Geometría no conmutativa

La geometría no conmutativa ( GNC ) es una rama de las matemáticas que estudia ideas geométricas mediante álgebras no conmutativas . En geometría ordinaria, un espacio a menudo puede estudiarse mediante un álgebra conmutativa de funciones sobre él; la geometría no conmutativa extiende este punto de vista a álgebras en las que el producto de dos elementos no necesariamente conmuta. Dichas álgebras se tratan como análogas a las álgebras de funciones sobre espacios generalizados o "no conmutativos". ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El tema no es un formalismo único. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Incluye métodos algebraicos de operadores basados ​​en C*-álgebras , álgebras de von Neumann y triples espectrales ; enfoques algebraicos para anillos no conmutativos y álgebras graduadas; y construcciones relacionadas con la cuantización de deformación , C*-álgebras de grupoide , homología cíclica y K-teoría . Un ejemplo estándar es el toro no conmutativo , cuya álgebra está generada por dos elementos unitarios que satisfacen una relación de conmutación retorcida y que ha servido como caso de prueba para versiones no conmutativas de fibrados vectoriales, conexiones, curvatura y teoría de índices. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

Las ideas que ahora se agrupan bajo el término geometría no conmutativa se desarrollaron a partir de diversas áreas, incluyendo la teoría de álgebras de operadores , la teoría de índices , la geometría algebraica, la mecánica cuántica y la teoría ergódica . El término se asocia particularmente con el trabajo de Alain Connes , quien introdujo un marco en el que las álgebras de operadores, la cohomología cíclica y las formas diferenciales generalizadas podían utilizarse para estudiar espacios que no se describen adecuadamente mediante los métodos de conjuntos de puntos convencionales. ^{[ 5 ]}

El campo abarca un amplio espectro. En la tradición de los álgebras de operadores, las álgebras no conmutativas se interpretan como álgebras de funciones sobre espacios topológicos, de teoría de la medida, lisos o métricos no conmutativos. En la geometría algebraica no conmutativa, se estudian anillos asociativos y categorías de módulos como análogos de anillos de coordenadas y categorías de haces. La cuantización por deformación y los grupos cuánticos son áreas relacionadas cuando sus álgebras no conmutativas se interpretan geométricamente, aunque también se estudian como disciplinas independientes.

La principal motivación es extender la dualidad entre espacios y álgebras de funciones. Si${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff compacto, el álgebra C* conmutativa${\displaystyle C(X)}$de funciones continuas de valor complejo determina${\displaystyle X}$hasta el homeomorfismo, mediante la representación conmutativa de Gelfand . De manera similar, la categoría de esquemas afines en geometría algebraica es dual a la categoría de anillos conmutativos, y muchas propiedades geométricas de un esquema pueden estudiarse a través de categorías de haces o módulos.

En estos ejemplos clásicos, la geometría se codifica algebraicamente. La suma y la multiplicación de funciones se definen punto por punto, y la conmutatividad de la multiplicación refleja el hecho de que las funciones toman valores escalares en un conjunto ordinario de puntos. La geometría no conmutativa parte de la observación de que muchas álgebras que surgen naturalmente en el análisis, la geometría y la física no son conmutativas, pero conservan características geométricas. En lugar de definir primero un espacio y luego sus funciones, se estudia directamente un álgebra no conmutativa y se interpreta como el álgebra de funciones en un espacio generalizado.

Un álgebra no conmutativa generalmente tiene muy pocos caracteres para reconstruir un espacio de conjuntos de puntos de la forma habitual. Por consiguiente, la geometría no conmutativa suele sustituir los puntos por otras estructuras, como representaciones, módulos, trazas, estados, clases de teoría K, cociclos cíclicos o categorías. Este cambio es una de las razones por las que las distintas versiones de la geometría no conmutativa enfatizan diferentes invariantes y nociones de equivalencia, como la equivalencia de Morita .

Una variedad riemanniana compacta y suave puede estudiarse utilizando datos analíticos. Para una variedad de espín compacta${\displaystyle M}$, el álgebra${\displaystyle C^{\infty }(M)}$actúa mediante multiplicación en el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}(M,S)}$de espinores de cuadrado integrable y el operador de Dirac${\displaystyle D}$codifica la métrica. Esto motiva la noción de una tripleta espectral .

Un triplete espectral${\displaystyle (A,H,D)}$consta de un álgebra${\displaystyle A}$representado en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$, junto con un operador autoadjunto generalmente no acotado${\displaystyle D}$, de tal manera que${\displaystyle (1+D^{2})^{-1/2}}$es compacto y los conmutadores${\displaystyle [D,a]}$están limitados para los elementos${\displaystyle a}$en una subálgebra densa adecuada de${\displaystyle A}$En muchas aplicaciones se imponen estructuras adicionales, como una gradación, una estructura real, condiciones de regularidad y de finitud.

Las tripletas espectrales permiten expresar algebraicamente la información métrica. Para una variedad de espín riemanniana compacta clásica, la fórmula de distancia de Connes recupera la distancia geodésica mediante

${\displaystyle d(x,y)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ \|[D,f]\|\leq 1\}.}$

El teorema de reconstrucción de Connes establece, a grandes rasgos, que una tripleta espectral conmutativa que satisface las hipótesis apropiadas de regularidad, finitud y orientabilidad surge de una variedad compacta y lisa. ^{[ 6 ]}

Las ternas espectrales también se utilizan para definir análogos no conmutativos de formas diferenciales, fibrados vectoriales, campos de gauge, datos métricos y emparejamientos de índices. Son fundamentales en la formulación algebraica de operadores de Connes para la geometría no conmutativa y en aplicaciones a la física de partículas y la teoría de índices.

La geometría diferencial sobre un álgebra no conmutativa requiere un reemplazo para las formas diferenciales. Un punto de partida común es un álgebra diferencial graduada.${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(A)}$con${\displaystyle \Omega ^{0}(A)=A}$y una derivación${\displaystyle d:A\to \Omega ^{1}(A)}$que satisface la regla de Leibniz. Diferentes elecciones de cálculo diferencial pueden conducir a diferentes geometrías en la misma álgebra.

Si${\displaystyle E}$es un derecho${\displaystyle A}$-módulo, una conexión en${\displaystyle E}$En relación con un cálculo diferencial elegido, se trata de una aplicación lineal.

${\displaystyle \nabla :E\to E\otimes _ {A}\Omega ^{1}(A)}$

satisfactorio

${\displaystyle \nabla (ea)=\nabla (e)a+e\otimes da}$

para${\displaystyle e\in E}$y${\displaystyle a\in A}$. La curvatura de dicha conexión se obtiene extendiendo${\displaystyle \nabla }$a formas de grado superior y tomando${\displaystyle \nabla ^{2}}$. Cuando${\displaystyle E}$es un módulo proyectivo finitamente generado, que desempeña el papel de módulo de secciones de un fibrado vectorial.

En el contexto de las ternas espectrales, a menudo se utilizan formas diferenciales de orden 1 generadas por sumas finitas de operadores.${\displaystyle a[D,b]}$Las conexiones en los módulos dan lugar a análogos no conmutativos de potenciales de gauge. En contextos más restrictivos, también se pueden estudiar conexiones hermíticas, torsión, compatibilidad métrica y análogos de las conexiones de Levi-Civita, pero no existe una única definición universal que abarque todos los enfoques de la geometría no conmutativa.

Una conexión de Connes es una conexión en este sentido general no conmutativo, introducida en la obra de Connes y posteriormente desarrollada en formas relacionadas por Joachim Cuntz y Daniel Quillen . ^{[ 7 ]} La definición precisa depende del cálculo diferencial o del marco homológico que se utilice.

En geometría algebraica, la categoría de esquemas afines es dual a la categoría de anillos conmutativos. Un análogo no conmutativo básico consiste en considerar los anillos asociativos unitarios como anillos de coordenadas de espacios afines no conmutativos. A diferencia del caso conmutativo, no existe una categoría universalmente aceptada para todos los esquemas no conmutativos, y coexisten varios marcos conceptuales.

Una construcción influyente es la geometría proyectiva no conmutativa. Si${\displaystyle A}$es un álgebra graduada, la categoría cociente${\displaystyle \operatorname {qgr} A}$, obtenido a partir de módulos graduados factorizando una subcategoría adecuada de módulos de torsión, se trata como un análogo de la categoría de haces coherentes en${\displaystyle \operatorname {Proyecto} A}$Este enfoque, desarrollado por Michael Artin y James J. Zhang , extiende características de la geometría proyectiva a álgebras graduadas no conmutativas bajo hipótesis como la noetherianidad y la regularidad. ^{[ 8 ]}

Muchos teoremas conocidos tienen análogos en este contexto. Por ejemplo, se han demostrado formas de dualidad de Serre para esquemas proyectivos no conmutativos que satisfacen condiciones de finitud adecuadas. ^{[ 9 ]} Otros enfoques, incluidos los de Alexander Rosenberg y Freddy Van Oystaeyen y colaboradores, utilizan la teoría de la localización, categorías de haces cuasicoherentes e ideas topológicas de Grothendieck para formular esquemas no conmutativos. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Un objetivo fundamental de la geometría no conmutativa es extender los invariantes topológicos y geométricos de los espacios ordinarios a las álgebras no conmutativas. La teoría K de operadores y la K-homología proporcionan análogos de los haces vectoriales y los operadores elípticos. La homología cíclica y la cohomología cíclica proporcionan análogos no conmutativos de la homología y la cohomología de De Rham. El carácter de Chern conecta estas teorías y permite emparejamientos que producen invariantes numéricos.

Connes introdujo la cohomología cíclica como herramienta para la teoría de índices en álgebras no conmutativas. En el contexto de las ternas espectrales, los cociclos cíclicos representan clases características, y su combinación con la teoría K generaliza la relación entre la cohomología y los fibrados vectoriales en variedades. El cociclo de Jaffe-Lesniewski-Osterwalder, o cociclo JLO , proporciona un carácter de Chern para ciertos módulos de Fredholm y ternas espectrales.

La teoría de índices no conmutativos extiende resultados clásicos como el teorema de índices de Atiyah-Singer. La fórmula de índices locales de Connes y Moscovici proporciona una manera de calcular emparejamientos de índices para triples espectrales adecuados utilizando expresiones locales en cohomología cíclica. ^{[ 12 ]}

• El toro no conmutativo se genera mediante elementos unitarios.${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$satisfactorio${\displaystyle VU=e^{2\pi i\theta }UV}$Es una deformación del álgebra de funciones en el toro ordinario y se ha estudiado mediante métodos algebraicos C*, módulos proyectivos, equivalencia de Morita y teoría de Yang-Mills. ^{[ 13 ]}
• En la cuantización por deformación , el álgebra conmutativa de funciones en una variedad de Poisson se reemplaza por un producto no conmutativo que depende de un parámetro formal. El producto de Moyal es el ejemplo estándar para el espacio de fases plano, y Kontsevich demostró un teorema de formalidad general para la cuantización por deformación de variedades de Poisson de dimensión finita. ^{[ 14 ]}
• Las C*-álgebras asociadas con foliaciones codifican información geométrica transversal cuando el espacio de hojas ordinario es singular o no es de Hausdorff. ^{[ 15 ]}
• Los productos cruzados que surgen de sistemas dinámicos , incluidas acciones relacionadas con la teoría de números, como el mapa de Gauss sobre fracciones continuas, proporcionan ejemplos donde los espacios de órbitas se estudian mediante álgebras no conmutativas.
• La esfera difusa reemplaza el álgebra de funciones en la esfera bidimensional por álgebras matriciales de dimensión finita y se utiliza como una aproximación de modo finito a modelos geométricos y de teoría de campos. ^{[ 16 ]}
• Los modelos de espaciotiempo cuántico reemplazan las funciones de coordenadas conmutativas por operadores no conmutativos. Un ejemplo es el modelo de Doplicher-Fredenhagen-Roberts, motivado por la combinación de la incertidumbre cuántico-mecánica con consideraciones gravitacionales. ^{[ 17 ]}
• Las álgebras de matrices de dimensión finita y las ternas espectrales finitas proporcionan espacios no conmutativos simples. Aparecen tanto como ejemplos en la teoría como ingredientes en geometrías casi conmutativas.

La geometría no conmutativa se utiliza en varias áreas de la física matemática. En mecánica cuántica, las observables de posición y momento no conmutativas motivan la sustitución de las funciones clásicas del espacio de fases por álgebras no conmutativas de operadores o por álgebras de producto estrella. En teoría de la materia condensada, la geometría no conmutativa se ha aplicado al efecto Hall cuántico entero y a medios aperiódicos, donde las C*-álgebras no conmutativas pueden codificar datos de desorden, traslaciones magnéticas y etiquetado de brechas. ^{[ 18 ]}

En la teoría de altas energías, los espacios no conmutativos han aparecido en modelos matriciales y en algunos límites de la teoría de cuerdas. ^{[ 19 ]} El programa de acción espectral estudia lagrangianos físicos asociados con triples espectrales, incluyendo geometrías casi conmutativas relacionadas con el Modelo Estándar de la física de partículas. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Estos usos son temas de investigación activos y no implican que la geometría no conmutativa sea el único marco matemático para los problemas físicos correspondientes.

La esfera difusa también se ha utilizado como una regularización de dimensión finita en estudios numéricos y teóricos, incluyendo trabajos recientes sobre teoría de campos conformes y fenómenos críticos. ^{[ 22 ]}

• Teoría K algebraica
• Conmutatividad
• Homología cíclica
• Cuantización de la deformación
• Módulo de Fredholm
• Esfera difusa
• Álgebra C* de grupoide
• K-homología
• Conexión con Koszul
• Equivalencia de Morita
• Producto Moyal
• Geometría algebraica no conmutativa
• toro no conmutativo
• Topología no conmutativa
• Formulación del espacio de fases
• Álgebra cuasi-libre
• Principio de acción espectral
• triplete espectral

• Consani, Caterina ; Connes, Alain , eds. (2011). Geometría no conmutativa, aritmética y temas relacionados . Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0352-6.
• Ginzburg, Victor (2005). "Lectures on Noncommutative Geometry". arXiv : math/0506603 .
• Khalkhali, Masoud (2004). "Geometría no conmutativa muy básica". arXiv : math/0408416 .
• Marcolli, Matilde (2004). "Lectures on Arithmetic Noncommutative Geometry". arXiv : math/0409520 .
• Masson, Thierry (2006). "Una introducción informal a las ideas y conceptos de la geometría no conmutativa". arXiv : math-ph/0612012 .

• Conexión en geometría no conmutativa en el nLab
• Teorías de la geometría no conmutativa en MathOverflow
• Geometría no conmutativa en arXiv
• Geometría no conmutativa y física de partículas