Teoría de sistemas dinámicos

El concepto de sistema dinámico es una formalización matemática de cualquier "regla" fija que describe la dependencia temporal de la posición de un punto en su entorno . Algunos ejemplos son los modelos matemáticos que describen el movimiento de un péndulo, el flujo de agua en una tubería y la cantidad de peces que aparecen cada primavera en un lago.

Un sistema dinámico tiene un estado determinado por un conjunto de números reales o, más generalmente, por un conjunto de puntos en un espacio de estados apropiado . Pequeños cambios en el estado del sistema corresponden a pequeños cambios en los números. Estos números son también las coordenadas de un espacio geométrico: una variedad . La regla de evolución del sistema dinámico es una regla fija que describe qué estados futuros se derivan del estado actual. Esta regla puede ser determinista (para un intervalo de tiempo dado, un estado futuro puede predecirse con precisión a partir del estado actual) o estocástica (la evolución del estado solo puede predecirse con cierta probabilidad).

El dinamismo , también conocido como hipótesis dinámica o hipótesis dinámica en la ciencia cognitiva , o cognición dinámica , es un nuevo enfoque en la ciencia cognitiva ejemplificado por el trabajo del filósofo Tim van Gelder . Sostiene que las ecuaciones diferenciales son más adecuadas para modelar la cognición que los modelos computacionales más tradicionales .

En matemáticas , un sistema no lineal es aquel que no es lineal , es decir, un sistema que no satisface el principio de superposición . En términos menos técnicos, un sistema no lineal es cualquier problema en el que la(s) variable(s) a resolver no puede(n) expresarse como una suma lineal de componentes independientes. Un sistema no homogéneo , que es lineal salvo por la presencia de una función de las variables independientes , es no lineal según una definición estricta, pero estos sistemas suelen estudiarse junto con los sistemas lineales, ya que pueden transformarse en un sistema lineal siempre que se conozca una solución particular.

La dinámica aritmética es un campo surgido en la década de 1990 que amalgama dos áreas de las matemáticas: los sistemas dinámicos y la teoría de números . Clásicamente, la dinámica discreta se refiere al estudio de la iteración de automapas del plano complejo o la recta real . La dinámica aritmética estudia las propiedades de la teoría de números de puntos enteros, racionales, p -ádicos y/o algebraicos bajo la aplicación repetida de una función polinómica o racional .

La teoría del caos describe el comportamiento de ciertos sistemas dinámicos —es decir, sistemas cuyo estado evoluciona con el tiempo— que pueden presentar una dinámica altamente sensible a las condiciones iniciales (conocido popularmente como el efecto mariposa ). Como resultado de esta sensibilidad, que se manifiesta como un crecimiento exponencial de las perturbaciones en las condiciones iniciales, el comportamiento de los sistemas caóticos parece aleatorio . Esto ocurre incluso cuando estos sistemas son deterministas , lo que significa que su dinámica futura está completamente definida por sus condiciones iniciales, sin la intervención de elementos aleatorios. Este comportamiento se conoce como caos determinista, o simplemente caos .

Los sistemas complejos constituyen un campo científico que estudia las propiedades comunes de los sistemas considerados complejos en la naturaleza , la sociedad y la ciencia . También se les conoce como teoría de sistemas complejos , ciencia de la complejidad , estudio de sistemas complejos o ciencias de la complejidad . Los principales problemas de estos sistemas radican en las dificultades para su modelado y simulación formal . Desde esta perspectiva, en diferentes contextos de investigación, los sistemas complejos se definen en función de sus distintos atributos.

El estudio de los sistemas complejos está revitalizando numerosas áreas de la ciencia donde una estrategia reduccionista más convencional ha resultado insuficiente. Por ello, el término «sistemas complejos» se utiliza a menudo de forma amplia para abarcar un enfoque de investigación aplicado a problemas de diversas disciplinas, como las neurociencias , las ciencias sociales , la meteorología , la química , la física , la informática , la psicología , la vida artificial , la computación evolutiva , la economía , la predicción de terremotos, la biología molecular y el estudio de la naturaleza de las propias células vivas .

La teoría de control es una rama interdisciplinaria de la ingeniería y las matemáticas , que en parte se ocupa de influir en el comportamiento de los sistemas dinámicos .

La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que estudia sistemas dinámicos con una medida invariante y problemas relacionados. Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de la física estadística .

El análisis funcional es la rama de las matemáticas , y específicamente del análisis , que se ocupa del estudio de los espacios vectoriales y los operadores que actúan sobre ellos. Sus raíces históricas se encuentran en el estudio de los espacios funcionales , en particular en las transformaciones de funciones , como la transformada de Fourier , así como en el estudio de las ecuaciones diferenciales e integrales . Este uso del término «funcional» se remonta al cálculo de variaciones , que implica una función cuyo argumento es otra función. Su uso general se atribuye al matemático y físico Vito Volterra , y su fundación se atribuye en gran medida al matemático Stefan Banach .

El concepto de sistemas dinámicos de grafos (SDG) permite describir una amplia gama de procesos que tienen lugar en grafos o redes. Un tema central en el análisis matemático y computacional de los sistemas dinámicos de grafos es la relación entre sus propiedades estructurales (por ejemplo, la conectividad de la red) y la dinámica global resultante.

Los sistemas dinámicos proyectados constituyen una teoría matemática que investiga el comportamiento de sistemas dinámicos cuyas soluciones están restringidas a un conjunto de restricciones. Esta disciplina comparte conexiones y aplicaciones tanto con el ámbito estático de la optimización y los problemas de equilibrio como con el ámbito dinámico de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Un sistema dinámico proyectado se define mediante el flujo de la ecuación diferencial proyectada.

La dinámica simbólica es la práctica de modelar un sistema dinámico topológico o suave mediante un espacio discreto que consta de secuencias infinitas de símbolos abstractos, cada uno de los cuales corresponde a un estado del sistema, con la dinámica (evolución) dada por el operador de desplazamiento .

La dinámica de sistemas es un enfoque para comprender el comportamiento de los sistemas a lo largo del tiempo. Se ocupa de los bucles de retroalimentación internos y los retardos temporales que afectan el comportamiento y el estado de todo el sistema. ^{[ 3 ]} Lo que distingue el uso de la dinámica de sistemas de otros enfoques para el estudio de sistemas es el lenguaje utilizado para describir los bucles de retroalimentación con existencias y flujos . Estos elementos ayudan a describir cómo incluso los sistemas aparentemente simples muestran una desconcertante no linealidad .

La dinámica topológica es una rama de la teoría de sistemas dinámicos en la que se estudian las propiedades cualitativas y asintóticas de los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la topología general .

En la biomecánica deportiva , la teoría de sistemas dinámicos ha surgido en las ciencias del movimiento como un marco viable para modelar el rendimiento y la eficiencia atlética. Esto no sorprende, ya que la teoría de sistemas dinámicos tiene sus raíces en la mecánica analítica . Desde una perspectiva psicofisiológica, el sistema de movimiento humano es una red altamente intrincada de subsistemas codependientes (p. ej., respiratorio, circulatorio, nervioso, musculoesquelético, perceptivo) que se componen de una gran cantidad de componentes que interactúan (p. ej., células sanguíneas, moléculas de oxígeno, tejido muscular, enzimas metabólicas, tejido conectivo y hueso). En la teoría de sistemas dinámicos, los patrones de movimiento emergen a través de procesos genéricos de autoorganización que se encuentran en los sistemas físicos y biológicos. ^{[ 4 ]} No existe validación de investigación de ninguna de las afirmaciones asociadas con la aplicación conceptual de este marco.

La teoría de sistemas dinámicos se ha aplicado en el campo de la neurociencia y el desarrollo cognitivo , especialmente en las teorías neopiagetianas del desarrollo cognitivo . Se cree que el desarrollo cognitivo se representa mejor mediante teorías físicas que mediante teorías basadas en la sintaxis y la IA . También se cree que las ecuaciones diferenciales son la herramienta más apropiada para modelar el comportamiento humano. Estas ecuaciones se interpretan como la representación de la trayectoria cognitiva de un agente a través del espacio de estados . En otras palabras, los dinamicistas argumentan que la psicología debería ser (o es) la descripción (mediante ecuaciones diferenciales) de las cogniciones y los comportamientos de un agente bajo ciertas presiones ambientales e internas. El lenguaje de la teoría del caos también se adopta con frecuencia.

En ella, la mente del aprendiz alcanza un estado de desequilibrio donde los patrones antiguos se han roto. Esta es la transición de fase del desarrollo cognitivo. La autoorganización (la creación espontánea de formas coherentes) se establece a medida que los niveles de actividad se vinculan entre sí. Las estructuras macroscópicas y microscópicas recién formadas se apoyan mutuamente, acelerando el proceso. Estos vínculos forman la estructura de un nuevo estado de orden en la mente a través de un proceso llamado festoneado (la construcción y el colapso repetidos de un desempeño complejo). Este nuevo estado es progresivo, discreto, idiosincrásico e impredecible. ^{[ 5 ]}

La teoría de sistemas dinámicos se ha utilizado recientemente para explicar un problema largamente sin respuesta en el desarrollo infantil conocido como el error A-no-B . ^{[ 6 ]}

Además, desde mediados de la década de 1990 ^{[ 7 ]} la ciencia cognitiva , orientada hacia un conexionismo de la teoría de sistemas , ha adoptado cada vez más los métodos de la “Teoría de Sistemas Dinámicos (TSD)” (no lineal). ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} Una variedad de neuroarquitecturas cognitivas neurosimbólicas en el conexionismo moderno, considerando su núcleo estructural matemático, pueden categorizarse como sistemas dinámicos (no lineales). ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Estos intentos en neurocognición de fusionar neuroarquitecturas cognitivas conexionistas con la TSD provienen no solo de la neuroinformática y el conexionismo, sino también recientemente de la psicología del desarrollo (“Teoría de Campo Dinámico (TCD)” ^{[ 14 ] [ 15 ]} ) y de la “ robótica evolutiva ” y la “ robótica del desarrollo ” ^{[ 16 ]} en conexión con el método matemático de “ computación evolutiva (CE)”. Para una visión general, véase Maurer. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

La aplicación de la Teoría de Sistemas Dinámicos al estudio de la adquisición de segundas lenguas se atribuye a Diane Larsen-Freeman , quien publicó un artículo en 1997 en el que afirmaba que la adquisición de segundas lenguas debería considerarse un proceso de desarrollo que incluye tanto la pérdida como la adquisición del lenguaje. ^{[ 19 ]} En su artículo, sostenía que el lenguaje debería considerarse un sistema dinámico, complejo, no lineal, caótico, impredecible, sensible a las condiciones iniciales, abierto, autoorganizado, sensible a la retroalimentación y adaptativo.