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Igualdad (matemáticas)

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El signo de igual , utilizado para representar simbólicamente la igualdad en una ecuación.

En matemáticas , la igualdad es una relación entre dos cantidades o expresiones que indica que tienen el mismo valor o representan el mismo objeto matemático . [ 1 ] [ 2 ] La igualdad entre A y B se denota con un signo de igual como A  = B  y se lee " A es igual a B ". Una expresión escrita de igualdad se denomina ecuación o identidad, según el contexto. Dos objetos que no son iguales se denominan distintos . [ 3 ]

La igualdad suele considerarse una noción primitiva , es decir, no está definida formalmente, sino que se la describe informalmente como "una relación que cada cosa guarda consigo misma y con nada más". Esta caracterización es notablemente circular ("nada más "), lo que refleja una dificultad conceptual general para caracterizar completamente el concepto. Propiedades básicas de la igualdad, como la reflexividad , la simetría y la transitividad , se han comprendido intuitivamente al menos desde la época de los antiguos griegos , pero no se enunciaron simbólicamente como propiedades generales de las relaciones hasta finales del siglo XIX por Giuseppe Peano . Otras propiedades, como la sustitución y la aplicación de funciones, no se enunciaron formalmente hasta el desarrollo de la lógica simbólica .

En matemáticas, la igualdad se formaliza generalmente de dos maneras: mediante la lógica o mediante la teoría de conjuntos . En lógica, la igualdad es un predicado primitivo (una proposición que puede tener variables libres ) con la propiedad reflexiva (llamada ley de identidad ) y la propiedad de sustitución. A partir de estas, se pueden derivar las demás propiedades necesarias para la igualdad. Tras la crisis fundacional de las matemáticas a principios del siglo XX, la teoría de conjuntos (específicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) se convirtió en el fundamento más común de las matemáticas . En teoría de conjuntos, dos conjuntos cualesquiera se definen como iguales si tienen todos los mismos elementos . Esto se conoce como el axioma de extensionalidad .

Etimología

El primer uso de un signo de igualdad , en una ecuación expresada como14incógnita+15=71{\displaystyle 14x+15=71}Utilizando notación moderna, de La piedra de afilar de Witte (1557) de Robert Recorde.
La introducción de = por parte de Recorde . "Y para evitar la tediosa repetición de estas palabras: 'es igual a', pondré, como hago a menudo en el trabajo, un par de líneas paralelas, o líneas gemelas de la misma longitud, así: ==, porque no hay dos cosas más iguales." [ 4 ]

En inglés, la palabra equal se deriva del latín aequālis ('como', 'comparable', 'similar'), que a su vez proviene de aequus ('nivel', 'justo'). [ 5 ] La palabra entró en el inglés medio alrededor del siglo XIV, tomada del francés antiguo equalité (moderno égalité ). [ 6 ] De manera más general, los sinónimos interlingüísticos de equal se han utilizado de forma más amplia a lo largo de la historia (véase §  Geometría ).

Antes del siglo XVI, no existía un símbolo común para la igualdad, y esta se expresaba generalmente con una palabra, como aequales, aequantur, esgale, faciunt, ghelijck o gleich, y a veces con la forma abreviada aeq , o simplemente ⟨ æ ⟩ y ⟨ œ ⟩ . [ 7 ] El uso que hace Diofanto de ⟨ ἴσ ⟩ , abreviatura de ἴσος ( ísos 'igual'), en Arithmetica ( c. 250  d. C. ) se considera uno de los primeros usos de un signo de igualdad . [ 8 ]

El signo = , ahora universalmente aceptado en matemáticas para representar la igualdad, fue registrado por primera vez por el matemático galés Robert Recorde en The Whetstone of Witte (1557), apenas un año antes de su muerte. La forma original del símbolo era mucho más ancha que la actual. En su libro, Recorde explica su símbolo como "líneas Gemewe", del latín gemellus ("gemelo"), utilizando dos líneas paralelas para representar la igualdad porque creía que "no hay dos cosas más iguales". [ 4 ] [ 7 ]

El símbolo de Recorde no gozó de popularidad inmediata. Tras su introducción, no se volvió a utilizar en la imprenta hasta 1618 (61 años después), en un apéndice anónimo de la traducción al inglés de la Descriptio de Edward Wright , realizada por John Napier . No fue hasta 1631 que obtuvo un reconocimiento generalizado en Inglaterra, al ser adoptado como símbolo de igualdad en algunas obras influyentes. Posteriormente, fue utilizado por varios matemáticos influyentes, entre los que destacan Isaac Newton y Gottfried Leibniz , y debido a la prevalencia del cálculo en aquella época , se extendió rápidamente por el resto de Europa. [ 7 ]

Propiedades básicas

Reflexividad
Para cada a , se tiene a = a . [ 9 ] [ 10 ]
Simetría
Para todo a y b , si a = b , entonces b = a . [ 9 ] [ 10 ]
Transitividad
Para cada a , b y c , si a = b y b = c , entonces a = c . [ 9 ] [ 10 ]
Sustitución
De manera informal, esto simplemente significa que si a = b , entonces a puede reemplazar a b en cualquier expresión o fórmula matemática sin cambiar su significado. [ 9 ] [ 11 ] [ 12 ] (Para una explicación formal, véase §  Axiomas ) Por ejemplo:
  • Dados los números reales a y b , si a = b , entoncesa>0{\displaystyle a>0}implicab>0.{\displaystyle b>0.}
Aplicación de funciones
Para cada a y b , con alguna funciónF(incógnita),{\displaystyle f(x),}si a = b , entoncesF(a)=F(b).{\displaystyle f(a)=f(b).}[ 13 ] [ 12 ] Por ejemplo:
  • Dados los enteros a y b , si a = b , entonces3a+1=3b+1.{\displaystyle 3a+1=3b+1.}(Aquí,F(incógnita)=3incógnita+1{\displaystyle f(x)=3x+1}).
  • Dadas funciones realesgramo{\displaystyle g}y​​h{\displaystyle h}sobre alguna variable a , sigramo(a)=h(a){\displaystyle g(a)=h(a)}para todos a , entoncesddagramo(a)=ddah(a){\textstyle {\frac {d}{da}}g(a)={\frac {d}{da}}h(a)}para todos a . (Aquí,F(incógnita)=dincógnitada,{\textstyle f(x)={\frac {dx}{da}},}una función sobre funciones (es decir, un operador ), llamada derivada ).

Las tres primeras propiedades se atribuyen generalmente a Giuseppe Peano por ser el primero en enunciarlas explícitamente como propiedades fundamentales de la igualdad en sus Arithmetices principia (1889). [ 14 ] [ 15 ] Sin embargo, las nociones básicas siempre han existido; por ejemplo, en los Elementos de Euclides ( c. 300  a. C. ), incluye «nociones comunes» : «Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí» (transitividad), «Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí» (reflexividad), junto con algunas propiedades de aplicación de funciones para la suma y la resta. [ 16 ] La propiedad de aplicación de funciones también se enunció en los Arithmetices principia de Peano , [ 14 ] sin embargo, había sido una práctica común en álgebra desde al menos Diofanto ( c. 250  d. C. ). [ 17 ] La propiedad de sustitución se atribuye generalmente a Gottfried Leibniz ( c. 1686 ) y a menudo se la denomina Ley de Leibniz . [ 11 ] [ 18 ]

Ecuaciones

Diagrama de una balanza
Las balanzas se utilizan para ayudar a los estudiantes de álgebra a visualizar cómo se pueden transformar las ecuaciones para determinar valores desconocidos.

Una ecuación es una igualdad simbólica de dos expresiones matemáticas conectadas por un signo de igualdad (=). [ 19 ] El álgebra es la rama de las matemáticas que se ocupa de la resolución de ecuaciones : el problema de encontrar valores de alguna variable , llamada incógnita , para los cuales se cumple la igualdad especificada. Cada valor de la incógnita para el cual se cumple la ecuación se llama solución de la ecuación dada; también se dice que satisface la ecuación. Por ejemplo, la ecuaciónincógnita2−6incógnita+5=0{\displaystyle x^{2}-6x+5=0}tiene los valoresincógnita=1{\displaystyle x=1}yincógnita=5{\displaystyle x=5}como sus únicas soluciones. La terminología se utiliza de forma similar para ecuaciones con varias incógnitas. [ 20 ] El conjunto de soluciones de una ecuación o sistema de ecuaciones se denomina su conjunto de soluciones . [ 21 ]

En la enseñanza de las matemáticas , se enseña a los estudiantes a basarse en modelos concretos y visualizaciones de ecuaciones, incluyendo analogías geométricas, materiales manipulables como palitos o vasos, y "máquinas de funciones" que representan ecuaciones como diagramas de flujo . Un método utiliza balanzas como un enfoque pictórico para ayudar a los estudiantes a comprender problemas básicos de álgebra. La masa de algunos objetos en la balanza es desconocida y representa variables. Resolver una ecuación corresponde a agregar y quitar objetos en ambos lados de tal manera que los lados permanezcan en equilibrio hasta que el único objeto que quede en un lado sea el objeto de masa desconocida. [ 22 ]

A menudo, las ecuaciones se consideran una afirmación o relación que puede ser verdadera o falsa . Por ejemplo,1+1=2{\displaystyle 1+1=2}es cierto y1+1=3{\displaystyle 1+1=3}es falso. Las ecuaciones con incógnitas se consideran condicionalmente verdaderas ; por ejemplo,incógnita2−6incógnita+5=0{\displaystyle x^{2}-6x+5=0}es cierto cuandoincógnita=1{\displaystyle x=1}oincógnita=5,{\displaystyle x=5,}y falso en caso contrario. [ 23 ] Existen varias terminologías diferentes para esto. En lógica matemática , una ecuación es un predicado binario (es decir, una proposición lógica que puede tener variables libres ) que satisface ciertas propiedades . [ 24 ] En informática , una ecuación se define como una expresión booleana u operador relacional que devuelve 1 y 0 para verdadero y falso respectivamente. [ 25 ]

Identidades

Una identidad es una igualdad que es verdadera para todos los valores de sus variables en un dominio dado. [ 26 ] [ 27 ] Una "ecuación" a veces puede significar una identidad, pero con mayor frecuencia especifica un subconjunto del espacio de variables como el subconjunto donde la ecuación es verdadera. Un ejemplo es(incógnita+1)(incógnita+1)=incógnita2+2incógnita+1,{\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1,}lo cual es cierto para cada número real.incógnita.{\displaystyle x.}No existe una notación estándar que distinga una ecuación de una identidad u otro uso de la relación de igualdad: hay que adivinar una interpretación apropiada a partir de la semántica de las expresiones y el contexto. [ 28 ] A veces, pero no siempre, una identidad se escribe con una triple barra :(incógnita+1)(incógnita+1)≡incógnita2+2incógnita+1.{\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}[ 29 ] Esta notación fue introducida porBernhard Riemannen sus conferencias de 1857 sobre funciones elípticas (publicadas en 1899). [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]

Alternativamente, las identidades pueden verse como una igualdad de funciones , donde en lugar de escribirF(a)=gramo(a) a pesar de a,{\displaystyle f(a)=g(a){\text{ para todo }}a,}uno puede simplemente escribirF=gramo.{\displaystyle f=g.}[ 33 ] [ 34 ] Esto se denominaextensionalidadde las funciones. [ 35 ] [ 36 ] En este sentido, la propiedad de aplicación de funciones se refiere aoperadores, operaciones en unespacio de funciones(funciones que mapean entre funciones) comola composición [ 37 ] o laderivada, comúnmente utilizadas enel cálculo operacional. [ 38 ] Una identidad puede contener funciones como "incógnitas", que pueden resolverse de forma similar a una ecuación regular, denominadaecuación funcional. [ 39 ] Una ecuación funcional que involucra derivadas se denominaecuación diferencial. [ 40 ]

Definiciones

Las ecuaciones se utilizan a menudo para introducir nuevos términos o símbolos para constantes, afirmar igualdades e introducir una notación abreviada para expresiones complejas, que se denomina "igual por definición" y que a menudo se denota con (:={\displaystyle :=} ). [ 41 ] Es similar al concepto de asignación de una variable en informática . Por ejemplo,mi:=∑norte=0∞1norte¡{\textstyle \mathbb {e} :=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} define el número de Euler , [ 42 ] yi2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}es la propiedad definitoria del número imaginarioi.{\displaystyle i.}[ 43 ]

En lógica matemática , esto se llama una extensión por definición (por igualdad), que es una extensión conservadora a un sistema formal . [ 44 ] Esto se hace tomando la ecuación que define el nuevo símbolo constante como un nuevo axioma de la teoría . El primer uso simbólico registrado de "Igual por definición" apareció en Logica Matematica (1894) de Cesare Burali-Forti , un matemático italiano. Burali-Forti, en su libro, usó la notación (=Def{\displaystyle =_{\text{Def}}}). [ 45 ] [ 46 ]

En lógica

Historia

Busto de Aristóteles.
En sus Categorías (c.  350  a. C.), Aristóteles definió la cantidad en términos de una noción primitiva de igualdad, de modo que las no cantidades no podían considerarse iguales o desiguales con otras cosas.

La igualdad se considera a menudo una noción primitiva , que informalmente se define como "una relación que cada cosa tiene consigo misma y con ninguna otra cosa". [ 47 ] Esta tradición se remonta al menos a Aristóteles , quien en sus Categorías (c.  350  a. C.) define la noción de cantidad en términos de una igualdad más primitiva (distinta de la identidad o la semejanza ), afirmando: [ 48 ]

La característica más distintiva de la cantidad es que se le atribuyen los términos igualdad y desigualdad. Se dice que cada una de las cantidades mencionadas es igual o desigual. Por ejemplo, se dice que un sólido es igual o desigual a otro; al número y al tiempo también se les pueden aplicar estos términos, al igual que a todas las cantidades que se han mencionado.

Aquello que no es una cantidad no puede, al parecer, considerarse igual o desigual a nada más. Una disposición o cualidad particular, como la blancura, no se compara con otra en términos de igualdad o desigualdad, sino más bien en términos de similitud. Por lo tanto, la característica distintiva de la cantidad es que puede denominarse igual o desigual. — (traducido por EM Edghill )

Aristóteles tenía categorías separadas para cantidades (número, longitud, volumen) y cualidades (temperatura, densidad, presión), ahora llamadas propiedades intensivas y extensivas . Los escolásticos , en particular Richard Swineshead y otros Calculadores de Oxford en el siglo XIV, comenzaron a reflexionar seriamente sobre la cinemática y el tratamiento cuantitativo de las cualidades. Por ejemplo, dos llamas tienen la misma intensidad de calor si producen el mismo efecto sobre el agua (p. ej., calentamiento frente a ebullición ). Dado que se podía demostrar que dos intensidades eran iguales, y la igualdad se consideraba la característica definitoria de las cantidades, esto significaba que dichas intensidades eran cuantificables. [ 49 ] [ 50 ]

El precursor de la propiedad de sustitución de la igualdad fue formulado por primera vez por Gottfried Leibniz en su Discurso sobre la metafísica (1686), afirmando, a grandes rasgos, que "No hay dos cosas distintas que puedan tener todas las propiedades en común". Esto se ha dividido desde entonces en dos principios, la propiedad de sustitución (siincógnita=y,{\displaystyle x=y,}entonces cualquier propiedad deincógnita{\displaystyle x}es una propiedad dey{\displaystyle y}), y su recíproco , la identidad de los indiscernibles (siincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}tienen todas las propiedades en común, entoncesincógnita=y{\displaystyle x=y}). [ 51 ]

Hacia principios del siglo XX, se hizo necesario contar con una descripción más concreta de la igualdad. En 1879, Gottlob Frege publicó su texto pionero, Begriffsschrift , que cambió el enfoque de la lógica, pasando de la lógica aristotélica , centrada en clases de objetos, a una lógica basada en propiedades, lo que se convertiría en la lógica de predicados moderna . A esto le siguió un movimiento para describir las matemáticas en fundamentos lógicos, llamado logicismo . Esta tendencia condujo a la axiomatización de la igualdad a través de la ley de identidad y la propiedad de sustitución, especialmente en la lógica matemática [ 11 ] [ 24 ] y la filosofía analítica [ 52 ] .

Más tarde, los Fundamentos de la aritmética (1884) y las Leyes básicas de la aritmética (1893, 1903) de Frege intentarían derivar los fundamentos de las matemáticas del sistema lógico desarrollado en su Begriffsschrift. Este sistema se demostraría erróneo al permitir la paradoja de Russell , lo que contribuiría a la crisis fundacional de las matemáticas . El trabajo de Frege se resolvería finalmente con una obra en tres volúmenes de Bertrand Russell y Alfred Whitehead, conocida como Principia Mathematica (1910-1913 ) . En esta obra, Russell y Whitehead también introducirían y formalizarían la Ley de Leibniz en la lógica simbólica, afirmando que se deriva de su axioma de reducibilidad , pero atribuyendo la idea a Leibniz. [ 53 ]

Axiomas

Retrato de Gottfried Leibniz.
La propiedad de sustitución de la igualdad también se conoce como "ley de Leibniz", en honor a Gottfried Leibniz , una figura clave en las matemáticas y la filosofía de las matemáticas del siglo XVII .
  • Ley de identidad : Establece que cada cosa es idéntica a sí misma, sin restricción alguna. Es decir, para cadaa,{\displaystyle a,}a=a.{\displaystyle a=a.}Es la primera de las tres leyes tradicionales del pensamiento . [ 54 ] Lo anterior puede expresarse simbólicamente como:∀a(a=a).{\displaystyle \forall a(a=a).}
  • Propiedad de sustitución : En general, establece que si dos cosas son iguales, entonces cualquier propiedad de una debe ser propiedad de la otra. A veces se la conoce como " Ley de Leibniz ". [ 55 ] Se puede enunciar formalmente como: para todo a y b , y cualquier fórmulaϕ(incógnita),{\displaystyle \phi (x),}con una variable libre x , sia=b,{\displaystyle a=b,}entoncesϕ(a){\displaystyle \phi (a)}implicaϕ(b).{\displaystyle \phi (b).}Lo anterior se puede expresar simbólicamente como:(a=b)⟹[ϕ(a)⇒ϕ(b)].{\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}.}

La aplicación de funciones también se incluye a veces en los axiomas de igualdad, [ 13 ] pero no es necesaria ya que puede deducirse de los otros dos axiomas, y de manera similar para la simetría y la transitividad (véase §  Derivaciones de propiedades básicas ). En lógica de primer orden , estos son esquemas de axiomas (generalmente, véase más adelante), cada uno de los cuales especifica un conjunto infinito de axiomas. [ 56 ] Si una teoría tiene un predicado que satisface la ley de identidad y la propiedad de sustitución, es común decir que "tiene igualdad" o que es "una teoría con igualdad". [ 44 ]

El uso de "igualdad" aquí es un tanto inapropiado, ya que cualquier sistema con igualdad puede ser modelado por una teoría sin identidad estándar y con indiscernibles . [ 57 ] [ 56 ] Sin embargo, esos dos axiomas son lo suficientemente fuertes como para ser isomorfos a un modelo con identidad; es decir, si un sistema tiene un predicado que satisface esos axiomas sin igualdad estándar, existe un modelo de ese sistema con igualdad estándar. [ 56 ] Esto puede hacerse definiendo un nuevo dominio cuyos objetos son las clases de equivalencia de la "igualdad" original. [ 58 ] Si un modelo se interpreta como si tuviera igualdad, entonces esas propiedades son suficientes, ya que siincógnita{\displaystyle x}tiene todas las mismas propiedades quey,{\displaystyle y,}yincógnita{\displaystyle x}tiene la propiedad de ser igual aincógnita,{\displaystyle x,}entoncesy{\displaystyle y}tiene la propiedad de ser igual aincógnita.{\displaystyle x.}[ 53 ] [ 59 ]

Como axiomas, se puede deducir del primero usando instanciación universal , y del segundo, dadoa=b{\displaystyle a=b}yϕ(a),{\displaystyle \phi (a),}mediante el uso del modus ponens dos veces. Alternativamente, cada uno de estos puede incluirse en la lógica como reglas de inferencia . [ 56 ] El primero llamado "introducción de la igualdad" y el segundo "eliminación de la igualdad" [ 60 ] (también llamado paramodulación ), utilizado por algunos científicos informáticos teóricos como John Alan Robinson en su trabajo sobre resolución y demostración automatizada de teoremas . [ 61 ]

La propiedad de sustitución puede producir afirmaciones falsas cuando se aplica ingenuamente. Por ejemplo, sinorte{\displaystyle n}denota "el número de planetas en el sistema solar", entonces la afirmación " Johannes Kepler no sabía quenorte>6{\displaystyle n>6}" es cierto, ya que Urano y Neptuno fueron descubiertos después de su muerte. Sin embargo, dado quenorte=8{\displaystyle n=8}, aplicando la propiedad de sustitución se obtiene la afirmación "Johannes Kepler no sabía que8>6{\displaystyle 8>6}" lo cual es falso. [ 62 ] La diferencia aquí es que, si bien las expresiones "el número de planetas" y "8" se refieren al mismo objeto (su extensión ), tienen significados diferentes (su intensión ). Por lo tanto, la propiedad de sustitución solo puede garantizarse en contextos extensionales , lo cual está garantizado en las matemáticas modernas por el axioma de extensionalidad . [ 63 ]

Derivaciones de propiedades básicas

  • Reflexividad: Dada cualquier expresióna,{\displaystyle a,}por la ley de identidad,a=a.{\displaystyle a=a.}[ 64 ]
  • Simetría: Dadoa=b,{\displaystyle a=b,}toma la fórmulaϕ(incógnita):incógnita=a.{\displaystyle \phi (x):x=a.}Respectivamente,(a=b)⟹((a=a)⇒(b=a)).{\displaystyle (a=b)\implies ((a=a)\Rightarrow (b=a)).}Desdea=b{\displaystyle a=b}por suposición, ya=a{\displaystyle a=a}Por reflexividad, se deduce queb=a.{\displaystyle b=a.}[ 64 ]
  • Transitividad: Dadoa=b{\displaystyle a=b}yb=do,{\displaystyle b=c,}toma la fórmulaϕ(incógnita):incógnita=do.{\displaystyle \phi (x):x=c.}Respectivamente,(b=a)⟹((b=do)⇒(a=do)).{\displaystyle (b=a)\implies ((b=c)\Rightarrow (a=c)).}Desdeb=a{\displaystyle b=a}por simetría yb=do{\displaystyle b=c}Por suposición, se deduce quea=do.{\displaystyle a=c.}[ 64 ]
  • Aplicación de funciones: Dada alguna funciónF(incógnita){\displaystyle f(x)}y expresiones a y b , tales que a = b , entonces tome la fórmulaϕ(incógnita):F(a)=F(incógnita).{\displaystyle \phi (x):f(a)=f(x).}[ 64 ] En consecuencia,(a=b)⟹[(F(a)=F(a))⇒(F(a)=F(b))].{\displaystyle (a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))].}Desdea=b{\displaystyle a=b}por suposición, yF(a)=F(a){\displaystyle f(a)=f(a)}Por reflexividad, se deduce queF(a)=F(b).{\displaystyle f(a)=f(b).}

En teoría de conjuntos

Dos conjuntos de polígonos en diagramas de Euler . Estos conjuntos son iguales ya que ambos tienen los mismos elementos, aunque la disposición difiera.

La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia los conjuntos , que pueden describirse informalmente como "colecciones de objetos". [ 65 ] Aunque cualquier tipo de objeto puede agruparse en un conjunto, la teoría de conjuntos —como rama de las matemáticas— se ocupa principalmente de aquellos que son relevantes para las matemáticas en su conjunto. Los conjuntos se caracterizan de forma única por sus elementos ; esto significa que dos conjuntos que tienen exactamente los mismos elementos son iguales (son el mismo conjunto). [ 66 ] En una teoría de conjuntos formalizada , esto se define generalmente mediante un axioma llamado Axioma de extensionalidad . [ 67 ]

Por ejemplo, utilizando la notación de construcción de conjuntos , lo siguiente indica que "El conjunto de todos los enteros(Z){\displaystyle (\mathbb {Z} )}mayor que 0 pero no mayor que 3 es igual al conjunto que contiene solo 1, 2 y 3", a pesar de las diferencias en la formulación.

{incógnita∈Z∣0<incógnita≤3}={1,2,3},{\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} \mid 0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},}

El término extensionalidad , tal como se usa enEl «Axioma de Extensionalidad» tiene sus raíces en la lógica y la gramática ( cf. Extensión (semántica) ). En gramática, una definición intensional describe las condiciones necesarias y suficientes para que un término se aplique a un objeto. Por ejemplo: «Un sólido platónico es un poliedro regular convexo en el espacio euclidiano tridimensional ». Una definición extensional, en cambio, enumera todos los objetos a los que se aplica el término. Por ejemplo: «Un sólido platónico es uno de los siguientes: Tetraedro , Cubo , Octaedro , Dodecaedro o Icosaedro ». En lógica, la extensión de un predicado es el conjunto de todos los objetos para los que el predicado es verdadero. [ 68 ] Además, el principio lógico de extensionalidad considera que dos objetos son iguales si satisfacen las mismas propiedades externas. Dado que, según el axioma, dos conjuntos se definen como iguales si satisfacen la condición de pertenencia , los conjuntos son extensionales. [ 69 ]

José Ferreirós reconoce que Richard Dedekind fue el primero en enunciar explícitamente el principio, aunque no lo afirma como una definición: [ 70 ]

Sucede con mucha frecuencia que distintas cosas a, b, c... consideradas por cualquier motivo bajo un punto de vista común, se agrupan en la mente, y entonces se dice que forman un sistema S; a estas cosas a, b, c... se las denomina elementos del sistema S, pues están contenidas en S; a la inversa, S consta de estos elementos. Tal sistema S (o conjunto, multiplicidad, totalidad), como objeto de nuestro pensamiento, es también una cosa; se determina completamente cuando, para cada cosa, se determina si es un elemento de S o no.

— Richard Dedekind, 1888 (traducido por José Ferreirós)

Fondo

Ernst Zermelo.
Ernst Zermelo fue el primero en formalizar explícitamente la igualdad de conjuntos como parte de su teoría de conjuntos de Zermelo , cuya descripción se publicó por primera vez en 1908. [ 71 ]

Hacia el cambio de siglo XX, las matemáticas se enfrentaron a varias paradojas y resultados contraintuitivos. Por ejemplo, la paradoja de Russell puso de manifiesto una contradicción de la teoría de conjuntos ingenua ; se demostró que el postulado de las paralelas no se puede probar; la existencia de objetos matemáticos que no se pueden calcular ni describir explícitamente; y la existencia de teoremas aritméticos que no se pueden demostrar con la aritmética de Peano . El resultado fue una crisis fundamental de las matemáticas . [ 72 ]

La resolución de esta crisis implicó el surgimiento de una nueva disciplina matemática llamada lógica matemática , que estudia la lógica formal dentro de las matemáticas. Los descubrimientos realizados durante el siglo XX estabilizaron los fundamentos de las matemáticas y produjeron un marco coherente válido para todas las ramas de la disciplina. Este marco se basa en el uso sistemático del método axiomático y en la teoría de conjuntos, específicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , desarrollada por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel . Esta teoría de conjuntos (y la teoría de conjuntos en general) se considera actualmente el fundamento más común de las matemáticas . [ 73 ]

Establecer igualdad basada en lógica de primer orden con igualdad

En lógica de primer orden con igualdad (véase §  Axiomas ), el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos que contienen los mismos elementos son el mismo conjunto. [ 74 ]

  • Axioma lógico:incógnita=y⟹∀z,(z∈incógnita⟺z∈y){\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}
  • Axioma lógico:incógnita=y⟹∀z,(incógnita∈z⟺y∈z){\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}
  • Axioma de la teoría de conjuntos:(∀z,(z∈incógnita⟺z∈y))⟹incógnita=y{\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}

Los dos primeros se derivan de la propiedad de sustitución de la igualdad de la lógica de primer orden; el último es un nuevo axioma de la teoría. Incorporar la mitad del trabajo a la lógica de primer orden puede considerarse una mera cuestión de conveniencia, como señaló Azriel Lévy :

La razón por la que abordamos el cálculo de predicados de primer orden con la igualdad es una cuestión de conveniencia; de este modo, ahorramos el trabajo de definir la igualdad y demostrar todas sus propiedades; esta carga ahora la asume la lógica. [ 75 ]

Establecer igualdad basándose en lógica de primer orden sin igualdad.

En lógica de primer orden sin igualdad, dos conjuntos se definen como iguales si contienen los mismos elementos. Entonces, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos iguales están contenidos en los mismos conjuntos. [ 76 ]

  • Definición de teoría de conjuntos: (incógnita=y) := ∀z,(z∈incógnita⟺z∈y){\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}
  • Axioma de la teoría de conjuntos:incógnita=y⟹∀z,(incógnita∈z⟺y∈z){\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}

O, equivalentemente, se puede optar por definir la igualdad de una manera que imite explícitamente la propiedad de sustitución, como la conjunción de todas las fórmulas atómicas : [ 77 ]

  • Definición de teoría de conjuntos:(incógnita=y):=∀z(z∈incógnita⟹z∈y)∧∀w(incógnita∈w⟹y∈w){\displaystyle (x=y)\,:=\,\forall z(z\in x\implies z\in y)\,\land \,\forall w(x\in w\implies y\in w)}
  • Axioma de la teoría de conjuntos:(∀z,(z∈incógnita⟺z∈y))⟹incógnita=y{\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}

En ambos casos, el axioma de extensionalidad basado en la lógica de primer orden sin igualdad establece que los conjuntos que contienen los mismos elementos siempre están contenidos en los mismos conjuntos:

∀z(z∈incógnita⟺z∈y)⟹∀w(incógnita∈w⟺y∈w).{\displaystyle \forall z(z\in x\iff z\in y)\implies \forall w(x\in w\iff y\in w).}

Demostración de propiedades básicas

  • Reflexividad: Dado un conjuntoincógnita,{\displaystyle X,}asumirz∈incógnita,{\displaystyle z\in X,}De ello se deduce trivialmente quez∈incógnita,{\displaystyle z\in X,}y lo mismo ocurre a la inversa, por lo tanto∀z,(z∈incógnita⟺z∈incógnita),{\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in X),}por lo tantoincógnita=incógnita.{\displaystyle X=X.}[ 78 ]
  • Simetría: Conjuntos dadosincógnita,Y,{\displaystyle X,Y,}de tal manera queincógnita=Y,{\displaystyle X=Y,}entonces∀z,(z∈incógnita⟺z∈Y),{\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in Y),}lo cual implica∀z,(z∈Y⟺z∈incógnita),{\displaystyle \forall z,(z\in Y\iff z\in X),}por lo tantoY=incógnita.{\displaystyle Y=X.}[ 78 ]
  • Transitividad: Conjuntos dadosincógnita,Y,Z,{\displaystyle X,Y,Z,}de tal manera que:
    1. incógnita=Y,{\displaystyle X=Y,}y
    2. Y=Z,{\displaystyle Y=Z,}
asumirz∈incógnita.{\displaystyle z\in X.}Entonces,z∈Y{\displaystyle z\in Y}por (1), lo que implicaz∈Z{\displaystyle z\in Z}por (2), y de forma similar para el inverso. Por lo tanto∀z,(z∈incógnita⟺z∈Z),{\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in Z),}por lo tantoincógnita=Z.{\displaystyle X=Z.}[ 78 ]
  • Sustitución: Véase Sustitución (lógica) §  Prueba de sustitución en ZFC .
  • Aplicación de la función: Dadoa=b{\displaystyle a=b}yF(a)=do,{\displaystyle f(a)=c,}entonces(a,do)∈F.{\displaystyle (a,c)\in f.}Desdea=b{\displaystyle a=b}ydo=do,{\displaystyle c=c,}entonces(a,do)=(b,do).{\displaystyle (a,c)=(b,c).}Esta es la propiedad definitoria de un par ordenado . [ 79 ] Dado que(a,do)=(b,do),{\displaystyle (a,c)=(b,c),}Por el axioma de extensionalidad, deben pertenecer a los mismos conjuntos. Por lo tanto, dado que(a,do)∈F,{\displaystyle (a,c)\in f,}resulta que(b,do)∈F,{\displaystyle (b,c)\in f,}oF(b)=do.{\displaystyle f(b)=c.}Por lo tanto,F(a)=F(b).{\displaystyle f(a)=f(b).}

Relaciones similares

Igualdad aproximada

Diagrama de un hexágono y un pentágono circunscritos a un círculo.
La secuencia dada por los perímetros de polígonos regulares de n lados que circunscriben el círculo unitario se aproxima a2π{\displaystyle 2\pi }.

El análisis numérico es el estudio de métodos constructivos y algoritmos para encontrar aproximaciones numéricas (a diferencia de las manipulaciones simbólicas ) de soluciones a problemas de análisis matemático . Especialmente aquellos que no pueden resolverse analíticamente . [ 80 ]

Es probable que los cálculos impliquen errores de redondeo y otros errores de aproximación . Las tablas de logaritmos , las reglas de cálculo y las calculadoras producen respuestas aproximadas para todos los cálculos, excepto los más sencillos. Los resultados de los cálculos informáticos suelen ser una aproximación, expresada en un número limitado de cifras significativas, aunque pueden programarse para producir resultados más precisos. [ 81 ]

Si la igualdad aproximada se considera como una relación binaria (denotada por el símbolo≈{\displaystyle \approx }) entre números reales u otras cosas, cualquier definición rigurosa de ella no será una relación de equivalencia, debido a que no es transitiva. Este es el caso incluso cuando se modela como una relación difusa . [ 82 ]

En informática , la igualdad se expresa mediante operadores relacionales . En los ordenadores, las limitaciones físicas restringen fundamentalmente el nivel de precisión con el que se pueden representar los números. Por lo tanto, los números reales a menudo se aproximan mediante números de coma flotante . Cada número de coma flotante se representa como una mantisa —que comprende una secuencia de dígitos de longitud fija en una base dada— que se escala mediante un exponente entero de dicha base, lo que permite que el punto de base "flote" entre cada ubicación posible en la mantisa. Esto permite representar números que abarcan muchos órdenes de magnitud, pero solo como rangos de valores difusos que se vuelven menos precisos a medida que aumentan en magnitud. [ 83 ] Para evitar la pérdida de precisión, es común representar los números reales en los ordenadores en forma de una expresión que denota el número real. Sin embargo, se sabe que la igualdad de dos números reales dada por una expresión es indecidible (específicamente, los números reales definidos por expresiones que involucran los enteros , las operaciones aritméticas básicas , el logaritmo y la función exponencial ). En otras palabras, no puede existir ningún algoritmo para decidir tal igualdad (véase el teorema de Richardson ). [ 84 ]

Relación de equivalencia

Gráfico de un ejemplo de equivalencia con 7 clases

Una relación de equivalencia es una relación matemática que generaliza la idea de semejanza o identidad. Se define en un conjuntoincógnita{\displaystyle X}como una relación binaria∼{\displaystyle \sim }que satisface las tres propiedades: reflexividad , simetría y transitividad . La reflexividad significa que cada elemento enincógnita{\displaystyle X}es equivalente a sí mismo (a∼a{\displaystyle a\sim a}a pesar dea∈incógnita{\displaystyle a\in X}). La simetría requiere que si un elemento es equivalente a otro, lo contrario también se cumple (a∼b⟹b∼a{\displaystyle a\sim b\implies b\sim a}). La transitividad garantiza que si un elemento es equivalente a un segundo, y el segundo a un tercero, entonces el primero es equivalente al tercero (a∼b{\displaystyle a\sim b}yb∼do⟹a∼do{\displaystyle b\sim c\implies a\sim c}). [ 85 ] Estas propiedades son suficientes para particionar un conjunto en clases de equivalencia disjuntas . Recíprocamente, cada partición define una clase de equivalencia. [ 86 ]

La relación de equivalencia de igualdad es un caso especial, como si se restringiera a un conjunto dado.S,{\displaystyle S,}es la relación de equivalencia más estricta posible enS{\displaystyle S}; específicamente, la igualdad divide un conjunto en clases de equivalencia que consisten en todos los conjuntos unitarios . [ 86 ] Otras relaciones de equivalencia, al ser menos restrictivas, generalizan la igualdad al identificar elementos basándose en propiedades o transformaciones compartidas, como la congruencia en aritmética modular o la semejanza en geometría . [ 87 ] [ 88 ]

Relación de congruencia

En álgebra abstracta , una relación de congruencia extiende la idea de una relación de equivalencia para incluir la propiedad de aplicación de funciones . Es decir, dado un conjuntoincógnita,{\displaystyle X,}y un conjunto de operaciones enincógnita,{\displaystyle X,}entonces una relación de congruencia∼{\displaystyle \sim }tiene la propiedad de quea∼b⟹F(a)∼F(b){\displaystyle a\sim b\implies f(a)\sim f(b)}para todas las operacionesF{\displaystyle f}(aquí, escrito como unario para evitar una notación engorrosa, peroF{\displaystyle f}puede ser de cualquier aridad ). Una relación de congruencia en una estructura algebraica como un grupo , anillo o módulo es una relación de equivalencia que respeta las operaciones definidas en esa estructura. [ 89 ]

Isomorfismo

En matemáticas, especialmente en álgebra abstracta y teoría de categorías , es común trabajar con objetos que ya poseen cierta estructura interna . Un isomorfismo describe una correspondencia que preserva la estructura entre dos objetos, estableciéndolos como esencialmente idénticos en su estructura o propiedades. [ 90 ] [ 91 ]

De manera más formal, un isomorfismo es una aplicación biyectiva (o morfismo ).F{\displaystyle f}entre dos conjuntos o estructurasA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}de tal manera queF{\displaystyle f}y su inversaF−1{\displaystyle f^{-1}}preservar las operaciones , relaciones o funciones definidas en esas estructuras. [ 90 ] Esto significa que cualquier operación o relación válida enA{\displaystyle A}corresponde precisamente a la operación o relación enB{\displaystyle B}bajo el mapeo. Por ejemplo, en teoría de grupos , un isomorfismo de grupoF:GRAMO↦H{\displaystyle f:G\mapsto H}SatisfaceF(a∗b)=F(a)∗F(b){\displaystyle f(a*b)=f(a)*f(b)}para todos los elementosa,b,{\displaystyle a,b,}dónde∗{\displaystyle *}denota la operación de grupo. [ 92 ]

Cuando dos objetos o sistemas son isomorfos, se consideran indistinguibles en términos de su estructura interna, aunque sus elementos o representaciones puedan diferir. Por ejemplo, todos los grupos cíclicos de orden∞{\displaystyle \infty }son isomorfos a los enteros,Z,{\displaystyle \mathbb {Z} ,}con adición. [ 93 ] De manera similar, en álgebra lineal , dos espacios vectoriales son isomorfos si tienen la misma dimensión , ya que existe una biyección lineal entre sus elementos. [ 94 ]

Cuando objetos como los mencionados anteriormente se definen en términos de sus propiedades de mapeo (es decir, propiedades universales ), cualesquiera dos de estos objetos son isomorfos entre sí de una manera única. Si deben considerarse el mismo objeto (único) y ser considerados iguales, incluso si sus construcciones concretas son diferentes, es un tema de debate. Esto a veces se hace tácitamente en la literatura matemática cuando dichos objetos se identifican y conectan canónicamente mediante el signo de igualdad '=', ocultando en algunos casos problemas técnicos que pueden requerir una verificación (potencialmente tediosa). Sin embargo, esta práctica ha generado dificultades cuando las pruebas que afirman dicha "igualdad" se verifican formalmente mediante asistentes de prueba . [ 95 ]

El concepto de isomorfismo se extiende a numerosas ramas de las matemáticas, incluyendo la teoría de grafos ( isomorfismo de grafos ), la topología ( homeomorfismo ) y el álgebra ( isomorfismos de grupos y anillos ), entre otras. Los isomorfismos facilitan la clasificación de entidades matemáticas y permiten la transferencia de resultados y técnicas entre sistemas similares. Reducir la brecha entre isomorfismo e igualdad fue una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías , así como para la teoría de tipos homotópicos y los fundamentos univalentes . [ 96 ] [ 97 ] [ 98 ]

Geometría

Los dos triángulos de la izquierda son congruentes entre sí y ambos son semejantes al tercer triángulo. El triángulo de la derecha no es ni congruente ni semejante a ninguno de los demás.

En geometría , formalmente, dos figuras son iguales si contienen exactamente los mismos puntos . Sin embargo, históricamente, la igualdad geométrica siempre se ha entendido de forma mucho más amplia. Euclides y Arquímedes usaban el término «igual» ( ἴσος isos ) a menudo para referirse a figuras con la misma área o a aquellas que podían dividirse y reorganizarse para formar otra figura. Por ejemplo, Euclides enunció el teorema de Pitágoras como «el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos», y Arquímedes afirmó que «un círculo es igual al rectángulo cuyos lados son el radio y la mitad de la circunferencia». [ 99 ] (Véase Área de un círculo § Demostración por reorganización ). 

Esta noción persistió hasta que Adrien-Marie Legendre introdujo el término "equivalente" en 1867 para describir figuras de igual área, y reservó "igual" para significar " congruente " — misma forma y tamaño , o si uno tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro. [ 100 ] [ 101 ] La terminología de Euclides continuó en la obra de David Hilbert en sus Grundlagen der Geometrie , quien refinó aún más las ideas de Euclides al introducir las nociones de polígonos "divisiblemente iguales" ( zerlegungsgleich ) si se pueden cortar en un número finito de triángulos que son congruentes, y "iguales en contenido" ( inhaltsgleichheit ) si se pueden agregar un número finito de polígonos divisiblemente iguales a cada uno de tal manera que los polígonos resultantes sean divisiblemente iguales. [ 102 ]

Tras el auge de la teoría de conjuntos, alrededor de la década de 1960, se impulsó una reforma en la enseñanza de las matemáticas denominada " Nuevas Matemáticas ", siguiendo a Andrey Kolmogorov , quien, en un esfuerzo por reestructurar los cursos de geometría rusos, propuso presentar la geometría a través de la perspectiva de las transformaciones y la teoría de conjuntos. Dado que una figura se consideraba un conjunto de puntos, solo podía ser igual a sí misma; como resultado de Kolmogorov, el término "congruente" se convirtió en estándar en las escuelas para figuras que antes se denominaban "iguales", lo que popularizó el término. [ 103 ]

Si bien Euclides abordó la proporcionalidad y las figuras de la misma forma, no fue hasta el siglo XVII que el concepto de semejanza se formalizó en el sentido moderno. Las figuras semejantes son aquellas que tienen la misma forma pero pueden diferir en tamaño; pueden transformarse unas en otras mediante escala y congruencia. [ 104 ] Posteriormente , Giusto Bellavitis propuso en 1835 el concepto de igualdad de segmentos de línea dirigidos , la equipolencia . [ 105 ]

Véase también

Referencias

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