiben las mayores proporciones.

El teorema del virial tiene una forma particularmente simple para el movimiento periódico. Puede utilizarse para realizar cálculos perturbativos para osciladores no lineales. ^{[ 7 ]}

También se puede utilizar para estudiar el movimiento en un potencial central . ^{[ 4 ]} Si el potencial central es de la forma${\displaystyle U\propto r^{n}}$, el teorema del virial se simplifica a${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {n}{2}}\langle U\rangle }$. En particular, para la atracción gravitacional o electrostática ( Coulomb ),${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$.

Lord Rayleigh publicó una generalización del teorema del virial en 1900, ^{[ 12 ]} que fue parcialmente reimpresa en 1903. ^{[ 13 ]} Henri Poincaré demostró y aplicó una forma del teorema del virial en 1911 al problema de la formación del Sistema Solar a partir de una nube protoestelar (entonces conocida como cosmogonía ). ^{[ 14 ]} Ledoux desarrolló una forma variacional del teorema del virial en 1945. ^{[ 15 ] Parker, [ 16 ]} Chandrasekhar ^{[ 17 ]} y Fermi desarrollaron una forma tensorial del teorema del virial. ^{[ 18 ]} Pollard estableció la siguiente generalización del teorema del virial en 1964 para el caso de la ley del inverso del cuadrado: ^{[ 19 ] [ 20 ]}$${\displaystyle 2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\quad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0.}$$De lo contrario, debe añadirse un término límite . ^{[ 21 ]}

El teorema del virial puede extenderse para incluir campos eléctricos y magnéticos. El resultado es ^{[ 22 ].}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$$

dónde${\displaystyle I}$es el momento de inercia ,${\displaystyle G}$es la densidad de momento del campo electromagnético ,${\displaystyle T}$es la energía cinética del "fluido",${\displaystyle U}$es la energía "térmica" aleatoria de las partículas, ${\displaystyle W^{\text{E}}}$y${\displaystyle W^{\text{M}}}$son el contenido de energía eléctrica y magnética del volumen considerado. Finalmente, ${\displaystyle p_{ik}}$es el tensor de presión del fluido expresado en el sistema de coordenadas móvil local.

$${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$$

y${\displaystyle T_{ik}}$es el tensor de tensión electromagnética ,

$${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$$

Un plasmoide es una configuración finita de campos magnéticos y plasma. Con el teorema del virial, es fácil ver que cualquier configuración de este tipo se expandirá si no está contenida por fuerzas externas. En una configuración finita sin paredes que soporten presión ni bobinas magnéticas, la integral de superficie se anulará. Dado que todos los demás términos del lado derecho son positivos, la aceleración del momento de inercia también será positiva. También es fácil estimar el tiempo de expansión.${\displaystyle \tau }$. Si una masa total${\displaystyle M}$está confinado dentro de un radio${\displaystyle R}$, entonces el momento de inercia es aproximadamente${\displaystyle MR^{2}}$y el lado izquierdo del teorema del virial es${\displaystyle {\frac {MR^{2}}{\tau ^{2}}}}$. Los términos del lado derecho suman aproximadamente${\displaystyle pR^{3}}$, dónde${\displaystyle p}$es la mayor entre la presión del plasma y la presión magnética . Igualando estos dos términos y resolviendo para${\displaystyle \tau }$, encontramos

$${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$$

dónde${\displaystyle c_{s}}$es la velocidad de la onda acústica iónica (o de la onda de Alfvén , si la presión magnética es mayor que la presión del plasma). Por lo tanto, se espera que la vida útil de un plasmoide sea del orden del tiempo de tránsito acústico (o de Alfvén).

Para un sistema físico , cuando se tienen en cuenta el campo de presión, los campos electromagnético y gravitacional, así como el campo de aceleración de las partículas, el teorema del virial se escribe en forma relativista de la siguiente manera: ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

donde el valor${\displaystyle W_{k}=\gamma _{c}T}$supera la energía cinética de las partículas${\displaystyle T}$por un factor igual al factor de Lorentz ${\displaystyle \gamma _{c}}$de las partículas en el centro del sistema. En condiciones normales podemos suponer que ${\displaystyle \gamma _{c}\approx 1}$Entonces podemos ver que en el teorema del virial la energía cinética está relacionada con la energía potencial no por el coeficiente${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, sino más bien por el coeficiente cercano a 0,6. La diferencia con el caso clásico surge debido a la consideración del campo de presión y el campo de aceleración de partículas dentro del sistema, mientras que la derivada del escalar${\displaystyle G}$no es igual a cero y debe considerarse como la derivada material .

Un análisis del teorema integral del virial generalizado permite encontrar, sobre la base de la teoría de campos, una fórmula para la velocidad cuadrática media de partículas típicas de un sistema sin utilizar la noción de temperatura: ^{[ 24 ]}

$${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},}$$

dónde${\displaystyle ~c}$es la velocidad de la luz ,${\displaystyle ~\eta }$es constante el campo de aceleración,${\displaystyle ~\rho _{0}}$es la densidad de masa de las partículas,${\displaystyle ~r}$es el radio actual.

A diferencia del teorema del virial para partículas, para el campo electromagnético el teorema del virial se escribe de la siguiente manera: ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$$

donde la energía${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$considerada como la energía del campo cinético asociada con la corriente de cuatro vías${\displaystyle j^{\alpha }}$, y

$${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$$

establece la energía del campo potencial que se encuentra a través de los componentes del tensor electromagnético .

El teorema del virial se aplica frecuentemente en astrofísica, especialmente relacionando la energía potencial gravitatoria de un sistema con su energía cinética o térmica . Algunas relaciones viriales comunes son:$${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$$ para una misa${\displaystyle M}$radio${\displaystyle R}$, velocidad${\displaystyle v}$y temperatura${\displaystyle T}$Las constantes son la constante de Newton .${\displaystyle G}$la constante de Boltzmann${\displaystyle k_{B}}$y masa del protón${\displaystyle m_{p}}$. Tenga en cuenta que estas relaciones son solo aproximadas y, a menudo, los principales factores numéricos (por ejemplo,${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$o${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$) se descuidan por completo.

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