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Wieferich primo

{{Citation |last1= Franco |first1= Z. |last2= Pomerance |first2= C. |author2-link = Carl Pomerance |title= On a conjecture of Crandall concerning the ''qx'' + 1 problem |journal...

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En teoría de números , un primo de Wieferich es un número primo p tal que p² divide a 2p −  1   − 1  , [ 4 ] conectando así estos primos con el pequeño teorema de Fermat , que establece que todo primo impar p divide a 2p − 1 − 1. Los     primos de Wieferich fueron descritos por primera vez por Arthur Wieferich en 1909 en trabajos relacionados con el Último Teorema de Fermat , momento en el que ambos teoremas de Fermat ya eran bien conocidos por los matemáticos. [ 5 ] [ 6 ]

Desde entonces, se han descubierto conexiones entre los números primos de Wieferich y diversos temas matemáticos, incluyendo otros tipos de números y primos, como los números de Mersenne y Fermat , tipos específicos de pseudoprimos y algunos tipos de números generalizados a partir de la definición original de un primo de Wieferich. Con el tiempo, estas conexiones descubiertas se han extendido para abarcar más propiedades de ciertos números primos, así como temas más generales como los cuerpos numéricos y la conjetura abc .

A partir de 2026, los únicos primos de Wieferich conocidos son 1093 y 3511 (secuencia A001220 en la OEIS ) .

Historial y estado de búsqueda

Problema sin resolver en matemáticas
¿Existen infinitos números primos de Wieferich?
Más problemas sin resolver en matemáticas

En 1902, Meyer demostró un teorema sobre soluciones de la congruencia a p − 1 ≡ 1 (mod p r ). [ 7 ] : 930 [ 8 ] Más tarde en esa década, Arthur Wieferich demostró específicamente que si el primer caso del último teorema de Fermat tiene soluciones para un exponente primo impar, entonces ese primo debe satisfacer esa congruencia para a = 2 y r = 2. [ 9 ] En otras palabras, si existen soluciones para x p + y p + z p = 0 en enteros x , y , z y p un primo impar con p ∤ xyz , entonces p satisface 2 p − 1 ≡ 1 (mod p 2 ). En 1913, Bachmann examinó los residuos de2pag−1−1pagmodpag{\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}. Hizo la pregunta de cuándo desaparece este residuo e intentó encontrar expresiones para responder a esta pregunta. [ 10 ]

El primo 1093 fue identificado como un primo de Wieferich por W. Meissner en 1913 y se confirmó que era el único primo de este tipo menor que 2000. Calculó el residuo más pequeño de2t−1pagmodpag{\displaystyle {\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}para todos los primos p < 2000 y encontró que este residuo era cero para t = 364 y ​​p = 1093, proporcionando así un contraejemplo a una conjetura de Grave sobre la imposibilidad de la congruencia de Wieferich. [ 11 ] E. Haentzschel ordenó más tarde la verificación de la corrección de la congruencia de Meissner mediante cálculos elementales. [ 12 ] : 664 Inspirado por un trabajo anterior de Euler , simplificó la prueba de Meissner mostrando que 1093 2 | (2 182 + 1) y observó que (2 182 + 1) es un factor de (2 364 − 1). [ 13 ] También se demostró que es posible probar que 1093 es un primo de Wieferich sin usar números complejos, a diferencia del método utilizado por Meissner, [ 14 ] aunque el propio Meissner insinuó que conocía una prueba sin valores complejos. [ 11 ] : 665

El primo 3511 fue descubierto por primera vez como primo de Wieferich por NGWH Beeger en 1922 [ 15 ] y otra prueba de que era un primo de Wieferich fue publicada en 1965 por Guy . [ 16 ] En 1960, Kravitz [ 17 ] duplicó un récord anterior establecido por Fröberg [ 18 ] y en 1961 Riesel extendió la búsqueda a 500000 con la ayuda de la computadora BESK . [ 19 ] Alrededor de 1980, Lehmer pudo alcanzar el límite de búsqueda de 6 × 109. [ 20 ] Este límite se extendió a más de 2,5 × 1015 en 2006, [ 21 ] finalmente alcanzando 3 × 1015. Finalmente, se demostró que si existen otros números primos de Wieferich, deben ser mayores que 6,7 × 10.15 . [ 22 ]

Entre 2007 y 2016, el proyecto de computación distribuida Wieferich@Home realizó una búsqueda de números primos de Wieferich . [ 23 ] Entre 2011 y 2017, el proyecto PrimeGrid realizó otra búsqueda , aunque posteriormente se afirmó que el trabajo realizado en este proyecto había sido en vano. [ 24 ] Si bien estos proyectos alcanzaron límites de búsqueda superiores a 1 × 1017 , ninguno de ellos reportó resultados sostenibles.

En 2020, PrimeGrid inició otro proyecto que buscaba simultáneamente primos de Wieferich y Wall-Sun-Sun . El nuevo proyecto utilizó sumas de verificación para permitir la doble verificación independiente de cada subintervalo, minimizando así el riesgo de omitir una instancia debido a un hardware defectuoso. [ 25 ] El proyecto finalizó en diciembre de 2022, demostrando definitivamente que un tercer primo de Wieferich debe superar 2 64 (aproximadamente 18 × 1018 ). [ 26 ]

Se ha conjeturado (como para los primos de Wilson ) que existen infinitos primos de Wieferich, y que el número de primos de Wieferich menores que x es aproximadamente log(log( x )), lo cual es un resultado heurístico que se deriva de la suposición plausible de que para un primo p , las raíces de grado ( p  −  1) de la unidad módulo p 2 están uniformemente distribuidas en el grupo multiplicativo de enteros módulo p 2 . [ 27 ]

Propiedades

Relación con el último teorema de Fermat

El siguiente teorema que relaciona los primos de Wieferich y el último teorema de Fermat fue demostrado por Wieferich en 1909: [ 9 ]

Sea p un número primo, y sean x , y , z enteros tales que x p + y p + z p = 0. Además, supongamos que p no divide al producto xyz . Entonces p es un número primo de Wieferich .       

El caso anterior (donde p no divide a ninguno de x , y o z ) se conoce comúnmente como el primer caso del Último Teorema de Fermat (LTF) [ 28 ] [ 29 ] y se dice que el LTF falla para un primo p , si existen soluciones a la ecuación de Fermat para ese p , de lo contrario el LTF se cumple para p . [ 30 ] En 1910, Mirimanoff amplió [ 31 ] el teorema al demostrar que, si las precondiciones del teorema se cumplen para algún primo p , entonces p² también debe dividir a 3p -  1  - 1.   Granville y Monagan demostraron además que p² debe dividir a m p - 1 - 1 para todo primo m ≤ 89. [ 32 ] Suzuki extendió la demostración a todos los primos m ≤ 113. [ 33 ]    

Sea H p un conjunto de pares de enteros con 1 como su máximo común divisor , p siendo primo con x , y y x + y , ( x + y ) p −1 ≡ 1 (mod p 2 ), ( x + ξy ) siendo la p -ésima potencia de un ideal de K con ξ definido como cos 2 π / p + i sin 2 π / p . K = Q ( ξ ​​) es la extensión de campo obtenida al adjuntar todos los polinomios en el número algebraico ξ al campo de los números racionales (dicha extensión se conoce como un campo de números o, en este caso particular, donde ξ es una raíz de la unidad , un campo de números ciclotómicos ). [ 32 ] : 332 De la unicidad de la factorización de ideales en Q (ξ) se deduce que si el primer caso del último teorema de Fermat tiene soluciones x , y , z entonces p divide a x + y + z y ( x , y ), ( y , z ) y ( z , x ) son elementos de H p . [ 32 ] : 333 Granville y Monagan demostraron que (1, 1) ∈ H p si y solo si p es un primo de Wieferich. [ 32 ] : 333

Relación con la conjetura abc y los números primos no Wieferich.

Un primo no Wieferich es un primo p que satisface2pag−1≢1modpag2{\displaystyle 2^{p-1}\not \equiv 1{\bmod {p^{2}}}}. JH Silverman demostró en 1988 que si la conjetura abc es cierta, entonces existen infinitos primos no-Wieferich. [ 34 ] Más precisamente, demostró que la conjetura abc implica la existencia de una constante que depende solo de α tal que el número de primos no-Wieferich en base α con p menor o igual a una variable X es mayor que log( X ) cuando X tiende a infinito. [ 35 ] : 227 La evidencia numérica sugiere que muy pocos de los números primos en un intervalo dado son primos Wieferich. El conjunto de primos Wieferich y el conjunto de primos no-Wieferich, a veces denotados por W 2 y W 2 c respectivamente, [ 36 ] son ​​conjuntos complementarios , por lo que si se demuestra que uno de ellos es finito, el otro necesariamente tendría que ser infinito. Posteriormente se demostró que la existencia de infinitos primos no-Wieferich ya se deduce de una versión más débil de la conjetura abc , llamada conjetura ABC -( k , ε ) . [ 37 ] Además, la existencia de infinitos primos no-Wieferich también se deduciría si existieran infinitos números de Mersenne libres de cuadrados [ 38 ] así como si existiera un número real ξ tal que el conjunto { n ∈ N : λ(2 n − 1) < 2 − ξ } tenga densidad uno, donde el índice de composición λ ( n ) de un entero n se define como registro⁡norteregistro⁡γ(norte){\displaystyle {\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)}}}yγ(norte)=∏pag∣nortepag{\displaystyle \gamma (n)=\prod _{p\mid n}p}, significadoγ(norte){\displaystyle \gamma (n)}da el producto de todos los factores primos de n . [ 36 ] : 4

Relación con los números primos de Mersenne y Fermat

Se sabe que el n -ésimo número de Mersenne M n  =  2 n  −  1 es primo solo si n es primo. El pequeño teorema de Fermat implica que si p  >  2 es primo, entonces M p −1 (=  2 p  −  1  −  1) siempre es divisible por p . Dado que los números de Mersenne de índices primos M p y M q son coprimos,

Un divisor primo p de M q , donde q es primo, es un primo de Wieferich si y solo si p 2 divide a M q . [ 39 ]

Por lo tanto, un número primo de Mersenne no puede ser también un número primo de Wieferich. Un problema abierto notable es determinar si todos los números de Mersenne de índice primo son libres de cuadrados . Si q es primo y el número de Mersenne M q no es libre de cuadrados, es decir, existe un primo p para el cual p 2 divide a M q , entonces p es un número primo de Wieferich. Por consiguiente, si solo hay un número finito de primos de Wieferich, entonces habrá como máximo un número finito de números de Mersenne con índice primo que no son libres de cuadrados. Rotkiewicz demostró un resultado relacionado: si hay infinitos números de Mersenne libres de cuadrados, entonces hay infinitos primos que no son de Wieferich. [ 40 ]

De manera similar, si p es primo y p² divide a algún número de Fermat F n = 2² n + 1 , entonces p debe ser un primo de Wieferich . [ 41 ]   

Para los números primos 1093 y 3511, se demostró que ninguno de ellos es divisor de ningún número de Mersenne con índice primo ni divisor de ningún número de Fermat, porque 364 y ​​1755 no son primos ni potencias de 2. [ 42 ]

Conexión con otras ecuaciones

Scott y Styer demostraron que la ecuación p x − 2 y = d tiene como máximo una solución en enteros positivos ( x , y ), a menos que p 4 | 2 ord p 2 − 1 si p ≢ 65 (mod 192) o incondicionalmente cuando p 2 | 2 ord p 2 − 1, donde ord p 2 denota el orden multiplicativo de 2 módulo p . [ 43 ] : 215, 217–218 También demostraron que una solución a la ecuación ± a x 1 ± 2 y 1 = ± a x 2 ± 2 y 2 = c debe provenir de un conjunto específico de ecuaciones, pero que esto no se cumple si a es un primo de Wieferich mayor que 1,25 × 10 15 . [ 44 ] : 258

Periodicidad binaria de p − 1

Johnson observó [ 45 ] que los dos primos de Wieferich conocidos son uno mayor que números con expansiones binarias periódicas (1092 = 010001000100 2 = 444 16 ; 3510 = 110110110110 2 = 6666 8 ). El proyecto Wieferich@Home buscó primos de Wieferich probando números que son uno mayor que un número con una expansión binaria periódica, pero hasta una "pseudolongitud de bits" de 3500 de los números binarios probados generados por combinación de cadenas de bits con una longitud de bits de hasta 24 no ha encontrado un nuevo primo de Wieferich. [ 46 ]

Abundancia de p − 1

Los primos de Wieferich conocidos son uno mayor que los números mutuamente amigables (el índice de abundancia compartida es 112/39). [ 47 ]

Conexión con pseudoprimos

Se observó que los dos primos de Wieferich conocidos son los factores cuadrados de todos los pseudoprimos de Fermat de base 2 libres no cuadrados hasta 25 × 109. [ 48 ] Cálculos posteriores mostraron que los únicos factores repetidos de los pseudoprimos hasta 10¹² son 1093 y 3511. [ 49 ] Además, existe la siguiente conexión:

Sea n un pseudoprimo en base 2 y p un divisor primo de n . Si2norte−1−1norte≢0(modpag){\displaystyle {\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}}, entonces también2pag−1−1pag≢0(modpag){\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}}. [ 30 ] : 378

Conexión con grafos dirigidos

Para todos los primos p hasta 100000 , L ( p n + 1 ) = L ( p n ) solo en dos casos: L (1093² ) = L (1093) = 364 y ​​L (3511² ) = L (3511) = 1755 , donde L ( m ) es el número de vértices en el ciclo de 1 en el diagrama de duplicación módulo m . Aquí, el diagrama de duplicación representa el grafo dirigido con los enteros no negativos menores que m como vértices y con aristas dirigidas que van desde cada vértice x al vértice 2x reducido módulo m . [ 50 ] : 74 Se demostró que para todos los números primos impares, o bien L ( p n + 1 ) = p · L ( p n ) o bien L ( p n + 1 ) = L ( p n ) . [ 50 ] : 75

Se demostró queχD0(pag)=1{\displaystyle \chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1}yλpag(Q(D0))=1{\displaystyle \lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1}si y solo si 2 p  −  1  ≢  1  (mod p 2 )  donde p es un primo impar yD0<0{\displaystyle D_{0}<0}es el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginarioQ(1−pag2){\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}}Además, se demostró lo siguiente: Sea p un número primo de Wieferich. Si p ≡ 3 (mod 4) , seaD0<0{\displaystyle D_{0}<0}sea ​​el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginarioQ(1−pag){\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p}}{\big )}}y si p ≡ 1 (mod 4) , seaD0<0{\displaystyle D_{0}<0}sea ​​el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginarioQ(4−pag){\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}}. EntoncesχD0(pag)=1{\displaystyle \chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1}yλpag(Q(D0))=1{\displaystyle \lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1}( χ y λ en este contexto denotan invariantes de Iwasawa ). [ 51 ] : 27

Además, se obtuvo el siguiente resultado: Sea q un número primo impar, k y p primos tales que p = 2 k + 1, k ≡ 3 (mod 4), p ≡ −1 (mod q ), p ≢ −1 (mod q 3 ) y el orden de q módulo k esk−12{\displaystyle {\tfrac {k-1}{2}}}Supongamos que q divide a h + , el número de clase del campo ciclotómico real.Q(ζpag+ζpag−1){\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big )}}, el campo ciclotómico obtenido al adjuntar la suma de una raíz p -ésima de la unidad y su recíproco al campo de los números racionales. Entonces q es un primo de Wieferich. [ 52 ] : 55 Esto también se cumple si las condiciones p ≡ −1 (mod q ) y p ≢ −1 (mod q 3 ) se reemplazan por p ≡ −3 (mod q ) y p ≢ −3 (mod q 3 ) , así como cuando la condición p ≡ −1 (mod q ) se reemplaza por p ≡ −5 (mod q ) (en cuyo caso q es un primo de Wall–Sun–Sun ) y la condición de incongruencia se reemplaza por p ≢ −5 (mod q 3 ) . [ 53 ] : 376

Generalizaciones

Números primos cercanos a Wieferich

Un primo p que satisface la congruencia 2 ( p −1)/2 ≡  ±1  + Ap  (mod p 2 ) con | A | pequeño se denomina comúnmente primo casi-Wieferich (secuencia A195988 en la OEIS ) . [ 27 ] [ 54 ] Los primos casi-Wieferich con A = 0 representan primos de Wieferich. Las búsquedas recientes, además de su búsqueda principal de primos de Wieferich, también intentaron encontrar primos casi-Wieferich. [ 22 ]

Parejas de Wieferich

Un par de Wieferich es un par de números primos p y q que satisfacen

p q − 1 ≡ 1 (mod q 2 ) y q p − 1 ≡ 1 (mod p 2 )

de modo que un primo de Wieferich p ≡ 1 (mod 4) formará tal par ( p , 2): el único caso conocido es p  =  1093. Solo se conocen 7 pares de Wieferich. [ 55 ]

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) y (2903, 18787) (secuencia OEIS : A282293  en OEIS )

Números de Wieferich

Un número de Wieferich es un número natural impar n que satisface la congruencia 2 φ ( n ) ≡ 1 (mod n 2 ), donde φ denota la función totiente de Euler (según el teorema de Euler , 2 φ ( n ) ≡ 1 (mod n ) para todo número natural impar n ). Si el número de Wieferich n es primo, entonces es un primo de Wieferich. Los primeros números de Wieferich son:

1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, ... (secuencia A077816 en el OEIS )

Se puede demostrar que si solo hay un número finito de primos de Wieferich, entonces solo hay un número finito de números de Wieferich. En particular, si los únicos primos de Wieferich son 1093 y 3511, entonces existen exactamente 104 números de Wieferich, lo que coincide con el número de números de Wieferich conocidos actualmente. [ 2 ]

De forma más general, un número natural n es un número de Wieferich en base a , si a φ ( n ) ≡ 1 (mod n 2 ). [ 56 ] : 31

Otra definición especifica un número de Wieferich como un número natural impar n tal que n y2metro−1norte{\displaystyle {\tfrac {2^{m}-1}{n}}}no son coprimos , donde m es el orden multiplicativo de 2 módulo n . El primero de estos números es: [ 57 ]

21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399, ... (secuencia A182297 en el OEIS )

Como se indicó anteriormente, si el número de Wieferich q es primo, entonces es un número primo de Wieferich.

Lugares de Wieferich

Sea K un cuerpo global , es decir, un cuerpo numérico o un cuerpo de funciones en una variable sobre un cuerpo finito , y sea E una curva elíptica . Si v es un lugar no arquimediano de norma q v de K y a ∈ K, con v ( a ) = 0, entonces v (a q v  −  1  −  1) ≥ 1. v se llama un lugar de Wieferich para la base a , si v (a q v  −  1  −  1) > 1, un lugar de Wieferich elíptico para la base P ∈ E , si N v P ∈ E 2 y un lugar de Wieferich fuertemente elíptico para la base P ∈ E si n v P ∈ E 2 , donde n v es el orden de P módulo v y N v da el número de puntos racionales (sobre el cuerpo residual de v ) de la reducción de E en v . [ 58 ] : 206

Véase también

Referencias

  1. ↑ Franco, Z.; Pomerance, C. (1995), "Sobre una conjetura de Crandall relativa al problema qx + 1" (PDF) , Mathematics of Computation , 64 (211): 1333–36 , Bibcode : 1995MaCom..64.1333F , doi : 10.2307/2153499 , JSTOR 2153499 . 
  2. 1 2 Banks, WD; Luca, F.; Shparlinski, IE (2007), "Estimaciones para los números de Wieferich" (PDF) , The Ramanujan Journal , 14 (3): 361–378 , doi : 10.1007/s11139-007-9030-z , S2CID 39279379 , archivado del original (PDF) el 3 de mayo de 2013 , recuperado el 12 de marzo de 2011 . 
  3. ↑ McIntosh, RJ; Roettger, EL (2007), "Una búsqueda de primos de Fibonacci-Wieferich y Wolstenholme" (PDF) , Mathematics of Computation , 76 (260): 2087–2094 , Bibcode : 2007MaCom..76.2087M , CiteSeerX 10.1.1.105.9393 , doi : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2 
  4. ↑ El glosario principal: Wieferich prime
  5. ^ Israel Kleiner (2000), "De Fermat a Wiles: el último teorema de Fermat se convierte en teorema", Elemente der Mathematik , 55 : 21, doi : 10.1007/PL00000079 , S2CID 53319514 . 
  6. ^ Leonhard Euler (1736), "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio" (PDF) , Novi Comm. Acad. Ciencia. Petropol. (en latín), 8 : 33– 37.
  7. ↑ Wilfrid Keller; Jörg Richstein (2005), "Soluciones de la congruencia a p −1 ≡ 1 (mod p r ) " (PDF) , Matemáticas de la Computación , 74 (250): 927– 936, doi : 10.1090/S0025-5718-04-01666-7 .    
  8. ^ Meyer, W. P. (1902), "Ergänzungen zum Fermatschen und Wilsonschen Satze" , Arq. Matemáticas. Physik , 3, 2 : 141-146 , consultado el 2 de septiembre de 2020
  9. ^ Wieferich , A. (1909), "Zum letzten Fermat'schen Theorem" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1909 (136): 293– 302, doi : 10.1515/crll.1909.136.293 , S2CID 118715277 . 
  10. ^ Bachmann, P. (1913), "Über den Rest von2pag−1−1pagmodpag{\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}" , Journal für Mathematik (en alemán), 142 (1): 41– 50
  11. ^ Meissner , W. (1913), "Über die Teilbarkeit von 2 p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p = 1093" (PDF) , Sitzungsber. D. Königl. Preuss. Akád. D. Wiss. (en alemán), Zweiter Halbband. Julio a diciembre, Berlín: 663– 667, JFM 44.0218.02 
  12. ^ Haentzschel, E. (1916), "Über die Kongruenz 2 1092 ≡ 1 (mod 1093 2 )" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 25 : 284
  13. ↑ Haentzschel, E. (1925), "Über die Kongruenz 2 1092 ≡ 1 (mod 1093 2 )" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 34 : 184
  14. ↑ Ribenboim, P. (1983), "1093", The Mathematical Intelligencer , 5 (2): 28–34 , doi : 10.1007/BF03023623
  15. ↑ Beeger, NGWH ( 1922), "Sobre un nuevo caso de la congruencia 2 p − 1 ≡ 1 (mod p 2 )" , Messenger of Mathematics , 51 : 149–150
  16. ↑ Guy, RK (1965), "Una propiedad del primo 3511", The Mathematical Gazette , 49 (367): 78–79 , doi : 10.2307/3614249 , JSTOR 3614249 
  17. ↑ Kravitz, S. (1960), "La congruencia 2 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) para p < 100,000" (PDF) , Mathematics of Computation , 14 (72): 378, doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7
  18. ↑ Fröberg CE (1958), "Algunos cálculos de restos de Wilson y Fermat" (PDF) , Mathematics of Computation , 12 (64): 281, doi : 10.1090/S0025-5718-58-99270-6
  19. ↑ Riesel, H. (1964), "Nota sobre la congruencia a p −1 ≡ 1 (mod p 2 )" (PDF) , Mathematics of Computation , 18 (85): 149– 150, doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6
  20. ↑ Lehmer, DH (1981), "Sobre el cociente de Fermat en base dos" (PDF) , Mathematics of Computation , 36 (153): 289–290 , doi : 10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5
  21. ^ Ribenboim, Paulo (2004), Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (en alemán), Nueva York: Springer, p. 237, ISBN  978-3-540-34283-0
  22. 1 2 Dorais, FG; Klyve, D. (2011), "Una búsqueda de primos de Wieferich hasta 6,7 ​​× 1015 "(PDF),Journal of Integer Sequences,14(9),Zbl1278.11003, consultado el 23 de octubre de 2011 
  23. ↑ "estadísticas" , elMath.org , 2 de septiembre de 2016, archivado del original el 2 de septiembre de 2016 , consultado el 18 de septiembre de 2019.
  24. ↑ "WSS y WFS están suspendidos" , Foro de PrimeGrid , 11 de mayo de 2017
  25. ↑ "Foros de mensajes : Búsqueda de números primos Wieferich y Wall-Sun-Sun" , PrimeGrid 
  26. ↑ "Estadísticas mundiales" , PrimeGrid
  27. 1 2 Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl; Pomerance, Carl (1997), "Una búsqueda de primos de Wieferich y Wilson" (PDF) , Mathematics of Computation , 66 (217): 433– 449, Bibcode : 1997MaCom..66..433C , doi : 10.1090/S0025-5718-97-00791-6 .
  28. ↑ Coppersmith, D. (1990), "El último teorema de Fermat (caso I) y el criterio de Wieferich" (PDF) , Mathematics of Computation , 54 (190): 895–902 , Bibcode : 1990MaCom..54..895C , doi : 10.1090/s0025-5718-1990-1010598-2 , JSTOR 2008518 . 
  29. ↑ Cikánek, P. (1994), "Una extensión especial del criterio de Wieferich" (PDF) , Mathematics of Computation , 62 (206): 923–930 , Bibcode : 1994MaCom..62..923C , doi : 10.2307/2153550 , JSTOR 3562296 . 
  30. 1 2 Dilcher, K.; Skula, L. (1995), "Un nuevo criterio para el primer caso del último teorema de Fermat" (PDF) , Mathematics of Computation , 64 (209): 363–392 , Bibcode : 1995MaCom..64..363D , doi : 10.1090/s0025-5718-1995-1248969-6 , JSTOR 2153341 
  31. ^ Mirimanoff, D. (1910), "Sur le dernier théorème de Fermat", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (en francés), 150 : 204-206 .
  32. 1 2 3 4 Granville, A.; Monagan, MB (1988), "El primer caso del último teorema de Fermat es verdadero para todos los exponentes primos hasta 714,591,416,091,389", Transactions of the American Mathematical Society , 306 (1): 329– 359, doi : 10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5 .
  33. ↑ Suzuki, Jiro (1994), "Sobre los criterios generalizados de Wieferich" , Actas de la Academia Japonesa, Serie A , 70 (7): 230–234 , doi : 10.3792/pjaa.70.230
  34. ↑ Charles, DX, "Sobre los números primos de Wieferich" (PDF) , wisc.edu
  35. ↑ Silverman, JH (1988), "El criterio de Wieferich y la conjetura abc", Journal of Number Theory , 30 (2): 226– 237, doi : 10.1016/0022-314X(88)90019-4
  36. 1 2 DeKoninck, J.-M.; Doyon, N. (2007), "Sobre el conjunto de primos de Wieferich y su complemento" (PDF) , Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. , 27 : 3–13
  37. ↑ Broughan, K. (2006), "Relajaciones de la conjetura ABC usando raíces k -ésimas enteras" (PDF) , New Zealand J. Math. , 35 ( 2): 121–136
  38. ↑ Ribenboim, P. (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem , Nueva York: Springer, p. 154, ISBN  978-0-387-90432-0
  39. ↑ Primos de Mersenne: Conjeturas y problemas sin resolver
  40. ^ Rotkiewicz, A. (1965), "Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturals n, tels que n 2 |2 n − 2 " , Mat. Vesnik (en francés), 2 ( 17): 78–80  
  41. ↑ Ribenboim, Paulo (1991), El pequeño libro de los grandes primos , Nueva York: Springer, pág. 64, ISBN  978-0-387-97508-5
  42. ↑ Bray, HG; Warren, LJ (1967), "Sobre la ausencia de cuadrados en los números de Fermat y Mersenne" , Pacific J. Math. , 22 (3): 563–564 , doi : 10.2140/pjm.1967.22.563 , MR 0220666 , Zbl 0149.28204  
  43. ↑ Scott, R.; Styer, R. (abril de 2004), "Sobre p x − q y = c y ecuaciones diofánticas exponenciales de tres términos relacionadas con bases primas", Journal of Number Theory , 105 (2): 212– 234, doi : 10.1016/j.jnt.2003.11.008    
  44. ↑ Scott, R.; Styer, R. (2006), "Sobre la ecuación generalizada de Pillai ± a x ± b y = c " , Journal of Number Theory , 118 (2): 236– 265, doi : 10.1016/j.jnt.2005.09.001
  45. ↑ Wells Johnson (1977), "Sobre la no anulación de los cocientes de Fermat ( mod p ) " , J. Reine Angew. Math. , 292 : 196–200 
  46. ↑ Dobeš, Jan; Kureš, Miroslav (2010), "Búsqueda de primos de Wieferich mediante el uso de cadenas binarias periódicas" , Serdica Journal of Computing , 4 (3): 293–300 , doi : 10.55630/sjc.2010.4.293-300 , hdl : 10525/1595 , Zbl 1246.11019 
  47. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A239875" , La enciclopedia en línea de secuencias de enteros , Fundación OEIS  
  48. ↑ Ribenboim, P. (2004), «Capítulo 2. Cómo reconocer si un número natural es primo», El pequeño libro de los primos más grandes , Nueva York: Springer-Verlag, pág. 99, ISBN  978-0-387-20169-6
  49. ↑ Pinch, RGE (2000), Los pseudoprimos hasta 10¹³ , Lecture Notes in Computer Science, vol. 1838, pp. 459–473 , doi : 10.1007/10722028_30 , ISBN   978-3-540-67695-9
  50. 1 2 Ehrlich, A. (1994), "Ciclos en diagramas de duplicación mod m" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 32 (1): 74– 78, doi : 10.1080/00150517.1994.12429259 .
  51. ↑ Byeon, D. (2006), "Números de clase, invariantes de Iwasawa y formas modulares" (PDF) , Trends in Mathematics , 9 (1): 25–29 , archivado del original (PDF) el 26 de abril de 2012 , consultado el 5 de septiembre de 2012.
  52. ↑ Jakubec, S. (1995), "Conexión entre la congruencia de Wieferich y la divisibilidad de h + " (PDF) , Acta Arithmetica , 71 (1): 55– 64, doi : 10.4064/aa-71-1-55-64
  53. ↑ Jakubec, S. (1998), "Sobre la divisibilidad del número de clase h + de los cuerpos ciclotómicos reales de grado primo l" (PDF) , Mathematics of Computation , 67 (221): 369–398 , doi : 10.1090/s0025-5718-98-00916-8
  54. ↑ Joshua Knauer; Jörg Richstein (2005), "La búsqueda continua de primos de Wieferich" (PDF) , Mathematics of Computation , 74 (251): 1559–1563 , Bibcode : 2005MaCom..74.1559K , doi : 10.1090/S0025-5718-05-01723-0 .
  55. ^ Weisstein, Eric W. , "Doble par principal de Wieferich" , MathWorld
  56. ↑ Agoh, T.; Dilcher, K.; Skula, L. (1997), "Cocientes de Fermat para módulos compuestos", Journal of Number Theory , 66 (1): 29– 50, doi : 10.1006/jnth.1997.2162
  57. ↑ Müller, H. (2009), "Über Periodenlängen und die Vermutungen von Collatz und Crandall" , Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg (en alemán), 28 : 121– 130
  58. ↑ Voloch, JF (2000), "Primos elípticos de Wieferich", Journal of Number Theory , 81 (2): 205–209 , doi : 10.1006/jnth.1999.2471

Lecturas adicionales

  • Haussner, R. (1926), "Über die Kongruenzen 2 p −1  −  1 ≡ 0 (mod p 2 ) für die Primzahlen p =1093 und 3511" , Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (en alemán), 39 (5): 7, JFM 52.0141.06 , DNB 363953469 
  • Haussner, R. (1927), "Über numerische Lösungen der Kongruenz u p −1  −  1 ≡ 0 (mod p 2 )" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1927 (156): 223– 226, doi : 10.1515/crll.1927.156.223 , S2CID 117969297 
  • Ribenboim, P. (1979), Trece conferencias sobre el último teorema de Fermat , Springer-Verlag , pp.  139, 151, ISBN 978-0-387-90432-0
  • Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª  ed.), Springer Verlag , pág.  14, ISBN 978-0-387-20860-2
  • Crandall, RE; Pomerance, C. (2005), Números primos: una perspectiva computacional (PDF) , Springer Science+Business Media, pp. 31–32 , ISBN  978-0-387-25282-7
  • Ribenboim, P. (1996), El nuevo libro de registros de números primos , Nueva York: Springer-Verlag, pp. 333–346 , ISBN  978-0-387-94457-9
  • Weisstein, Eric W. , "Wieferich primo" , MathWorld
  • Cocientes de Fermat/Euler ( a p −1  −  1)/ p k con k arbitrario
  • Una nota sobre los dos números primos de Wieferich conocidos.
  • Página del proyecto Wieferich Prime Search de PrimeGrid