Superficie de Del Pezzo

En matemáticas , una superficie de Del Pezzo o superficie de Fano es una variedad de Fano bidimensional , es decir, una superficie algebraica proyectiva no singular con una amplia clase de divisores anticanónicos . En cierto sentido, son lo opuesto a las superficies de tipo general , cuya clase canónica es grande.

Reciben su nombre de Pasquale del Pezzo, quien estudió las superficies con la condición más restrictiva de que tengan una clase de divisores anticanónicos muy amplia, o en su lenguaje, las superficies con una incrustación de grado n en un espacio proyectivo n -dimensional ( del Pezzo 1887 ) , que son las superficies de del Pezzo de grado al menos 3.

Una superficie de Del Pezzo es una superficie completa no singular con un haz anticanónico amplio. Existen algunas variaciones de esta definición que se utilizan ocasionalmente. En ocasiones, se permite que las superficies de Del Pezzo tengan singularidades. Originalmente, se asumía que estaban incrustadas en el espacio proyectivo mediante la incrustación anticanónica, lo que restringe el grado a al menos 3.

El grado d de una superficie de del Pezzo X es por definición el número de autointersección ( K , K ) de su clase canónica K .

Cualquier curva en una superficie de del Pezzo tiene un número de autointersección de al menos − 1. El número de curvas con número de autointersección − 1 es finito y depende solo del grado (a menos que el grado sea 8).

Una curva ( − 1) es una curva racional con número de autointersección − 1. Para d > 2 , la imagen de dicha curva en el espacio proyectivo bajo la incrustación anticanónica es una línea.

La explosión de cualquier curva ( − 1) en una superficie de del Pezzo es una superficie de del Pezzo de grado 1 más. La explosión de cualquier punto en una superficie de del Pezzo es una superficie de del Pezzo de grado 1 menos, siempre que el punto no se encuentre en una curva ( − 1) y el grado sea mayor que 2. Cuando el grado es 2, debemos agregar la condición de que el punto no esté fijado por la involución de Geiser, asociada al morfismo anticanónico.

Del Pezzo demostró que una superficie de Del Pezzo tiene grado d como máximo 9. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, toda superficie de Del Pezzo es o bien producto de dos rectas proyectivas (con d = 8), o bien la explosión de un plano proyectivo en 9 − d puntos sin tres puntos colineales, sin seis puntos sobre una cónica , y sin ocho puntos sobre una cúbica con un nodo en uno de ellos. Recíprocamente, cualquier explosión del plano en puntos que satisfaga estas condiciones es una superficie de Del Pezzo.

El grupo de Picard de una superficie de Del Pezzo de grado d es la red unimodular impar I _{1,9 − d} , excepto cuando la superficie es un producto de 2 líneas, en cuyo caso el grupo de Picard es la red unimodular par II _1,1 . Cuando es una red impar, el elemento canónico es (3, 1, 1, 1, ....), y las curvas excepcionales están representadas por permutaciones de todas las coordenadas excepto la primera de los siguientes vectores:

• (0, − 1, 0, 0, ....) las curvas excepcionales de los puntos explotados,
• (1, 1, 1, 0, 0, ...) líneas que pasan por 2 puntos,
• (2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) cónicas que pasan por 5 puntos,
• (3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) cúbicos que pasan por 7 puntos con un punto doble en uno de ellos,
• (4, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) cuárticas hasta 8 puntos con puntos dobles en tres de ellos,
• (5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1) quíntuples hasta 8 puntos con puntos dobles en todos menos en dos de ellos,
• (6, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) sexticos hasta 8 puntos con puntos dobles en todos excepto un punto simple con multiplicidad tres.

Grado 1: tienen 240 ( − 1)-curvas correspondientes a las raíces de un sistema de raíces E _8. Forman una familia de 8 dimensiones. El divisor anticanónico no es muy amplio. El sistema lineal | − 2 K | define una aplicación de grado 2 desde la superficie de del Pezzo a un cono cuadrático en P ³ , ramificada sobre una curva no singular de género 4 recortada por una superficie cúbica.

Grado 2: tienen 56 ( − 1)-curvas correspondientes a los minúsculos vectores del dual de la red E _7. Forman una familia de 6 dimensiones. El divisor anticanónico no es muy amplio, y su sistema lineal define un mapeo de la superficie de del Pezzo al plano proyectivo, ramificado sobre una curva plana cuártica . Este mapeo es genéricamente de 2 a 1, por lo que esta superficie a veces se llama plano doble de del Pezzo. Las 56 líneas de la superficie de del Pezzo se mapean en pares a las 28 bitangentes de una cuártica .

Grado 3: estas son esencialmente superficies cúbicas en P ³ ; la superficie cúbica es la imagen de la incrustación anticanónica. Tienen 27 ( − 1)-curvas que corresponden a los vectores minúsculos de una clase lateral en el dual de la red E ₆ , los cuales se corresponden con las 27 líneas de la superficie cúbica. Forman una familia de 4 dimensiones.

Grado 4: estas son esencialmente superficies de Segre en P ⁴ , dadas por la intersección de dos cuádricas. Tienen 16 ( − 1)-curvas. Forman una familia bidimensional.

Grado 5: tienen 10 ( − 1)-curvas que corresponden a los vectores minúsculos de una clase lateral en el dual del retículo A _4. Salvo isomorfismo, solo existe una superficie de este tipo, dada al expandir el plano proyectivo en 4 puntos sin ningún 3 en una línea.

Grado 6: tienen 6 ( − 1)-curvas. Salvo isomorfismo, solo existe una superficie de este tipo, dada al expandir el plano proyectivo en 3 puntos que no están en una línea. El sistema de raíces es A ₂ × A ₁

Grado 7: tienen 3 ( − 1)-curvas. Salvo isomorfismo, solo existe una superficie de este tipo, dada al expandir el plano proyectivo en 2 puntos distintos.

Grado 8: poseen dos tipos de isomorfismo. Uno es una superficie de Hirzebruch dada por la explosión del plano proyectivo en un punto, la cual tiene 1 ( − 1)-curvas. El otro es el producto de dos líneas proyectivas, que es la única superficie de Del Pezzo que no se puede obtener partiendo del plano proyectivo y expandiendo puntos. Su grupo de Picard es la red indefinida unimodular bidimensional par II _1,1 , y no contiene ( − 1)-curvas.

Grado 9: La única superficie de grado 9 de Del Pezzo es P ² . Su incrustación anticanónica es la incrustación de Veronese de grado 3 en P ⁹ utilizando el sistema lineal de cúbicas.

Una superficie débil de del Pezzo es una superficie completa no singular con fibrado anticanónico que es nef y grande.

La explosión de cualquier curva ( − 1) en una superficie de del Pezzo débil es una superficie de del Pezzo débil de grado 1 más. La explosión de cualquier punto en una superficie de del Pezzo débil es una superficie de del Pezzo débil de grado 1 menos, siempre que el punto no se encuentre en una curva − 2 y el grado sea mayor que 1.

Cualquier curva en una superficie débil de del Pezzo tiene un número de autointersección de al menos − 2. El número de curvas con número de autointersección − 2 es como máximo 9 − d , y el número de curvas con número de autointersección − 1 es finito.

• La misteriosa dualidad relaciona la geometría de las superficies de Del Pezzo y la teoría M.
• Superficie de Coble

• del Pezzo, Pasquale (1885), "Sulle superficie dell'ordine n immerse negli spazi di n+1 dimensioni", Rend. Della R. Acc. Delle Scienze Fis. E Mat. Nápoles
• del Pezzo, Pasquale (1887), "Sulle superficie dell'n ^mo ordine immerse nello spazio di n dimensioni", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , 1 (1): 241– 271, doi : 10.1007/BF03020097 , S2CID 184479766 
• Dolgachev, Igor (2012), Geometría algebraica clásica. Una visión moderna , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-01765-8, MR 2964027 
• Kollár, János; Smith, Karen E.; Corti, Alessio (2004), Rational and almost rational variety , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  92, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83207-6, MR 2062787 
• Manin, Yuri Ivanovich (1986), Formas cúbicas , Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional, vol.  4 (2ª  ed.), Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-87823-6, MR 0833513 
• Nagata, Masayoshi (1960), "Sobre superficies racionales. I. Curvas irreducibles de género aritmético 0 o 1", Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A Math. , 32 : 351– 370, MR 0126443 
• Semple, JG; Roth, L. (1985), Introducción a la geometría algebraica , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, MR 0814690