Teorema de Bayes

Supongamos que un médico realiza una prueba a un paciente para detectar la presencia de cierta enfermedad. El paciente tiene la enfermedad o no la tiene; la prueba arroja un resultado positivo o negativo. Si el paciente no tiene la enfermedad pero la prueba arroja un resultado positivo, se trata de un falso positivo. Si el paciente tiene la enfermedad y la prueba arroja un resultado positivo, se trata de un verdadero positivo. El teorema de Bayes proporciona los medios para calcular la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad dado un resultado positivo en la prueba, utilizando cantidades que especifican la prevalencia de la enfermedad en la población y la eficacia de la prueba.${\displaystyle E}$sea ​​el caso de que el paciente tenga la enfermedad.${\displaystyle P(E)}$es la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad.${\displaystyle F}$sea ​​el evento de que el paciente dé positivo en la prueba. La probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad dado que da positivo en la prueba se denota por lo tanto${\displaystyle P(E|F)}$El teorema de Bayes establece:$${\displaystyle P(E|F)={\frac {P(F|E)P(E)}{P(F|E)P(E)+P(F|\neg E)P(\neg E)}}.}$$Aquí,${\displaystyle P(E)}$es la tasa de prevalencia de la enfermedad, y${\displaystyle P(F|E)}$es la tasa de verdaderos positivos o sensibilidad de la prueba. ^{[ 21 ] : 44–45}

Por ejemplo, si todos los pacientes con cáncer de páncreas presentan ciertos síntomas, no significa que todos los que los presentan tengan cáncer de páncreas. Suponiendo que la incidencia de cáncer de páncreas sea de 1/100 000, y que 10/99 999 personas sanas presenten los síntomas, la probabilidad de que una persona con esos síntomas tenga cáncer de páncreas es del 9,1 %.

En función de la tasa de incidencia, la siguiente tabla presenta las cifras correspondientes por cada 100.000 habitantes.

Estos números pueden utilizarse posteriormente para calcular la probabilidad de que un paciente que presenta los síntomas tenga cáncer:

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{Cancer}}|{\text{Symptoms}})&={\frac {P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})}{P({\text{Symptoms}})}}\\&={\frac {P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})}{P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})+P({\text{Symptoms}}|{\text{Non-Cancer}})P({\text{Non-Cancer}})}}\\[8pt]&={\frac {1\times 0.00001}{1\times 0.00001+(10/99999)\times 0.99999}}={\frac {1}{11}}\approx 9.1\%.\end{aligned}}}$

Supongamos que una prueba específica para detectar el consumo de drogas (por ejemplo, la sustancia D ) tiene una sensibilidad del 99% , lo que significa que la tasa de verdaderos positivos (TPR) es de 0,99. Por lo tanto, la prueba arroja un 99% de resultados verdaderos positivos (identificación correcta del consumo de drogas) para los consumidores. La prueba también tiene una especificidad del 99% , lo que significa que su tasa de verdaderos negativos (TNR) es de 0,99. En consecuencia, la prueba identifica correctamente el 99% de los casos de no consumo en personas que no consumen drogas, pero también genera un 1% de falsos positivos, o una tasa de falsos positivos (FPR) de 0,01, para quienes no consumen drogas. Suponiendo que el 0,3% de la población consume la droga, el teorema de Bayes proporciona la probabilidad de que una persona elegida al azar que dé positivo en la prueba sea consumidora de drogas:$${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{User}}\vert {\text{Positive}})&={\frac {P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})}{P({\text{Positive}})}}\\&={\frac {P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})}{P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})+P({\text{Positive}}\vert {\text{Non-user}})P({\text{Non-user}})}}\\[8pt]&={\frac {0.99\times 0.003}{0.99\times 0.003+0.01\times 0.997}}\approx 23\%.\end{aligned}}}$$En consecuencia, aunque la prueba de drogas sea "99% precisa", la mayoría de sus resultados positivos serán falsos. ^{[ 22 ]}

Una urna contiene monedas de tres tipos diferentes: A, B y C. Las monedas de tipo A son justas y, al lanzarlas, obtienen cara con una probabilidad de 0,5. Las monedas de tipo B están sesgadas y tienen una probabilidad de 0,6 de obtener cara, y las monedas de tipo C obtienen cara con una probabilidad de 0,9. La urna contiene 2 monedas de tipo A, 2 de tipo B y 1 de tipo C. Se extrae una moneda al azar de la urna y se lanza. El teorema de Bayes proporciona la probabilidad de que una moneda sea de un tipo determinado dado que obtiene cara:$${\displaystyle P(A|H)={\frac {P(H|A)P(A)}{P(H)}},}$$y asimismo para${\displaystyle P(B|H)}$y${\displaystyle P(C|H)}$El denominador se puede encontrar mediante la ley de probabilidad total:$${\displaystyle P(H)=P(H|A)P(A)+P(H|B)P(B)+P(H|C)P(C).}$$Suponiendo que las monedas se extraen de la urna al azar,${\displaystyle P(A)=2/5}$,${\displaystyle P(B)=2/5}$, y${\displaystyle P(C)=1/5}$De ello se deduce que${\displaystyle P(H)=0.62}$y ^{[ 23 ]}$${\displaystyle P(A|H)=0.2/0.62\approx 32\%.}$$

En las interpretaciones bayesianas (o epistemológicas) , la probabilidad mide un "grado de creencia" racional. ^{[ 24 ] [ 25 ]} El teorema de Bayes relaciona el grado de creencia en una proposición antes y después de considerar racionalmente la evidencia. Por ejemplo, en un escenario de pruebas médicas, si un paciente da positivo para una enfermedad, el médico considerará más plausible que el paciente tenga esa enfermedad. ^{[ 21 ] : 43–45}

Si A denota una proposición y B la evidencia o antecedentes B , entonces ^{[ 26 ]}

• ${\displaystyle P(A)}$es la probabilidad previa , el grado inicial de creencia en A.
• ${\displaystyle P(\neg A)}$es el grado inicial de creencia correspondiente de que A es falso, que es${\displaystyle P(\neg A)=1-P(A)}$.
• ${\displaystyle P(B|A)}$es la probabilidad o verosimilitud condicional , el grado de creencia en B dado que A es verdadero.
• ${\displaystyle P(B|\neg A)}$es la probabilidad o verosimilitud condicional , el grado de creencia en B dado que A es falso.
• ${\displaystyle P(A|B)}$es la probabilidad posterior , la probabilidad de A después de tener en cuenta B.

Para obtener más información sobre la aplicación del teorema de Bayes bajo las interpretaciones bayesianas de la probabilidad, consulte Inferencia bayesiana .

En las interpretaciones frecuentistas , la probabilidad mide una "proporción de resultados". ^{[ 27 ]} Por ejemplo, supongamos que se realiza un experimento muchas veces. P ( A ) es la proporción de resultados con la propiedad A (la distribución a priori) y P ( B ) es la proporción con la propiedad B . P ( B | A ) es la proporción de resultados con la propiedad B de entre los resultados con la propiedad A , y P ( A | B ) es la proporción de aquellos con A de entre aquellos con B (la distribución a posteriori).

Para los eventos A y B , siempre que P ( B ) ≠ 0,

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}.}$

En muchas aplicaciones, por ejemplo en la inferencia bayesiana , el evento B se considera fijo en la discusión y deseamos considerar el efecto de su observación en nuestra creencia en varios eventos posibles A. En tales situaciones, el denominador de la última expresión, la probabilidad de la evidencia dada B , es fijo; lo que queremos variar es A. El teorema de Bayes muestra que las probabilidades posteriores son proporcionales al numerador, por lo que la última ecuación se convierte en: ^{[ 20 ] : 8}

${\displaystyle P(A|B)\propto P(A)\cdot P(B|A).}$

En otras palabras, la probabilidad posterior es proporcional a la probabilidad previa multiplicada por la verosimilitud. ^{[ 20 ] : 37}

Para dos variables aleatorias continuas X e Y , el teorema de Bayes puede derivarse análogamente de la definición de densidad condicional :

${\displaystyle f_{X\vert Y=y}(x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$

${\displaystyle f_{Y\vert X=x}(y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$

El teorema de Bayes establece: ^{[ 20 ] : 20–21}

${\displaystyle f_{X\vert Y=y}(x)={\frac {f_{Y\vert X=x}(y)f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}}.}$

Esto se aplica a los valores.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$dentro del apoyo de X e Y , asegurando${\displaystyle f_{X}(x)>0}$y${\displaystyle f_{Y}(y)>0}$.

Las probabilidades a veces se especifican en términos de probabilidades . Para cualquier proposición${\displaystyle A}$, la razón de la probabilidad de que${\displaystyle A}$es cierto a la probabilidad de que${\displaystyle A}$es falso se llama la probabilidad de${\displaystyle A}$. ^{[ 32 ] : 90} El teorema de Bayes se puede escribir usando probabilidades de la siguiente manera. Primero, aplicamos el teorema de Bayes a la probabilidad de que${\displaystyle A}$es cierto dada alguna otra proposición${\displaystyle B}$:$${\displaystyle P(A|B)=P(A){\frac {P(B|A)}{P(B)}}.}$$Asimismo, el teorema de Bayes se cumple para la probabilidad de que${\displaystyle A}$es falso:$${\displaystyle P(\neg A|B)=P(\neg A){\frac {P(B|\neg A)}{P(B)}}.}$$Dividiendo estas dos ecuaciones, la probabilidad${\displaystyle P(B)}$abandona:$${\displaystyle {\frac {P(A|B)}{P(\neg A|B)}}={\frac {P(A)}{P(\neg A)}}{\frac {P(B|A)}{P(B|\neg A)}}.}$$En consecuencia, las probabilidades de${\displaystyle A}$dado${\displaystyle B}$son las probabilidades de${\displaystyle A}$multiplicado por la razón${\displaystyle P(B|A)/P(B|\neg A)}$, una cantidad denominada factor de Bayes o razón de verosimilitud . En símbolos:$${\displaystyle O(A|B)=O(A){\frac {P(B|A)}{P(B|\neg A)}}.}$$Esto se suele resumir diciendo que las probabilidades posteriores son las probabilidades previas multiplicadas por la verosimilitud. ^{[ 32 ] : 90 [ 21 ] : 49}

Por ejemplo, supongamos que una enfermedad tiene una prevalencia del 1%, es decir, la probabilidad de que una persona elegida al azar esté infectada es de 0,01. Y supongamos que una prueba para la enfermedad arroja el resultado correcto con una probabilidad del 99%. Las probabilidades previas de estar infectado son:$${\displaystyle O({\text{infected}})={\frac {P({\text{infected}})}{P({\text{not infected}})}}={\frac {0.01}{1-0.01}}={\frac {1}{99}}.}$$

La probabilidad de que la prueba sea positiva dado que existe una infección es del 99%:$${\displaystyle P({\text{positive}}|{\text{infected}})=0.99.}$$La probabilidad de que la prueba sea negativa dada la ausencia de infección también es del 99%, y por lo tanto$${\displaystyle P({\text{positive}}|{\text{not infected}})=1-P({\text{negative}}|{\text{not infected}})=1-0.99=0.01.}$$El factor de Bayes es la razón$${\displaystyle {\frac {P({\text{positive}}|{\text{infected}})}{P({\text{positive}}|{\text{not infected}})}}={\frac {0.99}{0.01}}={\frac {99}{1}}.}$$Por lo tanto, las probabilidades posteriores de una infección dado un resultado positivo en la prueba son$${\displaystyle {\frac {1}{99}}\times {\frac {99}{1}}={\frac {1}{1}};}$$En otras palabras, las probabilidades posteriores de infección son de uno a uno, y la probabilidad posterior de infección es del 50%. ^{[ 33 ]}

Una versión del teorema de Bayes para 3 eventos ^{[ 34 ]} resulta de la adición de un tercer evento.${\displaystyle C}$, con${\displaystyle P(C)>0,}$sobre las cuales se condicionan todas las probabilidades:

${\displaystyle P(A\vert B\cap C)={\frac {P(B\vert A\cap C)\,P(A\vert C)}{P(B\vert C)}}}$

Esto se puede deducir de la siguiente manera. Usando la regla de la cadena

${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A\vert B\cap C)\,P(B\vert C)\,P(C)}$

Y, por otro lado

${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(B\cap A\cap C)=P(B\vert A\cap C)\,P(A\vert C)\,P(C)}$

El resultado deseado se obtiene identificando ambas expresiones y resolviendo para${\displaystyle P(A\vert B\cap C)}$.

En las interpretaciones subjetivas de la teoría de la probabilidad, la probabilidad de un evento se considera como la creencia de un agente de que el evento ocurrirá. El teorema de Bayes se invoca ampliamente para justificar cómo un agente debería actualizar o modificar sus creencias después de recibir nueva información. Si un agente asigna la probabilidad${\displaystyle P(A)}$al evento${\displaystyle A}$,${\displaystyle P(B)}$al evento${\displaystyle B}$, y${\displaystyle P(B|A)}$al evento "${\displaystyle B}$sucede asumiendo${\displaystyle A}$ya ha sucedido", el teorema de Bayes da el valor de${\displaystyle P(A|B)}$. Supongamos que, después de que el agente haya realizado estas asignaciones de probabilidad, el evento${\displaystyle B}$ocurre. Un agente que sigue la actualización bayesiana, también conocida como actualización por condicionalización, cambiará su probabilidad de que ocurra.${\displaystyle A}$del valor antiguo${\displaystyle P(A)}$al nuevo valor${\displaystyle P'(A)=P(A|B)}$La condicionalización no es la única regla de actualización que podría considerarse racional. ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} La cuestión de qué supuestos pueden invocarse para restringir las reglas de actualización sigue siendo algo controvertida. ^{[ 38 ] [ 39 ]}

En mecánica cuántica , las distribuciones de probabilidad se generalizan a matrices de densidad , conjuntos de números complejos que describen la preparación de un sistema cuántico. Se puede formular una regla de Bayes cuántica que expresa cómo se actualizan las matrices de densidad a medida que se obtienen nuevos datos experimentales sobre un sistema. ^{[ 40 ] [ 41 ]}

En estadística bayesiana , un objeto o sistema se representa mediante un modelo matemático que contiene uno o más parámetros numéricos. La información disponible sobre el sistema se utiliza para escribir una distribución de probabilidad sobre los posibles valores de esos parámetros, indicando qué valores son más plausibles que otros. El teorema de Bayes se utiliza para actualizar dicha distribución de probabilidad a medida que se obtiene nueva evidencia. ^{[ 42 ]}

La regla de Bayes y el cálculo de probabilidades condicionales proporcionan un método para resolver varios acertijos populares, como el problema de los tres prisioneros , ^{[ 43 ]} el problema de Monty Hall , ^{[ 44 ]} la paradoja del niño o la niña , ^{[ 45 ]} y el problema de los dos sobres . ^{[ 46 ]}

Alan Turing y sus colaboradores en Bletchley Park fueron pioneros en el uso del teorema de Bayes para descifrar códigos durante la Segunda Guerra Mundial . En 1941, Turing escribió una serie de notas pedagógicas que introducían los métodos bayesianos de criptoanálisis , aplicándolos a problemas como la resolución de un cifrado de Vigenère , que eran más sencillos que el objetivo principal de su equipo: leer mensajes cifrados por la máquina Enigma . El teorema de Bayes también se aplicó al descifrado del código naval japonés JN 25. ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]}

En genética , la regla de Bayes se puede utilizar para estimar la probabilidad de que una persona tenga un genotipo específico . Muchas personas buscan evaluar sus probabilidades de verse afectadas por una enfermedad genética o su probabilidad de ser portadoras de un gen recesivo de interés. Se puede realizar un análisis bayesiano basado en los antecedentes familiares o en pruebas genéticas para predecir si una persona desarrollará una enfermedad o la transmitirá a sus hijos. ^{[ 50 ]} (Las pruebas y predicciones genéticas son comunes entre las parejas que planean tener hijos pero les preocupa que ambos puedan ser portadores de una enfermedad, especialmente en comunidades con baja varianza genética . ^{[ 51 ]} )

El teorema de Bayes se emplea en biología evolutiva para deducir árboles de relaciones entre especies que mejor explican los datos disponibles. Este enfoque se hizo práctico mediante el uso de métodos de Monte Carlo de cadena de Markov . ^{[ 52 ] [ 53 ]}