Mónada (teoría de categorías)

La mónada de doble dualización , para un campo fijo k, surge de la adjunción

${\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{op}:(-)^{*}}$

donde ambos functores se obtienen enviando un espacio vectorial V a su espacio vectorial dual.${\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)}$La mónada asociada envía un espacio vectorial V a su doble dual .${\displaystyle V^{**}}$. Esta mónada es analizada, con mucha mayor generalidad, por Kock (1970) .

Para categorías que surgen de conjuntos parcialmente ordenados${\displaystyle (P,\leq )}$(con un único morfismo de${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$si y solo si${\displaystyle x\leq y}$), entonces el formalismo se vuelve mucho más simple: los pares adjuntos son conexiones de Galois y las mónadas son operadores de cierre .

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle G}$Sea el functor olvidadizo de la categoría Grp de grupos a la categoría Set de conjuntos, y sea ${\displaystyle F}$Sea el functor de grupo libre de la categoría de conjuntos a la categoría de grupos. Entonces${\displaystyle F}$es adjunto izquierdo de${\displaystyle G}$. In this case, the associated monad ${\displaystyle T=G\circ F}$ takes a set ${\displaystyle X}$ and returns the underlying set of the free group ${\displaystyle \mathrm {Libre} (X)}$. The unit map of this monad is given by the maps

${\displaystyle X\to T(X)}$

including any set ${\displaystyle X}$ into the set ${\displaystyle \mathrm {Libre} (X)}$ in the natural way, as strings of length 1. Further, the multiplication of this monad is the map

${\displaystyle T(T(X))\to T(X)}$

made out of a natural concatenation or 'flattening' of 'strings of strings'. This amounts to two natural transformations. The preceding example about free groups can be generalized to any type of algebra in the sense of a variety of algebras in universal algebra. Thus, every such type of algebra gives rise to a monad on the category of sets. Importantly, the algebra type can be recovered from the monad (as the category of Eilenberg–Moore algebras), so monads can also be seen as generalizing varieties of universal algebras.

Another monad arising from an adjunction is when ${\displaystyle T}$ is the endofunctor on the category of vector spaces which maps a vector space ${\displaystyle V}$ to its tensor algebra${\displaystyle T(V)}$, and which maps linear maps to their tensor product. We then have a natural transformation corresponding to the embedding of ${\displaystyle V}$ into its tensor algebra, and a natural transformation corresponding to the map from ${\displaystyle T(T(V))}$ to ${\displaystyle T(V)}$ obtained by simply expanding all tensor products.

The endofunctor of the maybe or partiality monad adds a disjoint point:^[8]

${\displaystyle (-)_{*}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle X\mapsto X\cup \{*\}}$

The unit is given by the inclusion of a set ${\displaystyle X}$ into ${\displaystyle X_{*}}$:

${\displaystyle \eta _{X}:X\to X_{*}}$

${\displaystyle x\mapsto x}$

The multiplication maps elements of ${\displaystyle X}$ to themselves, and the two disjoint points in ${\displaystyle (X_{*})_{*}}$ to the one in ${\displaystyle X_{*}}$.

In both functional programming and denotational semantics, the maybe monad models partial computations, that is, computations that may fail.

Given a set ${\displaystyle S}$, the endofunctor of the state monad maps each set ${\displaystyle X}$ to the set of functions ${\displaystyle S\to S\times X}$. That is ${\displaystyle S(X)=\{f:S\to S\times X\}}$, and ${\displaystyle S(S(X))=\{f:S\to S\times (S\to S\times X)\}}$.

The component of the unit at ${\displaystyle X}$ maps each element ${\displaystyle x\in X}$ to the function

${\displaystyle \eta _{X}(x):S\to S\times X}$

${\displaystyle s\mapsto (s,x)}$

The multiplication maps the function ${\displaystyle f:S\to S\times (S\to S\times X),s\mapsto (s',f')}$ to the function

${\displaystyle \mu _{X}(f):S\to S\times X}$

${\displaystyle s\mapsto f'(s')}$

In more detail, given ${\displaystyle f\in S(S(X))}$ which is the pair ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2})}$ where ${\displaystyle f_{1}:S\to S}$ and ${\displaystyle f_{2}:S\to (S\to S\times X)}$, so that ${\displaystyle f(s)={\big (}f_{1}(s),f_{2}(s):S\to (S\times X){\big )}}$.

Podemos revertir el curry${\displaystyle f_{2}}$dar${\displaystyle f_{3}:(S\times S)\to (S\times X)}$Esto a su vez se puede dividir en ${\displaystyle f_{4}:(S\times S)\to S}$y${\displaystyle f_{5}:(S\times S)\to X)}$de modo que

${\displaystyle f_{2}(s_{1})(s_{2})=f_{3}(s_{1},s_{2})={\Big (}f_{4}(s_{1},s_{2}),f_{5}(s_{1},s_{2}){\Big )}}$

Entonces podemos volver a expresarlo${\displaystyle f\in S(S(X))}$como

${\displaystyle f:S\times S\to S\times S\times X,\qquad f(s_{1},s_{2})={\Big (}f_{1}(s_{1}),f_{4}(s_{1},s_{2}),f_{5}(s_{1},s_{2}){\Big )}}$

Ahora podemos dar la unión como${\displaystyle \mu _{X}(f):S\to S\times X}$

${\displaystyle {\big (}\mu _{X}(f){\big )}(s)={\Big (}f_{4}(s,f_{1}(s)),f_{5}(s,f_{1}(s)){\Big )}}$

En la programación funcional y la semántica denotacional, la mónada de estado modela los cálculos con estado .

Dado un conjunto${\displaystyle E}$, el endofunctor del lector o mónada de entorno asigna cada conjunto${\displaystyle X}$al conjunto de funciones${\displaystyle E\to X}$Por lo tanto, el endofunctor de esta mónada es exactamente el functor hom.${\displaystyle \mathrm {Hom} (E,-)}$. El componente de la unidad en${\displaystyle X}$mapea cada elemento${\displaystyle x\in X}$a la función constante${\displaystyle e\mapsto x}$.

La multiplicación representa una función de dos variables.${\displaystyle f:E\to (E\to X)}$a su "componente diagonal"${\displaystyle (e\mapsto f(e,e)):E\to X}$En otras palabras, la multiplicación es una precomposición con

${\displaystyle \Delta :E\to E\times E}$

${\displaystyle e\mapsto (e,e).}$

En la programación funcional y la semántica denotacional, la mónada de entorno modela los cálculos con acceso a algunos datos de solo lectura.

La mónada de lista o no determinismo asigna a un conjunto X el conjunto de secuencias finitas (es decir, listas ) con elementos de X. La unidad asigna a un elemento x de X la lista unitaria [x]. La multiplicación concatena una lista de listas en una sola lista.

En programación funcional, la mónada de lista se utiliza para modelar cálculos no deterministas . La mónada de conjunto potencia covariante, también conocida como mónada de conjunto , también se utiliza para modelar cálculos no deterministas.

Por ejemplo, para la mónada de grupo libre discutida anteriormente, un${\displaystyle T}$-álgebra es un conjunto${\displaystyle X}$junto con un mapa del grupo libre generado por${\displaystyle X}$hacia${\displaystyle X}$sujeto a condiciones de asociatividad y unicidad. Dicha estructura es equivalente a decir que${\displaystyle X}$es un grupo en sí mismo.

Otro ejemplo es la mónada de distribución.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$en la categoría de conjuntos. Se define enviando un conjunto${\displaystyle X}$al conjunto de funciones${\displaystyle f:X\to [0,1]}$con soporte finito y de tal manera que su suma sea igual a${\displaystyle 1}$En notación de construcción de conjuntos, este es el conjunto$${\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty \\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}}$$Al examinar las definiciones, se puede demostrar que las álgebras sobre la mónada de distribución son equivalentes a conjuntos convexos , es decir, conjuntos equipados con operaciones.${\displaystyle x+_{r}y}$para${\displaystyle r\in [0,1]}$sujeto a axiomas que se asemejan al comportamiento de las combinaciones lineales convexas${\displaystyle rx+(1-r)y}$en el espacio euclidiano. ^{[ 9 ]}

Otro ejemplo útil de una mónada es el functor de álgebra simétrica en la categoría de${\displaystyle R}$-módulos para un anillo conmutativo${\displaystyle R}$.$${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):{\text{Mod}}(R)\to {\text{Mod}}(R)}$$enviar un${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$a la suma directa de potencias tensoriales simétricas$${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}$$dónde${\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}$. Por ejemplo,${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$donde el${\displaystyle R}$-álgebra de la derecha se considera como un módulo. Entonces, un álgebra sobre esta mónada es conmutativa${\displaystyle R}$-álgebras. También existen álgebras sobre las mónadas para los tensores alternantes.${\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}$y functores tensoriales totales${\displaystyle T^{\bullet }(-)}$dando antisimetría${\displaystyle R}$-álgebras y libre${\displaystyle R}$-álgebras, así que$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \end{aligned}}}$$donde el primer anillo es el álgebra antisimétrica libre sobre${\displaystyle R}$en${\displaystyle n}$-generadores y el segundo anillo es el álgebra libre sobre${\displaystyle R}$en${\displaystyle n}$-generadores.

Existe una construcción análoga para la conmutativa.${\displaystyle \mathbb {S} }$-álgebras ^{[ 10 ] pág. 113} que da conmutativo${\displaystyle A}$-álgebras para una conmutativa${\displaystyle \mathbb {S} }$-álgebra${\displaystyle A}$. Si${\displaystyle {\mathcal {M}}_{A}}$es la categoría de${\displaystyle A}$-módulos, luego el functor${\displaystyle \mathbb {P}$ :{\mathcal {M}}_{A}\to {\mathcal {M}}_{A}} es la mónada dada por$${\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j}}$$dónde$${\displaystyle M^{j}=M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M}$$${\displaystyle j}$-veces. Luego hay una categoría asociada.${\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}$de conmutativo${\displaystyle A}$-álgebras de la categoría de álgebras sobre esta mónada.