Distribución de Cauchy

Si uno se coloca frente a una línea y patea una pelota con un ángulo aleatorio distribuido uniformemente hacia la línea, entonces la distribución del punto donde la pelota golpea la línea es una distribución de Cauchy.

Por ejemplo, consideremos un punto en${\displaystyle (x_{0},\gamma )}$en el plano xy, y seleccione una línea que pase por el punto, con su dirección (ángulo con el${\displaystyle x}$eje x) elegido uniformemente (entre −180° y 0°) al azar. La intersección de la línea con el eje x sigue una distribución de Cauchy con ubicación${\displaystyle x_{0}}$y escala${\displaystyle \gamma }$.

Esta definición ofrece una forma sencilla de muestrear a partir de la distribución de Cauchy estándar. Sea${\displaystyle u}$ser una muestra de una distribución uniforme de${\displaystyle [0,1]}$, entonces podemos generar una muestra,${\displaystyle x}$de la distribución de Cauchy estándar utilizando

$${\displaystyle x=\tan \left(\pi (u-{\tfrac {1}{2}})\right)}$$ Cuando${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$Si dos variables aleatorias independientes con distribución normal tienen un valor esperado de 0 y una varianza de 1, entonces la razón${\displaystyle U/V}$ has the standard Cauchy distribution.

More generally, if ${\displaystyle (U,V)}$ is a rotationally symmetric distribution on the plane, then the ratio ${\displaystyle U/V}$ has the standard Cauchy distribution.

The Cauchy distribution is the probability distribution with the following probability density function (PDF)^[1][2]$${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$$

where ${\displaystyle x_{0}}$ is the location parameter, specifying the location of the peak of the distribution, and ${\displaystyle \gamma }$ is the scale parameter which specifies the half-width at half-maximum (HWHM), alternatively ${\displaystyle 2\gamma }$ is full width at half maximum (FWHM). ${\displaystyle \gamma }$ is also equal to half the interquartile range and is sometimes called the probable error.^[1] This function is also known as a Lorentzian function,^[3] and an example of a nascent delta function, and therefore approaches a Dirac delta function in the limit as ${\displaystyle \gamma \to 0}$. Augustin-Louis Cauchy exploited such a density function in 1827 with an infinitesimal scale parameter, defining this Dirac delta function.

The Cauchy distribution is the probability distribution with the following cumulative distribution function (CDF): $${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$$

and the quantile function (inverse cdf) of the Cauchy distribution is $${\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$$ It follows that the first and third quartiles are ${\displaystyle (x_{0}-\gamma,x_{0}+\gamma)}$, and hence the interquartile range is ${\displaystyle 2\gamma }$.

For the standard distribution, the cumulative distribution function simplifies to arctangent function${\displaystyle \arctan(x)}$: $${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left(x\right)+{\frac {1}{2}}}$$

The standard Cauchy distribution is the Student's t-distribution with one degree of freedom, and so it may be constructed by any method that constructs the Student's t-distribution.^[6]

If ${\displaystyle \Sigma }$ is a ${\displaystyle p\times p}$matriz de covarianza semidefinida positiva con entradas diagonales estrictamente positivas, entonces para variables independientes e idénticamente distribuidas${\displaystyle X,Y\sim N(0,\Sigma )}$y cualquier aleatorio${\displaystyle p}$-vector${\displaystyle w}$independiente de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$de tal manera que${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$y${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$(definiendo una distribución categórica ) sostiene que ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}w_{j}{\frac {X_{j}}{Y_{j}}}\sim \mathrm {Cauchy} (0,1).}$$

Si${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$Si son una muestra IID de la distribución de Cauchy estándar, entonces su media muestral${\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}}$También se distribuye según la distribución de Cauchy estándar. En particular, el promedio no converge a la media, por lo que la distribución de Cauchy estándar no sigue la ley de los grandes números.

Esto se puede demostrar mediante la integración repetida con la PDF, o más convenientemente, utilizando la función característica de la distribución de Cauchy estándar (véase más abajo):$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}.}$$Con esto, tenemos${\displaystyle \varphi _{\sum _{i}X_{i}}(t)=e^{-n|t|}}$, y entonces${\displaystyle {\bar {X}}}$tiene una distribución de Cauchy estándar.

En términos más generales, si${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$son independientes y se distribuyen según Cauchy con parámetros de localización.${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$y escalas${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$, y${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$son números reales, entonces${\textstyle \sum _{i}a_{i}X_{i}}$es Cauchy distribuido con ubicación${\textstyle \sum _{i}a_{i}x_{i}}$y escala${\textstyle \sum _{i}|a_{i}|\gamma _{i}}$Vemos que no existe ninguna ley de grandes números para ninguna suma ponderada de distribuciones de Cauchy independientes.

Esto demuestra que la condición de varianza finita en el teorema del límite central no puede omitirse. También es un ejemplo de una versión más generalizada del teorema del límite central, característica de todas las distribuciones estables , de las cuales la distribución de Cauchy es un caso particular.

Si${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$son una muestra IID con PDF${\displaystyle \rho }$de tal manera que${\textstyle \lim _{c\to \infty }{\frac {1}{c}}\int _{-c}^{c}x^{2}\rho (x)\,dx={\frac {2\gamma }{\pi }}}$es finito, pero distinto de cero, entonces${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$converge en distribución a una distribución de Cauchy con escala${\displaystyle \gamma }$. ^{[ 10 ]}

Dejar${\displaystyle X}$denota una variable aleatoria con distribución de Cauchy. La función característica de la distribución de Cauchy viene dada por

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}.}$$

que no es más que la transformada de Fourier de la densidad de probabilidad. La densidad de probabilidad original puede expresarse en términos de la función característica, esencialmente mediante el uso de la transformada inversa de Fourier:

$${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!}$$

El n -ésimo momento de una distribución es la n -ésima derivada de la función característica evaluada en${\displaystyle t=0}$Obsérvese que la función característica no es diferenciable en el origen: esto corresponde al hecho de que la distribución de Cauchy no tiene momentos bien definidos superiores al momento cero.

La divergencia de Kullback-Leibler entre dos distribuciones de Cauchy tiene la siguiente fórmula simétrica de forma cerrada: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{x_{0,1},\gamma _{1}}:p_{x_{0,2},\gamma _{2}}\right)=\log {\frac {{\left(\gamma _{1}+\gamma _{2}\right)}^{2}+{\left(x_{0,1}-x_{0,2}\right)}^{2}}{4\gamma _{1}\gamma _{2}}}.}$$

Cualquier divergencia f entre dos distribuciones de Cauchy es simétrica y puede expresarse como una función de la divergencia chi-cuadrado. ^{[ 12 ]} Se dispone de expresiones en forma cerrada para la variación total , la divergencia de Jensen-Shannon , la distancia de Hellinger , etc.

La entropía de la distribución de Cauchy viene dada por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\gamma )&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma ))\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\end{aligned}}}$$

La derivada de la función cuantil , la función de densidad cuantil, para la distribución de Cauchy es:

$${\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \pi \,\sec ^{2}\left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$$

La entropía diferencial de una distribución se puede definir en términos de su densidad de cuantiles, ^{[ 13 ]} específicamente:

$${\displaystyle H(\gamma )=\int _{0}^{1}\log \,(Q'(p;\gamma ))\,\mathrm {d} p=\log(4\pi \gamma )}$$

La distribución de Cauchy es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variable aleatoria.${\displaystyle X}$para lo cual ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\log \left(1+{\left({\frac {X-x_{0}}{\gamma }}\right)}^{2}\right)\right]=\log 4}$$

La distribución de Cauchy se suele utilizar como contraejemplo ilustrativo en los cursos básicos de probabilidad, como una distribución sin momentos bien definidos (o "indefinidos").

Momentos de muestra

Si tomamos una muestra IID${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$a partir de la distribución de Cauchy estándar, entonces la secuencia de su media muestral es${\textstyle S_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$, que también tiene la distribución de Cauchy estándar. En consecuencia, independientemente de la cantidad de términos que tomemos, el promedio de la muestra no converge.

De manera similar, la varianza de la muestra${\textstyle V_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(X_{i}-S_{n}\right)}^{2}}$tampoco converge.

Una trayectoria típica de${\displaystyle S_{1},S_{2},...}$Parece que se producen largos períodos de convergencia lenta hacia cero, interrumpidos por grandes saltos que se alejan de cero, pero sin llegar a alejarse demasiado. Una trayectoria típica de${\displaystyle V_{1},V_{2},...}$Tienen un aspecto similar, pero los saltos se acumulan más rápido que la disminución, divergiendo hacia el infinito. Estos dos tipos de trayectorias se representan en la figura.

Los momentos de la muestra de orden inferior a 1 convergerían a cero. Los momentos de la muestra de orden superior a 2 divergirían al infinito incluso más rápido que la varianza de la muestra.

• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$entonces${\displaystyle kX+\ell \sim {\textrm {Cauchy}}(x_{0}k+\ell ,\gamma |k|)}$^{[ 17 ]}
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma _{0})}$y${\displaystyle Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{1},\gamma _{1})}$son independientes, entonces${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}+x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})}$y${\displaystyle X-Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}-x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})}$
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,\gamma )}$entonces${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} (0,{\tfrac {1}{\gamma }})}$
• Parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy : ^{[ 18 ]} Expresar una distribución de Cauchy en términos de un parámetro complejo${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }$, definir${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$significar${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},|\gamma |)}$. Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$entonces:$${\displaystyle {\frac {aX+b}{cX+d}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\frac {a\psi +b}{c\psi +d}}\right)}$$dónde${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$y${\displaystyle d}$son números reales.
• Utilizando la misma convención que la anterior, si${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$entonces: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle {\frac {X-i}{X+i}}\sim \operatorname {CCauchy} \left({\frac {\psi -i}{\psi +i}}\right)}$$dónde${\displaystyle \operatorname {CCauchy} }$es la distribución circular de Cauchy .

Dado que los parámetros de la distribución de Cauchy no corresponden a una media y una varianza, intentar estimar dichos parámetros utilizando la media y la varianza de la muestra no tendrá éxito. ^{[ 19 ]} Por ejemplo, si se toma una muestra i.i.d. de tamaño n de una distribución de Cauchy, la media de la muestra se puede calcular como:

$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

Aunque los valores de la muestra${\displaystyle x_{i}}$se concentrará en el valor central${\displaystyle x_{0}}$La media muestral se volverá cada vez más variable a medida que se tomen más observaciones, debido a la mayor probabilidad de encontrar puntos de muestra con un gran valor absoluto. De hecho, la distribución de la media muestral será igual a la distribución de las observaciones mismas; es decir, la media muestral de una muestra grande no es mejor (ni peor) estimador de${\displaystyle x_{0}}$que cualquier observación individual de la muestra. De manera similar, el cálculo de la varianza muestral dará como resultado valores que aumentan a medida que se toman más observaciones.

Por lo tanto, se necesitan medios más robustos para estimar el valor central.${\displaystyle x_{0}}$y el parámetro de escala${\displaystyle \gamma }$son necesarios. Un método simple es tomar el valor mediano de la muestra como un estimador de${\displaystyle x_{0}}$y la mitad del rango intercuartil de la muestra como estimador de${\displaystyle \gamma }$Se han desarrollado otros métodos más precisos y robustos. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Por ejemplo, la media truncada del 24% central de las estadísticas de orden de la muestra produce una estimación para${\displaystyle x_{0}}$Esto es más eficiente que usar la mediana de la muestra o la media de toda la muestra. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Sin embargo, debido a las colas pesadas de la distribución de Cauchy, la eficiencia del estimador disminuye si se usa más del 24 % de la muestra. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

Otro método sencillo consiste en considerar una media cuasi-aritmética de valores complejos de la muestra. Sea $${\displaystyle \theta _{n}=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right),}$$ dónde${\displaystyle f}$es un generador de la media cuasi-aritmética. Si${\displaystyle f(x)=\log(x+\alpha ),\alpha \in {\overline {\mathbb {H} }}}$entonces,${\displaystyle \theta _{n}}$es una media geométrica de valor complejo${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x_{i}+\alpha )^{1/n}}$y, si${\displaystyle f(x)=1/(x+\alpha ),\alpha \in \mathbb {H} }$ entonces,${\displaystyle \theta _{n}}$es una media armónica de valor complejo${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}/(x_{i}+\alpha )}{\sum _{i=1}^{n}1/(x_{i}+\alpha )}}}$. ${\displaystyle (\theta _{n})_{n}}$es un estimador insesgado de forma cerrada y fuertemente consistente para la conjunta de los parámetros de localización y escala bajo la parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy . ^{[ 24 ] [ 25 ]} El teorema del límite central y la eficiencia de Bahadur también se cumplen para${\displaystyle (\theta _{n})_{n}}$.

La máxima verosimilitud también se puede utilizar para estimar los parámetros.${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle \gamma }$Sin embargo, esto tiende a complicarse por el hecho de que requiere encontrar las raíces de un polinomio de alto grado, y puede haber múltiples raíces que representan máximos locales. ^{[ 26 ]} Además, si bien el estimador de máxima verosimilitud es asintóticamente eficiente, es relativamente ineficiente para muestras pequeñas. ^{[ 27 ] [ 28 ]} La función de log-verosimilitud para la distribución de Cauchy para el tamaño de muestra${\displaystyle n}$es:

$${\displaystyle \ell (x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid \!x_{0},\gamma )=-n\log(\gamma \pi )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(1+\left({\frac {x_{i}-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}$$

$${\displaystyle \qquad \qquad =-n\log(\pi )+n\log(\gamma )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}\right).}$$

Maximizar la función de verosimilitud logarítmica con respecto a${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle \gamma }$Al tomar la primera derivada se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial x_{0}}}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2(x_{i}-x_{0})}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-\!x_{0}\right)^{2}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \gamma }}={\frac {n}{\gamma }}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\gamma }{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}=0}$$

Tenga en cuenta que

$${\displaystyle {\frac {n}{\gamma }}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\gamma }{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}=0}$$

es equivalente a

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}={\frac {n}{2}}}$$

y eso

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}}$$

es una función monótona en${\displaystyle \gamma }$y que la solución${\displaystyle \gamma }$debe satisfacer

$${\displaystyle \min |x_{i}-x_{0}|\leq \gamma \leq \max |x_{i}-x_{0}|.}$$

Resolviendo solo para${\displaystyle x_{0}}$requiere resolver un polinomio de grado${\displaystyle 2n-1}$, ^{[ 26 ]} y resolviendo solo para${\displaystyle \,\!\gamma }$requiere resolver un polinomio de grado${\displaystyle 2n}$Por lo tanto, ya sea que se resuelva para un parámetro o para ambos parámetros simultáneamente, normalmente se requiere una solución numérica en una computadora. El beneficio de la estimación de máxima verosimilitud es la eficiencia asintótica; estimar${\displaystyle x_{0}}$usar la mediana de la muestra es solo aproximadamente un 81% tan asintóticamente eficiente como estimar${\displaystyle x_{0}}$por máxima verosimilitud. ^{[ 23 ] [ 29 ]} La media de la muestra truncada utilizando el 24% central de las estadísticas de orden es aproximadamente un 88% tan asintóticamente eficiente como estimador de${\displaystyle x_{0}}$como la estimación de máxima verosimilitud. ^{[ 23 ]} Cuando se utiliza el método de Newton para encontrar la solución para la estimación de máxima verosimilitud, las estadísticas de orden del 24% central se pueden utilizar como una solución inicial para${\displaystyle x_{0}}$.

La forma se puede estimar utilizando la mediana de los valores absolutos, ya que para la ubicación 0 las variables de Cauchy${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$, el${\displaystyle \operatorname {median} (|X|)=\gamma }$el parámetro de forma.

• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (0,1)\sim {\textrm {t}}(\mathrm {df} =1)\,}$Distribución t de Student
• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\sigma )\sim {\textrm {t}}_{(\mathrm {df} =1)}(\mu ,\sigma )\,}$distribución t de Student no estandarizada
• Si${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {N}}(0,1)\,X,Y}$independiente, entonces${\displaystyle {\tfrac {X}{Y}}\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {U}}(0,1)\,}$entonces${\displaystyle \tan \left(\pi \left(X-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-Cauchy} (0,1)}$entonces${\displaystyle \ln(X)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)}$
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$ entonces${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}},{\tfrac {\gamma }{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}}\right)}$
• La distribución de Cauchy es un caso límite de una distribución de Pearson de tipo 4.
• La distribución de Cauchy es un caso especial de una distribución de Pearson de tipo 7. ^{[ 1 ]}
• La distribución de Cauchy es una distribución estable : si${\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )}$, entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,\gamma )}$.
• La distribución de Cauchy es un límite singular de una distribución hiperbólica.
• La distribución de Cauchy envuelta , que toma valores en un círculo, se deriva de la distribución de Cauchy envolviéndola alrededor del círculo.
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)}$,${\displaystyle Z\sim \operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)}$, entonces${\displaystyle Y=\mu +X{\sqrt {Z}}\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,s)}$Para distribuciones de Cauchy parciales, la relación se cumple estableciendo${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)I\{X\geq 0\}}$.

La distribución de Cauchy es la distribución estable de índice 1. La representación de Lévy-Khintchine de dicha distribución estable de parámetro${\displaystyle \gamma }$se da, para${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (\gamma ,0,0)\,}$por:

$${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{ixX}\right)=\exp \left(\int _{\mathbb {R} }(e^{ixy}-1)\Pi _{\gamma }(dy)\right)}$$

dónde

$${\displaystyle \Pi _{\gamma }(dy)=\left(c_{1,\gamma }{\frac {1}{y^{1+\gamma }}}1_{\left\{y>0\right\}}+c_{2,\gamma }{\frac {1}{|y|^{1+\gamma }}}1_{\left\{y<0\right\}}\right)\,dy}$$

y${\displaystyle c_{1,\gamma },c_{2,\gamma }}$puede expresarse explícitamente. ^{[ 30 ]} En el caso${\displaystyle \gamma =1}$de la distribución de Cauchy, uno tiene${\displaystyle c_{1,\gamma }=c_{2,\gamma }}$.

Esta última representación es consecuencia de la fórmula

$${\displaystyle \pi |x|=\operatorname {PV} \int _{\mathbb {R} \smallsetminus \lbrace 0\rbrace }(1-e^{ixy})\,{\frac {dy}{y^{2}}}}$$

Un vector aleatorio${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}}$Se dice que tiene la distribución de Cauchy multivariada si cada combinación lineal de sus componentes${\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}}$tiene una distribución de Cauchy. Es decir, para cualquier vector constante${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{k}}$, la variable aleatoria${\displaystyle Y=a^{T}X}$debe tener una distribución de Cauchy univariada. ^{[ 31 ]} La función característica de una distribución de Cauchy multivariada viene dada por:

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-\gamma (t)},\!}$$

dónde${\displaystyle x_{0}(t)}$y${\displaystyle \gamma (t)}$son funciones reales con${\displaystyle x_{0}(t)}$una función homogénea de grado uno y${\displaystyle \gamma (t)}$una función homogénea positiva de grado uno. ^{[ 31 ]} Más formalmente: ^{[ 31 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}(at)&=ax_{0}(t),\\\gamma (at)&=|a|\gamma (t),\end{aligned}}}$$

a pesar de${\displaystyle t}$.

Un ejemplo de distribución de Cauchy bivariada se puede dar por: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\gamma }{{\left({\left(x-x_{0}\right)}^{2}+{\left(y-y_{0}\right)}^{2}+\gamma ^{2}\right)}^{3/2}}}.}$$ Tenga en cuenta que en este ejemplo, aunque la covarianza entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$es 0,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$no son estadísticamente independientes . ^{[ 32 ]}

También podemos escribir esta fórmula para una variable compleja. Entonces, la función de densidad de probabilidad de Cauchy compleja es  :

$${\displaystyle f(z;z_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\gamma }{{\left({\left|z-z_{0}\right|}^{2}+\gamma ^{2}\right)}^{3/2}}}.}$$

Al igual que la distribución de Cauchy estándar es la distribución t de Student con un grado de libertad, la densidad de Cauchy multidimensional es la distribución t de Student multivariada con un grado de libertad. La densidad de una${\displaystyle k}$La distribución dimensional de Student con un grado de libertad es:

$${\displaystyle f(\mathbf {x}$$ ;{\boldsymbol {\mu }},\mathbf {\Sigma } ,k)={\frac {\Gamma {\left({\frac {1+k}{2}}\right)}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\pi ^{\frac {k}{2}}\left|\mathbf {\Sigma } \right|^{\frac {1}{2}}\left[1+({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{\frac {1+k}{2}}}}.}

Las propiedades de la distribución de Cauchy multidimensional son, por tanto, casos especiales de la distribución t de Student multivariada.

• En espectroscopia , la distribución de Cauchy describe la forma de las líneas espectrales que están sujetas a un ensanchamiento homogéneo en el que todos los átomos interactúan de la misma manera con el rango de frecuencias contenido en la forma de la línea. Muchos mecanismos causan ensanchamiento homogéneo, sobre todo el ensanchamiento por colisión . ^{[ 33 ]} El ensanchamiento natural o por tiempo de vida también da lugar a una forma de línea descrita por la distribución de Cauchy.
• Las aplicaciones de la distribución de Cauchy o su transformación se pueden encontrar en campos que trabajan con crecimiento exponencial . Un artículo de 1958 de White ^{[ 34 ]} derivó el estadístico de prueba para estimadores de${\displaystyle {\hat {\beta }}}$para la ecuación${\displaystyle x_{t+1}=\beta {x}_{t}+\varepsilon _{t+1},\beta >1}$y donde el estimador de máxima verosimilitud se encuentra utilizando mínimos cuadrados ordinarios mostró que la distribución muestral del estadístico es la distribución de Cauchy.
• La distribución de Cauchy suele ser la distribución de observaciones para objetos que giran. La referencia clásica para esto se conoce como el problema del faro de Gull ^{[ 35 ]} y, como se mencionó en la sección anterior, como la distribución de Breit-Wigner en física de partículas.
• En hidrología, la distribución de Cauchy se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales en un día y los caudales de los ríos. La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Cauchy a las precipitaciones máximas mensuales en un día ordenadas, mostrando también el intervalo de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitación se representan mediante la representación gráfica de posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
• La expresión para la parte imaginaria de la permitividad eléctrica compleja , según el modelo de Lorentz, es una distribución de Cauchy.
• Como distribución adicional para modelar colas pesadas en finanzas computacionales , las distribuciones de Cauchy se pueden usar para modelar VAR ( valor en riesgo ) produciendo una probabilidad mucho mayor de riesgo extremo que la distribución gaussiana . ^{[ 36 ]}

En física nuclear y de partículas , el perfil de energía de una resonancia se describe mediante la distribución relativista de Breit-Wigner , mientras que la distribución de Cauchy es la distribución (no relativista) de Breit-Wigner. ^{[ 37 ]}