Bicuaternión

En álgebra abstracta , los bicuaterniones son los números w + x i + y j + z k , donde w , x , y , y z son números complejos , o variantes de los mismos, y los elementos de { 1 , i , j , k } se multiplican como en el grupo de cuaterniones y conmutan con sus coeficientes. Hay tres tipos de bicuaterniones que corresponden a números complejos y sus variantes:

• Bicuaterniones cuando los coeficientes son números complejos .
• Bicuaterniones divididos cuando los coeficientes son números complejos divididos .
• Cuaterniones duales cuando los coeficientes son números duales .

Este artículo trata sobre los bicuaterniones ordinarios, denominados así por William Rowan Hamilton en 1844. ^{[ 1 ]} Algunos de los defensores más destacados de estos bicuaterniones son Alexander Macfarlane , Arthur W. Conway , Ludwik Silberstein y Cornelius Lanczos . Como se desarrolla más adelante, la cuasiesfera unitaria de los bicuaterniones proporciona una representación del grupo de Lorentz , que es el fundamento de la relatividad especial .

El álgebra de bicuaterniones puede considerarse como un producto tensorial C ⊗ _R H , donde C es el campo de los números complejos y H es el álgebra de división de los cuaterniones (reales) . En otras palabras, los bicuaterniones son simplemente la complejización de los cuaterniones. Vistos como un álgebra compleja, los bicuaterniones son isomorfos al álgebra de matrices complejas de 2 × 2 M ₂ ( C ) . También son isomorfos a varias álgebras de Clifford , incluyendo C ⊗ _R H = Cl ^[0] ₃ ( C ) = Cl ₂ ( C ) = Cl _1,2 ( R ) , ^{[ 2 ]} el álgebra de Pauli Cl _3,0 ( R ) , ^{[ 3 ] [ 4 ]} y la parte par Cl ^[0] _1,3 ( R ) = Cl ^[0] _3,1 ( R ) del álgebra del espaciotiempo . ^{[ 5 ]} En la literatura de física , los bicuaterniones, en su definición de álgebra de Clifford real como Cl _3,0 ( R ) , se utilizan bajo el nombre de álgebra del espacio físico . ^{[ 6 ]}

Sea { 1 , i , j , k } la base para los cuaterniones (reales) H , y sean u , v , w , x números complejos, entonces

${\displaystyle q=u\mathbf {1} +v\mathbf {i} +w\mathbf {j} +x\mathbf {k} }$

es un bicuaternión . ^{[ 7 ]} Para distinguir las raíces cuadradas de menos uno en los bicuaterniones, Hamilton ^{[ 8 ] [ 9 ]} y Arthur W. Conway utilizaron la convención de representar la raíz cuadrada de menos uno en el campo escalar C mediante h para evitar confusiones con la i en el grupo de cuaterniones. Se asume la conmutatividad del campo escalar con el grupo de cuaterniones:

${\displaystyle h\mathbf {i} =\mathbf {i} h,\ \ h\mathbf {j} =\mathbf {j} h,\ \ h\mathbf {k} =\mathbf {k} h.}$

Hamilton introdujo los términos bivector , biconjugado , bitensor y biversor para extender las nociones utilizadas con cuaterniones reales H.

La principal exposición de Hamilton sobre biquaterniones apareció en 1853 en sus Lecciones sobre cuaterniones . Las ediciones de Elementos de cuaterniones , en 1866 por William Edwin Hamilton (hijo de Rowan), y en 1899 y 1901 por Charles Jasper Joly , redujeron la cobertura de los biquaterniones en favor de los cuaterniones reales.

Considerando las operaciones de suma componente a componente y la multiplicación según el grupo de cuaterniones, esta colección forma un álgebra de 4 dimensiones sobre los números complejos C. El álgebra de bicuaterniones es asociativa , pero no conmutativa . Un bicuaternión es un divisor de la unidad o de cero . El álgebra de bicuaterniones forma un álgebra de composición y puede construirse a partir de números bicomplejos . Véase § Como álgebra de composición más adelante. 

Los bicuaterniones tienen dos conjugaciones :

• el biconjugado o biscalar menos bivector es${\displaystyle q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,}$y
• la conjugación compleja de coeficientes de bicuaterniones${\displaystyle {\bar {q}}={\bar {w}}+{\bar {x}}\mathbf {i} +{\bar {y}}\mathbf {j} +{\bar {z}}\mathbf {k} }$

dónde${\displaystyle {\bar {z}}=a-bh}$cuando${\displaystyle z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle (pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad {\overline {pq}}={\bar {p}}{\bar {q}},\quad {\overline {q^{*}}}={\bar {q}}^{*}.}$

Claramente, si${\displaystyle qq^{*}=0}$entonces q es un divisor de cero. De lo contrario${\displaystyle \lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }}$es un número complejo. Además,${\displaystyle qq^{*}=q^{*}q}$es fácilmente verificable. Esto permite que la inversa se defina mediante

• ${\displaystyle q^{-1}=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-1}}$, si${\displaystyle qq^{*}\neq 0.}$

Dado que los bicuaterniones han sido un elemento fundamental del álgebra lineal desde los inicios de la física matemática , existe una serie de conceptos que se ilustran o representan mediante el álgebra de bicuaterniones. El grupo de transformaciones${\displaystyle G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace }$tiene dos partes,${\displaystyle G\cap H}$ y${\displaystyle G\cap M.}$La primera parte se caracteriza por${\displaystyle g={\bar {g}}}$ ; entonces la transformación de Lorentz correspondiente a g viene dada por${\displaystyle T(q)=g^{-1}qg}$desde${\displaystyle g^{*}=g^{-1}.}$Dicha transformación es una rotación por multiplicación de cuaterniones , y la colección de ellos es SO(3).${\displaystyle \cong G\cap H.}$Pero este subgrupo de G no es un subgrupo normal , por lo que no se puede formar ningún grupo cociente .

Para ver${\displaystyle G\cap M}$Es necesario mostrar alguna estructura de subálgebra en los bicuaterniones. Sea r un elemento de la esfera de raíces cuadradas de menos uno en la subálgebra de cuaterniones reales H. Entonces ( hr ) ^² = +1 y el plano de bicuaterniones dado por${\displaystyle D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace }$es una subálgebra conmutativa isomorfa al plano de números complejos divididos. Así como el plano complejo ordinario tiene un círculo unitario,${\displaystyle D_{r}}$tiene una hipérbola unitaria dada por

${\displaystyle \exp(ahr)=\cosh(a)+hr\ \sinh(a),\quad a\in R.}$

Así como el círculo unitario gira al multiplicarse por uno de sus elementos, así gira la hipérbola porque${\displaystyle \exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).}$Por lo tanto, estos operadores algebraicos en la hipérbola se llaman versores hiperbólicos . El círculo unitario en C y la hipérbola unitaria en D _r son ejemplos de grupos uniparamétricos . Para cada raíz cuadrada r de menos uno en H , hay un grupo uniparamétrico en los bicuaterniones dado por${\displaystyle G\cap D_{r}.}$

El espacio de bicuaterniones tiene una topología natural a través de la métrica euclidiana en el espacio 8. Con respecto a esta topología, G es un grupo topológico . Además, tiene una estructura analítica que lo convierte en un grupo de Lie de seis parámetros . Consideremos el subespacio de bivectores. ${\displaystyle A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace }$. Luego el mapa exponencial${\displaystyle \exp :A\to G}$ toma los vectores reales a${\displaystyle G\cap H}$y los vectores h a${\displaystyle G\cap M.}$Cuando se le añade el conmutador , A forma el álgebra de Lie de G. Por lo tanto, este estudio de un espacio de seis dimensiones sirve para introducir los conceptos generales de la teoría de Lie . Cuando se observa en la representación matricial, G se denomina grupo lineal especial SL(2,C) en M(2, C ) .

Muchos de los conceptos de la relatividad especial se ilustran a través de las estructuras de bicuaterniones descritas. El subespacio M corresponde al espacio de Minkowski , con las cuatro coordenadas que dan las ubicaciones temporales y espaciales de los eventos en un sistema de referencia en reposo . Cualquier versor hiperbólico exp( ahr ) corresponde a una velocidad en la dirección r de magnitud c tanh a, donde c es la velocidad de la luz . El sistema de referencia inercial de esta velocidad puede convertirse en el sistema de referencia en reposo aplicando la transformación de Lorentz T dada por g = exp(0,5 ahr ), ya que entonces${\displaystyle g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}}$de modo que${\displaystyle T(\exp(ahr))=1.}$ Naturalmente, el hiperboloide${\displaystyle G\cap M,}$que representa el rango de velocidades para el movimiento sublumínico, es de interés físico. Se ha realizado un trabajo considerable asociando este "espacio de velocidades" con el modelo hiperboloide de la geometría hiperbólica . En la relatividad especial, el parámetro del ángulo hiperbólico de un versor hiperbólico se llama rapidez . Así vemos que el grupo bicuaternión G proporciona una representación de grupo para el grupo de Lorentz . ^{[ 12 ]}

Tras la introducción de la teoría de espinores , particularmente de la mano de Wolfgang Pauli y Élie Cartan , la representación bicuaterniónica del grupo de Lorentz quedó obsoleta. Los nuevos métodos se basaron en vectores base en el conjunto

${\displaystyle \{q\$ :\ qq^{*}=0\}=\left\{w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \  :\ w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\right\}}

que se denomina cono de luz complejo . La representación anterior del grupo de Lorentz coincide con lo que los físicos denominan cuadrivectores . Más allá de los cuadrivectores, el Modelo Estándar de la física de partículas también incluye otras representaciones de Lorentz, conocidas como escalares , y la representación (1, 0) ⊕ (0, 1) asociada, por ejemplo, con el tensor del campo electromagnético . Además, la física de partículas utiliza las representaciones SL(2, C ) (o representaciones proyectivas del grupo de Lorentz) conocidas como espinores de Weyl levógiros y dextrógiros , espinores de Majorana y espinores de Dirac . Se sabe que cada una de estas siete representaciones puede construirse como subespacios invariantes dentro de los bicuaterniones. ^{[ 13 ]}

Aunque WR Hamilton introdujo los bicuaterniones en el siglo XIX, su delimitación de su estructura matemática como un tipo especial de álgebra sobre un cuerpo se logró en el siglo XX: los bicuaterniones pueden generarse a partir de los números bicomplejos de la misma manera que Adrian Albert generó los cuaterniones reales a partir de números complejos en la llamada construcción de Cayley-Dickson . En esta construcción, un número bicomplejo ( w , z ) tiene conjugado ( w , z )* = ( w , –z ) .

El bicuaternión es entonces un par de números bicomplejos ( a , b ) , donde el producto con un segundo bicuaternión ( c , d ) es

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).}$

Si${\displaystyle a=(u,v),b=(w,z),}$luego el biconjugado${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).}$

Cuando ( a , b )* se escribe como un vector de 4 elementos de números complejos ordinarios,

${\displaystyle (u,v,w,z)^{*}=(u,-v,-w,-z).}$

Los bicuaterniones forman un ejemplo de álgebra de cuaterniones y tiene norma

${\displaystyle N(u,v,w,z)=u^{2}+v^{2}+w^{2}+z^{2}.}$

Dos bicuaterniones p y q satisfacen N ( pq ) = N ( p ) N ( q ) , lo que indica que N es una forma cuadrática que admite composición, de modo que los bicuaterniones forman un álgebra de composición .

Un bicuaternión arbitrario${\displaystyle A}$puede representarse como la suma de un número complejo ( escalar )${\displaystyle \alpha =Sc(A)}$ y un vector tridimensional de valores complejos${\displaystyle \mathbf {a} =Vc(A)}$^{[ 14 ]} :

${\displaystyle A=\alpha +\mathbf {a} =(\alpha ,\mathbf {a} )}$

Hay dos tipos de representación escalar-vectorial, basadas en diferentes formas de producto bicuaterniónico. Ambas representaciones son equivalentes. En la representación estándar ^{[ 15 ]} el producto de dos bicuaterniones${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$y${\displaystyle B=(\beta ,\mathbf {b} )}$ tiene la forma:

${\displaystyle AB=(\alpha \beta -(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$,

dónde${\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$y${\displaystyle [\mathbf {a} \mathbf {b} ]}$son producto escalar y producto vectorial de${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$, respectivamente. En representación compleja ^{[ 16 ]} el producto de los mismos bicuaterniones tiene la forma:

${\displaystyle AB=(\alpha \beta +(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +i[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$

Nótese que en la representación compleja el producto de dos bicuaterniones de valor real produce un bicuaternión de valor complejo a menos que sus partes vectoriales sean colineales. Conjugado bicuaterniónico de un bicuaternión dado${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$se define como:

${\displaystyle {\overline {A}}=(\alpha ,-\mathbf {a} )}$

Módulo al cuadrado de un bicuaternión${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$es un número complejo

${\displaystyle |A|^{2}=A{\overline {A}}={\overline {A}}A=\alpha ^{2}-\mathbf {a} ^{2}}$

Esta última tiene la propiedad multiplicativa:

${\displaystyle |AB|^{2}=|A|^{2}|B|^{2}}$

Al aplicar la conjugación bicuaternónica o compleja al producto de bicuaterniones, cada multiplicador se convierte en su conjugado y cambia su orden:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}{\overline {A}}}$

${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$

Según su módulo al cuadrado, todos los bicuaterniones se dividen en dos subespacios que no se intersecan (mediante multiplicación): cuaterniones nulos y bicuaterniones finitos. Los cuaterniones nulos son bicuaterniones con módulo al cuadrado cero; los bicuaterniones finitos son bicuaterniones con módulo al cuadrado distinto de cero.

• álgebra de bicuaterniones
• Número hipercomplejo
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• Transformaciones de Lorentz de cuaterniones
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