politopo regular

Ludwig Schläfli desarrolló en el siglo XIX una representación simbólica concisa para politopos regulares, y una forma ligeramente modificada se ha convertido en estándar. ^{[ 2 ]} La notación se explica mejor añadiendo una dimensión a la vez. ^{[ 3 ]}

• Un polígono regular convexo que tiene${\displaystyle n}$Los lados se denotan por${\displaystyle \{n\}}$. Entonces, un triángulo equilátero es${\displaystyle \{3\}}$, un cuadrado es${\displaystyle \{4\}}$, y así sucesivamente, indefinidamente. ^{[ 3 ]} Un regular${\displaystyle n}$Polígono estrellado de lados que serpentea${\displaystyle m}$El número de veces alrededor de su centro se denota por el valor fraccionario { n / m }, donde n y m son coprimos , por lo que un pentagrama regular es {5/2}.
• Un poliedro regular con caras${\displaystyle \{n\}}$con${\displaystyle p}$Las caras que se unen alrededor de un vértice se denotan por${\displaystyle \{n,p\}}$Los nueve poliedros regulares son los cinco sólidos platónicos : tetraedro${\displaystyle \{3,3\}}$octaedro​${\displaystyle \{3,4\}}$, cubo${\displaystyle \{4,3\}}$icosaedro​${\displaystyle \{3,5\}}$, dodecaedro${\displaystyle \{5,3\}}$— ^{[ 4 ]} y los cuatro poliedros estrellados — gran icosaedro${\textstyle \left\{3,5/2\right\}}$, gran dodecaedro estrellado${\textstyle \left\{5/2,3\right\}}$, gran dodecaedro${\textstyle \left\{5,5/2\right\}}$, pequeño dodecaedro estrellado${\textstyle \left\{5/2,5\right\}}$. ^{[ 5 ]} Esta notación se puede utilizar en teselaciones regulares, como en teselaciones triangulares${\displaystyle \{3,6\}}$, teselado hexagonal${\displaystyle \{6,3\}}$y teselado cuadrado${\displaystyle \{4,4\}}$.${\displaystyle \{p\}}$es la figura del vértice del poliedro.
• Un 4-politopo regular con celdas { n , p } y q celdas unidas alrededor de una arista se denota por { n , p , q }. La figura de vértice del 4-politopo es { p , q }.
• Un 5-politopo regular se denota por { n , p , q , r }, y así sucesivamente.

El dual de un politopo regular también es un politopo regular. El símbolo de Schläfli para el politopo dual es simplemente el símbolo original escrito al revés: {3, 3} es autodual, {3, 4} es dual de {4, 3}, {4, 3, 3} de {3, 3, 4}, y así sucesivamente.

La figura del vértice de un politopo regular es el dual de la faceta del politopo dual . Por ejemplo, la figura del vértice de {3, 3, 4} es {3, 4}, cuyo dual es {4, 3} , una celda de {4, 3, 3}.

Los politopos de medida y de cruz en cualquier dimensión son duales entre sí.

Si el símbolo de Schläfli es palíndromo (es decir, se lee igual de adelante hacia atrás que de atrás hacia adelante), entonces el politopo es autodual. Los politopos regulares autoduales son:

• Todos los polígonos regulares - {a}.
• Todos los n - símplexes regulares - {3,3,...,3}.
• La celda regular de 24 celdas - {3,4,3} - en 4  dimensiones.
• El gran 120-celda - {5,5/2,5} - y el gran 120-celda estrellado - {5/2,5,5/2} - en 4  dimensiones.
• Todos los panales hipercúbicos regulares de n dimensiones - {4,3,...,3,4}. Estos pueden ser tratados como politopos infinitos .
• Teselaciones hiperbólicas y panales de abeja (teselaciones {p,p} con p>4 en 2 dimensiones; {4,4,4} , {5,3,5} , {3,5,3} , {6,3,6} y {3,6,3} en 3 dimensiones; {5,3,3,5} en 4 dimensiones; y {3,3,4,3,3} en 5 dimensiones).

De 1-símplex a 4-símplex

segmento de línea

Triángulo

Tetraedro

Pentacorón

El simplex es una generalización de la noción de triángulo o tetraedro a dimensiones arbitrarias . El simplex recibe este nombre porque representa el politopo más simple posible en cualquier dimensión dada. Por ejemplo, ^{[ 6 ]}

• un simplex de dimensión 0 : punto
• un simplex unidimensional : segmento de línea , obtenido al conectar otro punto a una distancia
• Un simplex bidimensional es un triángulo , obtenido al conectar dos puntos con otro punto.
• un simplex tridimensional es un tetraedro , obtenido al conectar tres puntos a otro punto, nuevamente, y
• Un simplex de 4 dimensiones es un sistema de 5 celdas .

Este proceso se repite utilizando nuevos puntos para formar símplices de dimensiones superiores.

De 2 cubos a 4 cubos

Cuadrado

Cubo

Teseracto

Estos son los politopos de medida o hipercubos . Sus nombres son, en orden de dimensión: ^{[ 7 ]}

0. Punto

1. Segmento de línea

2. Cuadrado (tetrágono regular)

3. Cubo (hexaedro regular)

4. Teseracto (octacoro regular) o cubo de 4 lados

5. Penteract (decaterón regular) o 5 cubos

... Un n -cubo tiene 2 ⁿ vértices.

El proceso de creación de cada hipercubo se puede visualizar en un gráfico: Se parte de un punto A. Se traza una línea hasta el punto B a una distancia r , y se unen para formar un segmento de línea. Se traza una segunda línea de longitud r , ortogonal a AB , desde B hasta C , y de igual manera desde A hasta D , para formar un cuadrado ABCD . Se trazan líneas de longitud r respectivamente desde cada esquina, ortogonales tanto a AB como a BC (es decir, hacia arriba). Se marcan nuevos puntos E , F , G , H para formar el cubo ABCDEFGH . Este proceso se repite utilizando nuevas líneas para formar hipercubos de dimensiones superiores.

De 2-ortoplex a 4-ortoplex.

Cuadrado

Octaedro

16 celdas

Estos son los politopos cruzados u ortoplexos . Sus nombres son, en orden de dimensionalidad: ^{[ 8 ]}

0. Punto

1. Segmento de línea

2. Cuadrado (tetrágono regular)

3. Octaedro regular

4. Hexadecacorón regular ( 16 células ) o 4-ortoplexo

5. Triacontakaideron regular ( pentacross ) o 5-ortoplexo

... Un n -ortoplex tiene 2n vértices.

El proceso de creación de cada ortoplex se puede visualizar en un gráfico: Se comienza con un punto O. Se extiende una línea en direcciones opuestas hasta los puntos A y B , a una distancia r de O y separadas por 2r . Se traza una línea COD de longitud 2r , centrada en O y ortogonal a AB . Se unen los extremos para formar un cuadrado ACBD . Se traza una línea EOF de la misma longitud, centrada en O, ortogonal a AB y CD (es decir, hacia arriba y hacia abajo). Se unen los extremos al cuadrado para formar un octaedro regular . Este proceso se repite utilizando nuevas líneas para formar ortoplexes de dimensiones superiores.

Los politopos regulares se pueden clasificar por su grupo de isometría . Estos son grupos de Coxeter finitos , pero no todo grupo de Coxeter finito puede realizarse como el grupo de isometría de un politopo regular. Los politopos regulares están en biyección con grupos de Coxeter con diagrama de Coxeter-Dynkin lineal (sin punto de ramificación) y una numeración creciente de los nodos. Invirtiendo la numeración se obtiene el politopo dual .

La clasificación de los grupos finitos de Coxeter, que se remonta a Coxeter (1935) , implica por lo tanto la clasificación de los politopos regulares: ^{[ 9 ]}

• Tipo${\displaystyle A_{n}}$, el grupo simétrico, da el simplex regular ,
• Tipo${\displaystyle B_{n}}$, proporciona el politopo de medida y el politopo cruzado (ambos se pueden distinguir por la numeración creciente de los nodos del diagrama de Coxeter-Dynkin),
• Tipos excepcionales${\displaystyle I_{2}(n)}$dar los polígonos regulares (con${\displaystyle n=3,4,...}$),
• Tipo excepcional${\displaystyle H_{3}}$da el dodecaedro regular y el icosaedro (de nuevo la numeración permite distinguirlos),
• Tipo excepcional${\displaystyle H_{4}}$da la de 120 celdas y la de 600 celdas ,
• Tipo excepcional${\displaystyle F_{4}}$da como resultado la celda de 24 celdas , que es autodual.

La biyección entre politopos regulares y grupos de Coxeter con diagrama de Coxeter-Dynkin lineal se puede entender de la siguiente manera. Consideremos un politopo regular${\displaystyle P}$de dimensión${\displaystyle n}$y tomar su subdivisión baricéntrica . El dominio fundamental de la acción del grupo de isometría en${\displaystyle P}$está dado por cualquier simplex${\displaystyle \Delta }$en la subdivisión baricéntrica. El simplex${\displaystyle \Delta }$tiene${\displaystyle n+1}$vértices que pueden numerarse del 0 al${\displaystyle n}$por la dimensión de la cara correspondiente de${\displaystyle P}$(la cara de la que son el baricentro). El grupo de isometría de${\displaystyle P}$es generado por el${\displaystyle n}$reflexiones alrededor de los hiperplanos de${\displaystyle \Delta }$que contiene el número de vértice${\displaystyle n}$(ya que el baricentro de todo el politopo${\displaystyle P}$está fijado por cualquier isometría). Estos${\displaystyle n}$Los hiperplanos se pueden numerar por el vértice de${\displaystyle \Delta }$no contienen. Lo que queda por comprobar es que dos hiperplanos cualesquiera con números adyacentes no pueden ser ortogonales, mientras que los hiperplanos con números no adyacentes sí lo son. Esto se puede hacer mediante inducción (ya que todas las facetas de${\displaystyle P}$son nuevamente politopos regulares). Por lo tanto, el diagrama de Coxeter-Dynkin del grupo de isometría de${\displaystyle P}$tiene${\displaystyle n}$vértices numerados del 0 al${\displaystyle n-1}$de tal manera que los números adyacentes estén conectados por al menos una arista y los números no adyacentes no estén conectados.

El primer tratamiento matemático que se conserva de polígonos regulares y poliedros proviene de matemáticos griegos antiguos . Ellos conocían los cinco sólidos platónicos . Pitágoras conocía al menos tres de ellos, y Teeteto (c. 417 a. C. – 369 a. C.) describió los cinco. ^{[ 10 ]} Posteriormente, Euclides escribió un estudio sistemático de matemáticas, publicado bajo el título de Elementos , que desarrolló una teoría lógica de la geometría y la teoría de números . Su obra concluyó con descripciones matemáticas de los cinco sólidos platónicos inscritos en una esfera y compara las razones de sus aristas con el radio de la esfera. ^{[ 11 ]}

La comprensión de los sólidos permaneció estática durante muchos siglos después de Euclides. La historia posterior de los politopos regulares puede caracterizarse por una ampliación gradual del concepto básico, permitiendo considerar cada vez más objetos entre ellos. Thomas Bradwardine (Bradwardinus) fue el primero en registrar un estudio serio de polígonos estrellados . Varios poliedros estrellados aparecen en el arte renacentista, pero no fue hasta que Johannes Kepler estudió el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado en 1619 que se dio cuenta de que estos dos poliedros eran regulares. ^{[ 12 ]} Louis Poinsot descubrió el gran dodecaedro y el gran icosaedro en 1809, y Augustin Cauchy demostró que la lista era completa en 1812. ^{[ 13 ]} Estos poliedros se conocen colectivamente como los poliedros de Kepler-Poinsot .

No fue hasta el siglo XIX que un matemático suizo, Ludwig Schläfli , examinó y caracterizó los politopos regulares en dimensiones superiores. Sus esfuerzos se publicaron por primera vez en su totalidad en Schläfli (1901) , seis años después de su muerte, aunque partes de él se publicaron en Schläfli (1855) y Schläfli (1858) harvtxt error: no target: CITEREFSchläfli1858 ( help ) . ^{[ 14 ]} Entre 1880 y 1900, los resultados de Schläfli fueron redescubiertos independientemente por al menos otros nueve matemáticos. ^{[ 15 ]} Schläfli llamó a dicha figura "polisquema" (en inglés, "polischeme" o "polischema"). ^{[ 16 ]} El término «politopo» fue introducido por Reinhold Hoppe , uno de los redescubridores de Schläfli, en 1882, y utilizado por primera vez en inglés por Alicia Boole Stott unos veinte años después. El término «poliedros» también se utilizó en literatura anterior. ^{[ 17 ]}

Coxeter (1973) es probablemente el tratamiento impreso más completo de los resultados de Schläfli y similares hasta la fecha. Schläfli demostró que hay seis politopos convexos regulares en 4 dimensiones . Cinco de ellos pueden considerarse análogos a los sólidos platónicos: el 4-símplex (o pentacorón) al tetraedro , el 4-hipercubo (o 8-celda o teseracto ) al cubo , el 4-ortoplexo (o hexadecacorón o 16-celda ) al octaedro , el 120-celda al dodecaedro y el 600-celda al icosaedro . La sexta, la de 24 celdas , puede considerarse una forma de transición entre el hipercubo de 4 celdas y la de 16 celdas, de forma análoga a como el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico son formas de transición entre el cubo y el octaedro.

También son de interés los 4-politopos regulares estrellados , descubiertos parcialmente por Schläfli. A finales del siglo XIX, matemáticos como Arthur Cayley y Ludwig Schläfli habían desarrollado la teoría de los politopos regulares en cuatro y más dimensiones, como el teseracto y la 24-celda .

Estas últimas son difíciles (aunque no imposibles) de visualizar mediante un proceso de analogía dimensional , ya que conservan la simetría familiar de sus análogos de menor dimensión. El teseracto contiene 8 celdas cúbicas. Consta de dos cubos en hiperplanos paralelos con vértices correspondientes conectados transversalmente de tal manera que las 8 aristas transversales tienen la misma longitud y son ortogonales a las 12+12 aristas situadas en cada cubo. Las caras correspondientes de los dos cubos se conectan para formar las 6 caras cúbicas restantes del teseracto. La 24-celda se puede derivar del teseracto uniendo los 8 vértices de cada una de sus caras cúbicas a un vértice adicional para formar el análogo tetradimensional de una pirámide. Ambas figuras, así como otras figuras tetradimensionales, se pueden visualizar y representar directamente mediante estereografías tetradimensionales. ^{[ 18 ]}

Resultan aún más difíciles de imaginar los politopos regulares abstractos más modernos , como el politopo de 57 celdas o el de 11 celdas . Sin embargo, desde el punto de vista matemático, estos objetos poseen las mismas cualidades estéticas que sus parientes bidimensionales y tridimensionales más conocidos.

En cinco o más dimensiones, existen exactamente tres politopos regulares finitos, que corresponden al tetraedro, el cubo y el octaedro: los símplices regulares , los politopos de medida y los politopos cruzados . Sus descripciones se pueden encontrar en la lista de politopos regulares .

A principios del siglo XX, la definición de un politopo regular era la siguiente.

• Un polígono regular es un polígono cuyos lados son todos iguales y cuyos ángulos son todos iguales.
• Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruentes, y cuyos vértices son todos congruentes y regulares.
• Y así sucesivamente, un n- politopo regular es un politopo n- dimensional cuyas caras ( n - 1)-dimensionales son todas regulares y congruentes, y cuyas figuras de vértice son todas regulares y congruentes.

Esta es una definición recursiva. Define la regularidad de figuras de dimensiones superiores en términos de figuras regulares de dimensiones inferiores. Existe una definición equivalente (no recursiva) que establece que un politopo es regular si posee un grado suficiente de simetría.

• Un n -politopo es regular si cualquier conjunto formado por un vértice, una arista que lo contiene, una cara bidimensional que contiene la arista, y así sucesivamente hasta n − 1 dimensiones, puede mapearse a cualquier otro conjunto de este tipo mediante una simetría del politopo.

Por ejemplo, el cubo es regular porque si elegimos un vértice del cubo, una de las tres aristas sobre las que se encuentra y una de las dos caras que contienen dicha arista, entonces esta terna, conocida como bandera (vértice, arista, cara), puede mapearse a cualquier otra bandera similar mediante una simetría adecuada del cubo. De esta manera, podemos definir un politopo regular de forma muy concisa:

• Un politopo regular es aquel cuyo grupo de simetría es transitivo en sus banderas.

En el siglo XX se produjeron importantes avances. Los grupos de simetría de los politopos regulares clásicos se generalizaron en lo que hoy se conoce como grupos de Coxeter . Los grupos de Coxeter también incluyen los grupos de simetría de las teselaciones regulares del espacio o del plano. Por ejemplo, el grupo de simetría de un tablero de ajedrez infinito sería el grupo de Coxeter [4,4].

En la primera parte del siglo XX, Coxeter y Petrie descubrieron tres estructuras infinitas: {4, 6}, {6, 4} y {6, 6}. Las denominaron poliedros sesgados regulares, ya que parecían cumplir la definición de un poliedro regular : todos los vértices, aristas y caras son iguales, todos los ángulos son iguales y la figura no tiene aristas libres. Actualmente, se las conoce como poliedros infinitos o apeiroedros. Los recubrimientos regulares del plano {4, 4} , {3, 6} y {6, 3} también pueden considerarse poliedros infinitos.

En la década de 1960, Branko Grünbaum hizo un llamado a la comunidad geométrica para que considerara tipos más abstractos de politopos regulares, a los que denominó poliestromas . Desarrolló la teoría de los poliestromas, mostrando ejemplos de nuevos objetos que llamó apeirotopos regulares , es decir, politopos regulares con infinitas caras. Un ejemplo sencillo de apeirogono sesgado sería un zigzag. Parece cumplir con la definición de un polígono regular : todos los lados tienen la misma longitud, todos los ángulos son iguales y la figura no tiene extremos sueltos (porque nunca se pueden alcanzar). Quizás más importante aún, existen simetrías en el zigzag que pueden mapear cualquier par de vértice y arista adjunta a cualquier otro. Desde entonces, se han seguido descubriendo otros apeirogonos regulares y apeirotopos de orden superior.

Un número complejo es un número que consta de números reales y números imaginarios.${\displaystyle i^{2}=-1}$, la raíz cuadrada de menos uno. Un espacio de Hilbert complejo tiene sus coordenadas x, y, z, etc. como números complejos. Esto duplica efectivamente el número de dimensiones. Un politopo construido en un espacio unitario de este tipo se denomina politopo complejo . ^{[ 19 ]}

Grünbaum también descubrió el 11-celda , un objeto autodual de cuatro dimensiones cuyas facetas no son icosaedros, sino "hemi-icosaedros" ; es decir, son la forma que se obtiene si se consideran las caras opuestas de los icosaedros como si fueran la misma cara. ^{[ 20 ]} El hemi-icosaedro tiene solo 10 caras triangulares y 6 vértices, a diferencia del icosaedro, que tiene 20 y 12.

Este concepto puede resultar más fácil de comprender para el lector si se considera la relación entre el cubo y el hemicubo. Un cubo ordinario tiene 8 vértices, que se pueden etiquetar de la A a la H, con A frente a H, B frente a G, y así sucesivamente. En un hemicubo, A y H se tratarían como el mismo vértice. Lo mismo ocurriría con B y G, y así sucesivamente. La arista AB se convertiría en la misma arista que GH, y la cara ABEF en la misma cara que CDGH. La nueva figura tiene solo tres caras, 6 aristas y 4 vértices.

La celda 11 no se puede formar con geometría regular en el hiperespacio plano (euclidiano), sino solo en el hiperespacio de curvatura positiva (elíptico).

Pocos años después del descubrimiento de Grünbaum de la 11-celularidad , HSM Coxeter descubrió de forma independiente la misma forma. Anteriormente había descubierto un politopo similar, la 57-celularidad . ^{[ 21 ]}

En 1994, Grünbaum consideraba los politopos de forma abstracta como conjuntos combinatorios de puntos o vértices, sin preocuparse por la planaridad de sus caras. A medida que él y otros refinaron estas ideas, dichos conjuntos pasaron a denominarse politopos abstractos . Un politopo abstracto se define como un conjunto parcialmente ordenado (poset), cuyos elementos son las caras del politopo (vértices, aristas, caras, etc.) ordenadas por contención . Se imponen ciertas restricciones al conjunto, similares a las propiedades que satisfacen los politopos regulares clásicos (incluidos los sólidos platónicos). Sin embargo, las restricciones son lo suficientemente flexibles como para que las teselaciones regulares, los hemicubos e incluso objetos tan extraños como la celda de 11 elementos, sean ejemplos de politopos regulares.

Se entiende que un politopo geométrico es una realización del politopo abstracto, de modo que existe una correspondencia biunívoca entre los elementos abstractos y las caras correspondientes de la realización geométrica. Por lo tanto, cualquier politopo geométrico puede describirse mediante el conjunto parcialmente ordenado abstracto apropiado, aunque no todos los politopos abstractos tienen realizaciones geométricas propias.

La teoría se ha desarrollado aún más desde entonces, principalmente por McMullen y Schulte (2002) , pero otros investigadores también han hecho contribuciones. ^{[ 22 ]}

La forma tradicional de construir un polígono regular, o cualquier otra figura en el plano, es con regla y compás . Construir algunos polígonos regulares de esta manera es muy sencillo (el más fácil es quizás el triángulo equilátero), otros son más complejos y algunos son imposibles ("no se pueden construir"). Los pocos polígonos regulares más simples que son imposibles de construir son los polígonos de n lados con n igual a 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21,...

En este sentido, la constructibilidad se refiere únicamente a construcciones ideales con herramientas ideales. Por supuesto, se pueden construir aproximaciones razonablemente precisas mediante diversos métodos; si bien las construcciones teóricamente posibles pueden resultar poco prácticas.

Los Elementos de Euclides proporcionaron construcciones, en esencia, con regla y compás para los cinco sólidos platónicos. ^{[ 23 ]} Sin embargo, la mera cuestión práctica de cómo trazar una línea recta en el espacio, incluso con una regla, podría llevarnos a preguntarnos qué significa exactamente "construir" un poliedro regular. (Claro que podríamos hacernos la misma pregunta sobre los polígonos).

La palabra inglesa "construct" (construir) tiene la connotación de construir sistemáticamente algo. La forma más común de construir un poliedro regular es mediante un desarrollo plano . Para obtener el desarrollo plano de un poliedro, se toma su superficie y se corta a lo largo de los bordes necesarios para poder extenderla. Esto proporciona un plano para el desarrollo plano del poliedro desplegado. Dado que los sólidos platónicos solo tienen triángulos, cuadrados y pentágonos como caras, y todos ellos se pueden construir con regla y compás, existen métodos con regla y compás para dibujar estos desarrollos planos. Lo mismo se aplica a los poliedros estrellados, aunque en este caso debemos tener cuidado de dibujar el desarrollo plano solo para la superficie exterior visible.

Si esta red se dibuja en cartón o un material plegable similar (por ejemplo, chapa metálica), se puede recortar, doblar por los bordes sin cortar, unir por los bordes cortados correspondientes y así formar el poliedro para el que fue diseñada. Para un poliedro dado, puede haber muchas redes desplegables. Por ejemplo, hay 11 para el cubo y más de 900 000 para el dodecaedro. ^{[ 24 ]}

Numerosos juguetes infantiles, generalmente dirigidos a adolescentes y preadolescentes, permiten experimentar con polígonos regulares y poliedros. Por ejemplo, Klikko ofrece conjuntos de triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos de plástico que se pueden unir de muchas maneras diferentes. Un niño que juegue con uno de estos juguetes podría redescubrir los sólidos platónicos (o los sólidos arquimedianos ), especialmente si recibe un poco de ayuda de un adulto con conocimientos sobre el tema.

En teoría, casi cualquier material puede usarse para construir poliedros regulares. ^{[ 25 ]} Pueden tallarse en madera, modelarse con alambre o formarse con vidrieras. El límite es la imaginación.

En dimensiones superiores, resulta más difícil definir qué se entiende por "construir" objetos. Evidentemente, en un universo tridimensional, es imposible construir un modelo físico de un objeto con cuatro o más dimensiones. Existen diversos enfoques que se suelen emplear para superar este problema.

El primer enfoque, adecuado para cuatro dimensiones, utiliza estereografía de cuatro dimensiones. ^{[ 18 ]} La profundidad en una tercera dimensión se representa con un desplazamiento relativo horizontal, y la profundidad en una cuarta dimensión con un desplazamiento relativo vertical entre las imágenes izquierda y derecha del estereógrafo.

El segundo enfoque consiste en incrustar los objetos de dimensiones superiores en el espacio tridimensional, utilizando métodos análogos a las formas en que se dibujan los objetos tridimensionales en el plano. Por ejemplo, las redes desplegables mencionadas en la sección anterior tienen equivalentes de dimensiones superiores. ^{[ 26 ]} Incluso se podría imaginar la construcción de un modelo de esta red desplegable, como se dibuja la red desplegable de un poliedro en un trozo de papel. Lamentablemente, nunca podríamos realizar el plegado necesario de la estructura tridimensional para obtener el politopo de cuatro dimensiones debido a las limitaciones del universo físico. Otra forma de "dibujar" las formas de dimensiones superiores en tres dimensiones es mediante algún tipo de proyección, por ejemplo, el análogo de la proyección ortográfica o de perspectiva . El famoso libro de Coxeter sobre politopos ( Coxeter 1973 ) tiene algunos ejemplos de tales proyecciones ortográficas. ^{[ 27 ]} Cabe señalar que sumergir incluso policoros de cuatro dimensiones directamente en dos dimensiones es bastante confuso. Resulta más fácil comprender las proyecciones mediante modelos tridimensionales. Estos modelos se encuentran ocasionalmente en museos de ciencia o en departamentos de matemáticas de universidades (como la Université Libre de Bruxelles ).

La intersección de un politopo regular de cuatro dimensiones (o superior) con un hiperplano tridimensional dará como resultado un politopo (no necesariamente regular). Si el hiperplano se desplaza a través de la figura, las secciones tridimensionales se pueden combinar y animar para formar una especie de objeto de cuatro dimensiones, donde la cuarta dimensión es el tiempo. De esta manera, podemos observar (aunque no comprender completamente) la estructura completa de cuatro dimensiones de los politopos regulares de cuatro dimensiones mediante dichas secciones transversales. Esto es análogo a cómo una tomografía computarizada recompone imágenes bidimensionales para formar una representación tridimensional de los órganos escaneados. Lo ideal sería un holograma animado ; sin embargo, incluso una animación simple como la que se muestra ya puede ofrecer una visión limitada de la estructura del politopo.

Otra forma en que un observador tridimensional puede comprender la estructura de un politopo tetradimensional es mediante la inmersión en el objeto, quizás a través de alguna tecnología de realidad virtual . Para entender cómo funciona esto, un observador podría imaginar qué vería si el espacio estuviera lleno de cubos. El observador estaría dentro de uno de los cubos y podría ver cubos a su izquierda y derecha, arriba y abajo, y delante y detrás. Si uno pudiera viajar en estas direcciones, podría explorar la disposición de los cubos y comprender su estructura geométrica. Una disposición infinita de cubos no es un politopo finito; es una teselación del espacio tridimensional ( euclidiano ). Sin embargo, un 4-politopo puede considerarse una teselación de un espacio tridimensional no euclidiano , es decir, una teselación de la superficie de una esfera tetradimensional (un teselado esférico tetradimensional ).

Localmente, este espacio se asemeja al que conocemos, por lo que, en principio, un sistema de realidad virtual podría programarse para permitir la exploración de estas "teselaciones", es decir, de los politopos regulares de cuatro dimensiones. El departamento de matemáticas de la UIUC dispone de varias imágenes que muestran lo que se vería al estar inmerso en una teselación del espacio hiperbólico con dodecaedros. Dicha teselación constituye un ejemplo de politopo regular abstracto infinito.

Normalmente, para los politopos regulares abstractos, un matemático considera que el objeto está "construido" si se conoce la estructura de su grupo de simetría . Esto se debe a un teorema importante en el estudio de los politopos regulares abstractos, que proporciona una técnica que permite construir el politopo regular abstracto a partir de su grupo de simetría de manera estándar y directa.

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