90 (número)

Los miembros del primer sextuplete primo ( 7 , 11 , 13 , 17, 19 , 23 ) generan una suma igual a 90, y la diferencia entre los miembros respectivos del primer y segundo sextuplete primo también es 90, donde el segundo sextuplete primo es ( 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 ). ^{[ 20 ] [ 21 ]} El último miembro del segundo sextuplete primo, 113, es el trigésimo número primo . Dado que los sextupletes primos se forman a partir de miembros primos de k -tuplas primas de orden inferior , 90 también es una brecha máxima récord entre varios pares más pequeños de k -tuplas primas (que incluyen quintupletes , cuádrupletes y tripletes ). ^{[ a ]}

90 es el tercer número perfecto unitario (después de 6 y 60 ), puesto que es la suma de sus divisores unitarios excluyéndose a sí mismo, ^{[ 22 ]} y debido a que es igual a la suma de un subconjunto de sus divisores, es también el vigésimo primer número semiperfecto . ^{[ 23 ]}

El eneacontaedro rómbico es un zonohedro con un total de 90 caras rómbicas : 60 rombos anchos similares a los del dodecaedro rómbico con diagonales en${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}$relación, y otros 30 rombos delgados con diagonales en${\displaystyle 1:\varphi ^{2}}$proporción áurea . El ángulo obtuso de las caras rómbicas anchas es también el ángulo diedro de un icosaedro regular , con el ángulo obtuso en las caras de los rombos áureos igual al ángulo diedro de un octaedro regular y el ángulo vértice-centro-vértice tetraédrico , que también es el ángulo entre los bordes de Plateau : 109,471°. Es el poliedro dual del icosaedro truncado rectificado , un sólido de Johnson casi idéntico . Por  otro lado, la estelación final del icosaedro tiene 90 aristas. También tiene 92 vértices como el eneacontaedro rómbico, cuando se interpreta como un poliedro simple . Mientras tanto, el dodecaedro truncado y el icosaedro truncado tienen ambos 90 aristas . Otros cuatro poliedros estrellados uniformes ( U ₃₇ , U ₅₅ , U ₅₈ , U ₆₆ ) y cuatro poliedros compuestos uniformes ( UC ₃₂ , UC ₃₄ , UC ₃₆ , UC ₅₅ ) contienen 90 aristas o vértices .

El politopo de Witting autodual contiene noventa politopos de van Oss tales que las secciones por el plano común de dos hiperplanos de simetría no ortogonales que pasan por el centro producen polígonos de Möbius-Kantor complejos ₃ {4} ₃ . ^{[ 25 ]} Los vectores raíz del grupo de Lie simple E ₈ están representados por la disposición de vértices de la${\displaystyle 4_{21}}$politopo , que comparte 240 vértices con el politopo de Witting en el espacio complejo de cuatro dimensiones . Según Coxeter , la configuración de la matriz de incidencia del politopo de Witting se puede representar como:

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&9&12\\4&90&4\\12&9&40\end{smallmatrix}}\right]}$o${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&12&12\\2&240&2\\12&12&40\end{smallmatrix}}\right]}$

Esta configuración de Witting cuando se refleja bajo el espacio finito${\displaystyle \operatorname {PG} {(3,2^{2})}}$se divide en 85  =  45  +  40 puntos y planos, junto con 27  +  90  +  240  =  357 líneas. ^{[ 25 ]}

Mientras que el eneacontaedro rómbico es la zonohedrificación del dodecaedro regular, ^{[ 26 ]} un panal de politopos de Witting contiene vértices isomorfos a la red E ₈ , cuyas simetrías pueden rastrearse hasta el icosaedro regular a través del anillo icosiano . ^{[ 27 ]}