Glosario de jerga matemática

El lenguaje matemático posee un amplio vocabulario de términos especializados y técnicos. También cuenta con cierta jerga : frases de uso común que forman parte de la cultura matemática, más que de la disciplina en sí. Esta jerga suele aparecer en clases y, a veces, en publicaciones impresas, como una forma informal de referirse a argumentos rigurosos o ideas precisas. Gran parte de ella utiliza palabras comunes del inglés, pero con un significado específico y sutil cuando se emplea en un contexto matemático.

Algunas frases, como "en general", aparecen a continuación en más de una sección.

tonterías abstractas

Una referencia irónica a la teoría de categorías , mediante la cual se pueden emplear argumentos que establecen un resultado (posiblemente concreto) sin hacer referencia a detalles específicos del problema en cuestión. Por ello, también se la conoce como sinsentido abstracto generalizado o sinsentido abstracto generalizado .

[El artículo de Eilenberg y Mac Lane ( 1942 )] introdujo la idea muy abstracta de una " categoría " , ¡ un tema que entonces se denominaba "tonterías abstractas generales"! 

[ Grothendieck ] elevó la geometría algebraica a un nuevo nivel de abstracción... si ciertos matemáticos pudieron consolarse por un tiempo con la esperanza de que todas estas estructuras complicadas eran "tonterías abstractas"... los trabajos posteriores de Grothendieck y otros demostraron que los problemas clásicos... que habían resistido los esfuerzos de varias generaciones de matemáticos talentosos, podían resolverse en términos de... conceptos complicados.

canónico

Referencia a una presentación estándar o sin opciones de algún objeto matemático (por ejemplo, mapa canónico, forma canónica u ordenación canónica). El mismo término también puede usarse de manera más informal para referirse a algo "estándar" o "clásico". Por ejemplo, se podría decir que la demostración de Euclides es la "demostración canónica" de la infinitud de los números primos .

Existen dos demostraciones canónicas que siempre se utilizan para mostrar a quienes no son matemáticos cómo es una demostración matemática:

profundo

Un resultado se denomina "profundo" si su demostración requiere conceptos y métodos avanzados que van más allá de los necesarios para formularlo. Por ejemplo, el teorema de los números primos —demostrado originalmente mediante técnicas de análisis complejo— se consideró un resultado profundo hasta que se hallaron demostraciones elementales . ^{[ 1 ]} Por otro lado, el hecho de que π sea irracional suele considerarse un resultado profundo, porque requiere un desarrollo considerable del análisis real antes de que se pueda establecer la demostración, aunque la afirmación en sí misma pueda enunciarse en términos de teoría de números y geometría simples .

elegante

Término estético que alude a la capacidad de una idea para aportar conocimiento a las matemáticas, ya sea unificando campos dispares, introduciendo una nueva perspectiva sobre un campo concreto o proporcionando una técnica de demostración particularmente sencilla o que capta la intuición o la imaginación sobre por qué el resultado que prueba es verdadero. En ocasiones, el término «bello» también puede utilizarse con el mismo significado, aunque Gian-Carlo Rota distinguió entre elegancia de presentación y belleza conceptual , afirmando que, por ejemplo, algunos temas pueden ser tratados con elegancia aunque su contenido matemático no sea bello, y algunos teoremas o demostraciones son bellos pero pueden ser descritos de forma poco elegante.

La belleza de una teoría matemática es independiente de las cualidades estéticas... de las exposiciones rigurosas de la teoría. Algunas teorías bellas quizás nunca reciban una presentación que esté a la altura de su belleza... También se pueden encontrar ejemplos de teorías mediocres de dudosa belleza que reciben exposiciones brillantes y emocionantes... [La teoría de categorías] es rica en definiciones bellas y perspicaces y pobre en demostraciones elegantes... [Los teoremas] siguen siendo torpes y aburridos... [Las exposiciones de geometría proyectiva ] competían entre sí en elegancia de presentación y en ingenio de demostración... En retrospectiva, uno se pregunta a qué venía tanto revuelo. Los matemáticos pueden decir que un teorema es bello cuando en realidad quieren decir que es esclarecedor. Reconocemos la belleza de un teorema cuando vemos cómo el teorema «encaja» en su lugar... Decimos que una demostración es bella cuando dicha demostración finalmente revela el secreto del teorema...

elemental

Una demostración o un resultado se denomina «elemental» si solo involucra conceptos y métodos básicos del campo, y se contrapone a los resultados profundos que requieren mayor desarrollo dentro o fuera del campo. El concepto de «demostración elemental» se utiliza específicamente en la teoría de números , donde generalmente se refiere a una demostración que no recurre a métodos del análisis complejo .

folklore

Un resultado se denomina «folclore» si no es evidente ni está publicado, pero es generalmente conocido por los especialistas en un campo determinado. En muchos casos, no está claro quién lo obtuvo primero, aunque si el resultado es significativo, puede llegar a incorporarse a los libros de texto, momento en el que deja de ser folclore.

Muchos de los resultados mencionados en este artículo deben considerarse "conocimientos populares", ya que simplemente exponen formalmente ideas que son bien conocidas por los investigadores en el área, pero que pueden no ser obvias para los principiantes y, hasta donde yo sé, no aparecen en ninguna otra publicación.

natural

Similar a «canónico», pero más específico, y que hace referencia a una descripción (casi exclusivamente en el contexto de transformaciones ) que se cumple independientemente de cualquier elección. Aunque se ha usado informalmente durante mucho tiempo, este término ha encontrado una definición formal en la teoría de categorías.

patológico

Un objeto se comporta de forma patológica (o, en un sentido más amplio, de forma degenerada ) si no se ajusta al comportamiento genérico de dichos objetos, no satisface ciertas propiedades de regularidad dependientes del contexto o, simplemente, desobedece la intuición matemática . Estos requisitos pueden ser contradictorios, y a veces el término se usa deliberadamente para referirse a un objeto construido artificialmente como contraejemplo de estas propiedades. Un ejemplo sencillo es que, según la definición de un triángulo cuyos ángulos suman π radianes, una sola línea recta se ajusta a esta definición de forma patológica.

Desde hace medio siglo hemos visto surgir una multitud de funciones extrañas que parecen intentar asemejarse lo menos posible a las funciones honestas que cumplen algún propósito... Es más, desde el punto de vista lógico, son estas funciones extrañas las más generales... hoy en día se inventan expresamente para poner en entredicho los razonamientos de nuestros padres...

[La función de Dirichlet ] adquirió una enorme importancia... al proporcionar un incentivo para la creación de nuevos tipos de funciones cuyas propiedades se apartaban completamente de lo que intuitivamente parecía admisible. Un ejemplo célebre de una función supuestamente "patológica"... es la proporcionada por Weierstrass ... Esta función es continua pero no diferenciable .

Cabe señalar, en relación con esta última cita, que dado que las funciones diferenciables son escasas en el espacio de las funciones continuas, como descubrió Banach en 1931 , las funciones diferenciables constituyen, coloquialmente hablando, una rara excepción entre las continuas. Por lo tanto, ya no se puede justificar considerar patológicas a las funciones continuas no diferenciables.

rigor (rigor)

El rigor matemático consiste en establecer un resultado matemático mediante lógica irrefutable, en lugar de argumentos descriptivos informales. Es una cualidad fundamental de las matemáticas y puede desempeñar un papel importante para evitar que estas degeneren en falacias.

bien educado

Un objeto se comporta correctamente (a diferencia de un comportamiento patológico ) si satisface ciertas propiedades de regularidad predominantes o si se ajusta a la intuición matemática (aunque la intuición a menudo también puede sugerir comportamientos opuestos). En algunas ocasiones (por ejemplo, en el análisis ), el término « suave » también puede utilizarse con el mismo propósito.

Si bien, en última instancia, todo argumento matemático debe cumplir con un alto estándar de precisión, los matemáticos utilizan enunciados descriptivos pero informales para abordar temas o conceptos recurrentes que requieren formulaciones formales complejas. Cabe destacar que muchos de estos términos son completamente rigurosos en su contexto.

casi todos

Un término abreviado para "todos excepto un conjunto de medida cero ", cuando hay una medida de la que hablar, con las frases casi seguramente y casi en todas partes que tienen significados relacionados. Por ejemplo, "casi todos los números reales son trascendentales " porque los números reales algebraicos forman un subconjunto numerable de los números reales con medida cero. También se puede decir que "casi todos" los enteros tienen una propiedad para significar "todos excepto un número finito", a pesar de que los enteros no admiten una medida para la cual esto concuerde con el uso anterior, como "casi todos los números primos son impares ". También hay un significado más complejo para los enteros, que se analiza en el artículo principal. Finalmente, este término a veces se usa como sinónimo de genérico , más adelante.

arbitrariamente grande

Nociones que surgen principalmente en el contexto de límites , refiriéndose a la recurrencia de un fenómeno a medida que se aproxima el límite. Una afirmación como que el predicado P se satisface con valores arbitrariamente grandes, puede expresarse en notación más formal por ∀ x  : ∃ y ≥ x  : P ( y ) . Véase también frecuentemente . La afirmación de que la cantidad f ( x ) que depende de x "puede hacerse" arbitrariamente grande, corresponde a ∀ y  : ∃ x  : f ( x ) ≥ y .

arbitrario

Una abreviatura para el cuantificador universal . Una elección arbitraria es aquella que se realiza sin restricciones, o, alternativamente, una afirmación se cumple para un elemento arbitrario de un conjunto si se cumple para cualquier elemento de ese conjunto. También muy común en el lenguaje general entre los matemáticos: "Por supuesto, este problema puede ser arbitrariamente complicado".

eventualmente

En el contexto de los límites, esto es una forma abreviada de decir que se trata de argumentos suficientemente grandes ; el o los argumentos relevantes están implícitos en el contexto. Por ejemplo, "la función log(log( x )) eventualmente se vuelve mayor que 100"; en este contexto, "eventualmente" significa "para valores de x suficientemente grandes ".

factor a través de

Un término en teoría de categorías que se refiere a la composición de morfismos . Si para tres objetos A , B y C existe un mapa${\displaystyle f\colon A\to C}$puede escribirse como una composición${\displaystyle f=h\circ g}$con${\displaystyle g\colon A\to B}$y${\displaystyle h\colon B\to C}$, entonces se dice que f se factoriza a través de cualquiera (y todos) de${\displaystyle B}$,${\displaystyle g}$, y${\displaystyle h}$.

finito

Cuando se habla del valor de una variable que toma valores de los números reales extendidos no negativos${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \},}$El significado suele ser "no infinito". Por ejemplo, si se dice que la varianza de una variable aleatoria es finita, esto implica que es un número real no negativo, posiblemente cero. Sin embargo, en algunos contextos, por ejemplo en "una amplitud pequeña pero finita", se excluyen el cero y los infinitesimales. Cuando se dice del valor de una variable que toma valores de los números naturales extendidos${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \},}$El significado es simplemente "no infinito". Cuando se dice de un conjunto o un objeto matemáticocuyo componente principal es un conjunto, significa que la cardinalidad del conjunto es menor que${\displaystyle \aleph _{0}}$.

frecuentemente

En el contexto de los límites, esto es una abreviatura para argumentos arbitrariamente grandes y sus parientes; al igual que con eventualmente , la variante prevista es implícita. Como ejemplo, la secuencia${\displaystyle (-1)^{n}}$frecuentemente está en el intervalo (1/2, 3/2), porque hay n arbitrariamente grande para los cuales el valor de la secuencia está en el intervalo.

formal, formalmente

Califica cualquier cosa que sea suficientemente precisa como para ser traducida directamente en un sistema formal . Por ejemplo, una prueba formal , una definición formal .

genérico

Este término tiene connotaciones similares a casi todos , pero se usa particularmente para conceptos fuera del ámbito de la teoría de la medida . Una propiedad se cumple "genéricamente" en un conjunto si el conjunto satisface alguna noción de densidad (dependiente del contexto), o quizás si su complemento satisface alguna noción de pequeñez (dependiente del contexto). Por ejemplo, se dice que una propiedad que se cumple en un G _δ denso ( intersección de una cantidad numerable de conjuntos abiertos ) se cumple genéricamente. En geometría algebraica , se dice que una propiedad de puntos en una variedad algebraica que se cumple en un conjunto abierto de Zariski denso es verdadera genéricamente; sin embargo, generalmente no se dice que una propiedad que se cumple simplemente en un conjunto denso (que no es abierto de Zariski) sea genérica en esta situación.

en general

En un contexto descriptivo, esta frase introduce una caracterización simple de una amplia clase de objetos.con el objetivo de identificar un principio unificador. Este término introduce una descripción «elegante» que se aplica a objetos « arbitrarios ». Se pueden mencionar explícitamente excepciones a esta descripción, como casos « patológicos ».

Norbert A'Campo, de la Universidad de Basilea, preguntó en una ocasión a Grothendieck sobre un asunto relacionado con los sólidos platónicos . Grothendieck le aconsejó cautela. Los sólidos platónicos son tan bellos y excepcionales, dijo, que no se puede dar por sentado que tal belleza excepcional se mantendrá en situaciones más generales.

lado izquierdo, lado derecho (LHS, RHS)

La mayoría de las veces, se refieren simplemente al lado izquierdo o al lado derecho de una ecuación ; por ejemplo,${\displaystyle x=y+1}$tiene${\displaystyle x}$en el lado izquierdo y${\displaystyle y+1}$en el lado derecho. Ocasionalmente, se utilizan en el sentido de lvalor y rvalor: un lado derecho es primitivo y un lado izquierdo es derivado.

lindo

Un objeto matemáticoSe dice coloquialmente que algo es bueno o suficientemente bueno si satisface hipótesis o propiedades, a veces no especificadas o incluso desconocidas, que son especialmente deseables en un contexto dado. Es un antónimo informal de patológico . Por ejemplo, se podría conjeturar que un operador diferencial debería satisfacer una cierta condición de acotación "para funciones de prueba buenas", o se podría afirmar que algún invariante topológico interesante debería ser computable "para espacios X buenos ".

objeto

Todo aquello que se puede asignar a una variable y para lo cual se puede considerar la igualdad con otro objeto. El término se acuñó cuando las variables comenzaron a usarse para conjuntos y estructuras matemáticas .

sobre

Una función (que en matemáticas se define generalmente como la asignación de elementos de un conjunto A a elementos de otro conjunto B ) se denomina " A sobre B " (en lugar de " A a B " o " A en B ") solo si es sobreyectiva ; incluso se puede decir que " f es sobreyectiva". No es traducible (sin circunloquios) a algunos idiomas distintos del inglés.

adecuado

Si, para alguna noción de subestructura, los objetosSi son subestructuras de sí mismas (es decir, la relación es reflexiva ), entonces la calificación propia requiere que los objetos sean diferentes. Por ejemplo, un subconjunto propio de un conjunto S es un subconjunto de S que es diferente de S , y un divisor propio de un número n es un divisor de n que es diferente de n . Esta palabra sobrecargada también es un término no técnico para un morfismo propio .

propiedad

Una característica que un objeto matemático puede tener o no; por ejemplo, "ser positivo". Las propiedades a menudo se expresan con fórmulas y se utilizan para especificar conjuntos y subconjuntos, generalmente con notación de construcción de conjuntos .

regular

Una función se denomina regular si satisface propiedades de continuidad y diferenciabilidad adecuadas, que a menudo dependen del contexto. Estas propiedades pueden incluir tener un número específico de derivadas , y tanto la función como sus derivadas exhiben alguna propiedad deseable (véase «deseable » más arriba), como la continuidad de Hölder . De manera informal, este término se usa a veces como sinónimo de «suave» (véase más adelante ). Estos usos imprecisos de la palabra «regular» no deben confundirse con la noción de espacio topológico regular , que está definido rigurosamente.

respectivamente.

(Respectivamente) Una convención para abreviar exposiciones paralelas. " A (resp. B ) [tiene alguna relación con] X (resp. Y )" significa que A [tiene alguna relación con] X y también que B [tiene (la misma) relación con] Y. Por ejemplo, los cuadrados (resp. los triángulos) tienen 4 lados (resp. 3 lados); o los espacios compactos (resp. Lindelöf ) son aquellos donde cada cubierta abierta tiene una subcubierta abierta finita (resp. numerable).

afilado

A menudo, un teorema matemático establece restricciones sobre el comportamiento de algún objeto.Por ejemplo, se demostrará que una función tiene un límite superior o inferior . La restricción es precisa (a veces óptima ) si no se puede hacer más restrictiva sin que falle en algunos casos. Por ejemplo, para números reales no negativos arbitrarios x , la función exponencial e ^x , donde e  =  2,7182818..., da un límite superior para los valores de la función cuadrática x² ^. Esto no es preciso; la diferencia entre las funciones es siempre de al menos 1. Entre las funciones exponenciales de la forma α ^x , establecer α  = e² ^{/ e} = 2,0870652... da como resultado un límite superior preciso; la elección ligeramente menor α = 2 no produce un límite superior, ya que entonces α³ ⁼ 8 < 3² ^. En campos aplicados, la palabra "ajustado" se usa a menudo con el mismo significado. ^{[ 2 ]}       

liso

La suavidad es un concepto al que las matemáticas han dotado de múltiples significados, desde la diferenciabilidad simple hasta la diferenciabilidad infinita, pasando por la analiticidad y otros más complejos. Cada uno de estos usos intenta evocar la noción físicamente intuitiva de suavidad.

fuerte, más fuerte

Se dice que un teorema es fuerte si deduce resultados restrictivos a partir de hipótesis generales. Un ejemplo célebre es el teorema de Donaldson , que impone fuertes restricciones a lo que de otro modo parecería ser una gran clase de variedades. Este uso (informal) refleja la opinión de la comunidad matemática: dicho teorema no solo debe ser fuerte en el sentido descriptivo (más adelante), sino que también debe ser definitivo en su área. Un teorema, resultado o condición se denomina además más fuerte que otro si una demostración del segundo se puede obtener fácilmente a partir del primero, pero no a la inversa. Un ejemplo es la secuencia de teoremas: el pequeño teorema de Fermat , el teorema de Euler y el teorema de Lagrange , cada uno de los cuales es más fuerte que el anterior; otro ejemplo es que una cota superior precisa (véase " precisa" más arriba) es un resultado más fuerte que uno no preciso. Finalmente, el adjetivo "fuerte" o el adverbio " fuertemente" se pueden añadir a una noción matemática para indicar una noción relacionada más fuerte. Por ejemplo, una anticadena fuerte es una anticadena que cumple ciertas condiciones adicionales, y de igual modo, un grafo fuertemente regular es un grafo regular que cumple condiciones más estrictas. Cuando se utiliza de esta manera, la noción más estricta (como «anticadena fuerte») es un término técnico con un significado precisamente definido; la naturaleza de las condiciones adicionales no puede derivarse de la definición de la noción más débil (como «anticadena»).

suficientemente grande , adecuadamente pequeño, suficientemente cerca

En el contexto de los límites, estos términos se refieren a algún punto (no especificado, incluso desconocido) en el que prevalece un fenómeno a medida que se aproxima el límite. Una afirmación como que el predicado P se cumple para valores suficientemente grandes, puede expresarse en notación más formal mediante ∃ x  : ∀ y ≥ x  : P ( y ). Véase también eventualmente .

arriba, abajo

Un término descriptivo que se refiere a una notación en la que dos objetosse escriben uno encima del otro; el de arriba es arriba y el de abajo, abajo . Por ejemplo, en un haz de fibras , se suele decir que el espacio total está arriba , y el espacio base abajo . En una fracción , a veces se hace referencia al numerador como arriba y al denominador como abajo , como en "subir un término".

hasta , módulo, mod fuera por

Una extensión al discurso matemático de las nociones de aritmética modular . Una afirmación es verdadera salvo condición si el establecimiento de dicha condición es el único impedimento para la verdad de la afirmación. También se utiliza al trabajar con miembros de clases de equivalencia , especialmente en teoría de categorías , donde la relación de equivalencia es el isomorfismo (categórico); por ejemplo, «El producto tensorial en una categoría monoidal débil es asociativo y unitario salvo isomorfismo natural ».

desaparecer

Para asumir el valor 0. Por ejemplo, "La función sin( x ) se anula para aquellos valores de x que son múltiplos enteros de π ". Esto también puede aplicarse a límites: véase Anulación en el infinito .

débil, más débil

Lo contrario de fuerte .

bien definido

Descrito o especificado de forma precisa y exacta. Por ejemplo, a veces una definición se basa en la elección de algún objeto.; el resultado de la definición debe ser entonces independiente de esta elección.

El lenguaje formal de la demostración recurre repetidamente a un pequeño conjunto de ideas, muchas de las cuales se invocan en la práctica mediante diversas abreviaturas léxicas.

un litro

Un término obsoleto que se utiliza para anunciar al lector un método alternativo o una demostración de un resultado. En una demostración, por lo tanto, señala un razonamiento que, si bien es superfluo desde un punto de vista lógico, tiene algún otro interés.

por vía de contradicción (BWOC), o "porque, si no,..."

El preludio retórico de una prueba por contradicción , que precede a la negación de la afirmación que se pretende probar.

si y solo si (si y solo si)

Abreviatura de equivalencia lógica de enunciados.

en general

En el contexto de las demostraciones, esta frase se ve a menudo en los argumentos de inducción al pasar del caso base al paso de inducción, y de manera similar, en la definición de secuencias cuyos primeros términos se muestran como ejemplos de la fórmula que da cada término de la secuencia.

necesario y suficiente

Una variante menor de "si y solo si"; " A es necesario ( y suficiente ) para B " significa " A si (solo si) B ". Por ejemplo, "Para que un cuerpo K sea algebraicamente cerrado, es necesario y suficiente que no tenga extensiones de cuerpo finitas " significa " K es algebraicamente cerrado si y solo si no tiene extensiones finitas". Se usa frecuentemente en listas, como en "Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que un cuerpo sea algebraicamente cerrado...".

necesidad de demostrar (NTS), requerido para probar (RTP), deseo de demostrar, quiero demostrar (WTS)

En ocasiones, las demostraciones proceden enumerando varias condiciones cuya satisfacción conjunta implica el teorema deseado; por lo tanto, basta con demostrar estas afirmaciones.

uno y único uno

Una declaración de la existencia y unicidad de un objeto.; el objeto existe y, además, no existe ningún otro objeto similar.

QED

( Quod erat demonstrandum ): Una abreviatura latina que significa "lo que debía ser demostrado", colocada históricamente al final de las pruebas, pero menos común en la actualidad, habiendo sido suplantada por la marca de fin de prueba Halmos , un signo cuadrado ∎.

suficientemente agradable

Una condición sobre los objetosEn el contexto de la discusión, que se especificará más adelante, esto garantizará que se cumpla alguna propiedad establecida. Al desarrollar un teorema, el uso de esta expresión en su enunciado indica que las condiciones involucradas pueden ser aún desconocidas para quien lo plantea, y que la intención es recopilar las condiciones necesarias para que la demostración del teorema sea válida.

Los siguientes son equivalentes (TFAE)

A menudo, varias condiciones equivalentes (especialmente para una definición, como subgrupo normal ) son igualmente útiles en la práctica; se introduce un teorema que establece una equivalencia de más de dos enunciados con TFAE.

transporte de estructura

Suele ocurrir que dos objetosSe demuestra que son equivalentes de alguna manera, y que uno de ellos posee una estructura adicional. Utilizando esta equivalencia, podemos definir dicha estructura también en el segundo objeto, mediante el transporte de la estructura . Por ejemplo, dos espacios vectoriales cualesquiera de la misma dimensión son isomorfos ; si a uno de ellos se le da un producto interno y fijamos un isomorfismo particular, entonces podemos definir un producto interno en el otro espacio factorizando a través del isomorfismo.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k ....Sea ( e _i ) _{1≤ i ≤ n} una base para V ....Existe un isomorfismo del álgebra de polinomios k [ T _ij ] _{1≤ i , j ≤ n} sobre el álgebra Sym _k ( V ⊗ V ^* )....Se extiende a un isomorfismo de k [ GL _n ] al álgebra localizada Sym _k ( V ⊗ V ^* ) _D , donde D = det( e _i ⊗ e _j ^* )....Escribimos k [ GL ( V )] para esta última álgebra. Por transporte de estructura, obtenemos un grupo algebraico lineal GL ( V ) isomorfo a GL _n .        

Sin pérdida de generalidad (WLOG, WOLOG, WALOG), podemos asumir (WMA)

En ocasiones, una proposición se puede demostrar más fácilmente añadiendo supuestos sobre los objetos a los que se refiere. Si la proposición original se deduce de esta versión modificada con una explicación sencilla y mínima (por ejemplo, si los casos especiales restantes son idénticos salvo por la notación), entonces los supuestos modificados se introducen con esta frase y se demuestra la proposición alterada.

Los matemáticos tienen varias frases para describir demostraciones o técnicas de demostración. Estas se utilizan a menudo como pistas para completar detalles tediosos.

persecución de ángulos

Se utiliza para describir una demostración geométrica que implica encontrar relaciones entre los distintos ángulos de un diagrama. ^{[ 3 ]}

cálculo rápido

Un cálculo informal que omite gran parte del rigor sin sacrificar la corrección. A menudo, este cálculo es una " prueba de concepto " y solo trata un caso especial accesible.

fuerza bruta

En lugar de buscar principios o patrones subyacentes, este método consiste en evaluar tantos casos como sean necesarios para probar o aportar pruebas convincentes de que lo que se está investigando es cierto. A veces, esto implica evaluar todos los casos posibles (lo que también se conoce como prueba por agotamiento ).

por ejemplo

Una demostración por ejemplo es un argumento en el que una afirmación no se prueba, sino que se ilustra con un ejemplo. Si se realiza correctamente, el ejemplo específico se generalizará fácilmente a una demostración general.

por inspección

Un atajo retórico utilizado por los autores para invitar al lector a verificar, de un vistazo, la corrección de una expresión o deducción propuesta. Si una expresión puede evaluarse mediante la aplicación directa de técnicas sencillas y sin recurrir a cálculos complejos o teoría general, entonces puede evaluarse por simple inspección . También se aplica a la resolución de ecuaciones; por ejemplo, hallar las raíces de una ecuación cuadrática por simple inspección es «percibirlas» o comprobarlas mentalmente. La «inspección» puede desempeñar una especie de papel gestáltico : la respuesta o solución simplemente encaja.

por intimidación

Estilo de demostración en el que las afirmaciones que el autor considera fácilmente verificables se etiquetan como "obvias" o "triviales", lo que a menudo provoca confusión en el lector.

claramente, se puede demostrar fácilmente

Un término que simplifica los cálculos que el matemático percibe como tediosos o rutinarios, accesibles a cualquier miembro del público con la experiencia necesaria en el campo; Laplace usó el término obvio ( en francés : évident ).

intuición completa

comúnmente reservado para chistes (juegos de palabras sobre inducción completa ).

seguimiento de diagramas

^{[ 4 ]} Dado undiagrama conmutativode objetos y morfismos entre ellos, si se desea demostrar alguna propiedad de los morfismos (como lainyectividad) que se puede expresar en términos deelementos, entonces la demostración puede proceder trazando el camino de los elementos de varios objetos alrededor del diagrama a medida que se aplican morfismos sucesivos. Es decir, sepersiguenelementos alrededor del diagrama, o se hace que undiagrama persiga.

agitando la mano

Se trata de una técnica de demostración informal, empleada principalmente en clases magistrales, donde la argumentación formal no es estrictamente necesaria. Consiste en la omisión de detalles o incluso de elementos importantes, y es simplemente un argumento de plausibilidad.

en general

En un contexto que no exige rigor, esta frase suele aparecer como un recurso para ahorrar trabajo cuando los detalles técnicos de un argumento completo superan los beneficios conceptuales. El autor presenta una demostración en un caso suficientemente sencillo como para que los cálculos sean razonables, e indica que, en general, la demostración es similar.

batalla de índice

Para demostraciones que involucran objetos con múltiples índices que se pueden resolver bajando hasta el final (si alguien desea tomar la iniciativa). Similar a seguir diagramas.

moralmente verdadero

Se utiliza para indicar que quien habla cree que una afirmación es verdadera, basándose en su experiencia matemática, aunque aún no se haya presentado una demostración. Como variante, la afirmación puede ser falsa, pero en su lugar sirve como eslogan o ilustración de un principio correcto. El principio local-global de Hasse es un ejemplo particularmente influyente de esto.

obviamente

Mira con claridad .

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

Generalmente se aplica a una afirmación dentro de una prueba más amplia cuando la prueba de esa afirmación puede ser producida rutinariamente por cualquier miembro de la audiencia con la experiencia necesaria, pero no es tan simple como para ser obvia .

trivial

Similar a claramente . Un concepto es trivial si se cumple por definición, es un corolario inmediato de una afirmación conocida o es un caso especial simple de un concepto más general.

Esta sección incluye términos utilizados en diferentes áreas de las matemáticas , o términos que no suelen aparecer en glosarios más especializados. Para consultar los términos utilizados únicamente en áreas específicas de las matemáticas, véase la categoría «Glosarios de matemáticas» .

binario

Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados; se dice que un elemento x está relacionado con otro elemento y si y solo si ( x , y ) están en el conjunto.

correspondencia

Una correspondencia de un conjunto A a un conjunto B es un subconjunto de un producto cartesiano A × B ; en otras palabras, es una relación binaria pero con la especificación de los conjuntos ambiente A y B utilizados en la definición.

diagrama

Una representación visual de la(s) relación(es) entre variables.

función

Una función f: A → B es una terna ordenada ( A, B, f ) que consta de los conjuntos A, B y un subconjunto f del producto cartesiano A × B sujeto a la condición ( a, b ), ( a, b ′ ) ∈ f implica b = b ′ . En otras palabras, es un tipo especial de correspondencia donde, dado un elemento a de A , existe un único elemento b de B que le corresponde.

fundamental

La palabra fundamental se utiliza para describir un teorema dentro de un área determinada de las matemáticas que se considera el teorema más central de esa área en particular (por ejemplo, el Teorema Fundamental de la Aritmética ) .

invariante

Un invariante de un objeto o un espacio es una propiedad o un número del objeto o del espacio que permanece inalterado bajo ciertas transformaciones.

mapa

Sinónimo de función entre conjuntos o morfismo en una categoría. Según los autores, el término "aplicaciones" o "funciones" puede reservarse para tipos específicos de funciones o morfismos (por ejemplo, función como término analítico y aplicación como término general).

matemáticas

Ver matemáticas .

multivaluado

Una " función multivaluada " de un conjunto A a un conjunto B es una función de A a los subconjuntos de B. Típicamente tiene la propiedad de que, para casi todos los puntos x de B , existe un entorno de x tal que la restricción de la función a dicho entorno puede considerarse como un conjunto de funciones del entorno a B.

proyección

Una proyección es, a grandes rasgos, un mapa de un espacio u objeto a otro que omite cierta información sobre el objeto o el espacio. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x}$Una proyección es una proyección, y su restricción a la gráfica de una función, por ejemplo, también lo es. Los términos « operador idempotente » y « mapa olvidadizo » son sinónimos de proyección.

estructura

Una estructura matemática en un objeto es un conjunto adicional de objetos o datos adjuntos al objeto (por ejemplo, relación, operación, métrica, topología).

• Glosario de áreas de las matemáticas
• Lista de constantes matemáticas
• Lista de símbolos matemáticos
• Categoría: Terminología matemática

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• Enciclopedia de Matemáticas