Serie de Fourier

Una serie de Fourier ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) es una expansión de una función periódica en una suma de funciones trigonométricas . La serie de Fourier es un ejemplo de una serie trigonométrica . ^[2] Al expresar una función como una suma de senos y cosenos, muchos problemas que involucran la función se vuelven más fáciles de analizar porque las funciones trigonométricas se entienden bien. Por ejemplo, las series de Fourier fueron utilizadas por primera vez por Joseph Fourier para encontrar soluciones a la ecuación del calor . Esta aplicación es posible porque las derivadas de las funciones trigonométricas caen en patrones simples. Las series de Fourier no se pueden utilizar para aproximar funciones arbitrarias, porque la mayoría de las funciones tienen infinitos términos en su serie de Fourier, y las series no siempre convergen . Las funciones de buen comportamiento, por ejemplo , las funciones suaves , tienen series de Fourier que convergen a la función original. Los coeficientes de la serie de Fourier se determinan por integrales de la función multiplicada por funciones trigonométricas, descritas en Serie de Fourier§Definición.

El estudio de la convergencia de las series de Fourier se centra en el comportamiento de las sumas parciales , lo que implica estudiar el comportamiento de la suma a medida que se suman más y más términos de la serie. Las figuras siguientes ilustran algunos resultados de series parciales de Fourier para los componentes de una onda cuadrada .

• 
  Una onda cuadrada (representada como el punto azul) se aproxima mediante su sexta suma parcial (representada como el punto violeta), formada al sumar los primeros seis términos (representados como flechas) de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Cada flecha comienza en la suma vertical de todas las flechas a su izquierda (es decir, la suma parcial anterior).
• 
  Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . A medida que se añaden más armónicos, las sumas parciales convergen (se vuelven cada vez más parecidas) a la onda cuadrada.
• 
  La función (en rojo) es una suma de la serie de Fourier de 6 ondas sinusoidales armónicamente relacionadas (en azul). Su transformada de Fourier es una representación en el dominio de la frecuencia que revela las amplitudes de las ondas sinusoidales sumadas.$Estilo de visualización s_{6}(x)$${\displaystyle S(f)}$

Las series de Fourier están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier , una herramienta más general que incluso puede encontrar la información de frecuencia para funciones que no son periódicas. Las funciones periódicas se pueden identificar con funciones en un círculo; por esta razón, las series de Fourier son objeto del análisis de Fourier en el grupo del círculo , denotado por o . La transformada de Fourier también es parte del análisis de Fourier , pero se define para funciones en . ${\displaystyle \mathbb {T}}$$Estilo de visualización S_{1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Desde la época de Fourier, se han descubierto muchos enfoques diferentes para definir y comprender el concepto de serie de Fourier, todos ellos coherentes entre sí, pero cada uno de los cuales enfatiza diferentes aspectos del tema. Algunos de los enfoques más potentes y elegantes se basan en ideas y herramientas matemáticas que no estaban disponibles en la época de Fourier. Fourier definió originalmente la serie de Fourier para funciones de valores reales de argumentos reales, y utilizó las funciones seno y coseno en la descomposición. Desde entonces se han definido muchas otras transformadas relacionadas con Fourier , lo que extendió su idea inicial a muchas aplicaciones y dio origen a un área de las matemáticas llamada análisis de Fourier .

La serie de Fourier recibe su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), quien realizó importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas , después de las investigaciones preliminares de Leonhard Euler , Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli . ^[A] Fourier introdujo la serie con el propósito de resolver la ecuación del calor en una placa de metal, publicando sus resultados iniciales en su Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( Tratado sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos ) de 1807, y publicando su Théorie analytique de la chaleur ( Teoría analítica del calor ) en 1822. La Mémoire introdujo el análisis de Fourier, específicamente las series de Fourier. A través de la investigación de Fourier se estableció el hecho de que una función arbitraria (al principio, continua ^[3] y luego generalizada a cualquier sección lisa ^[4] ) puede representarse mediante una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento fue realizado por Fourier en 1807, ante la Academia Francesa . ^[5] Las primeras ideas de descomposición de una función periódica en la suma de funciones oscilantes simples se remontan al siglo III a. C., cuando los astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de los movimientos planetarios, basado en deferentes y epiciclos .

La ecuación del calor es una ecuación diferencial parcial . Antes del trabajo de Fourier, no se conocía ninguna solución a la ecuación del calor en el caso general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de una manera simple, en particular, si la fuente de calor era una onda seno o coseno . Estas soluciones simples ahora a veces se denominan soluciones propias . La idea de Fourier era modelar una fuente de calor complicada como una superposición (o combinación lineal ) de ondas seno y coseno simples, y escribir la solución como una superposición de las soluciones propias correspondientes . Esta superposición o combinación lineal se llama serie de Fourier.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la falta de una noción precisa de función e integral a principios del siglo XIX. Posteriormente, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ^[6] y Bernhard Riemann ^{[7] [8] [9]} expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque la motivación original era resolver la ecuación del calor, más tarde se hizo evidente que las mismas técnicas podrían aplicarse a una amplia gama de problemas matemáticos y físicos, y especialmente a aquellos que involucran ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales las soluciones propias son senos paranasales . La serie de Fourier tiene muchas aplicaciones de este tipo en ingeniería eléctrica , análisis de vibraciones , acústica , óptica , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes , mecánica cuántica , econometría , ^[10] teoría de capas , ^[11] etc.

Joseph Fourier escribió ^[12]

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{ 2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Multiplicando ambos lados por , y luego integrando de a obtenemos: ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

—  Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (1807).

Esto da inmediatamente cualquier coeficiente a _k de la serie trigonométrica para φ( y ) para cualquier función que tenga dicha expansión. Funciona porque si φ tiene dicha expansión, entonces (bajo supuestos de convergencia adecuados) la integral puede llevarse a cabo término por término. Pero todos los términos que involucran para j ≠ k se desvanecen cuando se integran de −1 a 1, dejando solo el término, que es 1 . $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle k^{\text{ésimo}}}$

En estas pocas líneas, que se aproximan al formalismo moderno utilizado en las series de Fourier, Fourier revolucionó tanto las matemáticas como la física. Aunque Euler , d'Alembert , Daniel Bernoulli y Gauss habían utilizado series trigonométricas similares , Fourier creía que dichas series trigonométricas podían representar cualquier función arbitraria. En qué sentido esto es realmente cierto es una cuestión un tanto sutil y los intentos a lo largo de muchos años de aclarar esta idea han conducido a importantes descubrimientos en las teorías de convergencia , espacios de funciones y análisis armónico .

Cuando Fourier presentó un ensayo de competición posterior en 1811, el comité (que incluía a Lagrange , Laplace , Malus y Legendre , entre otros) concluyó: ...la manera en que el autor llega a estas ecuaciones no está exenta de dificultades y... su análisis para integrarlas todavía deja algo que desear en cuanto a generalidad e incluso rigor . ^[13]

La expansión de la serie de Fourier de la función diente de sierra (abajo) parece más complicada que la fórmula simple , por lo que no resulta inmediatamente evidente por qué se necesitaría la serie de Fourier. Si bien existen muchas aplicaciones, la motivación de Fourier fue resolver la ecuación del calor . Por ejemplo, considere una placa de metal con forma de cuadrado cuyos lados miden metros, con coordenadas . Si no hay una fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se mantienen a 0 grados Celsius, mientras que el cuarto lado, dado por , se mantiene en el gradiente de temperatura grados Celsius, para en , entonces se puede demostrar que la distribución de calor estacionaria (o la distribución de calor después de que haya transcurrido un largo tiempo) está dada por ${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }}}$${\estilo de visualización \pi}$${\displaystyle (x,y)\en [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle y=\pi}$${\displaystyle T(x,\pi )=x}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\ sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Aquí, sinh es la función seno hiperbólica . Esta solución de la ecuación del calor se obtiene multiplicando cada término de la ecuación de Análisis § Ejemplo por . Si bien nuestra función de ejemplo parece tener una serie de Fourier innecesariamente complicada, la distribución del calor no es trivial. La función no se puede escribir como una expresión de forma cerrada . Este método de resolver el problema del calor fue posible gracias al trabajo de Fourier. ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$${\estilo de visualización s(x)}$${\displaystyle T(x,y)}$${\estilo de visualización T}$

Otra aplicación es resolver el problema de Basilea utilizando el teorema de Parseval . El ejemplo se generaliza y se puede calcular ζ (2 n ), para cualquier entero positivo n .

La serie de Fourier de una función P -periódica de valor complejo , integrable sobre el intervalo en la línea real, se define como una serie trigonométrica de la forma tal que los coeficientes de Fourier son números complejos definidos por la integral ^{[14] [15]} La serie no converge necesariamente (en el sentido puntual ) e, incluso si lo hace, no es necesariamente igual a . Solo cuando se satisfacen ciertas condiciones (por ejemplo, si es continuamente diferenciable) la serie de Fourier converge a , es decir, Para funciones que satisfacen las condiciones de suficiencia de Dirichlet , se cumple la convergencia puntual. ^[16] Sin embargo, estas no son condiciones necesarias y hay muchos teoremas sobre diferentes tipos de convergencia de series de Fourier (por ejemplo, convergencia uniforme o convergencia media ). ^[17] La ​​definición se extiende naturalmente a la serie de Fourier de una distribución (periódica) (también llamada serie de Fourier-Schwartz ). ^[18] Entonces la serie de Fourier converge a en el sentido de distribución. ^[19]${\estilo de visualización s(x)}$${\estilo de visualización [0, P]}$$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{n}}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$$ $Estilo de visualización c_{_{n}}}$ $${\displaystyle c_{_{n}}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s(x)\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx.}$$${\estilo de visualización s(x)}$${\estilo de visualización s(x)}$${\estilo de visualización s(x)}$$${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{n}}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$$ ${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s(x)}$

El proceso de determinar los coeficientes de Fourier de una función o señal dada se llama análisis , mientras que la formación de la serie trigonométrica asociada (o sus diversas aproximaciones) se llama síntesis .

Una serie de Fourier se puede escribir en varias formas equivalentes, que se muestran aquí como las sumas parciales de la serie de Fourier de : ^[20]${\displaystyle N^{\text{ésimo}}}$ $Estilo de visualización s_{_{N}}(x)}$${\estilo de visualización s(x)}$

Los armónicos se indexan mediante un número entero, que es también el número de ciclos que dan las sinusoides correspondientes en el intervalo . Por lo tanto, las sinusoides tienen :${\estilo de visualización n,}$${\estilo de visualización P}$

• una longitud de onda igual a en las mismas unidades que .${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$${\displaystyle x}$
• una frecuencia igual a en las unidades recíprocas de .${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$${\displaystyle x}$

Estas series pueden representar funciones que son simplemente la suma de una o más frecuencias en el espectro armónico . En el límite , una serie trigonométrica también puede representar las frecuencias intermedias y/o funciones no sinusoidales debido al número infinito de términos. ${\displaystyle N\to \infty }$

Los coeficientes pueden darse o suponerse, como en el caso de un sintetizador musical o de muestras de tiempo de una forma de onda. En este último caso, la forma exponencial de la serie de Fourier sintetiza una transformada de Fourier de tiempo discreto donde la variable representa la frecuencia en lugar del tiempo. En general, los coeficientes se determinan mediante el análisis de una función dada cuyo dominio de definición es un intervalo de longitud . ^{[B] [21]}${\displaystyle x}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle P}$

El factor de escala se deduce de sustituir la ecuación 1 en la ecuación 3 y utilizar la ortogonalidad del sistema trigonométrico . ^[22] La equivalencia de la ecuación 1 y la ecuación 2 se deduce de la fórmula de Euler, lo que da como resultado: ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}$$

siendo el valor medio de en el intervalo . ^[23] Por el contrario: ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle P}$

Consideremos una función de diente de sierra: En este caso, los coeficientes de Fourier están dados por Se puede demostrar que la serie de Fourier converge a en cada punto donde es diferenciable y, por lo tanto: Cuando , la serie de Fourier converge a 0, que es la mitad de la suma del límite izquierdo y derecho de en . Este es un caso particular del teorema de Dirichlet para series de Fourier. $${\displaystyle s(x)=s(x+2\pi k)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,{\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{_{0}}&=0.\\a_{_{n}}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 1.\\b_{_{n}}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{_{0}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{_{n}}\cos \left(nx\right)+b_{_{n}}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}}$$${\displaystyle x=\pi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle x=\pi }$

Este ejemplo conduce a una solución del problema de Basilea .

Si la función tiene un valor real, entonces la serie de Fourier también se puede representar como ^[24]${\displaystyle s(x)}$

donde es la amplitud y es el desplazamiento de fase del armónico. ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle n^{th}}$

La equivalencia de la ecuación 4 y la ecuación 1 se desprende de la identidad trigonométrica : lo que implica ^[25]$${\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)=\cos(\varphi _{n})\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right),}$$ $${\displaystyle a_{_{n}}=A_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad b_{_{n}}=A_{n}\sin(\varphi _{n})}$$

son las coordenadas rectangulares de un vector con coordenadas polares y dadas por donde es el argumento de . ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$$${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{_{n}}^{2}+b_{_{n}}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\operatorname {Arg} (c_{n})=\operatorname {atan2} (b_{_{n}},a_{_{n}})}$$${\displaystyle \operatorname {Arg} (c_{n})}$${\displaystyle c_{n}}$

En la Figura 2 se muestra un ejemplo de determinación del parámetro para un valor de. Es el valor de en la correlación máxima entre y una plantilla de coseno. El gráfico azul es la función de correlación cruzada , también conocida como filtro adaptado : ${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi ).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}}$

Afortunadamente, no es necesario evaluar toda esta función, porque su derivada es cero como máximo: Por lo tanto $${\displaystyle X'(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot X(0)-\cos(\varphi )\cdot X(\pi /2)=0,\quad {\textrm {at}}\ \varphi =\varphi _{n}.}$$$${\displaystyle \varphi _{n}\equiv \arctan(b_{_{n}}/a_{_{n}})=\arctan(X(\pi /2)/X(0)).}$$

La notación es inadecuada para analizar los coeficientes de Fourier de varias funciones diferentes. Por lo tanto, se suele sustituir por una forma modificada de la función ( en este caso), como o y la notación funcional suele sustituir a la subíndice :${\displaystyle c_{_{n}}}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$${\displaystyle S[n],}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

En ingeniería, en particular cuando la variable representa el tiempo, la secuencia de coeficientes se denomina representación del dominio de frecuencia . Los corchetes se utilizan a menudo para enfatizar que el dominio de esta función es un conjunto discreto de frecuencias. ${\displaystyle x}$

Otra representación del dominio de frecuencia comúnmente utilizada utiliza los coeficientes de la serie de Fourier para modular un peine de Dirac :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

donde representa un dominio de frecuencia continua. Cuando la variable tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . Los "dientes" del peine están espaciados en múltiplos (es decir, armónicos ) de , lo que se denomina frecuencia fundamental . se puede recuperar a partir de esta representación mediante una transformada de Fourier inversa : ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s(x).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la función construida se denomina comúnmente transformada de Fourier , aunque la integral de Fourier de una función periódica no es convergente en las frecuencias armónicas. ^[C]${\displaystyle S(f)}$

En la siguiente tabla se muestran algunos pares comunes de funciones periódicas y sus coeficientes de series de Fourier.

• ${\displaystyle s(x)}$designa una función periódica con período${\displaystyle P.}$
• ${\displaystyle a_{_{0}},a_{_{n}},b_{_{n}}}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma seno-coseno) de la función periódica${\displaystyle s(x).}$

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y el efecto correspondiente en los coeficientes de la serie de Fourier. Notación:

• La conjugación compleja se denota con un asterisco.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$designar funciones periódicas o funciones definidas sólo para${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma exponencial) de y${\displaystyle s}$${\displaystyle r.}$

Cuando las partes reales e imaginarias de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay una correspondencia biunívoca entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: ^{[28] [29]}

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&i\ s_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {i\ S_{\text{IO}}\,} &+&i\ S_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real es la función simétrica conjugada . Por el contrario, una transformada simétrica conjugada implica un dominio de tiempo de valor real.${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$
• La transformada de una función de valor imaginario es la función antisimétrica conjugada y la inversa es verdadera.${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$
• La transformada de una función simétrica conjugada es la función de valor real y la inversa es verdadera.${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$
• La transformada de una función antisimétrica conjugada es la función de valor imaginario y la recíproca es verdadera.${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$

Si es integrable , , y${\displaystyle S}$${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

Si pertenece a (periódico sobre un intervalo de longitud ) entonces:${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$$

Si son coeficientes y entonces existe una función única tal que para cada . ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$${\displaystyle S[n]=c_{n}}$${\displaystyle n}$

Dadas funciones periódicas y con coeficientes de series de Fourier y${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{_{P}}}$${\displaystyle r_{_{P}}}$${\displaystyle S[n]}$${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• El producto puntual : también es periódico, y sus coeficientes de serie de Fourier están dados por la convolución discreta de las secuencias y :$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• La convolución periódica : también es -periódica, con coeficientes de la serie de Fourier :$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Una secuencia doblemente infinita en es la secuencia de coeficientes de Fourier de una función en si y sólo si es una convolución de dos secuencias en . Véase ^[30]${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

Si es una función periódica 2 π en la que es diferenciable 2 veces, y su derivada es continua, entonces pertenece al espacio de funciones . ${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$

• Si , entonces los coeficientes de Fourier de la derivada de se pueden expresar en términos de los coeficientes de Fourier de , mediante la fórmula En particular, dado que para cualquier fijo tenemos como , se deduce que tiende a cero, es decir, los coeficientes de Fourier convergen a cero más rápido que la potencia de .${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n].}$$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle |n|}$

Una de las propiedades interesantes de la transformada de Fourier que hemos mencionado es que lleva a cabo convoluciones en productos puntuales. Si esa es la propiedad que buscamos preservar, se pueden producir series de Fourier en cualquier grupo compacto . Ejemplos típicos incluyen aquellos grupos clásicos que son compactos. Esto generaliza la transformada de Fourier a todos los espacios de la forma L ² ( G ), donde G es un grupo compacto, de tal manera que la transformada de Fourier lleva a cabo convoluciones en productos puntuales. La serie de Fourier existe y converge de manera similar al caso [− π , π ] .

Una extensión alternativa a los grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl , que demuestra resultados sobre representaciones de grupos compactos análogos a los de los grupos finitos.

Si el dominio no es un grupo, entonces no hay una convolución intrínsecamente definida. Sin embargo, si es una variedad compacta de Riemann , tiene un operador de Laplace-Beltrami . El operador de Laplace-Beltrami es el operador diferencial que corresponde al operador de Laplace para la variedad de Riemann . Entonces, por analogía, uno puede considerar ecuaciones de calor en . Dado que Fourier llegó a su base al intentar resolver la ecuación de calor, la generalización natural es usar las soluciones propias del operador de Laplace-Beltrami como base. Esto generaliza las series de Fourier a espacios del tipo , donde es una variedad de Riemann. La serie de Fourier converge de formas similares al caso. Un ejemplo típico es tomar como la esfera con la métrica habitual, en cuyo caso la base de Fourier consiste en armónicos esféricos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle X}$

La generalización a grupos compactos que se analizó anteriormente no se puede generalizar a grupos no compactos, no abelianos . Sin embargo, existe una generalización directa a grupos abelianos localmente compactos (LCA) .

Esto generaliza la transformada de Fourier a o , donde es un grupo LCA. Si es compacto, también se obtiene una serie de Fourier, que converge de manera similar al caso, pero si no es compacto, se obtiene en cambio una integral de Fourier . Esta generalización produce la transformada de Fourier habitual cuando el grupo abeliano localmente compacto subyacente es . ${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Sea una función de variación acotada definida en el intervalo cerrado . La serie de Fourier cuyos coeficientes se dan en ^[31] se denomina serie de Fourier-Stieltjes . El espacio de funciones de variación acotada es un subespacio de . Como cualquier define una medida de Radon (es decir, una medida de Borel localmente finita en ), esta definición se puede ampliar de la siguiente manera. ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle [0,P]\subseteq \mathbb {R} }$ $${\displaystyle c_{_{n}}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dF(x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle BV}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle F\in BV}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Consideremos el espacio de todas las medidas finitas de Borel en la línea real; como tal . ^[32] Si hay una medida tal que los coeficientes de Fourier-Stieltjes están dados por entonces la serie se llama serie de Fourier-Stieltjes. Del mismo modo, la función , donde , se llama transformada de Fourier-Stieltjes . ^[33]${\displaystyle M}$${\displaystyle L^{1}\subset M}$${\displaystyle \mu \in M}$$${\displaystyle c_{n}={\hat {\mu }}(n)={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,d\mu (x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle {\hat {\mu }}(n)}$${\displaystyle \mu \in M}$

La cuestión de si existe o no para una secuencia dada de constituye la base del problema del momento trigonométrico . ^[34]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c_{n}}$

Además, es un subespacio estricto del espacio de distribuciones (templadas) , es decir, . Si los coeficientes de Fourier están determinados por una distribución , entonces la serie se describe como una serie de Fourier-Schwartz . A diferencia de la serie de Fourier-Stieltjes, decidir si una serie dada es una serie de Fourier o una serie de Fourier-Schwartz es relativamente trivial debido a las características de su espacio dual; el espacio de Schwartz . ^[35]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle M\subset {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

También podemos definir la serie de Fourier para funciones de dos variables y en el cuadrado : ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Además de ser útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación del calor, una aplicación notable de las series de Fourier sobre el cuadrado es la compresión de imágenes . En particular, el estándar de compresión de imágenes JPEG utiliza la transformada de coseno discreta bidimensional , una forma discreta de la transformada de coseno de Fourier , que utiliza solo el coseno como función base.

En el caso de matrices bidimensionales con una apariencia escalonada, la mitad de los coeficientes de la serie de Fourier desaparecen debido a la simetría adicional. ^[36]

Una red de Bravais tridimensional se define como el conjunto de vectores de la forma: donde son números enteros y son tres vectores linealmente independientes. Suponiendo que tenemos alguna función, , tal que obedece la condición de periodicidad para cualquier vector de la red de Bravais , , podríamos hacer una serie de Fourier de ella. Este tipo de función puede ser, por ejemplo, el potencial efectivo que un electrón "siente" dentro de un cristal periódico. Es útil hacer la serie de Fourier del potencial cuando se aplica el teorema de Bloch . Primero, podemos escribir cualquier vector de posición arbitrario en el sistema de coordenadas de la red: donde lo que significa que se define como la magnitud de , por lo que es el vector unitario dirigido a lo largo de . $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

De esta manera podemos definir una nueva función, $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Esta nueva función, , es ahora una función de tres variables, cada una de las cuales tiene periodicidad , , y respectivamente: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{3}}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

Esto nos permite construir un conjunto de coeficientes de Fourier, cada uno de ellos indexado por tres enteros independientes . En lo que sigue, utilizamos la notación de funciones para denotar estos coeficientes, donde antes usábamos subíndices. Si escribimos una serie para en el intervalo para , podemos definir lo siguiente: ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

Y luego podemos escribir: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

Definiciones más detalladas: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$

Podemos escribir una vez más como: ${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$$

Finalmente aplicando lo mismo para la tercera coordenada, definimos: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$$

Escribimos como: ${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$$

Reorganizando: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$

Ahora bien, cada vector reticular recíproco puede escribirse (pero no significa que sea la única forma de escribirlo) como , donde son números enteros y son vectores reticulares recíprocos que satisfacen ( para , y para ). Entonces, para cualquier vector reticular recíproco arbitrario y cualquier vector de posición arbitrario en el espacio reticular de Bravais original, su producto escalar es: ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \delta _{ij}=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Por lo tanto, queda claro que en nuestra expansión de , la suma es en realidad sobre vectores reticulares recíprocos: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$$

dónde$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$$

Suponiendo que podemos resolver este sistema de tres ecuaciones lineales para , , y en términos de , y para calcular el elemento de volumen en el sistema de coordenadas rectangular original. Una vez que tenemos , , y en términos de , y , podemos calcular el determinante jacobiano : que después de algunos cálculos y de aplicar algunas identidades de productos cruzados no triviales se puede demostrar que es igual a: $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$$$${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}$$

(puede ser ventajoso para simplificar los cálculos trabajar en un sistema de coordenadas rectangular en el que resulta que es paralelo al eje x , se encuentra en el plano xy y tiene componentes de los tres ejes). El denominador es exactamente el volumen de la celda unitaria primitiva que está encerrada por los tres vectores primitivos , y . En particular, ahora sabemos que ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}$$

Podemos escribir ahora como una integral con el sistema de coordenadas tradicional sobre el volumen de la celda unitaria primitiva, en lugar de con las variables , y : escribiendo para el elemento de volumen ; y donde es la celda unitaria primitiva, por lo tanto, es el volumen de la celda unitaria primitiva. ${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$${\displaystyle d\mathbf {r} }$${\displaystyle dx\,dy\,dz}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$

Como la serie trigonométrica es una clase especial de sistema ortogonal , la serie de Fourier se puede definir naturalmente en el contexto de los espacios de Hilbert . Por ejemplo, el espacio de funciones integrables al cuadrado en forma el espacio de Hilbert . Su producto interno , definido para dos elementos cualesquiera y , viene dado por: Este espacio está equipado con la base ortonormal . Entonces, la expansión de la serie de Fourier (generalizada) de , dada por se puede escribir como ^[37]${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}$$ ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{n}}e^{inx},}$$ $${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$$

La forma seno-coseno sigue un patrón similar. De hecho, los senos y cosenos forman un conjunto ortogonal : (donde δ _mn es el delta de Kronecker ), y Por lo tanto, el conjunto también forma una base ortonormal para . La densidad de su amplitud es una consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass , pero también se desprende de las propiedades de los núcleos clásicos como el núcleo de Fejér . $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$$${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {\cos x}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin x}{\sqrt {2}}},\dots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {2}}},\dots \right\},}$$${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$

En ingeniería , generalmente se supone que la serie de Fourier converge excepto en discontinuidades de salto, ya que las funciones que se encuentran en ingeniería suelen comportarse mejor que las de otras disciplinas. En particular, si es continua y la derivada de (que puede no existir en todas partes) es integrable al cuadrado, entonces la serie de Fourier de converge de manera absoluta y uniforme a . ^[38] Si una función es integrable al cuadrado en el intervalo , entonces la serie de Fourier converge a la función casi en todas partes . Es posible definir coeficientes de Fourier para funciones o distribuciones más generales, en cuyo caso la convergencia puntual a menudo falla, y generalmente se estudia la convergencia en la norma o convergencia débil .${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• Cuatro sumas parciales (series de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda cuadrada mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)
• Cuatro sumas parciales (series de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda de diente de sierra mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)
• 
  Ejemplo de convergencia hacia una función algo arbitraria. Nótese el desarrollo del "ringing" ( fenómeno de Gibbs ) en las transiciones hacia/desde las secciones verticales.

Los teoremas que prueban que una serie de Fourier es una representación válida de cualquier función periódica (que satisface las condiciones de Dirichlet ), y las variaciones informales de ellos que no especifican las condiciones de convergencia, a veces se denominan genéricamente teorema de Fourier o teorema de Fourier . ^{[39] [40] [41] [42]}

La ecuación anterior 2 :

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

es un polinomio trigonométrico de grado que generalmente se puede expresar como :${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

El teorema de Parseval implica que:

Debido a la propiedad de mínimos cuadrados y a la completitud de la base de Fourier, obtenemos un resultado de convergencia elemental.

Si es continuamente diferenciable, entonces es el coeficiente de Fourier de la primera derivada . Como es continua y, por lo tanto, acotada, es integrable al cuadrado y sus coeficientes de Fourier son sumables al cuadrado. Entonces, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , ${\displaystyle s}$${\displaystyle (in)S[n]}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle s'}$

${\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S[n]|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS[n]|^{2}.}$

Esto significa que es absolutamente sumable . La suma de esta serie es una función continua, igual a , ya que la serie de Fourier converge en : ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle s}$

Este resultado se puede demostrar fácilmente si se supone además que es , ya que en ese caso tiende a cero cuando . De manera más general, la serie de Fourier es absolutamente sumable, por lo tanto converge uniformemente a , siempre que satisfaga una condición de Hölder de orden . En el caso absolutamente sumable, la desigualdad: ${\displaystyle s}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle n^{2}S[n]}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \alpha >1/2}$

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$

prueba convergencia uniforme

Se conocen muchos otros resultados relativos a la convergencia de las series de Fourier, que van desde el resultado moderadamente simple de que la serie converge en si es diferenciable en , hasta resultados más sofisticados como el teorema de Carleson , que establece que la serie de Fourier de una función converge casi en todas partes . ${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L^{2}}$

Como las series de Fourier tienen propiedades de convergencia tan buenas, muchas personas se sorprenden con frecuencia por algunos de los resultados negativos. Por ejemplo, la serie de Fourier de una función continua T -periódica no necesita converger puntualmente. El principio de acotación uniforme proporciona una prueba simple y no constructiva de este hecho.

En 1922, Andrey Kolmogorov publicó un artículo titulado Une série de Fourier-Lebesgue divergente casi en todas partes , en el que dio un ejemplo de una función integrable de Lebesgue cuya serie de Fourier diverge casi en todas partes. Más tarde construyó un ejemplo de una función integrable cuya serie de Fourier diverge en todas partes. ^[43]

Es posible dar ejemplos explícitos de una función continua cuya serie de Fourier diverge en 0: por ejemplo, la función par y 2π-periódica f definida para todo x en [0,π] por ^[44]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

Como la función es par, la serie de Fourier contiene sólo cosenos:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

Los coeficientes son:

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}}$

A medida que m aumenta, los coeficientes serán positivos y aumentarán hasta alcanzar un valor de aproximadamente en para algún n y luego se volverán negativos (comenzando con un valor de alrededor de ) y se harán más pequeños, antes de comenzar una nueva onda de este tipo. En la serie de Fourier es simplemente la suma corriente de y esto se acumula hasta aproximadamente ${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle C_{m},}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

en la onda n antes de volver a alrededor de cero, lo que demuestra que la serie no converge en cero sino que alcanza picos cada vez más altos. Nótese que, aunque la función es continua, no es diferenciable.

• "Series de Fourier", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hobson, Ernest (1911). "La serie de Fourier"  . Encyclopædia Britannica . Vol. 10 (11.ª ed.). Págs.  753– 758.
• Weisstein, Eric W. "Series de Fourier". MathWorld .
• Joseph Fourier – Un sitio sobre la vida de Fourier que se utilizó para la sección histórica de este artículo en Wayback Machine (archivado el 5 de diciembre de 2001)

Este artículo incorpora material del ejemplo de serie de Fourier en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .