Curva de ancho constante

En geometría , una curva de anchura constante es una curva cerrada simple en el plano cuya anchura (la distancia entre líneas de soporte paralelas ) es la misma en todas las direcciones. La figura delimitada por una curva de anchura constante es un cuerpo de anchura constante u orbiforme , nombre que Leonhard Euler les dio a estas figuras . ^{[ 1 ]} Ejemplos estándar son el círculo y el triángulo de Reuleaux . Estas curvas también pueden construirse utilizando arcos circulares centrados en los puntos de intersección de una disposición de líneas , como las involutas de ciertas curvas, o mediante la intersección de círculos centrados en una curva parcial.

Todo cuerpo de anchura constante es un conjunto convexo , cuyo límite es cruzado como máximo dos veces por cualquier recta, y si la recta lo cruza perpendicularmente, lo hace en ambos puntos, separados por la anchura. Según el teorema de Barbier , el perímetro del cuerpo es exactamente π veces su anchura, pero su área depende de su forma: el triángulo de Reuleaux tiene la menor área posible para su anchura y el círculo la mayor. Todo superconjunto de un cuerpo de anchura constante incluye pares de puntos que están más separados que la anchura, y toda curva de anchura constante incluye al menos seis puntos de curvatura extrema. Aunque el triángulo de Reuleaux no es liso, las curvas de anchura constante siempre pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante curvas lisas de la misma anchura constante.

Los cilindros de sección transversal de ancho constante pueden usarse como rodillos para sostener una superficie nivelada. Otra aplicación de las curvas de ancho constante es en la acuñación de monedas , donde los polígonos regulares de Reuleaux son una opción común. La posibilidad de que otras curvas, además de los círculos, tengan ancho constante complica la comprobación de la redondez de un objeto .

Las curvas de anchura constante se han generalizado de diversas maneras a dimensiones superiores y a geometrías no euclidianas .

El ancho, y el ancho constante, se definen en términos de las líneas de soporte de las curvas; estas son líneas que tocan una curva sin cruzarla. Toda curva compacta en el plano tiene dos líneas de soporte en cualquier dirección dada, con la curva intercalada entre ellas. La distancia euclidiana entre estas dos líneas es el ancho de la curva en esa dirección, y una curva tiene ancho constante si esta distancia es la misma para todas las direcciones de las líneas. El ancho de un conjunto convexo acotado se puede definir de la misma manera que para las curvas, por la distancia entre pares de líneas paralelas que tocan el conjunto sin cruzarlo, y un conjunto convexo es un cuerpo de ancho constante cuando esta distancia es distinta de cero y no depende de la dirección de las líneas. Todo cuerpo de ancho constante tiene una curva de ancho constante como su frontera, y toda curva de ancho constante tiene un cuerpo de ancho constante como su envoltura convexa . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Otra forma equivalente de definir el ancho de una curva compacta o de un conjunto convexo es mediante su proyección ortogonal sobre una línea. En ambos casos, la proyección es un segmento de línea cuya longitud es igual a la distancia entre líneas de soporte perpendiculares a la línea. Por lo tanto, una curva o un conjunto convexo tiene un ancho constante cuando todas sus proyecciones ortogonales tienen la misma longitud. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Los círculos tienen un ancho constante, igual a su diámetro . Por otro lado, los cuadrados no: las líneas de soporte paralelas a dos lados opuestos del cuadrado están más cerca entre sí que las líneas de soporte paralelas a una diagonal. En general, ningún polígono puede tener un ancho constante. Sin embargo, existen otras formas de ancho constante. Un ejemplo clásico es el triángulo de Reuleaux , la intersección de tres círculos, cada uno centrado en el punto de intersección de los otros dos. ^{[ 2 ]} Su curva límite consta de tres arcos de estos círculos, que se unen en ángulos de 120°, por lo que no es suave , y de hecho estos ángulos son los más agudos posibles para cualquier curva de ancho constante. ^{[ 3 ]}

Otras curvas de ancho constante pueden ser suaves pero no circulares, sin siquiera tener arcos circulares en su límite. Por ejemplo, el conjunto cero del polinomio que se muestra a continuación forma una curva algebraica suave no circular de ancho constante: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)={}&(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}\\&+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}\\&+x(x^{2}-3y^{2})\left(16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382\right)-720^{3}.\end{aligned}}}$$

Su grado , ocho, es el grado mínimo posible para un polinomio que define una curva no circular de ancho constante. ^{[ 5 ]}

Todo polígono regular con un número impar de lados da lugar a una curva de ancho constante, un polígono de Reuleaux , formado por arcos circulares centrados en sus vértices que pasan por los dos vértices más alejados del centro. Por ejemplo, esta construcción genera un triángulo de Reuleaux a partir de un triángulo equilátero. Algunos polígonos irregulares también generan polígonos de Reuleaux. ^{[ 6 ] [ 7 ]} En una construcción estrechamente relacionada, llamada por Martin Gardner el "método de líneas cruzadas", una disposición de líneas en el plano (ninguna paralela pero por lo demás arbitraria) se ordena en orden cíclico por las pendientes de las líneas. Luego, las líneas se conectan por una curva formada por una secuencia de arcos circulares; cada arco conecta dos líneas consecutivas en el orden ordenado y está centrado en su intersección. El radio del primer arco debe elegirse lo suficientemente grande como para que todos los arcos sucesivos terminen en el lado correcto del siguiente punto de intersección; sin embargo, todos los radios suficientemente grandes funcionan. Para dos líneas, esto forma un círculo; Para tres líneas en los lados de un triángulo equilátero, con el radio mínimo posible, se forma un triángulo de Reuleaux, y para las líneas de un polígono estrellado regular se puede formar un polígono de Reuleaux. ^{[ 2 ] [ 6 ]}

Leonhard Euler construyó curvas de ancho constante a partir de involutas de curvas con un número impar de singularidades de cúspide , teniendo solo una línea tangente en cada dirección (es decir, erizos proyectivos ). ^{[ 1 ] [ 8 ]} Una forma intuitiva de describir la construcción de la involuta es hacer rodar un segmento de línea alrededor de dicha curva, manteniéndolo tangente a la curva sin deslizarse a lo largo de ella, hasta que regrese a su punto de tangencia inicial. El segmento de línea debe ser lo suficientemente largo para alcanzar los puntos de cúspide de la curva, de modo que pueda rodar más allá de cada cúspide hacia la siguiente parte de la curva, y su posición inicial debe elegirse cuidadosamente de modo que al final del proceso de rodadura esté en la misma posición desde la que comenzó. Cuando eso sucede, la curva trazada por los puntos extremos del segmento de línea es una involuta que encierra la curva dada sin cruzarla, con un ancho constante igual a la longitud del segmento de línea. ^{[ 9 ]} Si la curva inicial es suave (excepto en las cúspides), la curva resultante de ancho constante también será suave. ^{[ 1 ] [ 8 ]} Un ejemplo de una curva inicial con las propiedades correctas para esta construcción es la curva deltoide , y las involutas del deltoide que la encierran forman curvas suaves de ancho constante, que no contienen ningún arco circular. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Otra construcción elige la mitad de la curva de ancho constante, que cumple ciertos requisitos, y forma a partir de ella un cuerpo de ancho constante que tiene la curva dada como parte de su límite. La construcción comienza con un arco curvo convexo, cuyos puntos extremos son el ancho deseado.${\displaystyle w}$separados. Los dos extremos deben tocar líneas de soporte paralelas a distancia${\displaystyle w}$entre sí. Además, cada línea de soporte que toca otro punto del arco debe ser tangente en ese punto a un círculo de radio${\displaystyle w}$que contiene todo el arco; este requisito impide que la curvatura del arco sea menor que la del círculo. El cuerpo completo de ancho constante es entonces la intersección de los interiores de una familia infinita de círculos, de dos tipos: los tangentes a las líneas de soporte y más círculos del mismo radio centrados en cada punto del arco dado. Esta construcción es universal: todas las curvas de ancho constante pueden construirse de esta manera. ^{[ 3 ]} Victor Puiseux , un matemático francés del siglo XIX, encontró curvas de ancho constante que contienen arcos elípticos ^{[ 12 ]} que pueden construirse de esta manera a partir de una semielipse . Para cumplir la condición de curvatura, la semielipse debe estar delimitada por el semieje mayor de su elipse, y la elipse debe tener una excentricidad como máximo${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$. De forma equivalente, el semieje mayor debe ser como máximo el doble del semieje menor. ^{[ 6 ]}

Dados dos cuerpos cualesquiera de anchura constante, su suma de Minkowski forma otro cuerpo de anchura constante. ^{[ 13 ]} Una generalización de las sumas de Minkowski a las sumas de funciones de soporte de erizos produce una curva de anchura constante a partir de la suma de un erizo proyectivo y un círculo, siempre que el resultado sea una curva convexa. Todas las curvas de anchura constante pueden descomponerse en una suma de erizos de esta manera. ^{[ 14 ]}

Una curva de ancho constante puede rotar entre dos líneas paralelas separadas por su ancho, tocando siempre dichas líneas, que actúan como líneas de soporte para la curva rotada. De igual modo, una curva de ancho constante puede rotar dentro de un rombo o un cuadrado, cuyos pares de lados opuestos están separados por el ancho y se encuentran sobre líneas de soporte paralelas. ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 3 ]} No toda curva de ancho constante puede rotar dentro de un hexágono regular de la misma manera, ya que sus líneas de soporte pueden formar diferentes hexágonos irregulares para diferentes rotaciones en lugar de formar siempre uno regular. Sin embargo, toda curva de ancho constante puede ser encerrada por al menos un hexágono regular con lados opuestos sobre líneas de soporte paralelas. ^{[ 15 ]}

Una curva tiene anchura constante si y solo si, para cada par de líneas de soporte paralelas, las toca en puntos cuya distancia es igual a la separación entre ellas. En particular, esto implica que solo puede tocar cada línea de soporte en un único punto. De forma equivalente, cada línea que cruza la curva perpendicularmente la cruza en exactamente dos puntos cuya distancia es igual a la anchura. Por lo tanto, una curva de anchura constante debe ser convexa, ya que toda curva cerrada simple no convexa tiene una línea de soporte que la toca en dos o más puntos. ^{[ 3 ] [ 8 ]} Las curvas de anchura constante son ejemplos de curvas autoparalelas o autoparalelas, curvas trazadas por ambos extremos de un segmento de línea que se mueve de tal manera que ambos extremos se mueven perpendicularmente al segmento de línea. Sin embargo, existen otras curvas autoparalelas, como la espiral infinita formada por la evolvente de un círculo, que no tienen anchura constante. ^{[ 16 ]}

El teorema de Barbier afirma que el perímetro de cualquier curva de ancho constante es igual al ancho multiplicado por${\displaystyle \pi }$Como caso especial, esta fórmula coincide con la fórmula estándar.${\displaystyle \pi d}$para el perímetro de un círculo dado su diámetro. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Por la desigualdad isoperimétrica y el teorema de Barbier, el círculo tiene el área máxima de cualquier curva de ancho constante dado. El teorema de Blaschke-Lebesgue dice que el triángulo de Reuleaux tiene el área mínima de cualquier curva convexa de ancho constante dado. ^{[ 19 ]} Todo superconjunto propio de un cuerpo de ancho constante tiene un diámetro estrictamente mayor, y todo conjunto euclidiano con esta propiedad es un cuerpo de ancho constante. En particular, no es posible que un cuerpo de ancho constante sea un subconjunto de otro cuerpo con el mismo ancho constante. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Toda curva de ancho constante puede aproximarse arbitrariamente cerca por una curva circular a trozos o por una curva analítica del mismo ancho constante. ^{[ 22 ]}

Las áreas delimitadas por una curva de ancho constante y por su cáustica de Wigner (el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas que unen pares de puntos en la curva con líneas tangentes paralelas) están relacionadas por ^{[ 23 ].}$${\displaystyle A={\frac {\pi w^{2}}{4}}-2\left|A^{*}(W)\right|.}$$

Un vértice de una curva suave es un punto donde su curvatura es un máximo o mínimo local; para un arco circular, todos los puntos son vértices, pero las curvas no circulares pueden tener un conjunto discreto finito de vértices. Para una curva que no es suave, los puntos donde no es suave también pueden considerarse vértices, de curvatura infinita. Para una curva de ancho constante, cada vértice de curvatura localmente mínima se empareja con un vértice de curvatura localmente máxima, opuesto a él en un diámetro de la curva, y debe haber al menos seis vértices. Esto contrasta con el teorema de los cuatro vértices , según el cual toda curva suave cerrada simple en el plano tiene al menos cuatro vértices. Algunas curvas, como las elipses, tienen exactamente cuatro vértices, pero esto no es posible para una curva de ancho constante. ^{[ 14 ] [ 24 ]} Debido a que los mínimos locales de curvatura son opuestos a los máximos locales de curvatura, las únicas curvas de ancho constante con simetría central son los círculos, para los cuales la curvatura es la misma en todos los puntos. ^{[ 13 ]} Para cada curva de ancho constante, el círculo mínimo que la encierra y el círculo más grande que contiene son concéntricos, y el promedio de sus diámetros es el ancho de la curva. Estos dos círculos juntos tocan la curva en al menos tres pares de puntos opuestos, pero estos puntos no son necesariamente vértices. ^{[ 13 ]}

Un cuerpo convexo tiene anchura constante si y solo si la suma de Minkowski del cuerpo y su rotación de 180° es un disco circular; en tal caso, la anchura del cuerpo es el radio del disco. ^{[ 13 ] [ 15 ]}

Debido a la capacidad de las curvas de ancho constante para rodar entre líneas paralelas, cualquier cilindro con una sección transversal curva de ancho constante puede actuar como un "rodillo" , sosteniendo un plano horizontal y manteniéndolo plano mientras rueda sobre cualquier superficie horizontal. Sin embargo, el centro del rodillo se mueve hacia arriba y hacia abajo al rodar, por lo que esta construcción no funcionaría para ruedas de esta forma unidas a ejes fijos. ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 3 ]}

Algunas monedas tienen formas no circulares de ancho constante. Por ejemplo, las monedas británicas de 20p y 50p son heptágonos de Reuleaux, y el loonie canadiense es un 11-gono de Reuleaux. ^{[ 25 ]} Estas formas permiten que las máquinas expendedoras automáticas de monedas reconozcan estas monedas por su ancho, independientemente de la orientación de la moneda en la máquina. ^{[ 2 ] [ 6 ]} Por otro lado, probar el ancho es insuficiente para determinar la redondez de un objeto , porque tales pruebas no pueden distinguir los círculos de otras curvas de ancho constante. ^{[ 2 ] [ 6 ]} Pasar por alto este hecho puede haber influido en el desastre del transbordador espacial Challenger , ya que la redondez de las secciones del cohete en ese lanzamiento se probó solo midiendo los anchos, y las formas no circulares pueden causar tensiones inusualmente altas que podrían haber sido uno de los factores que causaron el desastre. ^{[ 26 ]}

Las curvas de anchura constante pueden generalizarse a ciertas curvas no convexas, aquellas que tienen dos líneas tangentes en cada dirección, con la misma separación entre ellas independientemente de su dirección. Como caso límite, los erizos proyectivos (curvas con una línea tangente en cada dirección) también se han denominado «curvas de anchura cero». ^{[ 27 ]}

Una forma de generalizar estos conceptos a tres dimensiones es mediante las superficies de anchura constante . El análogo tridimensional de un triángulo de Reuleaux, el tetraedro de Reuleaux , no tiene anchura constante, pero pequeñas modificaciones producen los cuerpos de Meissner , que sí la tienen. ^{[ 2 ] [ 13 ]} Las curvas de anchura constante también pueden generalizarse a los cuerpos de brillo constante , formas tridimensionales cuyas proyecciones bidimensionales tienen todas la misma área; estas formas obedecen a una generalización del teorema de Barbier. ^{[ 13 ]} Otra clase de generalizaciones tridimensionales, las curvas espaciales de anchura constante, se definen por las propiedades de que cada plano que cruza la curva perpendicularmente la interseca en exactamente otro punto, donde también es perpendicular, y que todos los pares de puntos intersectados por planos perpendiculares están a la misma distancia. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}

También se han estudiado curvas y cuerpos de ancho constante en geometría no euclidiana ^{[ 32 ]} y para espacios vectoriales normados no euclidianos . ^{[ 20 ]}

• Ancho medio , el ancho de una curva promediado en todas las direcciones posibles.
• Curva de Zindler , una curva en la que todas las cuerdas que bisecan el perímetro tienen la misma longitud.

• Interactive AppletArchived 2015-11-23 at the Wayback Machine by Michael Borcherds showing an irregular shape of constant width (that you can change) made using GeoGebra.
• Weisstein, Eric W."Curve of Constant Width". MathWorld.
• Mould, Steve. "Shapes and Solids of Constant Width". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2016-03-19. Retrieved 2013-11-17.
• Shapes of constant width at cut-the-knot