ecuación de Dirac

La primera fase del desarrollo de la mecánica cuántica , que abarcó desde 1900 hasta 1925, se centró en explicar fenómenos individuales que no podían explicarse mediante la mecánica clásica . ^{[ 7 ]} La ​​segunda fase, que comenzó a mediados de la década de 1920, vio el desarrollo de dos marcos sistemáticos que rigen la mecánica cuántica. El primero, conocido como mecánica matricial , utiliza matrices para describir observables físicos ; fue desarrollado en 1925 por Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan . ^{[ 8 ] : 51} El segundo, conocido como mecánica ondulatoria, utiliza una ecuación de onda conocida como ecuación de Schrödinger para describir el estado de un sistema ; fue desarrollado al año siguiente por Erwin Schrödinger . Si bien estos dos marcos se consideraron inicialmente enfoques contrapuestos, posteriormente se demostró que eran equivalentes. ^{[ 9 ] : 21}

Ambos marcos teóricos solo formularon la mecánica cuántica en un contexto no relativista . ^{[ 9 ] : 22} Esto se consideró una deficiencia desde el principio, y Schrödinger intentó originalmente formular una versión relativista de la ecuación de Schrödinger, descubriendo en el proceso la ecuación de Klein-Gordon . ^{[ 8 ] : 679} Sin embargo, después de demostrar que esta ecuación no reproducía correctamente las correcciones relativistas al espectro del átomo de hidrógeno, para las cuales se conocía una forma exacta gracias a Arnold Sommerfeld , abandonó su formulación relativista . ^{[ 10 ] : 1025} La ecuación de Klein-Gordon también fue descubierta por al menos otros seis autores en el mismo año. ^{[ 11 ] : 6}

Durante 1926 y 1927, se realizó un esfuerzo generalizado para incorporar la relatividad a la mecánica cuántica, principalmente a través de dos enfoques. El primero consistió en considerar la ecuación de Klein-Gordon como la generalización relativista correcta de la ecuación de Schrödinger. ^{[ 11 ] : 7} Este enfoque fue visto con recelo por muchos teóricos destacados , ya que no predijo correctamente numerosos resultados experimentales y, más importante aún, parecía difícil de conciliar con los principios de la mecánica cuántica tal como se entendían en ese momento. ^{[ 12 ] : 35} Estos problemas conceptuales surgieron principalmente debido a la presencia de una segunda derivada temporal . ^{[ 10 ] : 1031}

El segundo enfoque introdujo efectos relativistas como correcciones a las fórmulas no relativistas conocidas. ^{[ 12 ] : 36} Esto proporcionó muchas respuestas provisionales que se esperaba que eventualmente fueran reemplazadas por alguna formulación relativista de la mecánica cuántica aún desconocida. Un resultado notable de Heisenberg y Jordan fue la introducción de dos términos para el espín y la relatividad en el hamiltoniano del hidrógeno , lo que les permitió derivar la aproximación de primer orden de la fórmula de estructura fina de Sommerfeld . ^{[ 13 ]}

Un desarrollo paralelo durante este tiempo fue el concepto de espín, introducido por primera vez en 1925 por Samuel Goudsmit y George Uhlenbeck . ^{[ 14 ]} Poco después, Schrödinger conjeturó que era el eslabón perdido para obtener la fórmula correcta de Sommerfeld. ^{[ 12 ] : 44} En 1927, Wolfgang Pauli utilizó las ideas de espín para encontrar una teoría efectiva para una partícula de espín 1/2 no relativista , la ecuación de Pauli . ^{[ 15 ]} Lo hizo tomando la ecuación de Schrödinger y, en lugar de simplemente asumir que la función de onda depende de la coordenada física , también asumió que depende de una coordenada de espín que solo puede tomar dos valores.${\displaystyle \pm {\tfrac {\hbar }{2}}}$Aunque esta seguía siendo una formulación no relativista, creía que una formulación totalmente relativista posiblemente requería un modelo más complejo para el electrón , uno que fuera más allá de una partícula puntual . ^{[ 12 ] : 47}

Para 1927, muchos físicos ya no consideraban la estructura fina del hidrógeno como un enigma crucial que requería una formulación relativista completamente nueva, puesto que podía resolverse eficazmente utilizando la ecuación de Pauli o introduciendo un número cuántico de momento angular de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ en la ecuación de Klein-Gordon. ^{[ 12 ] : 51} En la quinta Conferencia Solvay celebrada ese año, Paul Dirac se preocupó principalmente por el desarrollo lógico de la mecánica cuántica. Sin embargo, se dio cuenta de que muchos otros físicos aceptaban con complacencia la ecuación de Klein-Gordon como una formulación relativista satisfactoria, lo que exigía abandonar los principios básicos de la mecánica cuántica tal como se entendían en ese momento, a lo que Dirac se opuso firmemente. ^{[ 12 ] : 52} Tras su regreso de Bruselas , Dirac se centró en encontrar una teoría relativista para los electrones. En dos meses resolvió el problema y publicó sus resultados el 2 de enero de 1928. ^{[ 1 ]}

En su artículo , Dirac se guió por dos principios de la teoría de la transformación : el primero, que la ecuación debía ser invariante bajo transformaciones de la relatividad especial, y el segundo, que debía transformarse bajo la teoría de la transformación de la mecánica cuántica. ^{[ 11 ] : 9} Este último exigía que la ecuación fuera lineal en derivadas temporales , de modo que admitiera una interpretación probabilística . Su argumento comienza con la ecuación de Klein-Gordon ^{[ 16 ] : 32}

${\displaystyle \left[{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}\right]\phi (t,x)=-{\frac {\hbar ^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (t,x),}$

describir una partícula usando la función de onda${\displaystyle \phi (t,x)}$. Aquí${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}$es el cuadrado del momento ,${\displaystyle m}$es la masa en reposo de la partícula,${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz y${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida . La forma ingenua de obtener una ecuación lineal en la derivada temporal es considerar esencialmente la raíz cuadrada de ambos lados. Esto reemplaza${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}$con${\displaystyle {\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}}}$Sin embargo, dicha raíz cuadrada es matemáticamente problemática para la teoría resultante, lo que la hace inviable. ^{[ 9 ] : 379}

La primera idea de Dirac fue el concepto de linealización. Buscó algún tipo de variables.${\displaystyle \alpha _{i}}$que son independientes del momento y de las coordenadas espaciotemporales para las cuales la raíz cuadrada podría reescribirse en forma lineal ^{[ 9 ] : 379}

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+(mc)^{2}}}=\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc.}$

Al elevar al cuadrado este operador y exigir que se reduzca a la ecuación de Klein-Gordon, Dirac descubrió que las variables deben satisfacer${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=1}$y${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0}$si${\displaystyle i\neq j}$Dirac inicialmente consideró que${\displaystyle 2\times 2}$Matrices de Pauli como candidatas, pero luego se demostró que no funcionarían ya que es imposible encontrar un conjunto de cuatro${\displaystyle 2\times 2}$matrices que anticonmutan entre sí. ^{[ 8 ] : 687} Su segunda idea fue considerar matrices de cuatro dimensiones . En ese caso, la ecuación actuaría sobre una función de onda de cuatro componentes .${\displaystyle \psi =(\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3},\psi _{4})}$. ^{[ 17 ] : 235} Tal propuesta fue mucho más audaz que la generalización original de Pauli a una función de onda de dos componentes en la ecuación de Pauli. ^{[ 12 ] : 57} Esto se debe a que, en el caso de Pauli, esto fue motivado por la necesidad de codificar los dos estados de espín de la partícula. En contraste, Dirac no tenía ningún argumento físico para una función de onda de cuatro componentes, sino que la introdujo como una cuestión de necesidad matemática. Así llegó a la ecuación de Dirac ^{[ 1 ]}

${\displaystyle (\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc)\psi (t,x)=i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t,x).}$

Dirac construyó las matrices correctas.${\displaystyle \alpha _{i}}$sin darse cuenta de que forman una estructura matemática conocida desde principios de la década de 1880, el álgebra de Clifford . ^{[ 18 ] : 320} Al reformular la ecuación en una forma invariante de Lorentz , también demostró que combina correctamente la relatividad especial con su principio de la teoría de la transformación mecánica cuántica, lo que la convierte en una candidata viable para una teoría relativista del electrón. ^{[ 8 ] : 685}

Para investigar más a fondo la ecuación, examinó su comportamiento en presencia de un campo electromagnético . ^{[ 12 ] : 58} Para su sorpresa, esto demostró que describía una partícula con un momento magnético debido a que la partícula tenía espín ⁠ 1 / 2 ⁠ . El espín surgió directamente de la ecuación, sin que Dirac lo hubiera añadido manualmente. Además, se centró en demostrar que la ecuación reproduce con éxito la estructura fina del átomo de hidrógeno, al menos en primera aproximación. Por lo tanto, la ecuación tiene éxito donde todos los intentos anteriores han fracasado, al describir correctamente los fenómenos relativistas de los electrones a partir de primeros principios en lugar de mediante la modificación ad hoc de fórmulas existentes. ^{[ 12 ] : 60}

Excepto por su artículo posterior ^{[ 19 ]} que derivaba el efecto Zeeman y el efecto Paschen-Back de la ecuación en presencia de campos magnéticos , Dirac dejó el trabajo de examinar las consecuencias de su ecuación a otros, y solo volvió al tema en 1930. ^{[ 12 ] : 65} Una vez publicada la ecuación, fue reconocida como la solución correcta al problema del espín, la relatividad y la mecánica cuántica. Al principio, la ecuación de Dirac se consideró la única ecuación relativista válida para una partícula con masa . Luego, en 1934, Pauli y Victor Weisskopf reinterpretaron la ecuación de Klein-Gordon como la ecuación para una partícula relativista sin espín . ^{[ 8 ] : 685}

Uno de los primeros cálculos fue reproducir exactamente la fórmula de estructura fina de Sommerfeld, lo cual fue realizado independientemente por Charles Galton Darwin y Walter Gordon en 1928. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 9 ] : 377} Esta es la primera vez que la fórmula completa se ha derivado de primeros principios. Hermann Weyl emprendió trabajos adicionales sobre las matemáticas de la ecuación en 1929. ^{[ 22 ]} En este trabajo demostró que la ecuación de Dirac sin masa puede descomponerse en un par de ecuaciones de Weyl .

La ecuación de Dirac también se utilizó para estudiar diversos procesos de dispersión. En particular, la fórmula de Klein-Nishina , que analiza la dispersión fotón -electrón , también se derivó en 1928. ^{[ 23 ]} La dispersión de Mott , la dispersión de electrones por un blanco pesado como los núcleos atómicos , se desarrolló al año siguiente. ^{[ 24 ]} Durante los años siguientes, se utilizó para derivar otros procesos de dispersión estándar, como la dispersión de Moller en 1932 ^{[ 25 ]} y la dispersión de Bhabha en 1936. ^{[ 26 ]}

Un problema que cobró mayor relevancia con el tiempo fue la presencia de estados de energía negativa en la ecuación de Dirac, lo que impulsó numerosos esfuerzos para intentar eliminarlos. Inicialmente, Dirac simplemente rechazó los estados de energía negativa por considerarlos no físicos, ^{[ 12 ] : 63} pero el problema se hizo más evidente cuando, en 1929, Oskar Klein demostró que en campos estáticos existe una mezcla inevitable entre los estados de energía negativa y positiva. ^{[ 9 ] : 378} La respuesta inicial de Dirac fue creer que su ecuación debía tener algún tipo de defecto y que solo se trataba de la primera aproximación de una teoría futura que no presentaría este problema. ^{[ 9 ] : 378} Sin embargo, posteriormente propuso una solución al problema en forma del mar de Dirac . Esta idea postula que el universo está lleno de un mar infinito de estados de electrones de energía negativa. Los estados de electrones de energía positiva residen en este mar y se les impide decaer a estados de energía negativa mediante el principio de exclusión de Pauli . ^{[ 8 ] : 715}

Además, Dirac postuló la existencia de huecos con carga positiva en el mar de Dirac, que inicialmente sugirió que podrían ser el protón . Sin embargo, Oppenheimer demostró que en este caso no podrían existir átomos estables ^{[ 27 ]} y Weyl demostró además que los huecos tendrían que tener la misma masa que los electrones. ^{[ 28 ]} Persuadido por el argumento de Oppenheimer y Weyl, Dirac publicó un artículo en 1931 que predecía la existencia de una partícula aún no observada a la que llamó "antielectrón", que tendría la misma masa y la carga opuesta a la de un electrón y que se aniquilaría mutuamente al entrar en contacto con un electrón. Sugirió que cada partícula puede tener una compañera con carga opuesta, un concepto que ahora se denomina antimateria ^{[ 29 ] [ 30 ] : 47}

En 1933, Carl Anderson descubrió el "electrón positivo", ahora llamado positrón , que tenía todas las propiedades del antielectrón de Dirac. ^{[ 31 ] [ 9 ] : 378} Si bien el mar de Dirac fue posteriormente reemplazado por la teoría cuántica de campos , su legado conceptual sobrevivió en la idea de un vacío dinámico lleno de partículas virtuales . ^{[ 8 ] : 717} En 1949 , Ernst Stueckelberg sugirió y Richard Feynman demostró en detalle que las soluciones de energía negativa pueden interpretarse como partículas que viajan hacia atrás en el tiempo propio . ^{[ 32 ] : 61–63 [ 9 ] : 379 [ 33 ] [ 34 ]} El concepto del mar de Dirac también se realiza de manera más explícita en algunos sistemas de materia condensada en forma del mar de Fermi , que consiste en un mar de electrones de valencia llenos por debajo de cierto potencial químico . ^{[ 35 ] : 534}

Durante las décadas siguientes se realizó un trabajo significativo para intentar encontrar discrepancias espectroscópicas en comparación con las predicciones de la ecuación de Dirac; sin embargo, no fue hasta 1947 que se descubrió el desplazamiento de Lamb , que la ecuación no predice. ^{[ 8 ] : 710} Esto condujo al desarrollo de la electrodinámica cuántica en la década de 1950, incorporándose la ecuación de Dirac al contexto de la teoría cuántica de campos. ^{[ 36 ] : 35} Dado que describe la dinámica de los espinores de Dirac, pasó a desempeñar un papel fundamental en el Modelo Estándar , así como en muchas otras áreas de la física. Por ejemplo, en la física de la materia condensada, los sistemas cuyos fermiones tienen una relación de dispersión casi lineal se describen mediante la ecuación de Dirac. Dichos sistemas se conocen como materia de Dirac e incluyen el grafeno y los aislantes topológicos , que se han convertido en un área importante de investigación desde principios del siglo XXI. ^{[ 35 ] : 522}

La ecuación de Dirac está inscrita en una placa en el suelo de la Abadía de Westminster . Inaugurada el 13 de noviembre de 1995, la placa conmemora la vida de Dirac. ^{[ 37 ]} La ecuación, en su formulación de unidades naturales , también se exhibe de manera destacada en el auditorio del Salón de Conferencias 'Paul AM Dirac' del Instituto Patrick MS Blackett (anteriormente el Monasterio de San Domenico) de la Fundación Ettore Majorana y Centro de Cultura Científica en Erice , Sicilia .

En su formulación moderna de teoría de campos , la ecuación de Dirac en el espaciotiempo de Minkowski de 3+1 dimensiones se escribe en términos de un campo de Dirac.${\displaystyle \psi (x)}$. Este es un campo que asigna un vector complejo desde${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$a cada punto en el espaciotiempo , ^{[ 18 ] : 136} donde la propiedad clave del campo es que se transforma como un espinor de Dirac bajo transformaciones de Lorentz . ^{[ 38 ] : 28} En unidades naturales donde${\displaystyle \hbar =c=1}$, la formulación covariante de Lorentz de la ecuación de Dirac viene dada por ^{[ 16 ] : 168}

dónde${\displaystyle {{\partial }\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$es una contracción entre el gradiente de cuatro${\displaystyle \partial _{\mu }}$y las matrices gamma${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$. ^{[ nb 1 ]} Se trata de un conjunto de cuatro matrices que generan el álgebra de Dirac , lo que requiere que satisfagan ^{[ 36 ] : 40}

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_ {4},}$

dónde${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$es el anticonmutador ,${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$es la métrica de Minkowski en una firma principalmente negativa , ^{[ nb 2 ]} y${\displaystyle I_{4}}$es el${\displaystyle 4\times 4}$matriz identidad . El álgebra de Dirac es un caso especial de la estructura matemática más general conocida como álgebra de Clifford . ^{[ 16 ] : 169} El álgebra de Dirac también puede verse como la parte real del álgebra del espacio-tiempo . No hay una elección única de matrices para las matrices gamma, y ​​las diferentes elecciones se conocen como diferentes representaciones del álgebra . ^{[ 32 ] : 323} Una elección común, descubierta originalmente por Dirac, se conoce como la representación de Dirac. Aquí las matrices están dadas por ^{[ 35 ] : 531}

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\qquad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}$

dónde${\displaystyle \sigma _{i}}$son las tres matrices de Pauli para${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$Existen otras dos representaciones comunes para las matrices gamma. La primera es la representación quiral , útil para descomponer la ecuación de Dirac en un par de ecuaciones de Weyl . ^{[ 36 ] : 41} La segunda es la representación de Majorana, en la que todas las matrices gamma son imaginarias , por lo que el operador de Dirac es puramente real . ^{[ 16 ] : 344} Esta representación es útil para estudiar los espinores de Majorana , que son soluciones espinoriales de cuatro componentes puramente reales de la ecuación de Dirac. ^{[ 35 ] : 536}

Tomando el conjugado hermitiano de la ecuación de Dirac y multiplicándolo por${\displaystyle \gamma ^{0}}$Desde la derecha, se puede encontrar la ecuación adjunta de Dirac, que es la ecuación de movimiento para el adjunto de Dirac.${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\daga }\gamma ^{0}}$. Se da por ^{[ 39 ]}

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }{\overleftarrow {\partial }}_{\mu }-m)=0.}$

El espinor adjunto es útil para formar cantidades invariantes de Lorentz. Por ejemplo, el bilineal${\displaystyle \psi ^{\daga }\psi }$no es invariante de Lorentz, pero${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$es. ^{[ 35 ] : 532} Aquí${\displaystyle {\overleftarrow {\partial }}_{\mu }}$es una notación abreviada para una derivada parcial que actúa por la izquierda. En notación regular, la ecuación adjunta de Dirac es equivalente a ^{[ 36 ] : 43}

${\displaystyle -i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.}$

La ecuación de Dirac puede reescribirse en una forma no covariante similar a la de la ecuación de Schrödinger ^{[ 8 ] : 686}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t,{\boldsymbol {x}})=-i\hbar c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi (t,{\boldsymbol {x}})+\beta mc^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}}).}$

El lado derecho de la ecuación es el hamiltoniano que actúa sobre el espinor de Dirac.${\displaystyle H\psi }$. Aquí${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$y${\displaystyle \beta }$son un conjunto de cuatro Hermitianos${\displaystyle 4\times 4}$Matrices que son todas anticommutativas entre sí y cuadradas a la identidad. Están relacionadas con las matrices gamma a través de${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta }$ y${\displaystyle \gamma ^{i}=\beta \alpha _{i}}$. ^{[ 9 ] : 375} Esta forma es útil en mecánica cuántica , donde el hamiltoniano puede modificarse fácilmente para resolver una amplia gama de problemas, como por ejemplo introduciendo un potencial ^{[ 8 ] : 702} o mediante un acoplamiento mínimo al campo electromagnético . ^{[ 8 ] : 688}

La ecuación de Dirac también se puede obtener a partir de una formulación lagrangiana de la teoría de campos, donde la acción de Dirac viene dada por ^{[ 35 ] : 535}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi .}$

La ecuación surge entonces como la ecuación de Euler-Lagrange de esta acción, que se obtiene variando el espinor adjunto.${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$. ^{[ 36 ] : 43} Mientras tanto, la ecuación de Dirac adjunta se obtiene variando el espinor${\displaystyle \psi (x)}$La formulación de la ecuación de Dirac en términos de acción tiene la ventaja de hacer más explícitas las simetrías de dicha ecuación, ya que dejan su acción invariante. ^{[ 16 ] : 166–168} El teorema de Noether permite entonces el cálculo directo de las corrientes correspondientes a estas simetrías. ^{[ 40 ] : 166} Además, la acción se utiliza habitualmente para definir la teoría cuántica de campos asociada , como por ejemplo mediante la formulación de la integral de trayectoria . ^{[ 16 ] : 251}

En mecánica cuántica, el espinor de Dirac${\displaystyle \psi (x)}$corresponde a una función de onda espinorial de cuatro componentes que describe el estado de un fermión de Dirac . ^{[ 8 ] : 685} Su densidad de probabilidad de posición , la probabilidad de encontrar el fermión en una región del espacio, se describe mediante la componente cero de su corriente vectorial,${\displaystyle \psi ^{\daga }\psi }$. ^{[ 8 ] : 689} En el caso de un gran número de partículas , también puede interpretarse como la densidad de carga . ^{[ 18 ] : 137} Se requiere una normalización apropiada para asegurar que la probabilidad total en todo el espacio sea igual a uno, con la conservación de la probabilidad que se deriva directamente de la conservación de la corriente vectorial. La ecuación de Dirac es el análogo relativista de la ecuación de Schrödinger para la función de onda del fermión de Dirac.

En la segunda forma de cuantización de la teoría cuántica de campos, el espinor de Dirac se cuantiza para ser un campo espinorial con valores de operador.${\displaystyle {\sombrero {\psi }}(x)}$. ^{[ 41 ]} A diferencia de la mecánica cuántica, ya no representa el estado en el espacio de Hilbert , sino que es el operador que actúa sobre los estados para crear o destruir partículas. ^{[ 16 ] : 22 [ 42 ] : 92} Los observables se forman utilizando los valores esperados de estos operadores. ^{[ 43 ] : 41} La ecuación de Dirac se convierte entonces en una ecuación de operador que describe la evolución independiente del estado del campo espinorial con valores de operador. ^{[ 44 ] : 35}

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}-m){\hat {\psi }}(x)=0.}$

En la formulación de la integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos, el campo espinorial${\displaystyle \psi (x)}$es un campo anticonmutativo con valores de Grassmann que solo actúa como una variable de integración. ^{[ 38 ] : 29} La ecuación de Dirac emerge entonces como el comportamiento clásico del punto de silla de la integral de trayectoria. También surge como una ecuación del valor esperado de las variables de campo clásicas ^{[ 44 ] : 35}

${\displaystyle \langle (i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi (x)\rangle =0,}$

en el sentido de las ecuaciones de Schwinger-Dyson . ^{[ 16 ] : 80} Esta versión de la ecuación también se puede obtener tomando el valor esperado de la ecuación del operador.

La ecuación de Dirac también surge al describir la evolución temporal de un campo espinorial en la teoría clásica de campos . Dicha teoría de campos tendría el grupo lineal especial${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$como su grupo de simetría espaciotemporal en lugar del grupo de Lorentz, ya que este último no admite representaciones espinoriales . ^{[ 40 ] : 117} Esto contrasta con la teoría cuántica, que sí admite representaciones espinoriales incluso cuando las simetrías espaciotemporales se describen mediante el grupo de Lorentz. Esto se debe a que los estados en un espacio de Hilbert se definen solo hasta una fase compleja, ^{[ 45 ] : 81} por lo que las partículas pertenecen a representaciones proyectivas en lugar de representaciones regulares, siendo las representaciones proyectivas del grupo de Lorentz equivalentes a representaciones regulares de${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$. ^{[ 16 ] : 176} Los campos espinoriales clásicos no surgen en nuestro universo porque el principio de exclusión de Pauli impide poblar el campo con un número suficiente de partículas para alcanzar el límite clásico . ^{[ 40 ] : 347}

El grupo Lorentz${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$, ^{[ nb 3 ]} que describe la transformación entre sistemas de referencia inerciales , puede admitir muchas representaciones diferentes . ^{[ 46 ] : 38} Una representación es una elección particular de matrices que representan fielmente ^{[ nb 4 ]} la acción del grupo en algún espacio vectorial , que a veces se denomina módulo , donde la dimensionalidad de las matrices puede diferir entre representaciones. ^{[ 47 ] : 54} Por ejemplo, el grupo de Lorentz puede representarse mediante${\displaystyle 4\times 4}$matrices reales${\displaystyle \Lambda }$actuando sobre el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$, correspondiente a cómo las transformaciones de Lorentz actúan sobre vectores o sobre el espaciotiempo . ^{[ 16 ] : 159} Otra representación relacionada es un conjunto de${\displaystyle 4\times 4}$matrices complejas que actúan sobre espinores de Dirac en el espacio vectorial complejo${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$. ^{[ 48 ] : 24} Una representación relacionada más pequeña es un conjunto de${\displaystyle 2\times 2}$matrices complejas que actúan sobre espinores de Weyl en el${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$espacio vectorial. ^{[ 49 ] : 209}

Los elementos de un grupo de Lie se pueden generar utilizando el álgebra de Lie correspondiente , que junto con un corchete de Lie describe el espacio tangente de la variedad del grupo alrededor de su elemento identidad. ^{[ 50 ] : 64} Los elementos base de este espacio vectorial se conocen como generadores del grupo. Un elemento particular del grupo se obtiene entonces mediante la exponenciación de un vector correspondiente del espacio tangente. ^{[ 51 ] : 295} Los generadores del álgebra de Lie de Lorentz deben satisfacer ciertas relaciones de anticonmutación , conocidas como corchete de Lie. Los seis vectores se pueden empaquetar en un objeto antisimétrico.${\displaystyle X^{\mu \nu }}$indexado por${\displaystyle \{\mu ,\nu \}}$, con el corchete para el álgebra de Lorentz dado por ^{[ 36 ] : 39}

${\displaystyle [X^{\mu \nu },X^{\rho \sigma }]=i(\eta ^{\nu \rho }X^{\mu \sigma }-\eta ^{\mu \rho }X^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }X^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \sigma }X^{\mu \rho }).}$

Esta álgebra admite numerosas representaciones, donde cada generador está representado por una matriz, y cada representación algebraica genera una representación correspondiente del grupo. ^{[ 51 ] : 662} Por ejemplo, la representación que actúa sobre vectores reales está dada por las seis matrices${\displaystyle X^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }}$donde ^{[ 51 ] : 664}

${\displaystyle \left(M^{\mu \nu }\right)^{\rho }{}_{\sigma }=i(\eta ^{\mu \rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\eta ^{\nu \rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }).}$

La matriz de transformación de Lorentz se puede obtener a partir de estos generadores mediante una exponenciación ^{[ 16 ] : 169}

${\displaystyle \Lambda =\exp \left({\tfrac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right),}$

dónde${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$es una matriz antisimétrica que codifica los seis grados de libertad del grupo de Lorentz utilizado para especificar el elemento particular del grupo. Estos corresponden a los tres impulsos y tres rotaciones . ^{[ 36 ] : 40}

Otra representación para el álgebra de Lorentz es la representación espinorial donde los generadores están dados por ^{[ 16 ] : 169}

${\displaystyle S^{\mu \nu }={\tfrac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }].}$

En este caso el elemento del grupo de Lorentz, especificado por${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$, se da por

${\displaystyle S[\Lambda ]=\exp \left({\tfrac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).}$

El mapeo de${\displaystyle \Lambda \mapsto S[\Lambda ]}$no es uno a uno ya que hay dos opciones consistentes para${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$que dan lo mismo${\displaystyle \Lambda }$pero diferente${\displaystyle S[\Lambda ]}$. ^{[ 50 ] : 45} Esto es consecuencia de que la representación espinorial sean representaciones proyectivas del grupo de Lorentz.${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$. ^{[ 45 ] : 81} De manera equivalente, son representaciones regulares de${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$, que es una doble versión del grupo Lorentz. ^{[ 40 ] : 106}

Bajo una transformación de Lorentz, las coordenadas espaciotemporales se transforman bajo la representación vectorial.${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$, mientras que los espinores se transforman bajo la representación espinorial

${\displaystyle \psi '(x')=S[\Lambda ]\psi (x).}$

La ecuación de Dirac es una ecuación covariante de Lorentz, lo que significa que toma la forma en todos los sistemas de referencia inerciales. ^{[ 48 ] : 5} Es decir, toma la misma forma cuando para un espinor${\displaystyle \psi (x)}$con coordenadas${\displaystyle x}$, así como para un espinor transformado de Lorentz${\displaystyle \psi '(x')}$en las coordenadas transformadas de Lorentz${\displaystyle x'=\Lambda x}$

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}'-m)\psi '(x')=0,}$

dónde${\displaystyle \partial _{\mu }'}$es el cuadrigradiente para las nuevas coordenadas${\displaystyle x'}$. ^{[ nb 5 ]} Mientras tanto, la acción de Dirac es invariante de Lorentz, lo que significa que es la misma en todos los sistemas de referencia.${\displaystyle S'=S}$. ^{[ 16 ] : 166–168}

La teoría de Dirac es invariante bajo una condición global.${\displaystyle {\text{U}}(1)}$simetría que actúa sobre la fase del espinor ^{[ 16 ] : 174}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{i\alpha }\psi (x),\qquad {\bar {\psi }}(x)\rightarrow e^{-i\alpha }{\bar {\psi }}(x).}$

Esto tiene una corriente conservada correspondiente que se puede derivar de la acción usando el teorema de Noether , dado por ^{[ 35 ] : 532}

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

Esta simetría se conoce como simetría vectorial porque su corriente se transforma como un vector bajo transformaciones de Lorentz. Al elevar esta simetría a una simetría de gauge, surge la electrodinámica cuántica .

En el límite sin masa , la ecuación de Dirac tiene un segundo no equivalente${\displaystyle {\text{U}}(1)}$simetría conocida como simetría axial , que actúa sobre los espinores como ^{[ 52 ] : 99}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{i\beta \gamma ^{5}}\psi (x),\qquad {\bar {\psi }}(x)\rightarrow e^{i\beta \gamma ^{5}}{\bar {\psi }}(x),}$

dónde${\displaystyle \gamma _{5}}$es la matriz quiral. Esto surge porque en el límite sin masa la ecuación de Dirac se reduce a un par de ecuaciones de Weyl . ^{[ 16 ] : 168} Cada una de estas es invariante bajo una${\displaystyle {\text{U}}(1)}$Simetría de fase. Estas dos simetrías pueden agruparse en la simetría vectorial, donde ambos espinores de Weyl se transforman con la misma fase, y la simetría axial, donde se transforman con signos opuestos de la fase. ^{[ 16 ] : 621} La corriente correspondiente a la simetría axial viene dada por ^{[ 35 ] : 532}

${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi .}$

Esto se transforma como un pseudovector , lo que significa que su parte espacial es impar bajo transformaciones de paridad. ^{[ 49 ] : 469} Clásicamente , la simetría axial admite una teoría de gauge bien formulada, pero a nivel cuántico tiene una anomalía quiral que constituye una obstrucción para la gaugeación. ^{[ 16 ] : 616}

Las simetrías espaciotemporales de la acción de Dirac corresponden al grupo de Poincaré , una combinación de traslaciones espaciotemporales y el grupo de Lorentz. ^{[ 16 ] : 109} La invariancia bajo las cuatro traslaciones espaciotemporales produce el tensor de energía-impulso de Dirac como sus cuatro corrientes ^{[ 52 ] : 98}

${\displaystyle T^{\mu \nu }=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\text{Dirac}},}$

donde el último término es el lagrangiano de Dirac, que se anula en la capa . Mientras tanto, la invariancia bajo transformaciones de Lorentz produce un conjunto de corrientes indexadas por${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \sigma }$, dado por ^{[ 52 ] : 99}

${\displaystyle ({\mathcal {J}}^{\mu })^{\rho \sigma }=x^{\rho }T^{\mu \sigma }-x^{\sigma }T^{\mu \rho }+{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }S^{\rho \sigma }\psi ,}$

dónde${\displaystyle S^{\rho \sigma }}$son los generadores de representación espinorial del álgebra de Lie de Lorentz, que se utilizan para definir cómo se transforman los espinores bajo las transformaciones de Lorentz.

Actuando sobre la ecuación de Dirac con el operador${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}+m)}$da lugar a la ecuación de Klein-Gordon para cada componente del espinor ^{[ 53 ] : 93}

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}+m)(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi (x)=\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)\psi (x)=0.}$

Como resultado, cualquier solución a la ecuación de Dirac es también automáticamente una solución a la ecuación de Klein-Gordon. ^{[ 40 ] : 349} Por lo tanto, sus soluciones pueden escribirse como una combinación lineal de ondas planas . ^{[ 54 ] : 59}

La ecuación de Dirac admite soluciones de onda plana de frecuencia positiva ^{[ 54 ] : 59}

${\displaystyle \psi (x)=u({\boldsymbol {p}})e^{ip_{\mu }x^{\mu }}}$

con energía positiva dada por${\displaystyle p_{0}={\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}>0}$. También admite soluciones de frecuencia negativa que toman la misma forma excepto que${\displaystyle p_{0}=-{\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}<0}$. ^{[ 16 ] : 188} Es más conveniente reescribir estas soluciones de frecuencia negativa invirtiendo el signo del momento para asegurar que tengan una energía positiva.${\displaystyle p_{0}>0}$y así toman la forma ^{[ 36 ] : 48}

${\displaystyle \psi (x)=v({\boldsymbol {p}})e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}.}$

En el nivel clásico, estas son soluciones de frecuencia positiva y negativa de una ecuación de onda clásica, pero en la teoría cuántica corresponden a operadores que crean partículas con polarización espinorial.${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})}$o aniquilando antipartículas con polarización espinorial${\displaystyle v({\boldsymbol {p}})}$. ^{[ 16 ] : 188} Ambas polarizaciones espinoriales satisfacen la ecuación de Dirac en el espacio de momentos ^{[ 54 ] : 59}

${\displaystyle ({{p}\!\!\!/}+m)u({\boldsymbol {p}})=0,}$

${\displaystyle ({{p}\!\!\!/}-m)v({\boldsymbol {p}})=0.}$

Dado que se trata de ecuaciones matriciales simples, pueden resolverse directamente una vez que se elige una representación explícita para las matrices gamma. En la representación quiral, la solución general viene dada por ^{[ 16 ] : 190}

${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})={{\sqrt {p\cdot \sigma }}\xi _{s} \choose {\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\xi _{s}},\qquad v({\boldsymbol {p}})={{\sqrt {p\cdot \sigma }}\eta _{s} \choose -{\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\eta _{s}},}$

dónde${\displaystyle \xi _{s}}$y${\displaystyle \eta _{s}}$son vectores complejos arbitrarios de orden 2, que describen los dos grados de libertad de espín para la partícula y dos para la antipartícula. ^{[ 36 ] : 45} En el límite sin masa, estos estados de espín corresponden a los posibles estados de helicidad que pueden tener los fermiones sin masa, ya sean levógiros o dextrógiros. ^{[ 16 ] : 190}

Si bien la ecuación de Dirac estándar se derivó originalmente en una${\displaystyle 3+1}$En el espaciotiempo dimensional , se puede generalizar directamente a dimensiones y signaturas métricas arbitrarias , donde adopta la misma forma covariante. ^{[ 55 ] : 51} La diferencia crucial radica en que las matrices gamma deben cambiarse a matrices gamma del álgebra de Clifford apropiadas en esas dimensiones y signatura métrica, con el tamaño del espinor de Dirac correspondiente a la dimensionalidad de las matrices gamma. Si bien la ecuación de Dirac siempre existe, dado que cada dimensión admite espinores de Dirac, las propiedades de estos espinores y su relación con otras representaciones de espinores difieren significativamente entre dimensiones. ^{[ 38 ] : 59} Otras diferencias incluyen la ausencia de una matriz de quiralidad en dimensiones impares. ^{[ 35 ] : 534}

La ecuación también puede generalizarse desde el espaciotiempo plano de Minkowski al espaciotiempo curvo mediante la introducción de una derivada covariante espinorial ^{[ 38 ] : 179}

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}\left(\omega _{\alpha \beta }\right)_{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },}$

dónde${\displaystyle \omega _{\alpha \beta }}$es la conexión de espín que se puede definir utilizando el formalismo de la tétrada . La ecuación de Dirac en el espaciotiempo curvo toma entonces la forma ^{[ 56 ] : 862}

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi (x)=0.}$

Agregar términos de autointeracción a la acción de Dirac da lugar a la ecuación de Dirac no lineal , que permite que los fermiones interactúen consigo mismos, como en el modelo de Thirring . ^{[ 57 ] : 81} Las interacciones entre fermiones también pueden introducirse a través de efectos electromagnéticos . En particular, la ecuación de Breit describe sistemas multielectrónicos que interactúan electromagnéticamente hasta el primer orden en la teoría de perturbaciones . ^{[ 58 ]} La ecuación de Dirac de dos cuerpos es una ecuación multicuerpo similar.

Una reformulación geométrica de la ecuación de Dirac se conoce como la ecuación de Dirac-Hestenes. ^{[ 59 ]} En esta formulación, todos los componentes de la ecuación de Dirac tienen una interpretación geométrica explícita. Otra ecuación geométrica relacionada es la ecuación de Dirac-Kähler , que es un análogo geométrico de la ecuación de Dirac que puede definirse en cualquier variedad pseudoriemanniana general y que actúa sobre formas diferenciales . ^{[ 60 ]} En el caso de una variedad plana , se reduce a cuatro copias de la ecuación de Dirac. Sin embargo, en variedades curvas esta descomposición se rompe y la ecuación difiere fundamentalmente. ^{[ 61 ]} Esta ecuación se utiliza en la teoría de campos reticulares para describir el límite continuo de fermiones escalonados .

El espinor de Dirac puede descomponerse en un par de espinores de Weyl de quiralidad opuesta.${\displaystyle \psi ^{T}=(\psi _{L},\psi _{R})}$. ^{[ 40 ] : 340} Bajo transformaciones de Lorentz , uno se transforma como un espinor de Weyl zurdo${\displaystyle \psi _{L}}$y el otro como un espinador de Weyl diestro${\displaystyle \psi _{R}}$. En la representación quiral de las matrices gamma, la ecuación de Dirac se reduce al par de ecuaciones para los espinores de Weyl ^{[ 54 ] : 57}

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}(x)=m\psi _{L}(x),}$

${\displaystyle i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}(x)=m\psi _{R}(x).}$

En particular, en el límite sin masa , los espinores de Weyl se desacoplan y la ecuación de Dirac es equivalente a un par de ecuaciones de Weyl . ^{[ 16 ] : 168}

Esta descomposición se ha propuesto como una explicación intuitiva del Zitterbewegung , ya que estos componentes sin masa se propagarían a la velocidad de la luz y se moverían en direcciones opuestas, puesto que la helicidad es la proyección del espín sobre la dirección del movimiento . ^{[ 62 ]} Aquí, el papel de la masa no es hacer que la velocidad sea menor que la de la luz, sino que controla la tasa promedio a la que ocurren estas inversiones; específicamente, las inversiones pueden modelarse como un proceso de Poisson . ^{[ 63 ]}

Una ecuación estrechamente relacionada es la ecuación de Majorana , que formalmente adopta la misma forma que la ecuación de Dirac, excepto que actúa sobre espinores de Majorana. ^{[ 16 ] : 193} Estos son espinores que satisfacen una condición de realidad.${\displaystyle \psi =C{\bar {\psi }}^{T}}$, dónde${\displaystyle C}$es el operador de conjugación de carga . ^{[ 38 ] : 56} En dimensiones superiores , la ecuación de Dirac tiene relaciones similares a las ecuaciones que describen otras representaciones espinoriales que surgen en esas dimensiones.

En el límite no relativista, la ecuación de Dirac se reduce a la ecuación de Pauli , ^{[ 32 ] : 332} que cuando se acopla al electromagnetismo tiene la forma

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\hat {\boldsymbol {p}}}-q{\boldsymbol {A}})\right)^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =0.}$

Aquí${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es el vector de matrices de Pauli y${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\nabla }$es el operador de momento . La ecuación describe un fermión de carga${\displaystyle q}$acoplado al campo electromagnético a través de un potencial vectorial magnético${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$y un potencial escalar eléctrico${\displaystyle \phi }$. ^{[ 17 ] : 258} El fermión se describe mediante la función de onda de dos componentes${\displaystyle |\psi \rangle }$donde cada componente describe uno de los dos estados de espín.${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|\uparrow \rangle +\psi _{-}|\downarrow \rangle }$. ^{[ 8 ] : 711}

La ecuación de Pauli se usa a menudo en mecánica cuántica para describir fenómenos donde los efectos relativistas son despreciables pero el espín del fermión es importante. ^{[ 8 ] : 711–715} También se puede reformular en una forma que muestra directamente que la relación giromagnética del fermión descrito por la ecuación de Dirac es exactamente${\displaystyle g=2}$. ^{[ 54 ] : 74} En electrodinámica cuántica existen correcciones cuánticas adicionales que modifican este valor, dando lugar a un momento magnético anómalo distinto de cero . ^{[ 8 ] : 712}

Las simetrías vectorial y axial de la acción de Dirac son ambas simetrías globales , ya que actúan de la misma manera en todo el espaciotiempo . ^{[ 16 ] : 34} En la teoría clásica de campos , el lagrangiano siempre puede modificarse de manera que se eleve una simetría global a una simetría local, que puede actuar de manera diferente en diferentes ubicaciones del espaciotiempo. ^{[ 40 ] : 166–167} En el caso de la simetría vectorial, que corresponde a un cambio global del campo espinorial por una fase${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha }\psi }$, la calibración daría como resultado una acción invariante bajo una simetría local donde la fase puede tomar diferentes valores en diferentes puntos${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha (x)}\psi }$[ ^{54 ] : 70 Si bien las simetrías siempre se pueden calibrar en la} teoría clásica de campos, esto no siempre es posible en la teoría cuántica completa debido a diversas obstrucciones, como las anomalías , que indican que la teoría cuántica completa no es invariante bajo la simetría local a pesar de que su lagrangiano clásico sea invariante. ^{[ 48 ] : 177} Por ejemplo, la simetría axial en la teoría de Dirac sin masa con un fermión es anómala debido a la anomalía quiral y no se puede calibrar. ^{[ 36 ] : 661}

Elevar la simetría vectorial a una simetría local significa que la acción original ya no es invariante bajo la simetría debido a la aparición de una${\displaystyle \partial _{\mu }\alpha (x)}$término que surge del término cinético . ^{[ 40 ] : 167} En cambio, un nuevo campo${\displaystyle A_{\mu }(x)}$, conocido como campo de gauge, debe ser introducido. También debe transformarse bajo la simetría local como ^{[ 36 ] : 78}

${\displaystyle A_{\mu }\rightarrow A_{\mu }+{\tfrac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha ,}$

dónde${\displaystyle e}$desempeña el papel de la carga del espinor de Dirac sobre el campo de gauge. La acción de Dirac puede entonces hacerse invariante bajo la simetría local reemplazando el término de derivada con una nueva derivada covariante de gauge ^{[ 16 ] : 173}

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +ieA_{\mu }\psi .}$

La acción de Dirac toma entonces la forma ^{[ 54 ] : 71}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(i{{D}\!\!\!\!/}-m)\psi =\int d^{4}x\left[{\bar {\psi }}(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }\right].}$

Este resultado también puede obtenerse directamente mediante el procedimiento de Noether, que es el principio general de que una simetría global puede ser calibrada mediante la introducción de un término que acopla el campo de gauge a la corriente de simetría global apropiada . ^{[ 40 ] : 161} Además, la introducción del término cinético para el campo de gauge da como resultado la acción para la electrodinámica cuántica . ^{[ 36 ] : 78}

Las simetrías que se pueden calibrar se pueden ampliar enormemente considerando una teoría con${\displaystyle N}$espinores de Dirac idénticos${\displaystyle \psi ^{a}}$etiquetado por un nuevo índice${\displaystyle a}$En conjunto, estos espinores pueden considerarse como parte de un solo objeto.${\displaystyle \psi }$con componentes${\displaystyle \psi ^{i,a}}$dónde${\displaystyle i}$etiqueta los cuatro componentes de espín y${\displaystyle a}$los diferentes espinores. ^{[ 16 ] : 491} La mayor simetría global de esta acción viene dada entonces por el grupo unitario${\displaystyle {\text{U}}(N)}$. ^{[ 36 ] : 490}

Cualquier subgrupo continuo de${\displaystyle {\text{U}}(N)}$entonces se puede medir. En particular, si uno desea medir la simetría que actúa sobre todos${\displaystyle N}$componentes, entonces la simetría que se está midiendo debe admitir una${\displaystyle N}$Representación unitaria de dimensión que actúa sobre los espinores. ^{[ 49 ] : 420} Es decir, para cada${\displaystyle g\in {\text{G}}\subseteq {\text{U}}(N)}$, existe un${\displaystyle N\times N}$representación de matriz dimensional${\displaystyle \rho (g)}$de tal manera que

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \rho (g)\psi (x)}$

forma una representación fiel del grupo . Al medir el subgrupo continuo más grande,${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$, requiere que los espinores se transformen en la representación fundamental o antifundamental . ^{[ 16 ] : 484 [ nb 6 ]} El calibrado eleva la representación de ser independiente del espacio-tiempo a ser dependiente del espacio-tiempo${\displaystyle \rho (g(x))}$. ^{[ 36 ] : 490} Requiere introducir un campo de calibre${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$, formalmente la conexión en el fibrado principal , ^{[ 64 ]} que necesariamente se transforma en la representación adjunta del grupo de calibre . La derivada covariante toma entonces la forma ^{[ 40 ] : 223}

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\tilde {\rho }}(A_{\mu })\psi .}$

Una simetría que se suele medir es el grupo unitario especial.${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$simetría. Los espinores que se transforman en la representación fundamental se transforman como ^{[ 49 ] : 416}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow U(x)\psi (x),}$

dónde${\displaystyle U(x)}$es un${\displaystyle N\times N}$matriz unitaria correspondiente a un elemento de grupo particular. El campo de calibre es un campo de calibre con valores matriciales.${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$que se transforma en la representación adjunta como ^{[ 16 ] : 492}

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow U(x)A_{\mu }(x)U^{-1}(x)+{\frac {1}{g}}(\partial _{\mu }U(x))U^{-1}(x).}$

La derivada covariante toma entonces la forma

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi .}$

Al introducir también el término cinético para el campo de gauge, se construye la acción para la cromodinámica cuántica ^{[ 36 ] : 489}

${\displaystyle S_{\text{QCD}}=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+{\bar {\psi }}(i{{D}\!\!\!/}-m)\psi \right],}$

donde en el término cinético del campo de gauge, el tensor de intensidad de campos de Yang-Mills se define como

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }].}$

El caso de${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$describe las interacciones fuertes del sector de quarks del Modelo Estándar , con el campo de gauge correspondiente a los gluones y los espinores de Dirac a los quarks. ^{[ 65 ] : 54} El${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$Este caso también desempeña un papel en el Modelo Estándar, describiendo el sector electrodébil . El campo de gauge en este caso es el bosón W , mientras que los espinores de Dirac son leptones . ^{[ 16 ] : 592}