entropía de Von Neumann

Si ρ _A , ρ _B son las matrices de densidad reducidas del estado general ρ _AB , entonces $${\displaystyle \left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$$

La desigualdad de la derecha se conoce como subaditividad , y la de la izquierda a veces como desigualdad triangular . ^{[ 17 ]} Mientras que en la teoría de Shannon la entropía de un sistema compuesto nunca puede ser menor que la entropía de cualquiera de sus partes, en la teoría cuántica esto no es así; es decir, es posible que S ( ρ _AB ) = 0 , mientras que S ( ρ _A ) = S ( ρ _B ) > 0 . Esto se expresa diciendo que la entropía de Shannon es monótona , pero la entropía de von Neumann no lo es. ^{[ 18 ]} Por ejemplo, tomemos el estado de Bell de dos partículas de espín 1/2 : $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle .}$$ Este es un estado puro con entropía cero, pero cada espín tiene entropía máxima cuando se considera individualmente, porque su matriz de densidad reducida es el estado máximamente mezclado. Esto indica que es un estado entrelazado ; ^{[ 19 ]} el uso de la entropía como medida de entrelazamiento se analiza más adelante.

La entropía de von Neumann también es fuertemente subaditiva . ^{[ 20 ]} Dados tres espacios de Hilbert , A , B , C , $${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$ Utilizando la técnica de demostración que establece el lado izquierdo de la desigualdad triangular anterior, se puede demostrar que la desigualdad de subaditividad fuerte es equivalente a la siguiente desigualdad: $${\displaystyle S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}$$ donde ρ _AB , etc. son las matrices de densidad reducidas de una matriz de densidad ρ _ABC . ^{[ 21 ]} Si aplicamos la subaditividad ordinaria al lado izquierdo de esta desigualdad, entonces encontramos $${\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$ Por simetría, para cualquier estado tripartito ρ _ABC , cada uno de los tres números S ( ρ _AB ), S ( ρ _BC ), S ( ρ _AC ) es menor o igual que la suma de los otros dos. ^{[ 22 ]}

Dado un estado cuántico y una especificación de una medición cuántica, podemos calcular las probabilidades de los diferentes resultados posibles de esa medición y, por lo tanto, podemos encontrar la entropía de Shannon de esa distribución de probabilidad. Una medición cuántica se puede especificar matemáticamente como una medida con valores de operador positivos , o POVM. ^{[ 23 ]} En el caso más simple, un sistema con un espacio de Hilbert de dimensión finita y una medición con un número finito de resultados, una POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas.${\displaystyle \{F_{i}\}}$en el espacio de Hilbert que suman la matriz identidad , ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$$ El elemento POVM${\displaystyle F_{i}}$está asociado con el resultado de la medición${\displaystyle i}$, de tal manera que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición en el estado cuántico${\displaystyle \rho }$es dado por $${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}).}$$ Un POVM es de rango 1 si todos sus elementos son proporcionales a operadores de proyección de rango 1. La entropía de von Neumann es la entropía de Shannon mínima alcanzable, donde la minimización se realiza sobre todos los POVM de rango 1. ^{[ 25 ]}

Si ρ _i son operadores de densidad y λ _i es una colección de números positivos que suman la unidad (${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}=1}$) , entonces $${\displaystyle \rho =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}}$$ es un operador de densidad válido, y la diferencia entre su entropía de von Neumann y el promedio ponderado de las entropías de los ρ _i está acotada por la entropía de Shannon de los λ _i : $${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})\leq -\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$$ La igualdad se alcanza cuando los soportes de los ρ _i —los espacios generados por sus autovectores correspondientes a autovalores distintos de cero— son ortogonales. La diferencia en el lado izquierdo de esta desigualdad se conoce como la cantidad χ de Holevo y también aparece en el teorema de Holevo , un resultado importante en la teoría de la información cuántica . ^{[ 26 ]}

La evolución temporal de un sistema aislado se describe mediante un operador unitario: $${\displaystyle \rho \to U\rho U^{\dagger }.}$$ La evolución unitaria transforma estados puros en estados puros, ^{[ 27 ]} y deja la entropía de von Neumann sin cambios. Esto se deduce del hecho de que la entropía de${\displaystyle \rho }$es una función de los valores propios de${\displaystyle \rho }$. ^{[ 28 ]}

Una medición sobre un sistema cuántico generalmente produce un cambio en el estado cuántico de dicho sistema. Escribir un POVM no proporciona la información completa necesaria para describir este proceso de cambio de estado. ^{[ 29 ]} Para remediar esto, se especifica información adicional descomponiendo cada elemento del POVM en un producto: $${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$$ Los operadores de Kraus${\displaystyle A_{i}}$, que reciben su nombre de Karl Kraus , proporcionan una especificación del proceso de cambio de estado. No son necesariamente autoadjuntos, pero los productos${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$son. Si al realizar la medición el resultado${\displaystyle E_{i}}$se obtiene, entonces el estado inicial${\displaystyle \rho }$se actualiza a $${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$$ Un caso especial importante es la regla de Lüders, que recibe su nombre de Gerhart Lüders . ^{[ 30 ] [ 31 ]} Si los elementos POVM son operadores de proyección , entonces los operadores de Kraus pueden tomarse como los propios proyectores: $${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$$ Si el estado inicial${\displaystyle \rho }$es puro, y los proyectores${\displaystyle \Pi _{i}}$tienen rango 1, se pueden escribir como proyectores sobre los vectores${\displaystyle |\psi \rangle }$y${\displaystyle |i\rangle }$, respectivamente. La fórmula se simplifica así a $${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$$ Podemos definir un mapa lineal, que conserva la traza y es completamente positivo , sumando sobre todos los posibles estados posteriores a la medición de un POVM sin la normalización: $${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$$ Es un ejemplo de canal cuántico , ^{[ 32 ]} y puede interpretarse como la expresión de cómo cambia un estado cuántico si se realiza una medición pero se pierde el resultado de dicha medición. ^{[ 33 ]} Los canales definidos por mediciones proyectivas nunca pueden disminuir la entropía de von Neumann; la dejan sin cambios solo si no modifican la matriz de densidad. ^{[ 34 ]} Un canal cuántico aumentará o dejará constante la entropía de von Neumann de cada estado de entrada si y solo si el canal es unitario , es decir, si deja fijo el estado máximamente mezclado. Un ejemplo de canal que disminuye la entropía de von Neumann es el canal de amortiguación de amplitud para un cúbit, que envía todos los estados mezclados hacia un estado puro. ^{[ 35 ]}

Dejar${\displaystyle \rho _{AB}}$sea ​​un estado conjunto para el sistema cuántico bipartito AB. Entonces la entropía de von Neumann condicional${\displaystyle S(A|B)}$es la diferencia entre la entropía de${\displaystyle \rho _{AB}}$y la entropía del estado marginal para el subsistema B solamente: $${\displaystyle S(A|B)=S(\rho _{AB})-S(\rho _{B}).}$$ Esto está delimitado arriba por${\displaystyle S(\rho _{A})}$. En otras palabras, condicionar la descripción del subsistema A al subsistema B no puede aumentar la entropía asociada con A. ^{[ 39 ]}

La información mutua cuántica se puede definir como la diferencia entre la entropía del estado conjunto y la entropía total de los marginales: $${\displaystyle S(A:B)=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB}),}$$ que también puede expresarse en términos de entropía condicional: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle S(A:B)=S(A)-S(A|B)=S(B)-S(B|A).}$$

Dejar${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \sigma }$sean dos operadores de densidad en el mismo espacio de estados. La entropía relativa se define como $${\displaystyle S(\sigma |\rho )=\operatorname {tr} [\rho (\log \rho -\log \sigma )].}$$ La entropía relativa siempre es mayor o igual que cero; es igual a cero si y solo si${\displaystyle \rho =\sigma }$. ^{[ 41 ]} A diferencia de la entropía de von Neumann en sí, la entropía relativa es monótona, en el sentido de que disminuye (o permanece constante) cuando se traza una parte de un sistema: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle S(\sigma _{A}|\rho _{A})\leq S(\sigma _{AB}|\rho _{AB}).}$$

Así como la energía es un recurso que facilita las operaciones mecánicas, el entrelazamiento es un recurso que facilita la realización de tareas que implican comunicación y computación. ^{[ 43 ]} La definición matemática de entrelazamiento puede parafrasearse diciendo que el conocimiento máximo sobre la totalidad de un sistema no implica el conocimiento máximo sobre las partes individuales de ese sistema. ^{[ 44 ]} Si el estado cuántico que describe un par de partículas está entrelazado, entonces los resultados de las mediciones en una mitad del par pueden estar fuertemente correlacionados con los resultados de las mediciones en la otra. Sin embargo, el entrelazamiento no es lo mismo que la "correlación" tal como se entiende en la teoría de la probabilidad clásica y en la vida cotidiana. En cambio, el entrelazamiento puede pensarse como una correlación potencial que puede usarse para generar una correlación real en un experimento apropiado. ^{[ 45 ]} El estado de un sistema compuesto siempre es expresable como una suma, o superposición , de productos de estados de constituyentes locales; está entrelazado si esta suma no puede escribirse como un solo término de producto. ^{[ 46 ]} La entropía proporciona una herramienta que puede utilizarse para cuantificar el entrelazamiento. ^{[ 47 ] [ 48 ]} Si el sistema global se describe mediante un estado puro, la entropía de un subsistema puede utilizarse para medir su grado de entrelazamiento con los demás subsistemas. Para estados puros bipartitos, la entropía de von Neumann de los estados reducidos es la medida única de entrelazamiento en el sentido de que es la única función sobre la familia de estados que satisface ciertos axiomas requeridos para una medida de entrelazamiento. ^{[ 49 ] [ 50 ]} Por lo tanto, se la conoce como entropía de entrelazamiento. ^{[ 51 ]}

Es un resultado clásico que la entropía de Shannon alcanza su máximo en, y solo en, la distribución de probabilidad uniforme {1/ n , ..., 1/ n } . ^{[ 52 ]} Por lo tanto, se dice que un estado puro bipartito ρ ∈ H _A ⊗ H _B es un estado máximamente entrelazado si el estado reducido de cada subsistema de ρ es la matriz diagonal ^{[ 53 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{pmatrix}}.}$$

Para estados mixtos, la entropía reducida de von Neumann no es la única medida de entrelazamiento razonable. ^{[ 54 ]} Algunas de las otras medidas también son de carácter entrópico. Por ejemplo, la entropía relativa de entrelazamiento se obtiene minimizando la entropía relativa entre un estado dado.${\displaystyle \rho }$y el conjunto de estados no entrelazados o separables . ^{[ 55 ]} El entrelazamiento de formación se define minimizando, sobre todas las formas posibles de escribir${\displaystyle \rho }$como una combinación convexa de estados puros, la entropía de entrelazamiento promedio de esos estados puros. ^{[ 56 ]} El entrelazamiento comprimido se basa en la idea de extender un estado bipartito${\displaystyle \rho _{AB}}$a un estado que describe un sistema más grande,${\displaystyle \rho _{ABE}}$, de tal manera que la traza parcial de${\displaystyle \rho _{ABE}}$sobre E rinde${\displaystyle \rho _{AB}}$Entonces se halla el ínfimo de la cantidad .$${\displaystyle {\frac {1}{2}}[S(\rho _{AE})+S(\rho _{BE})-S(\rho _{E})-S(\rho _{ABE})],}$$ sobre todas las opciones posibles de${\displaystyle \rho _{ABE}}$. ^{[ 57 ]}

Así como la función de entropía de Shannon es un miembro de la familia más amplia de entropías de Rényi clásicas , también la entropía de von Neumann puede generalizarse a las entropías de Rényi cuánticas: $${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )={\frac {1}{1-\alpha }}\ln[\operatorname {tr} \rho ^{\alpha }]={\frac {1}{1-\alpha }}\ln \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{\alpha }.}$$ En el límite que${\displaystyle \alpha \to 1}$, esto recupera la entropía de von Neumann. Las entropías cuánticas de Rényi son todas aditivas para estados producto y para cualquier${\displaystyle \alpha }$, la entropía de Rényi${\displaystyle S_{\alpha }}$se desvanece para estados puros y se maximiza por el estado máximamente mezclado. Para cualquier estado dado${\displaystyle \rho }$,${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )}$es una función continua y no creciente del parámetro${\displaystyle \alpha }$Se puede demostrar una versión débil de la subaditividad: $${\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})-S_{0}(\rho _{B})\leq S_{\alpha }(\rho _{AB})\leq S_{\alpha }(\rho _{A})+S_{0}(\rho _{B}).}$$ Aquí,${\displaystyle S_{0}}$es la versión cuántica de la entropía de Hartley , es decir, el logaritmo del rango de la matriz de densidad. ^{[ 58 ]}