Trapezoedro

En geometría , un trapezoedro n- gonal , n -trapezoedro , n -antidipirámide , n- antibipirámide , n- deltoedro o n - antitegoma, ^{[ 3 ] [ 4 ]} es el poliedro dual de un antiprisma n -gonal . Las 2n caras de un n -trapezoedro son congruentes y están escalonadas simétricamente; se llaman cometas retorcidas . Con una simetría superior, sus 2n caras son cometas (a veces también llamadas trapezoides o deltoides ). ^{[ 5 ]} Están topológicamente relacionados con los escalenoedros , que son variantes de semi-simetría con trigons irregulares.

Como no existe un análogo consistente en dimensiones superiores para los antiprismas 3D , tampoco existe una generalización general de los trapezoedros 3D. La parte " n -gonal " del nombre no se refiere a caras, sino a dos disposiciones de cada uno de los n vértices alrededor de un eje de simetría n -ésima . El antiprisma n -gonal dual tiene dos caras n -gonales reales . Un trapezoedro n -gonal se puede diseccionar en dos pirámides n - gonales iguales y un antiprisma n -gonal .

Estas figuras, a veces llamadas deltohedras , [ ^{3 ] no} deben confundirse con deltahedras , ^{[ 4 ]} cuyas caras son triángulos equiláteros.

Los trapezoedros trigonales , tetragonales y hexagonales retorcidos (con seis, ocho y doce caras de cometa congruentes retorcidas ) existen como cristales; en cristalografía (que describe los hábitos cristalinos de los minerales ), se les llama simplemente trapezoedros trigonales , tetragonales y hexagonales . No tienen plano de simetría ni centro de simetría de inversión; ^{[ 6 ] [ 7 ]} pero sí tienen un centro de simetría : el punto de intersección de sus ejes de simetría. El trapezoedro trigonal tiene un eje de simetría triple, perpendicular a tres ejes de simetría doble. ^{[ 6 ]} El trapezoedro tetragonal tiene un eje de simetría cuádruple, perpendicular a cuatro ejes de simetría doble de dos tipos. El trapezoedro hexagonal tiene un eje de simetría séxtuple, perpendicular a seis ejes de simetría doble de dos tipos. ^{[ 8 ]}

Las disposiciones cristalinas de los átomos pueden repetirse en el espacio con celdas trapezoidales trigonales y hexagonales. ^{[ 9 ]}

También en cristalografía, el término trapezoedro se usa a menudo para referirse al poliedro con 24 caras congruentes no retorcidas en forma de cometa, conocido propiamente como icositetraedro deltoidal , ^{[ 10 ]} que tiene dieciocho vértices de orden 4 y ocho vértices de orden 3. Esto no debe confundirse con el trapezoedro dodecagonal , que también tiene 24 caras congruentes en forma de cometa, pero dos ápices (es decir, polos) de orden 12 y dos anillos de doce vértices de orden 3 cada uno.

En cristalografía, el dodecaedro deltoide ^{[ 11 ]} tiene 12 caras de cometa congruentes y no retorcidas, seis vértices de orden 4 y ocho vértices de orden 3 (el dodecaedro rómbico es un caso especial). Esto no debe confundirse con el trapezoedro hexagonal , que también tiene 12 caras de cometa congruentes ^{[ 8 ]} , pero dos ápices de orden 6 (es decir, polos) y dos anillos de seis vértices de orden 3 cada uno.

Un n -trapezoedro se define por una base regular en zigzag de 2 n polígonos oblicuos, dos vértices simétricos sin grados de libertad justo encima y justo debajo de la base, y caras cuadriláteras que conectan cada par de aristas basales adyacentes a un vértice.

Un n -trapezoedro tiene dos vértices apicales en su eje polar y 2n vértices basales en dos anillos n -gonales regulares. Tiene 2n caras de cometa congruentes y es isoédrico .

El grupo de simetría de un trapezoedro n -gonal es D _{n d} = D _{n v} , de orden 4 n , excepto en el caso de n = 3 : un cubo tiene el grupo de simetría mayor O _d de orden 48 = 4×(4×3) , que tiene cuatro versiones de D _3d como subgrupos.

El grupo de rotación de un n -trapezoedro es D _n , de orden 2 n , excepto en el caso de n = 3 : un cubo tiene el grupo de rotación mayor O de orden 24 = 4×(2×3) , que tiene cuatro versiones de D ₃ como subgrupos.

Nota: Todo n- trapezoedro con una base de 2 n -gonos sesgados en zigzag regular y 2 n caras de cometa congruentes no retorcidas tiene el mismo grupo de simetría (diédrica) que el n -trapezoedro dual-uniforme , para n ≥ 4 .

Un grado de libertad dentro de la simetría de D _{n d} (orden 4 n ) a D _n (orden 2 n ) transforma los cometas congruentes en cuadriláteros congruentes con tres longitudes de arista, llamados cometas retorcidas , y el n -trapezoedro se denomina trapezoedro retorcido . (En el límite, una arista de cada cuadrilátero tiende a longitud cero, y el n - trapezoedro se convierte en una n - bipirámide ).

Si los cometas que rodean los dos picos no están retorcidos, sino que tienen formas diferentes, el n -trapezoedro solo puede tener simetría C _{n v} (cíclica con espejos verticales), de orden 2 n , y se denomina trapezoedro desigual o asimétrico . Su dual es un n - antiprisma desigual , con los n -gonos superior e inferior de radios diferentes.

Si los cometas están retorcidos y tienen dos formas diferentes, el n -trapezoedro solo puede tener simetría C _n (cíclica), orden n , y se denomina trapezoedro retorcido desigual .

Un trapezoedro estrella p / q (donde 2 ≤ q < p ) se define por una base de 2 p / q polígonos estrellados sesgados en zigzag regular , dos vértices simétricos sin grado de libertad justo encima y justo debajo de la base, y caras cuadriláteras que conectan cada par de aristas basales adyacentes a un vértice.

Un trapezoedro estrellado p / q tiene dos vértices apicales en su eje polar y 2p vértices basales en dos anillos p -gonales regulares. Tiene 2p caras de cometa congruentes y es isoédrico .

Un trapezoedro estrellado de tipo p / q es una forma autointersecante , cruzada o no convexa . Existe para cualquier base de 2 p / q polígonos estrellados sesgados en zigzag regulares (donde 2 ≤ q < p ).

Pero si ⁠ p / q ⁠ < ⁠ 3 / 2 ⁠ , entonces ( p − q ) ⁠ 360° / p ⁠ < ⁠ q / 2 ⁠ ⁠ 360° / p ⁠ , por lo que el antiprisma de estrella dual (del trapezoedro estrellado) no puede ser uniforme (es decir, no puede tener longitudes de arista iguales); y si ⁠ p / q ⁠ = ⁠ 3 / 2 ⁠ , entonces ( p − q ) ⁠ 360° / p ⁠ = ⁠ q / 2 ⁠ ⁠ 360° / p ⁠ , por lo que el antiprisma de estrella dual debe ser plano, por lo tanto degenerado, para ser uniforme.

Un trapezoedro p / q de estrella doblemente uniforme tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin .

• Trapezoedro disminuido
• dodecaedro rómbico
• triacontaedro rómbico
• Pirámide bifásica
• trapezoedro truncado
• Notación de poliedros de Conway
• El Morador de la Oscuridad , un cuento de H.P. Lovecraft en el que un antiguo artefacto ficticio conocido como El Trapezoedro Brillante juega un papel crucial.

• Anthony Pugh (1976). Poliedros: Un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas arquimedianos
• Spencer, Leonard James (1911). "Cristalografía"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol.  07 (11.ª  ed.). Cambridge University Press. pp. 569–591 . 

• Weisstein, Eric W. "Trapezoedro" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Isoedro" . MathWorld .
• Trapezoedro tetragonal (cuadrado) de papel