Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

In mathematics, the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (often called the Birch–Swinnerton-Dyer conjecture) describes the set of rational solutions to equations defining an elliptic curve. It is an open problem in the field of number theory and is widely recognized as one of the most challenging mathematical problems. It is named after mathematicians Bryan John Birch and Sir Peter Swinnerton-Dyer, who formulated the conjecture in the 1960s with the help of machine computation.^[1] Only special cases of the conjecture have been proven.

The conjecture proposes a link between arithmetic data associated with an elliptic curve ${\displaystyle E}$ over a number field${\displaystyle K}$ and the behaviour of its associated Hasse–Weil L-function${\displaystyle L(E,s)}$ at ${\displaystyle s=1}$. The points ${\displaystyle E(K)}$ over a number field, for example over the rationals ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, are subtle and difficult to determine, but the L-function depends only on the points modulo all primes ${\displaystyle p}$ and is much simpler: thus the conjecture is a local-to-global statement. More specifically, it is conjectured that the rank of the abelian group${\displaystyle E(K)}$ of points of ${\displaystyle E}$ is the order of the zero of ${\displaystyle L(E,s)}$ at ${\displaystyle s=1}$, and further that the leading non-zero coefficient in the Taylor expansion of ${\displaystyle L(E,s)}$ at ${\displaystyle s=1}$ can be expressed in terms of more refined arithmetic data attached to ${\displaystyle E}$ over ${\displaystyle K}$.^[2]

The conjecture was chosen as one of the seven Millennium Prize Problems listed by the Clay Mathematics Institute, which has offered a $1,000,000 prize for the first correct proof.^[3]

In 1922, Louis J. Mordell proved Mordell's theorem, stating that the group of rational points on an elliptic curve has a finite basis.^[4] This means that for any elliptic curve, there is a finite subset of the rational points on the curve, from which all further rational points may be generated.^[4]

Si el número de puntos racionales en una curva es infinito , entonces algún punto en una base finita debe tener orden infinito . El número de puntos de la base independientes con orden infinito se denomina rango de la curva y es una propiedad invariante importante de una curva elíptica. Por lo tanto, un rango cero significa que la curva tiene solo un número finito de puntos racionales, y un rango positivo significa que tiene un número infinito de puntos racionales.

Si bien el teorema de Mordell demuestra que el rango de una curva elíptica siempre es finito, no proporciona un método eficaz para calcularlo. En ocasiones, el rango puede calcularse mediante métodos numéricos, pero actualmente se desconoce si estos métodos son eficaces para todas las curvas.

Un${\displaystyle L}$-función${\displaystyle L(E,s)}$se puede definir para una curva elíptica${\displaystyle E}$construyendo un producto de Euler a partir del número de puntos en la curva módulo cada primo.${\displaystyle p}$. Este${\displaystyle L}$La función es análoga a la función zeta de Riemann y a la serie L de Dirichlet que se define para una forma cuadrática binaria . Es un caso especial de una función L de Hasse-Weil .

La definición natural de${\displaystyle L(E,s)}$solo converge para valores de${\displaystyle s}$en el plano complejo con${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>3/2}$Helmut Hasse conjeturó que${\displaystyle L(E,s)}$podría extenderse mediante continuación analítica a todo el plano complejo. Esta conjetura fue demostrada por primera vez por Max Deuring para curvas elípticas con multiplicación compleja . ^{[ 5 ]} Posteriormente se demostró que era cierta para todas las curvas elípticas sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, como consecuencia del teorema de modularidad de 2001.

Encontrar puntos racionales en una curva elíptica general es un problema difícil. Encontrar los puntos en una curva elíptica módulo un número primo dado.${\displaystyle p}$Es conceptualmente sencillo, ya que solo hay un número finito de posibilidades que comprobar, aunque esto puede requerir una gran capacidad de cálculo.

A principios de la década de 1960, Swinnerton-Dyer utilizó la computadora EDSAC-2 en el Laboratorio de Computación de la Universidad de Cambridge para calcular el número${\displaystyle N_{p}}$de puntos módulo${\displaystyle p}$para una gran cantidad de números primos${\displaystyle p}$en curvas elípticas cuyo rango era conocido. A partir de estos resultados numéricos, él y su colega Bryan John Birch conjeturaron ^{[ 1 ]} que para una curva${\displaystyle E}$con rango${\displaystyle r}$, el crecimiento de${\displaystyle N_{p}}$obedece la ley asintótica

${\displaystyle \prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty }$,

dónde${\displaystyle C}$es una constante.

Inicialmente, esto se basó en tendencias algo tenues en gráficos, lo que despertó cierto escepticismo en el asesor de Birch, JWS Cassels . ^{[ 6 ]} Sin embargo, con el tiempo, la evidencia numérica acumulada se volvió convincente.

Esto, a su vez, llevó a Birch y Swinnerton-Dyer a formular una conjetura general sobre el comportamiento de la función L de una curva.${\displaystyle L(E,s)}$en${\displaystyle s=1}$; es decir, que tendría un cero de orden${\displaystyle r}$en este punto. Esta fue una conjetura visionaria para el momento, dado que la continuación analítica de${\displaystyle L(E,s)}$Esta convención solo se aplicaba a curvas con multiplicación compleja, que también constituían la principal fuente de ejemplos numéricos. (Cabe señalar que, desde cierto punto de vista, el recíproco de la función L es un objeto de estudio más natural; según esta convención, conviene considerar los polos en lugar de los ceros).

La conjetura se extendió posteriormente para incluir la predicción del coeficiente de Taylor principal de la función L en${\displaystyle s=1}$: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\,\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {tor} })^{2}}}}$,

dónde${\displaystyle \#E_{\mathrm {tor} }}$es el orden del grupo de torsión ,${\displaystyle \#\mathrm {Sha} (E)=\#}$Ш${\displaystyle (E)}$es el orden del grupo Tate-Shafarevich ,${\displaystyle \Omega _{E}}$es el período real de${\displaystyle E}$multiplicado por el número de componentes conexas de${\displaystyle E}$,${\displaystyle R_{E}}$es el regulador de${\displaystyle E}$(definidas mediante las alturas canónicas de una base de puntos racionales), y${\displaystyle c_{p}}$es el número de Tamagawa de${\displaystyle E}$en su mejor momento${\displaystyle p}$dividiendo al conductor${\displaystyle N}$de${\displaystyle E}$(calculado mediante el algoritmo de Tate ).

Cuando se formuló la conjetura originalmente, se sabía poco, ni siquiera si el lado izquierdo (analítico) o el lado derecho (algebraico) de esta ecuación estaban bien definidos. John Tate expresó esto en 1974 en una cita famosa: ^{[ 8 ]}

Esta notable conjetura relaciona el comportamiento de una función${\displaystyle L}$en un punto donde actualmente no se sabe que esté definido al orden de un grupo Ш que no se sabe que sea finito!

Por el teorema de modularidad demostrado en 2001 para curvas elípticas sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ahora se sabe que el lado izquierdo está bien definido y la finitud de Ш${\displaystyle (E)}$se conoce cuando además el rango analítico es como máximo 1; es decir, si${\displaystyle L(E,s)}$desaparece como máximo para ordenar 1 en${\displaystyle s=1}$Para una curva elíptica sobre un cuerpo numérico general, la finitud de ambos lados permanece abierta.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se ha demostrado en casos especiales:

1. Coates y Wiles ^{[ 9 ]} demostraron que si${\displaystyle E}$es una curva sobre un campo numérico${\displaystyle F}$con multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario${\displaystyle K}$del número de clase${\displaystyle 1}$,${\displaystyle F=K}$o${\displaystyle \mathbb {Q} }$, y${\displaystyle L(E,s)}$no es cero, entonces${\displaystyle E(F)}$es un grupo finito. Esto se extendió al caso donde${\displaystyle F}$es cualquier extensión abeliana finita de${\displaystyle K}$por Arthaud. ^{[ 10 ]} .
2. Gross y Zagier ^{[ 11 ]} demostraron que si una curva elíptica modular tiene un cero de primer orden en${\displaystyle s=1}$, entonces tiene un punto racional de orden infinito; véase el teorema de Gross-Zagier .
3. Kolyvagin ^{[ 12 ]} demostró que una curva elíptica modular${\displaystyle E}$para qué${\displaystyle L(E,1)}$no es cero tiene rango 0 y una curva elíptica modular${\displaystyle E}$para qué${\displaystyle L(E,1)}$tiene un cero de primer orden en${\displaystyle s=1}$tiene el puesto número 1.
4. Rubin ^{[ 13 ]} demostró que para curvas elípticas definidas sobre un campo cuadrático imaginario${\displaystyle K}$con multiplicación compleja por${\displaystyle K}$, si la serie L de la curva elíptica no era cero en${\displaystyle s=1}$, entonces el${\displaystyle p}$-parte del grupo de Tate-Shafarevich tenía el orden predicho por la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, para todos los números primos${\displaystyle p>7}$.
5. Breuil et al. (2001) , extendiendo el trabajo de Wiles, ^{[ 14 ]} demostraron que todas las curvas elípticas definidas sobre los números racionales son modulares , lo que extiende los resultados #2 y #3 a todas las curvas elípticas sobre los racionales, y muestra que las funciones L de todas las curvas elípticas sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$se definen en${\displaystyle s=1}$.
6. Bhargava y Shankar ^{[ 15 ]} demostraron que el rango promedio del grupo de Mordell-Weil de una curva elíptica sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$está delimitado superiormente por${\displaystyle 7/6}$. Combinando esto con el${\displaystyle p}$el teorema de paridad de Nekovář ^{[ 16 ]} y el trabajo de Dokchitser y Dokchitser ^{[ 17 ]} , y con la demostración de la conjetura principal de la teoría de Iwasawa para${\displaystyle \operatorname {GL} (2)}$por Skinner y Urban ^{[ 18 ]} , concluyen que una proporción positiva de curvas elípticas sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$tienen rango analítico cero y, por lo tanto, según el resultado #3, satisfacen la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

Actualmente no existen demostraciones que involucren curvas con un rango mayor que 1.

Existe abundante evidencia numérica que respalda la veracidad de la conjetura. ^{[ 19 ]}

Al igual que la hipótesis de Riemann , esta conjetura tiene múltiples consecuencias, entre ellas:

• Sea n un entero impar libre de cuadrados . Suponiendo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, n es el área de un triángulo rectángulo con longitudes de lados racionales (un número congruente) si y solo si el número de ternas de enteros (x, y, z) que satisfacen 2x² + y² + 8z² ⁼ n es el doble del número de ternas que satisfacen 2x² + ^y² + ^32z² = n . ^Esta afirmación , debido ^al teorema ^de Tunnell ( Tunnell 1983 ) , está relacionada con el hecho de que n es un número congruente si y solo si la curva elíptica y² = x³ − ^n²x tiene un punto racional ^{de orden infinito (por lo tanto} , bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, su función L tiene un cero en 1 ). El interés de esta afirmación radica en que la condición se verifica fácilmente. ^{[ 20 ]}
• En otra dirección, ciertos métodos analíticos permiten estimar el orden de cero en el centro de la franja crítica de familias de funciones L. Si se acepta la conjetura BSD, estas estimaciones corresponden a información sobre el rango de las familias de curvas elípticas en cuestión. Por ejemplo: supongamos que, según la ^{hipótesis generalizada} de Riemann y la conjetura BSD, el rango promedio de las curvas dadas por ^y² = x³ + ax + b es menor que 2. ^[ 21 ^]
• Debido a la existencia de la ecuación funcional de la función L de una curva elíptica, BSD nos permite calcular la paridad del rango de una curva elíptica. Esta es una conjetura en sí misma, llamada conjetura de la paridad, que relaciona la paridad del rango de una curva elíptica con su número raíz global. Esto conduce a muchos fenómenos aritméticos explícitos que aún no se han demostrado de forma concluyente. Por ejemplo:
  • Todo entero positivo n ≡ 5, 6 o 7 (mod 8) es un número congruente .
  • La curva elíptica dada por y ² = x ³ + ax + b donde a ≡ b (mod 2) tiene infinitas soluciones sobre${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{8})}$.
  • Todo número racional positivo d puede escribirse en la forma d = s² ( t³ ^– 91t ^– 182 ) para s y t en${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
  • Para cada número racional t , la curva elíptica dada por y ² = x ( x ² – 49(1 + t ⁴ ) ² ) tiene rango al menos 1 .
  • Existen muchos más ejemplos de curvas elípticas sobre cuerpos numéricos.

Existe una versión de esta conjetura para variedades abelianas generales sobre cuerpos numéricos. Una versión para variedades abelianas sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$es lo siguiente: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \lim _{s\to 1}{\frac {L(A/\mathbb {Q} ,s)}{(s-1)^{r}}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (A)\Omega _{A}R_{A}\prod _{p|N}c_{p}}{\#A(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\cdot \#{\hat {A}}(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}}.}$

Todos los términos tienen el mismo significado que para las curvas elípticas, excepto que el cuadrado del orden de torsión debe ser reemplazado por el producto${\displaystyle \#A(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\cdot \#{\hat {A}}(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}$que involucra la variedad abeliana dual${\displaystyle {\hat {A}}}$. Las curvas elípticas como variedades abelianas unidimensionales son sus propias duales, es decir${\displaystyle {\hat {E}}=E}$, lo que simplifica el enunciado de la conjetura BSD. El regulador${\displaystyle R_{A}}$es necesario entender para el emparejamiento entre una base para las partes libres de${\displaystyle A(\mathbb {Q} )}$y${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbb {Q} )}$en relación con el haz de Poincaré en el producto${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$.

La conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer de rango uno para curvas elípticas modulares y variedades abelianas modulares de tipo GL(2) sobre cuerpos de números totalmente reales fue demostrada por Shou-Wu Zhang en 2001. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

Otra generalización la proporciona la conjetura de Bloch-Kato . ^{[ 25 ]}

• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Swinnerton-Dyer" . MathWorld .
• "Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer" . PlanetMath .
• La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer : una entrevista con el profesor Henri Darmon realizada por Agnes F. Beaudry.
• ¿Qué es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer? Conferencia impartida por Manjul Bhargava (septiembre de 2016) durante la Conferencia de Investigación sobre Arcillas celebrada en la Universidad de Oxford.