Variedad de Hyperkähler

En geometría diferencial , una variedad hiperkähler es una variedad riemanniana.${\displaystyle (M,g)}$dotado de tres estructuras integrables casi complejas${\displaystyle I,J,K}$que son de Kähler con respecto a la métrica riemanniana${\displaystyle g}$y satisfacen las relaciones cuaterniónicas${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$. En particular, es una variedad hipercompleja . Todas las variedades hiperkähler son Ricci-planas y, por lo tanto, son variedades de Calabi-Yau . ^{[ a ]}

Las variedades hiperkähler recibieron este nombre por primera vez de Eugenio Calabi en 1979. ^{[ 1 ]}

El artículo de Marcel Berger de 1955 ^{[ 2 ]} sobre la clasificación de los grupos de holonomía riemanniana planteó por primera vez la cuestión de la existencia de variedades no simétricas con holonomía Sp( n )·Sp(1). Resultados interesantes fueron demostrados a mediados de la década de 1960 en el trabajo pionero de Edmond Bonan ^{[ 3 ]} y Kraines ^{[ 4 ],} quienes demostraron independientemente que cualquier variedad de este tipo admite una 4-forma paralela.${\displaystyle \Omega }$. Los resultados posteriores de Bonan ^{[ 5 ]} incluyen un resultado de tipo Lefschetz: la cuña con estas potencias de esta 4-forma induce isomorfismos. ${\displaystyle \Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.}$

De forma equivalente, una variedad hiperkähler es una variedad riemanniana.${\displaystyle (M,g)}$de dimensión${\displaystyle 4n}$cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo simpléctico compacto Sp( n ) . ^{[ 1 ]}

De hecho, si${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$es una variedad hiperkähler, entonces el espacio tangente T _x M es un espacio vectorial cuaterniónico para cada punto x de M , es decir, es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$para algún número entero${\displaystyle n}$, dónde${\displaystyle \mathbb {H} }$es el álgebra de cuaterniones . El grupo simpléctico compacto Sp( n ) puede considerarse como el grupo de transformaciones ortogonales de${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$que son lineales con respecto a I , J y K. De esto se deduce que el grupo de holonomía de la variedad riemanniana${\displaystyle (M,g)}$está contenido en Sp( n ) . Recíprocamente, si el grupo de holonomía de una variedad riemanniana${\displaystyle (M,g)}$de dimensión${\displaystyle 4n}$está contenido en Sp( n ) , elija estructuras complejas I _x , J _x y K _x en T _x M que hagan de T _x M un espacio vectorial cuaterniónico. El transporte paralelo de estas estructuras complejas da como resultado las estructuras complejas requeridas${\displaystyle I,J,K}$en M haciendo${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$en una variedad hiperkähler.

Cada variedad hiperkähler${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$tiene una 2-esfera de estructuras complejas con respecto a la cual la métrica${\displaystyle g}$es Kähler . De hecho, para cualquier número real${\displaystyle a,b,c}$de tal manera que

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,}$

la combinación lineal

${\displaystyle aI+bJ+cK\,}$

es una estructura compleja que es Kähler con respecto a${\displaystyle g}$. Si${\displaystyle \omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}}$denota las formas de Kähler de${\displaystyle (g,I),(g,J),(g,K)}$, respectivamente, entonces la forma de Kähler de${\displaystyle aI+bJ+cK}$es

${\displaystyle a\omega _{I}+b\omega _{J}+c\omega _{K}.}$

Una variedad hiperkähler${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$, considerado como una variedad compleja${\displaystyle (M,I)}$, es holomorfamente simpléctico (equipado con una 2-forma cerrada, no degenerada y holomorfa). Más precisamente, si${\displaystyle \omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}}$denota las formas de Kähler de${\displaystyle (g,I),(g,J),(g,K)}$, respectivamente, entonces

${\displaystyle \Omega$ :=\omega _{J}+i\omega _{K}}

es holomorfo simpléctico con respecto a${\displaystyle I}$.

Por el contrario, la demostración de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi implica que una variedad compacta , de Kähler , holomorfamente simpléctica${\displaystyle (M,I,\Omega )}$siempre está equipado con una métrica hiperkähler compatible. ^{[ 6 ]} Dicha métrica es única en una clase de Kähler dada. Las variedades hiperkähler compactas se han estudiado extensamente utilizando técnicas de geometría algebraica , a veces bajo el nombre de variedades simplécticas holomorfas . El grupo de holonomía de cualquier métrica de Calabi-Yau en una variedad simpléctica holomorfa compacta simplemente conexa de dimensión compleja${\displaystyle 2n}$con${\displaystyle H^{2,0}(M)=1}$es exactamente Sp( n ) ; y si la variedad de Calabi-Yau simplemente conexa en su lugar tiene${\displaystyle H^{2,0}(M)\geq 2}$Se trata simplemente del producto riemanniano de variedades hiperkähler de menor dimensión. Este hecho se deduce inmediatamente de la fórmula de Bochner para formas holomorfas en una variedad de Kähler, junto con la clasificación de Berger de los grupos de holonomía ; irónicamente, a menudo se le atribuye a Bogomolov, quien, erróneamente, afirmó en el mismo artículo que las variedades hiperkähler compactas en realidad no existen.

Para cualquier número entero${\displaystyle n\geq 1}$, el espacio${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$de${\displaystyle n}$Las tuplas de cuaterniones dotadas de la métrica euclidiana plana constituyen una variedad hiperkähler. El primer ejemplo no trivial descubierto es la métrica de Eguchi-Hanson en el fibrado cotangente.${\displaystyle T^{*}S^{2}}$de la esfera bidimensional . También fue descubierto independientemente por Eugenio Calabi , quien demostró la afirmación más general de que el haz cotangente${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} ^{n}}$de cualquier espacio proyectivo complejo tiene una métrica hiperkähler completa . ^{[ 1 ]} De manera más general, Birte Feix y Dmitry Kaledin demostraron que el fibrado cotangente de cualquier variedad de Kähler tiene una estructura hiperkähler en un entorno de su sección cero , aunque generalmente es incompleta. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Gracias a la clasificación de superficies complejas de Kunihiko Kodaira , sabemos que cualquier hipervariedad compacta de 4 dimensiones es una superficie K3 o un toro compacto.${\displaystyle T^{4}}$(Toda variedad de Calabi-Yau en 4 dimensiones (reales) es una variedad hiperkähler, porque SU(2) es isomorfa a Sp(1) .)

Como demostró Beauville , el esquema de Hilbert de k puntos en una hipervariedad compacta de 4k es una hipervariedad de dimensión 4k . ^{[ 6 ]} Esto da lugar a dos series de ejemplos compactos: esquemas de Hilbert de puntos en una superficie K3 y variedades de Kummer generalizadas .

Las 4-variedades hiperkähler no compactas y completas que son asintóticas a H / G , donde H denota los cuaterniones y G es un subgrupo finito de Sp(1) , se conocen como espacios asintóticamente localmente euclidianos (ALE). Estos espacios, y diversas generalizaciones que involucran diferentes comportamientos asintóticos, se estudian en física bajo el nombre de instantones gravitacionales . El ansatz de Gibbons-Hawking proporciona ejemplos invariantes bajo una acción de círculo.

Muchos ejemplos de variedades hiperkähler no compactas surgen como espacios de módulos de soluciones a ciertas ecuaciones de teoría de gauge que surgen de la reducción dimensional de las ecuaciones anti-autoduales de Yang-Mills : espacios de módulos de instantones, ^{[ 9 ]} espacios de módulos de monopolos , ^{[ 10 ]} espacios de soluciones a las ecuaciones de autodualidad de Nigel Hitchin en superficies de Riemann , ^{[ 11 ]} espacio de soluciones a las ecuaciones de Nahm . Otra clase de ejemplos son las variedades de carcaj de Nakajima , ^{[ 12 ]} que son de gran importancia en la teoría de la representación.

Kurnosov, Soldatenkov y Verbitsky (2019) muestran que la cohomología de cualquier variedad hiperkähler compacta se incrusta en la cohomología de un toro, de una manera que preserva la estructura de Hodge .

• Variedad de cuaterniones de Kähler
• Variedad hipercompleja
• variedad cuaterniónica
• Variedad de Calabi-Yau
• Instantón gravitacional
• Cociente hiperkähler
• teoría del twistor

• Dunajski, Maciej; Mason, Lionel J. (2000), "Hiper-Kähler jerarchies and their twistor theory", Communications in Mathematical Physics , 213 (3): 641– 672, arXiv : math/0001008 , Bibcode : 2000CMaPh.213..641D , doi : 10.1007/PL00005532 , MR 1785432 , S2CID 17884816  
• Kieran G. O'Grady, (2011) " Análogos de dimensiones superiores de superficies K3. " MR2931873
• Hitchin, Nigel (1991–1992), "Hyperkähler manifolds" , Séminaire N. Bourbaki , 34 (Discusión núm. 748): 137– 166, MR 1206066 
• Kurnosov, Nikon; Soldatenkov, Andrey; Verbitsky, Misha (2019), "Construcción Kuga-Satake y cohomología de variedades hiperkähler", Avances en Matemáticas , 351 : 275– 295, arXiv : 1703.07477 , doi : 10.1016/j.aim.2019.04.060 , MR 3952121 , S2CID 119124485