Teorema de Dold-Thom

En topología algebraica , el teorema de Dold-Thom establece que los grupos de homotopía del producto simétrico infinito de un complejo CW conexo son los mismos que sus grupos de homología reducidos . La versión más común de su demostración consiste en mostrar que la composición de los functores del grupo de homotopía con el producto simétrico infinito define una teoría de homología reducida. Una de las principales herramientas utilizadas para ello son las cuasifibraciones . El teorema se ha generalizado de diversas maneras, por ejemplo, mediante el teorema de isomorfismo de Almgren .

Existen otros teoremas que establecen relaciones entre homotopía y homología, como el teorema de Hurewicz . Otra aproximación la proporciona la teoría de la homotopía estable . Gracias al teorema de suspensión de Freudenthal , se observa que esta última define, de hecho, una teoría de la homología. Sin embargo, ninguno de estos teoremas permite reducir directamente la homología a la homotopía. Esta ventaja del teorema de Dold-Thom lo hace particularmente interesante para la geometría algebraica .

Teorema de Dold-Thom. Para un complejo CW conexo X se tiene π _n SP( X ) ≅ H̃ _n ( X ), donde H̃ _n denota homología reducida y SP representa el producto simétrico infinito.

También es muy útil que exista un isomorfismo φ  : π _n SP( X ) → H̃ _n ( X ) que sea compatible con el homomorfismo de Hurewicz h : π _n ( X ) → H̃ _n ( X ), lo que significa que se tiene un diagrama conmutativo.

donde i _* es el mapa inducido por la inclusión i : X = SP ¹ ( X ) → SP( X ).

El siguiente ejemplo ilustra que el requisito de que X sea un complejo CW no se puede omitir sin más: Sea X = C H ∨ C H la suma de cuñas de dos copias del cono sobre el pendiente hawaiano . Se supone que el punto común de las dos copias es el punto 0 ∈ H que intersecta cada círculo. Por un lado, H ₁ ( X ) es un grupo infinito ^{[ 1 ]} mientras que H ₁ ( C H ) es trivial. Por otro lado, π ₁ (SP( X )) ≅ π ₁ (SP( C H )) × π ₁ (SP( C H )) se cumple ya que φ  : SP( X ) × SP( Y ) → SP( X ∨ Y ) definido por φ([ x ₁ , ..., x _n ], [ y ₁ , ..., y _n ]) = ([ x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n ]) es un homeomorfismo para X e Y compactos .

Pero esto implica que o bien π ₁ (SP( C H )) ≅ H ₁ ( C H ) o bien π ₁ (SP( X )) ≅ H ₁ ( X ) no se cumple.

Se quiere demostrar que la familia de functores h _n = π _n${\displaystyle \circ }$SP define una teoría de homología . Dold y Thom eligieron en su demostración inicial una ligera modificación de los axiomas de Eilenberg-Steenrod , a saber, llamar teoría de homología reducida a una familia de functores ( h̃ _n ) _{n ∈ N 0} de la categoría de complejos CW conexos con base en la categoría de grupos abelianos si satisfacen

1. Si f ≃ g : X → Y , entonces f _* = g _* : h̃ _n ( X ) → h̃ _n ( Y ), donde ≃ denota equivalencia homotópica apuntada .
2. Existen homomorfismos de frontera naturales ∂  : h̃ _n ( X / A ) → h̃ _{n −1} ( A ) para cada par ( X , A ) con X y A conectados, lo que produce una secuencia exacta.
   ${\displaystyle \qquad \dots \xrightarrow {\partial } {\tilde {h}}_{n}(A)\xrightarrow {i_{*}} {\tilde {h}}_{n}(X)\xrightarrow {q_{*}} {\tilde {h}}_{n}(X/A)\xrightarrow {\partial } {\tilde {h}}_{n-1}(A)\xrightarrow {i_{*}} \dots }$
   donde i : A → X es la inclusión y q : X → X / A es la aplicación cociente.
3. h̃ _n ( S ¹ ) = 0 para n ≠ 1, donde S ¹ denota el círculo.
4. Sea ( X _λ ) el sistema de subespacios compactos de un espacio puntual X que contiene el punto base. Entonces ( X _λ ) es un sistema directo junto con las inclusiones. Denotemos por${\displaystyle i_{\lambda }\colon X_{\lambda }\to X}$respectivamente${\displaystyle i_{\lambda }^{\mu }\colon X_{\lambda }\to X_{\mu }}$la inclusión si X _λ ⊂ X _μ . h̃ _n ( X _λ ) es también un sistema directo con los morfismos${\displaystyle {i_{\lambda }^{\mu }}_{*}}$. Entonces el homomorfismo
   ${\displaystyle \qquad i_{*}\colon \varinjlim {\tilde {h}}_{n}(X_{\lambda })\to {\tilde {h}}_{n}(X),}$
   inducido por el${\displaystyle i_{\lambda *}}$Se requiere que sea un isomorfismo.

Se puede demostrar que para una teoría de homología reducida ( h̃ _n ) _{n ∈ N 0} existe un isomorfismo natural h̃ _n ( X ) ≅ H̃ _n ( X ; G ) con G = h̃ ₁ ( S ¹ ). ^{[ 2 ]}

Claramente, h _n es un functor que cumple la propiedad 1, ya que SP es un functor de homotopía. Además, la tercera propiedad es clara puesto que se tiene SP( S ¹ ) ≃ S ¹ . Por lo tanto, solo queda verificar los axiomas 2 y 4. El punto clave de esta tarea será el primer punto. Aquí es donde entran en juego las cuasifibraciones :

El objetivo es demostrar que el mapa p _* : SP( X ) → SP( X / A ) inducido por el mapa cociente p : X → X / A es una cuasifibración para un par CW ( X , A ) que consta de complejos conexos. En primer lugar, como todo complejo CW es homotópicamente equivalente a un complejo simplicial, ^{[ 3 ]} X y A pueden asumirse como complejos simpliciales . Además, X será reemplazado por el cilindro de mapeo de la inclusión A → X. Esto no cambiará nada ya que SP es un functor homotópico. Basta con demostrar por inducción que p _*  : E _n → B _n es una cuasifibración con B _n = SP ⁿ ( X / A ) y E _n = p _* ⁻¹ ( B _n ). Para n = 0 esto se cumple trivialmente. En el paso de inducción, se descompone B _n en un entorno abierto de B _{n −1} y B _n − B _{n −1} y se demuestra que estos dos conjuntos, junto con su intersección, son distinguidos, es decir, que p restringido a cada una de las preimágenes de estos tres conjuntos es una cuasifibración. Se puede demostrar que B _n ya es distinguido en sí mismo. Por lo tanto, p _* es efectivamente una cuasifibración en todo SP( X ) y la larga sucesión exacta de tal implica que se satisface el axioma 2, ya que p _* ⁻¹ ([e]) ≅ SP( A ).

Uno podría preguntarse si p _* no es siquiera una fibración. Sin embargo, resulta que no es así: tomemos un camino arbitrario x _t para t ∈ [0, 1) en X − A que se aproxime a algún a ∈ A e interpretémoslo como un camino en X / A ⊂ SP( X / A ). Entonces, cualquier elevación de este camino a SP( X ) es de la forma x _t α _t con α _t ∈ A para cada t . Pero esto significa que su punto final a α ₁ es un múltiplo de a , por lo tanto diferente del punto base, por lo que la propiedad de elevación por homotopía no se cumple.

Verificar el cuarto axioma puede hacerse de forma bastante elemental, a diferencia del anterior.

Cabe tener en cuenta que existen diversas demostraciones, aunque esta parece ser la más popular. Por ejemplo, se han establecido demostraciones mediante homología de factorización o conjuntos simpliciales . También se puede demostrar el teorema utilizando otras nociones de la teoría de la homología (como los axiomas de Eilenberg-Steenrod).

Compatibilidad con el homomorfismo de Hurewicz

Para verificar la compatibilidad con el homomorfismo de Hurewicz, basta con demostrar que la afirmación se cumple para X = S ⁿ . Esto se debe a que entonces se obtiene un prisma

para cada Elemento [ f ] ∈ π _n ( X ) representado por una aplicación f : S ⁿ → X . Todos los lados excepto posiblemente el de abajo conmutan en este diagrama. Por lo tanto, se ve que todo el diagrama conmuta cuando se considera a dónde se mapea 1 ∈ π _n ( S ⁿ ) ≅ Z. ​​Sin embargo, al usar los isomorfismos de suspensión para grupos de homotopía o homología, la tarea se reduce a mostrar la afirmación para S ¹ . Pero en este caso la inclusión SP ¹ ( S ¹ ) → SP( S ¹ ) es una equivalencia de homotopía.

• Aguilar, Marcelo; Gitler, Samuel; Prieto, Carlos (2008). Topología algebraica desde una perspectiva homotópica . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22489-3.
• Bandklayder, Lauren (2019), "El teorema de Dold-Thom mediante homología de factorización", Journal of Homotopy and Related Sources , 14 (2): 579– 593, doi : 10.1007/s40062-018-0219-1 , S2CID 256333418 
• Döld, Albrecht; Thom, René (1958), "Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte", Annals of Mathematics , segunda serie, 67 (2): 239– 281, doi : 10.2307/1970005 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970005 , SEÑOR 0097062   
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1.
• May, J. Peter (1990), "Equivalencias débiles y cuasibraciones", Grupos de autoequivalencias y temas relacionados , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1425, pp. 91–101 , doi : 10.1007/BFb0083834 , ISBN  978-3-540-52658-2
• Piccinini, Renzo A. (1992). Lecciones sobre la teoría de la homotopía . Elsevier. ISBN 9780080872827.
• Spanier, Edwin (1959), "Productos simétricos infinitos, espacios de funciones y dualidad", Annals of Mathematics , 69 (1): 142–198 , doi : 10.2307/1970099 , JSTOR 1970099 

• ¿Por qué el teorema de Dold-Thom? (en MathOverflow)
• ¿El teorema de Dold-Thom para categorías infinitas? en MathOverflow
• Estructura de grupos en espacios de Eilenberg-MacLane en StackExchange