Superficie de tipo general

En geometría algebraica , una superficie de tipo general es una superficie algebraica con dimensión de Kodaira 2. Debido al teorema de Chow, cualquier variedad compleja compacta de dimensión 2 y con dimensión de Kodaira 2 será en realidad una superficie algebraica, y en cierto sentido la mayoría de las superficies pertenecen a esta clase.

Clasificación

Gieseker demostró que existe un esquema de módulos gruesos para superficies de tipo general; esto significa que para cualquier valor fijo de los números de Chern $c_{1}^{2},c_{2},$ Existe un esquema cuasiproyectivo que clasifica las superficies de tipo general con esos números de Chern. Describir explícitamente estos esquemas sigue siendo un problema muy difícil, y existen pocos pares de números de Chern para los que esto se haya logrado (excepto cuando el esquema está vacío). Hay indicios de que estos esquemas son, en general, demasiado complicados para escribirlos explícitamente: los límites superiores conocidos para el número de componentes son muy grandes, algunos componentes pueden no ser reducidos en todas partes, los componentes pueden tener muchas dimensiones diferentes, y las pocas partes que se han estudiado explícitamente tienden a parecer bastante complicadas.

El estudio de qué pares de números de Chern pueden ocurrir para una superficie de tipo general se conoce como "geografía de los números de Chern " y existe una respuesta casi completa a esta pregunta. Hay varias condiciones que deben satisfacer los números de Chern de una superficie compleja mínima de tipo general:

$c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}$ (ya que es igual a 12χ)
$c_{1}^{2},c_{2}\geqslant 0$
$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$ (la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau )
$5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 12q\geqslant 0$ donde q es la irregularidad de una superficie (la desigualdad de Noether ).

Muchos (y posiblemente todos) los pares de enteros que satisfacen estas condiciones son los números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general. Por el contrario, para superficies casi complejas , la única restricción es:

c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},

y esto siempre se puede lograr. ^{[ 1 ]}

Ejemplos

Esta es solo una pequeña selección del gran número de ejemplos de superficies de tipo general que se han encontrado. Muchas de las superficies de tipo general que se han investigado se encuentran sobre (o cerca de) los bordes de la región de posibles números de Chern. En particular, las superficies de Horikawa se encuentran sobre o cerca de la "línea de Noether", muchas de las superficies que se enumeran a continuación se encuentran sobre la línea. $c_{1}^{2}+c_{2}=12\chi =12,$ el valor mínimo posible para el tipo general y superficies en la línea $3c_{2}=c_{1}^{2}$ son todos cocientes de la bola unitaria en C ² (y son particularmente difíciles de encontrar).

Superficies con χ =1

Estas superficies, ubicadas en el límite inferior izquierdo del diagrama, han sido estudiadas en detalle. Para estas superficies, la segunda clase de Chern puede ser cualquier número entero entre 3 y 11. Se conocen superficies con todos estos valores; algunos de los muchos ejemplos estudiados son:

c² = 3: Plano proyectivo falso (superficie _de Mumford). El primer ejemplo fue hallado por Mumford utilizando geometría p -ádica, y existen 50 ejemplos en total. Tienen los mismos números de Betti que el plano proyectivo, pero no son homeomorfos a él, ya que sus grupos fundamentales son infinitos.
c ₂ = 4: Las superficies de Beauville reciben su nombre de Arnaud Beauville y tienen un grupo fundamental infinito.
c ₂≥ 4: Superficies de Burniat
c ₂ = 10: Superficies de Campedelli . Las superficies con los mismos números de Hodge se denominan superficies numéricas de Campedelli .
c ₂ = 10: Las superficies de Catanese están conectadas simplemente.
c ₂ = 11: Superficies de Godeaux . El grupo cíclico de orden 5 actúa libremente sobre la superficie de Fermat de puntos. $(w:x:y:z)$ en P ³ que satisface $w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0$ mediante mapeo $(w:x:y:z)$ a $(w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)$ donde ρ es una raíz quinta de 1. El cociente de esta acción es la superficie de Godeaux original . Otras superficies construidas de forma similar con los mismos números de Hodge también se denominan a veces superficies de Godeaux. Las superficies con los mismos números de Hodge (como las superficies de Barlow) se denominan superficies numéricas de Godeaux . El grupo fundamental (de la superficie de Godeaux original) es cíclico de orden 5.
c ₂ = 11: Las superficies de Barlow son simplemente conexas. Junto con la superficie de Craighero-Gattazzo, estos son los únicos ejemplos conocidos de superficies simplemente conexas de tipo general con p _g = 0.
Las superficies de Todorov proporcionan contraejemplos a la conclusión del teorema de Torelli .

Otros ejemplos

Superficies de Castelnuovo : Otro caso extremo, Castelnuovo demostró que si el fibrado canónico es muy amplio para una superficie de tipo general entonces $c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.$ Las superficies de Castelnuovo son superficies de tipo general tales que el fibrado canónico es muy amplio y que $c_{1}^{2}=3p_{g}-7.$
Intersecciones completas : Una intersección completa y suave de hipersuperficies de grados $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2$ En P ⁿ es una superficie de tipo general a menos que los grados sean (2), (3), (2, 2) (racional), (4), (3, 2), (2, 2, 2) (dimensión de Kodaira 0). Todas las intersecciones completas son simplemente conexas. Un caso especial son las hipersuperficies : por ejemplo, en P ³ , las superficies no singulares de grado al menos 5 son de tipo general (las hipersuperficies no singulares de grado 4 son superficies K3 , y las de grado menor que 4 son racionales ).
Superficies de Fano de líneas en una geometría cúbica de dimensión 3.
Las superficies modulares de Hilbert son en su mayoría de tipo general.
Las superficies de Horikawa son superficies con q = 0 y $p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2$ o ${\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}$ (lo que implica que se encuentran más o menos en el límite de la "línea de Noether" de la región de valores posibles de los números de Chern). Todos están conectados de forma sencilla, y Horikawa ofreció una descripción detallada de ellos.
Productos: el producto de dos curvas ambas de género al menos 2 es una superficie de tipo general.
Las cubiertas dobles de curvas de grado 2 m no singulares en P ² son de tipo general si $2m\geqslant 8.$ (Para 2 m =2 son racionales, para 2 m =4 vuelven a ser racionales y se denominan planos dobles de del Pezzo , y para 2 m =6 son superficies K3 ). Son simplemente conexas y tienen números de Chern. $c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2}=4m^{2}-6m+6.$

Modelos canónicos

Bombieri (1973) demostró que la aplicación multicanónica φ _nK para una superficie compleja de tipo general es un isomorfismo birracional sobre su imagen siempre que n ≥ 5, y Ekedahl (1988) mostró que el mismo resultado se mantiene en característica positiva. Hay algunas superficies para las que no es un isomorfismo birracional cuando n es 4. Estos resultados se derivan del teorema de Reider .

Véase también

Notas

↑ Van De Ven, A. (junio de 1966). "Sobre los números de Chern de ciertas variedades complejas y casi complejas" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 55 (6): 1624– 1627. Bibcode : 1966PNAS...55.1624V . doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC 224368. PMID 16578639 .

Referencias

Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Bombieri, Enrico (1973), "Modelos canónicos de superficies de tipo general" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 42 (42): 171– 219, doi : 10.1007/BF02685880 , MR 0318163 , S2CID 56081921
Ekedahl, Torsten (1988), "Modelos canónicos de superficies de tipo general en característica positiva" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 67 (67): 97–144 , doi : 10.1007/BF02699128 , MR 0972344 , S2CID 54756971
P. Griffiths ; J. Harris (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Superficie algebraica de tipo general" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[1] Van De Ven, A. (junio de 1966). "Sobre los números de Chern de ciertas variedades complejas y casi complejas" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 55 (6): 1624– 1627. Bibcode : 1966PNAS...55.1624V . doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC 224368. PMID 16578639 .

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