Función zeta de Riemann

Sea N ( T ) el número de ceros de ζ ( s ) en la banda crítica 0 < Re( s ) < 1 , cuyas partes imaginarias están en el intervalo 0 < Im( s ) < T . Timothy Trudgian demostró que, si T > e , entonces ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

En 1914, GH Hardy demostró que ζ ( ⁠ 1 / 2 ⁠ + it ) tiene infinitos ceros reales. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Hardy y JE Littlewood formularon dos conjeturas sobre la densidad y la distancia entre los ceros de ζ (1/2 + it ) en intervalos de números reales positivos grandes. En lo que sigue, N ( T ) es el número total de ceros reales y N ₀ ( T ) el número total de ceros de orden impar de la función ζ (1/2 + it ) que se encuentran en el intervalo (0, T ] .

Estas dos conjeturas abrieron nuevas vías en la investigación de la función zeta de Riemann.

La ubicación de los ceros de la función zeta de Riemann es de gran importancia en la teoría de números. El teorema de los números primos es equivalente al hecho de que no hay ceros de la función zeta en la línea Re( s ) = 1. [ ^{16 ] También} se sabe que no existen ceros en ciertas regiones ligeramente a la izquierda de la línea Re( s ) = 1 , conocidas como regiones libres de ceros. Por ejemplo, Korobov ^{[ 17 ]} y Vinogradov ^{[ 18 ]} demostraron independientemente mediante el teorema del valor medio de Vinogradov que para | t | suficientemente grande , ζ ( σ + it ) ≠ 0 para

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {c}{(\log |t|)^{2/3+\varepsilon }}}}$

para cualquier ε > 0 y un número c > 0 que depende de ε . Asintóticamente, esta es la región libre de ceros más grande conocida para la función zeta.

También se conocen regiones explícitamente libres de ceros. Platt y Trudgian ^{[ 19 ]} verificaron computacionalmente que ζ ( σ + it ) ≠ 0 si σ ≠ 1/2 y | t | ≤ 3⋅10¹² ^. Mossinghoff, Trudgian y Yang demostraron ^{[ 20 ]} que zeta no tiene ceros en la región

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$

para | t | ≥ 2 , que es la región libre de ceros más grande conocida en la franja crítica para 3⋅10 ¹² < | t | < exp(64.1) ≈ 7⋅10 ²⁷ (para resultados anteriores véase ^{[ 21 ]} ). Yang ^{[ 22 ]} demostró que ζ ( σ + it ) ≠ 0 si

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {\log \log |t|}{21.233\log |t|}}}$y${\displaystyle |t|\geq 3}$

que es la región libre de ceros más grande conocida para exp(170.2) < | t | < exp(4.8⋅10 ⁵ ) . Bellotti demostró ^{[ 23 ]} (basándose en el trabajo de Ford ^{[ 24 ]} ) la región libre de ceros

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{53.989(\log |t|)^{2/3}(\log \log |t|)^{1/3}}}}$y${\displaystyle |t|\geq 3}$.

Esta es la región libre de ceros más grande conocida para | t | ≥ exp(4.8⋅10 ⁵ ) fijo . Bellotti también demostró que para | t | suficientemente grande , se conoce el siguiente mejor resultado: ζ ( σ + it ) ≠ 0 para

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.0718(\log |t|)^{2/3}(\log \log |t|)^{1/3}}}.}$

El resultado más contundente de este tipo que se puede esperar es la veracidad de la hipótesis de Riemann, lo que tendría muchas consecuencias profundas en la teoría de números.

Se sabe que hay infinitos ceros en la línea crítica. Littlewood demostró que si la secuencia ( γn ₎ contiene las partes imaginarias de todos los ceros en el semiplano superior en orden ascendente, entonces

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

El teorema de la línea crítica afirma que una proporción positiva de los ceros no triviales se encuentra sobre la línea crítica. (La hipótesis de Riemann implicaría que esta proporción es 1 ).

En la franja crítica, el cero con la parte imaginaria no negativa más pequeña es 1/2 + 14.13472514... i ( OEIS : A058303  ). El hecho de que, para todo s complejo ≠ 1 ,

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

Esto implica que los ceros de la función zeta de Riemann son simétricos respecto al eje real. Además, al combinar esta simetría con la ecuación funcional, se observa que los ceros no triviales son simétricos respecto a la línea crítica Re( s ) = 1/2 .

También se sabe que no hay ceros en la línea con parte real 1 .

Existe una gran clase de funciones zeta modificadas que comparten los mismos ceros no triviales que la función zeta de Riemann, donde la modificación significa reemplazar los números primos en el producto de Euler por números reales, lo cual fue demostrado en un resultado por Grosswald y Schnitzer .

El recíproco de la función zeta puede expresarse como una serie de Dirichlet sobre la función de Möbius μ ( n ) :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

para cada número complejo s con parte real mayor que 1. Hay varias relaciones similares que involucran diversas funciones multiplicativas bien conocidas ; estas se dan en el artículo sobre la serie de Dirichlet .

La hipótesis de Riemann es equivalente a afirmar que esta expresión es válida cuando la parte real de s es mayor que 1/2 .

La franja crítica de la función zeta de Riemann tiene la notable propiedad de universalidad . Esta universalidad de la función zeta establece, aproximadamente, que las traslaciones verticales de${\displaystyle \zeta (s)}$puede aproximar uniformemente cualquier función holomorfa no nula en subconjuntos compactos adecuados de la franja${\displaystyle 1/2<\operatorname {Re} (s)<1}$Dado que las funciones holomorfas son muy generales, esta propiedad es bastante notable. La primera prueba de universalidad la proporcionó Sergei Mikhailovitch Voronin en 1975. ^{[ 30 ]} Trabajos más recientes han incluido versiones efectivas del teorema de Voronin ^{[ 31 ]} y su extensión a funciones L de Dirichlet . ^{[ 32 ] [ 33 ]}

Sean las funciones F ( T ; H ) y G ( s ₀ ; Δ) definidas por las igualdades

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

Aquí T es un número positivo suficientemente grande, 0 < H ≪ log log T , s ₀ = σ ₀ + iT , 1/2 ≤ σ ₀ ≤ 1 , 0 < Δ < 1/3 . Estimar los valores F y G de abajo muestra cuán grandes (en módulo) pueden ser los valores ζ ( s ) en intervalos cortos de la línea crítica o en pequeños vecindarios de puntos que se encuentran en la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .

El caso H ≫ log log T fue estudiado por Kanakanahalli Ramachandra ; el caso Δ > c , donde c es una constante suficientemente grande, es trivial.

Anatolii Karatsuba demostró, ^{[ 34 ] [ 35 ]} en particular, que si los valores H y Δ superan ciertas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

donde c ₁ y c ₂ son ciertas constantes absolutas.

La función

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

se denomina argumento de la función zeta de Riemann. Aquí arg ζ (1/2 + it ) es el incremento de una rama continua arbitraria de arg ζ ( s ) a lo largo de la línea discontinua que une los puntos 2 , 2 + it y 1/2 + it .

Existen algunos teoremas sobre las propiedades de la función S ( t ) . Entre esos resultados ^{[ 36 ] [ 37 ]} se encuentran los teoremas del valor medio para S ( t ) y su primera integral.

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

en intervalos de la recta real, y también el teorema que afirma que cada intervalo ( T , T + H ] para

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

contiene al menos

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo. Anteriormente, Atle Selberg obtuvo resultados similares para el caso

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Se puede obtener una extensión del área de convergencia reordenando la serie original. ^{[ 38 ]} La serie

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

converge para Re( s ) > 0 , mientras que

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

convergen incluso para Re( s ) > −1 . De esta manera, el área de convergencia puede extenderse a Re( s ) > − k para cualquier entero negativo − k .

La conexión de recurrencia es claramente visible a partir de la expresión válida para Re( s ) > −2, lo que permite una mayor expansión mediante la integración por partes.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}.\end{aligned}}}$

Esta recurrencia conduce a este otro desarrollo de serie que utiliza el factorial ascendente y es válido para todo el plano complejo ^{[ 38 ].}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

Esto puede utilizarse de forma recursiva para extender la definición de la serie de Dirichlet a todos los números complejos.

La función zeta de Riemann también aparece de forma similar a la transformada de Mellin en una integral sobre el operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing que actúa sobre x ^{s −1} ; ese contexto da lugar a un desarrollo en serie en términos del factorial descendente . ^{[ 39 ]}

La transformada de Mellin de una función f ( x ) se define como ^{[ 40 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

en la región donde se define la integral. Hay varias expresiones para la función zeta como integrales tipo transformada de Mellin. Si la parte real de s es mayor que uno, tenemos

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$y${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x,}$

donde Γ denota la función gamma . Al modificar el contorno , Riemann demostró que

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

para todo s ^{[ 41 ]} (donde H denota el contorno de Hankel ).

También podemos encontrar expresiones que se relacionan con los números primos y el teorema de los números primos . Si π ( x ) es la función de conteo de primos , entonces

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

para valores con Re( s ) > 1 .

Una transformación de Mellin similar involucra la función de Riemann J ( x ) , que cuenta potencias primas p ⁿ con un peso de 1/ n , de modo que

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

Ahora

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

Estas expresiones se pueden usar para demostrar el teorema de los números primos mediante la transformada inversa de Mellin. La función de conteo de primos de Riemann es más fácil de usar, y π ( x ) se puede recuperar a partir de ella mediante la inversión de Möbius .

La función zeta de Riemann se puede dar mediante una transformada de Mellin ^{[ 42 ].}

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

en términos de la función theta de Jacobi

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

Sin embargo, esta integral solo converge si la parte real de s es mayor que 1 , pero puede regularizarse. Esto da como resultado la siguiente expresión para la función zeta, que está bien definida para todos los valores de s excepto 0 y 1 :

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

La función zeta de Riemann es meromorfa con un único polo de orden uno en s = 1. Por lo tanto, puede expandirse como una serie de Laurent alrededor de s = 1 ; el desarrollo de la serie es entonces ^{[ 43 ].}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

Las constantes γ _n aquí se denominan constantes de Stieltjes y pueden definirse mediante el límite

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

El término constante γ ₀ es la constante de Euler-Mascheroni .

Para todo s ∈${\displaystyle \mathbb {C} }$, s ≠ 1 , la relación integral (cf. fórmula de Abel-Plana )

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)\ }}\ \operatorname {d} t}$

Esto es cierto, lo cual puede utilizarse para una evaluación numérica de la función zeta.

Basándose en el teorema de factorización de Weierstrass , Hadamard formuló la expansión del producto infinito .

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

donde el producto se realiza sobre los ceros no triviales ρ de ζ y la letra γ denota nuevamente la constante de Euler-Mascheroni . Una expansión de producto infinito más simple es

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

Esta forma muestra claramente el polo simple en s = 1 , los ceros triviales en −2, −4, ... debido al término de la función gamma en el denominador, y los ceros no triviales en s = ρ . (Para asegurar la convergencia en esta última fórmula, el producto debe tomarse sobre "pares coincidentes" de ceros, es decir, los factores de un par de ceros de la forma ρ y 1 − ρ deben combinarse).

Una serie globalmente convergente para la función zeta, válida para todos los números complejos s excepto s = 1 + ⁠ 2π i / ln 2 ⁠ n para algún entero n , fue conjeturada por Konrad Knopp en 1926 ^{[ 44 ]} y demostrada por Helmut Hasse en 1930 ^{[ 45 ]} (cf. sumatoria de Euler ):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

La serie apareció en un apéndice del artículo de Hasse y fue publicada por segunda vez por Jonathan Sondow en 1994. ^{[ 46 ]}

Hasse también demostró la convergencia global de la serie

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

en la misma publicación. ^{[ 45 ]} La investigación de Iaroslav Blagouchine ^{[ 47 ] [ 44 ]} ha encontrado que una serie similar y equivalente fue publicada por Joseph Ser en 1926. ^{[ 48 ]}

En 1997, K. Maślanka presentó otra serie globalmente convergente (excepto para s = 1 ) para la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

donde coeficientes reales${\displaystyle A_{k}}$son dados por:

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

Aquí B _n son los números de Bernoulli y ( x ) _k denota el símbolo de Pochhammer. ^{[ 49 ] [ 50 ]}

Nótese que esta representación de la función zeta es esencialmente una interpolación con nodos, donde los nodos son los puntos s = 2, 4, 6, ... , es decir, precisamente aquellos donde se conocen con precisión los valores de zeta, como demostró Euler. Philippe Flajolet presentó en 2006 una demostración elegante y muy breve de esta representación de la función zeta, basada en el teorema de Carlson . ^{[ 51 ]}

El comportamiento asintótico de los coeficientes${\displaystyle A_{k}}$es bastante curioso: para crecer${\displaystyle k}$valores, observamos oscilaciones regulares con una amplitud que disminuye casi exponencialmente y una frecuencia que disminuye lentamente (aproximadamente como${\displaystyle k^{-2/3}}$). Utilizando el método del punto de silla, podemos demostrar que

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

dónde${\displaystyle \kappa }$significa:

${\displaystyle \kappa$ :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}}

(véase ^{[ 52 ]} para más detalles).

Sobre la base de esta representación, en 2003 Luis Báez-Duarte proporcionó un nuevo criterio para la hipótesis de Riemann. ^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]} Es decir, si definimos los coeficientes c _k como

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

entonces la hipótesis de Riemann es equivalente a

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}\left(k^{-3/4+\varepsilon }\right)\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

Peter Borwein desarrolló un algoritmo que aplica polinomios de Chebyshev a la función eta de Dirichlet para producir una serie de convergencia muy rápida adecuada para cálculos numéricos de alta precisión . ^{[ 56 ]}

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

Aquí p _n # es la secuencia primorial y J _k es la función totiente de Jordan . ^{[ 57 ]}

La función ζ puede representarse, para Re( s ) > 1 , mediante la serie infinita

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

donde k ∈ {−1, 0} , W _k es la k -ésima rama de la función W de Lambert , y B ^{( μ )} _{n ,≥2} es un número poli-Bernoulli incompleto. ^{[ 58 ]}

La función g ( x ) = x (1 + ⌊ x ⁻¹ ⌋ ) − 1 se itera para encontrar los coeficientes que aparecen en las expansiones de Engel . ^{[ 59 ]}

La transformada de Mellin del mapa${\displaystyle g(x)}$está relacionada con la función zeta de Riemann mediante la fórmula

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

El movimiento browniano y la función zeta de Riemann están conectados a través de las funciones generadoras de momentos de los procesos estocásticos derivados del movimiento browniano . ^{[ 60 ]}

En la teoría de las afinaciones musicales , la función zeta se puede utilizar para encontrar divisiones iguales de la octava (EDO) que se aproximan mucho a los intervalos de la serie armónica . Para valores crecientes de${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, el valor de

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

picos cerca de los enteros que corresponden a tales EDO. ^{[ 63 ]} Los ejemplos incluyen opciones populares como 12, 19 y 53. ^{[ 64 ]}

La función zeta evaluada en enteros positivos equidistantes aparece en representaciones de series infinitas de varias constantes. ^{[ 65 ]}

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

De hecho, los términos pares e impares dan las dos sumas.

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

y

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

Las versiones parametrizadas de las sumas anteriores se dan por

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(\pi t)\right)}$

y

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

con | t | < 2 y donde${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle \gamma }$son la función poligamma y la constante de Euler , respectivamente, así como

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

todos los cuales son continuos en${\displaystyle t=1}$Otras sumas incluyen

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}=\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right)}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\Im {\bigl (}(1+i)^{n}-1-i^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

dónde${\displaystyle \Im }$denota la parte imaginaria de un número complejo.

Otra serie interesante que se relaciona con el logaritmo natural de la constante de la lemniscata es la siguiente:

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left[{\frac {2(-1)^{n}\zeta (n)}{4^{n}n}}-{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{2^{n}n}}\right]=\ln \left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)}$

En el artículo "Número armónico" se encuentran aún más fórmulas .