Modelo biológico de neurona

El modelo de Hodgkin-Huxley (modelo H&H) ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} es un modelo de la relación entre el flujo de corrientes iónicas a través de la membrana celular neuronal y el potencial de membrana de la célula. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} Consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que describen el comportamiento de los canales iónicos que permean la membrana celular del axón gigante del calamar . Hodgkin y Huxley recibieron el Premio Nobel de Fisiología o Medicina de 1963 por este trabajo.

Es importante destacar la relación voltaje-corriente, con múltiples corrientes dependientes del voltaje que cargan la membrana celular de capacidad C _m

${\displaystyle C_{\mathrm {m} }{\frac {dV(t)}{dt}}=-\sum _{i}I_{i}(t,V).}$

La ecuación anterior es la derivada temporal de la ley de capacitancia , Q = CV, donde el cambio de la carga total debe explicarse como la suma de las corrientes. Cada corriente viene dada por

${\displaystyle I(t,V)=g(t,V)\cdot (V-V_{\mathrm {eq} })}$

donde g ( t , V ) es la conductancia , o resistencia inversa, que puede expandirse en términos de su conductancia máxima ḡ y las fracciones de activación e inactivación m y h , respectivamente, que determinan cuántos iones pueden fluir a través de los canales de membrana disponibles. Esta expansión viene dada por

${\displaystyle g(t,V)={\bar {g}}\cdot m(t,V)^{p}\cdot h(t,V)^{q}}$

y nuestras fracciones siguen la cinética de primer orden.

${\displaystyle {\frac {dm(t,V)}{dt}}={\frac {m_{\infty }(V)-m(t,V)}{\tau _{\mathrm {m} }(V)}}=\alpha _{\mathrm {m} }(V)\cdot (1-m)-\beta _{\mathrm {m} }(V)\cdot m}$

con una dinámica similar para h , donde podemos usar τ y m _∞ o α y β para definir nuestras fracciones de puerta.

El modelo de Hodgkin-Huxley puede ampliarse para incluir corrientes iónicas adicionales. Típicamente, estas incluyen corrientes de entrada de Ca ²⁺ y Na ⁺ , así como varias variedades de corrientes de salida de K ⁺ , incluida una corriente de "fuga".

El resultado puede ser un número reducido de hasta 20 parámetros que deben estimarse o medirse para obtener un modelo preciso. En un modelo de un sistema complejo de neuronas, la integración numérica de las ecuaciones resulta computacionalmente costosa . Por lo tanto, se requieren simplificaciones cuidadosas del modelo de Hodgkin-Huxley.

El modelo puede reducirse a dos dimensiones gracias a las relaciones dinámicas que pueden establecerse entre las variables de compuerta. ^{[ 13 ]} También es posible extenderlo para tener en cuenta la evolución de las concentraciones (consideradas fijas en el modelo original). ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Uno de los primeros modelos de una neurona es el modelo de integración y disparo perfecto (también llamado integración y disparo sin fugas), investigado por primera vez en 1907 por Louis Lapicque . ^{[ 16 ]} Una neurona está representada por su voltaje de membrana V que evoluciona en el tiempo durante la estimulación con una corriente de entrada I(t) según

${\displaystyle I(t)=C{\frac {dV(t)}{dt}}}$

que es simplemente la derivada temporal de la ley de capacitancia , Q = CV . Cuando se aplica una corriente de entrada, el voltaje de la membrana aumenta con el tiempo hasta alcanzar un umbral constante Vth , momento en el que se produce un pico de función delta y el voltaje se restablece a su potencial de reposo , tras lo cual el modelo continúa ejecutándose. Por lo tanto, la _frecuencia de disparo del modelo aumenta linealmente sin límite a medida que aumenta la corriente de entrada.

El modelo puede hacerse más preciso introduciendo un período refractario t _ref que limita la frecuencia de disparo de una neurona, impidiendo que dispare durante ese período. Para una entrada constante I(t)=I, el voltaje umbral se alcanza después de un tiempo de integración t _int =CV _thr /I , partiendo de cero. Tras un reinicio, el período refractario introduce un tiempo muerto, de modo que el tiempo total hasta el siguiente disparo es t _ref + t _int . La frecuencia de disparo es la inversa del intervalo total entre picos (incluido el tiempo muerto). Por lo tanto, la frecuencia de disparo en función de una corriente de entrada constante es:

${\displaystyle \,\!f(I)={\frac {I}{C_{\mathrm {} }V_{\mathrm {th} }+t_{\mathrm {ref} }I}}.}$

Una limitación de este modelo es que no describe ni la adaptación ni la fuga de corriente. Si el modelo recibe un pulso de corriente corto por debajo del umbral en algún momento, conservará ese aumento de voltaje indefinidamente, hasta que otra entrada posterior lo active. Esta característica no concuerda con el comportamiento neuronal observado. Las siguientes extensiones hacen que el modelo de integración y activación sea más plausible desde un punto de vista biológico.

El modelo de integración y disparo con fugas, que se remonta a Louis Lapicque , ^{[ 16 ]} contiene un término de "fuga" en la ecuación del potencial de membrana que refleja la difusión de iones a través de la membrana, a diferencia del modelo de integración y disparo sin fugas. La ecuación del modelo se ve así ^{[ 1 ]}

${\displaystyle C_{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=I(t)-{\frac {V_{\mathrm {m} }(t)}{R_{\mathrm {m} }}}}$

donde V _m es el voltaje a través de la membrana celular y R _m es la resistencia de la membrana. (El modelo de integración y disparo sin fugas se obtiene en el límite R _m tiende a infinito, es decir, si la membrana es un aislante perfecto). La ecuación del modelo es válida para una entrada arbitraria dependiente del tiempo hasta que se alcanza un umbral V _th ; a partir de ese momento, el potencial de membrana se restablece.

Para una entrada constante, la entrada mínima para alcanzar el umbral es I _th = V _th / R _m . Suponiendo un reinicio a cero, la frecuencia de disparo se ve así:

${\displaystyle f(I)={\begin{cases}0,&I\leq I_{\mathrm {th} }\\\left[t_{\mathrm {ref} }-R_{\mathrm {m} }C_{\mathrm {m} }\log \left(1-{\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{IR_{\mathrm {m} }}}\right)\right]^{-1},&I>I_{\mathrm {th} }\end{cases}}}$

que converge para grandes corrientes de entrada al modelo anterior sin fugas con el período refractario. ^{[ 17 ]} El modelo también puede utilizarse para neuronas inhibitorias. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

La principal desventaja de este modelo es que no incluye la adaptación neuronal, por lo que no puede describir un tren de impulsos medido experimentalmente en respuesta a una corriente de entrada constante. ^{[ 20 ]} Esta desventaja se elimina en los modelos generalizados de integración y disparo que también incluyen una o varias variables de adaptación y son capaces de predecir los tiempos de disparo de las neuronas corticales bajo inyección de corriente con un alto grado de precisión. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

La adaptación neuronal se refiere al hecho de que, incluso en presencia de una inyección de corriente constante en el soma, los intervalos entre los picos de salida aumentan. Un modelo de neurona adaptativa de integración y disparo combina la integración con fugas del voltaje Vcon una o varias variables de adaptación w _k (véase el capítulo 6.1 del libro de texto Dinámica Neuronal ^{[ 27 ]} )

${\displaystyle \tau _{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=RI(t)-[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-R\sum _{k}w_{k}}$

${\displaystyle \tau _{k}{\frac {dw_{k}(t)}{dt}}=-a_{k}[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-w_{k}+b_{k}\tau _{k}\sum _{f}\delta (t-t^{f})}$

dónde ${\displaystyle \tau _{m}}$es la constante de tiempo de la membrana , w _k es el número de corriente de adaptación, con índice k ,${\displaystyle \tau _{k}}$w _k es la constante de tiempo de la corriente de adaptación , E _m es el potencial de reposo y t ^f es el tiempo de disparo de la neurona, y la delta griega denota la función delta de Dirac. Siempre que el voltaje alcanza el umbral de disparo, el voltaje se restablece a un valor V _r por debajo del umbral de disparo. El valor de restablecimiento es uno de los parámetros importantes del modelo. El modelo más simple de adaptación tiene solo una variable de adaptación wy se elimina la suma sobre k. ^{[ 28 ]}

Las neuronas de integración y disparo con una o varias variables de adaptación pueden explicar una variedad de patrones de disparo neuronal en respuesta a la estimulación constante, incluyendo adaptación, descarga en ráfagas y descarga inicial en ráfagas. ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} Además, las neuronas adaptativas de integración y disparo con varias variables de adaptación son capaces de predecir los tiempos de disparo de las neuronas corticales bajo inyección de corriente dependiente del tiempo en el soma. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

Los recientes avances en el cálculo fraccional computacional y teórico conducen a una nueva forma de modelo llamada Integración y disparo con fugas de orden fraccional. ^{[ 29 ] [ 30 ]} Una ventaja de este modelo es que puede capturar efectos de adaptación con una sola variable. El modelo tiene la siguiente forma ^{[ 30 ]}

${\displaystyle I(t)-{\frac {V_{\mathrm {m} }(t)}{R_{\mathrm {m} }}}=C_{\mathrm {m} }{\frac {d^{\alpha }V_{\mathrm {m} }(t)}{d^{\alpha }t}}}$

Una vez que el voltaje alcanza el umbral, se reinicia. La integración fraccionaria se ha utilizado para explicar la adaptación neuronal en datos experimentales. ^{[ 29 ]}

En el modelo exponencial de integración y disparo , ^{[ 33 ]} la generación de picos es exponencial, siguiendo la ecuación:

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}-{\frac {R}{\tau _{m}}}I(t)={\frac {1}{\tau _{m}}}\left[E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)\right].}$

dónde${\displaystyle V}$es el potencial de membrana,${\displaystyle V_{T}}$es el umbral del potencial de membrana intrínseco, ${\displaystyle \tau _{m}}$es la constante de tiempo de la membrana,${\displaystyle E_{m}}$es el potencial de reposo, y${\displaystyle \Delta _{T}}$es la nitidez de la iniciación del potencial de acción, generalmente alrededor de 1 mV para las neuronas piramidales corticales. ^{[ 31 ]} Una vez que el potencial de membrana cruza${\displaystyle V_{T}}$, diverge al infinito en tiempo finito. ^{[ 34 ]} En la simulación numérica, la integración se detiene si el potencial de membrana alcanza un umbral arbitrario (mucho mayor que${\displaystyle V_{T}}$) en el que el potencial de membrana se restablece a un valor V _r . El valor de restablecimiento de voltaje V _r es uno de los parámetros importantes del modelo. Es importante destacar que el lado derecho de la ecuación anterior contiene una no linealidad que puede extraerse directamente de datos experimentales. ^{[ 31 ]} En este sentido, la no linealidad exponencial está fuertemente respaldada por evidencia experimental.

En la neurona adaptativa exponencial de integración y disparo ^{[ 32 ],} la no linealidad exponencial anterior de la ecuación de voltaje se combina con una variable de adaptación w.

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=RI(t)+\left[E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)\right]-Rw}$

${\displaystyle \tau {\frac {dw(t)}{dt}}=-a[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-w+b\tau \delta (t-t^{f})}$

donde wdenota la corriente de adaptación con escala de tiempo${\displaystyle \tau }$Los parámetros importantes del modelo son el valor de reinicio de voltaje V _r y el umbral intrínseco .${\displaystyle V_{T}}$, las constantes de tiempo${\displaystyle \tau }$y${\displaystyle \tau _{m}}$así como los parámetros de acoplamiento ay bEl modelo adaptativo exponencial de integración y disparo hereda la no linealidad de voltaje derivada experimentalmente ^{[ 31 ]} del modelo exponencial de integración y disparo. Pero, más allá de este modelo, también puede explicar diversos patrones de disparo neuronal en respuesta a la estimulación constante, incluyendo la adaptación, la descarga en ráfagas y la descarga inicial en ráfagas ^{[ 26 ]} . Sin embargo, dado que la adaptación se presenta en forma de corriente, puede aparecer una hiperpolarización aberrante. Este problema se resolvió expresándola como una conductancia ^{[ 35 ] .}

En este modelo, una función dependiente del tiempo${\displaystyle \theta (t)}$se suma al umbral fijo,${\displaystyle v_{th0}}$, después de cada pico, provocando una adaptación del umbral. El potencial umbral ,${\displaystyle v_{th}}$, regresa gradualmente a su valor de estado estacionario dependiendo de la constante de tiempo de adaptación del umbral${\displaystyle \tau _{\theta }}$[ ^{36 ]} Esta es una de las técnicas más sencillas para lograr la adaptación de la frecuencia de los picos. ^{[ 37 ] La} expresión para el umbral adaptativo viene dada por:

${\displaystyle v_{th}(t)=v_{th0}+{\frac {\sum \theta (t-t_{f})}{f}}=v_{th0}+{\frac {\sum \theta _{0}\exp \left[-{\frac {(t-t_{f})}{\tau _{\theta }}}\right]}{f}}}$

dónde${\displaystyle \theta (t)}$se define por: ${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\exp \left[-{\frac {t}{\tau _{\theta }}}\right]}$

Cuando el potencial de membrana,${\displaystyle u(t)}$, alcanza un umbral, se restablece a${\displaystyle v_{rest}}$:

${\displaystyle u(t)\geq v_{th}(t)\Rightarrow v(t)=v_{\text{rest}}}$

Una versión más simple de esto con una sola constante de tiempo en la disminución del umbral con una neurona LIF se realiza en ^{[ 38 ]} para lograr redes neuronales recurrentes de picos como LSTM para lograr una precisión más cercana a las ANN en algunas tareas espaciotemporales.

El modelo neuronal DEXAT es una variante del modelo neuronal adaptativo en el que el voltaje umbral decae con una doble exponencial con dos constantes de tiempo. El decaimiento de la doble exponencial se rige por un decaimiento inicial rápido y luego un decaimiento más lento durante un período de tiempo más prolongado. ^{[ 39 ] [ 40 ]} Esta neurona, utilizada en las SNN mediante gradiente sustituto, crea una tasa de aprendizaje adaptativa que produce mayor precisión y convergencia más rápida, y una memoria a corto y largo plazo flexible en comparación con las contrapartes existentes en la literatura. La dinámica del potencial de membrana se describe mediante ecuaciones y la regla de adaptación del umbral es:

${\displaystyle v_{th}(t)=b_{0}+\beta _{1}b_{1}(t)+\beta _{2}b_{2}(t)}$

La dinámica de${\displaystyle b_{1}(t)}$y${\displaystyle b_{2}(t)}$son dados por

${\displaystyle b_{1}(t+\delta t)=p_{j1}b_{1}(t)+(1-p_{j1})z(t)\delta (t)}$,

${\displaystyle b_{2}(t+\delta t)=p_{j2}b_{2}(t)+(1-p_{j2})z(t)\delta (t)}$,

dónde${\displaystyle p_{j1}=\exp \left[-{\frac {\delta t}{\tau _{b1}}}\right]}$y${\displaystyle p_{j2}=\exp \left[-{\frac {\delta t}{\tau _{b2}}}\right]}$.

^{Además, en [ 41 ]} se muestra un modelo de neurona de umbral adaptativo de múltiples escalas de tiempo que presenta una dinámica más compleja.

Una neurona integrada en una red recibe una entrada de impulsos de otras neuronas. Dado que los tiempos de llegada de los impulsos no son controlados por un experimentador, pueden considerarse estocásticos. Por lo tanto, un modelo de integración y disparo (potencialmente no lineal) con no linealidad f(v) recibe dos entradas: una entrada ${\displaystyle I(t)}$controlado por los experimentadores y una corriente de entrada ruidosa${\displaystyle I^{\rm {noise}}(t)}$que describe la entrada de fondo no controlada.

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=f(V)+RI(t)+RI^{\text{noise}}(t)}$

El modelo de Stein ^{[ 45 ]} es el caso especial de una neurona de integración y disparo con fugas y una corriente de ruido blanco estacionaria.${\displaystyle I^{\rm {noise}}(t)=\xi (t)}$con media cero y varianza unitaria. En el régimen subumbral, estas suposiciones dan como resultado la ecuación del proceso de Ornstein-Uhlenbeck.

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=[E_{m}-V]+RI(t)+R\xi (t)}$

Sin embargo, a diferencia del proceso estándar de Ornstein-Uhlenbeck, el voltaje de membrana se restablece cada vez que V alcanza el umbral de disparo Vth _. ^{[ 45 ]} El cálculo de la distribución de intervalos del modelo de Ornstein-Uhlenbeck para una entrada constante con umbral conduce a un problema de tiempo de primer paso . ^{[ 45 ] [ 47 ]} El modelo neuronal de Stein y sus variantes se han utilizado para ajustar las distribuciones de intervalos entre picos de trenes de picos de neuronas reales bajo corriente de entrada constante. ^{[ 47 ]}

En la literatura matemática, la ecuación anterior del proceso de Ornstein-Uhlenbeck se escribe de la forma

${\displaystyle dV=[E_{m}-V+RI(t)]{\frac {dt}{\tau _{m}}}+\sigma \,dW}$

dónde${\displaystyle \sigma }$es la amplitud de la entrada de ruido y dW son incrementos de un proceso de Wiener . Para implementaciones de tiempo discreto con paso de tiempo dt las actualizaciones de voltaje son ^{[ 27 ]}

${\displaystyle \Delta V=[E_{m}-V+RI(t)]{\frac {\Delta t}{\tau _{m}}}+\sigma {\sqrt {\tau _{m}}}y}$

donde y se extrae de una distribución gaussiana con media cero y varianza unitaria. El voltaje se restablece cuando alcanza el umbral de disparo V _th .

El modelo de entrada ruidosa también se puede utilizar en modelos generalizados de integración y disparo. Por ejemplo, el modelo exponencial de integración y disparo con entrada ruidosa se lee:

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)+RI(t)+R\xi (t)}$

Para una entrada determinista constante${\displaystyle I(t)=I_{0}}$es posible calcular la tasa de disparo media en función de${\displaystyle I_{0}}$. ^{[ 48 ]} Esto es importante porque la relación frecuencia-corriente (curva fI) es utilizada a menudo por los experimentadores para caracterizar una neurona.

El mecanismo de integración y disparo con fugas y entrada ruidosa se ha utilizado ampliamente en el análisis de redes de neuronas de disparo. ^{[ 49 ]} La entrada ruidosa también se denomina "ruido difusivo" porque conduce a una difusión del potencial de membrana subumbral alrededor de la trayectoria libre de ruido (Johannesma, ^{[ 50 ]} La teoría de las neuronas de disparo con entrada ruidosa se revisa en el Capítulo 8.2 del libro de texto Dinámica Neuronal . ^{[ 27 ]}

En los modelos deterministas de integración y disparo, se genera un pico si el potencial de membrana V (t)alcanza el umbral${\displaystyle V_{th}}$En los modelos de salida ruidosos, el umbral estricto se reemplaza por uno ruidoso de la siguiente manera. En cada instante de tiempo t, se genera un pico estocásticamente con una intensidad estocástica instantánea o "tasa de escape" ^{[ 27 ].}

${\displaystyle \rho (t)=f(V(t)-V_{th})}$

que depende de la diferencia momentánea entre el voltaje de la membrana V (t)y el umbral${\displaystyle V_{th}}$. ^{[ 46 ]} Una opción común para el'tasa de escape' ${\displaystyle f}$(que es consistente con los datos biológicos ^{[ 22 ]} ) es

${\displaystyle f(V-V_{th})={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-V_{th})]}$

dónde${\displaystyle \tau _{0}}$es una constante de tiempo que describe con qué rapidez se dispara un pico una vez que el potencial de membrana alcanza el umbral y${\displaystyle \beta }$es un parámetro de nitidez. Para${\displaystyle \beta \to \infty }$El umbral se vuelve agudo y la activación de potenciales de acción ocurre de forma determinista en el momento en que el potencial de membrana alcanza el umbral desde abajo. El valor de agudeza hallado en los experimentos ^{[ 22 ]} es${\displaystyle 1/\beta \approx 4mV}$lo que significa que la activación neuronal se vuelve significativa tan pronto como el potencial de membrana está unos pocos mV por debajo del umbral de activación formal.

El proceso de tasa de escape a través de un umbral suave se revisa en el Capítulo 9 del libro de texto Dinámica Neuronal. ^{[ 27 ]}

Para modelos en tiempo discreto, se genera un pico con probabilidad

${\displaystyle P_{F}(t_{n})=F[V(t_{n})-V_{th}]}$

que depende de la diferencia momentánea entre el voltaje de la membrana Ven ese momento${\displaystyle t_{n}}$y el umbral${\displaystyle V_{th}}$. ^{[ 55 ]} La función F se suele tomar como una sigmoidal estándar${\displaystyle F(x)=0.5[1+\tanh(\gamma x)]}$ con parámetro de pendiente${\displaystyle \gamma }$, ^{[ 46 ]} similar a la dinámica de actualización en redes neuronales artificiales. Pero la forma funcional de F también puede derivarse de la intensidad estocástica${\displaystyle f}$en tiempo continuo introducido anteriormente como${\displaystyle F(y_{n})\approx 1-\exp[y_{n}\Delta t]}$dónde${\displaystyle y_{n}=V(t_{n})-V_{th}}$es la distancia umbral. ^{[ 46 ]}

Los modelos de integración y disparo con ruido de salida pueden utilizarse para predecir el histograma de tiempo periestímulo (PSTH) de neuronas reales bajo una entrada arbitraria dependiente del tiempo. ^{[ 22 ]} Para neuronas de integración y disparo no adaptativas, la distribución de intervalos bajo estimulación constante puede calcularse a partir de la teoría de renovación estacionaria . ^{[ 27 ]}

Artículo principal : Modelo de respuesta de picos

El modelo de respuesta de pico (SRM) es un modelo lineal generalizado para el voltaje de membrana subumbral combinado con un proceso de ruido de salida no lineal para la generación de picos. ^{[ 46 ] [ 58 ] [ 56 ]} El voltaje de membrana V (t)en el instante t es

${\displaystyle V(t)=\sum _{f}\eta (t-t^{f})+\int \limits _{0}^{\infty }\kappa (s)I(t-s)\,ds+V_{\mathrm {rest} }}$

donde t ^f es el tiempo de disparo del pico número f de la neurona, V _rest es el voltaje de reposo en ausencia de entrada, I(ts)es la corriente de entrada en el instante ts y${\displaystyle \kappa (s)}$es un filtro lineal (también llamado núcleo) que describe la contribución de un pulso de corriente de entrada en el tiempo ts al voltaje en el tiempo t. Las contribuciones al voltaje causadas por un pico en el tiempo${\displaystyle t^{f}}$se describen mediante el núcleo refractario${\displaystyle \eta (t-t^{f})}$. En particular,${\displaystyle \eta (t-t^{f})}$describe el reinicio después del pico y la evolución temporal del potencial posterior al pico. Por lo tanto, expresa las consecuencias de la refractariedad y la adaptación. ^{[ 46 ] [ 23 ]} El voltaje V(t) puede interpretarse como el resultado de una integración de la ecuación diferencial de un modelo de integración y disparo con fugas acoplado a un número arbitrario de variables de adaptación activadas por picos. ^{[ 24 ]}

La activación neuronal es estocástica y se produce con una intensidad estocástica dependiente del tiempo (tasa instantánea).

${\displaystyle f(V-\vartheta (t))={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-\vartheta (t))]}$

con parámetros${\displaystyle \tau _{0}}$y${\displaystyle \beta }$y un umbral dinámico${\displaystyle \vartheta (t)}$dado por

${\displaystyle \vartheta (t)=\vartheta _{0}+\sum _{f}\theta _{1}(t-t^{f})}$

Aquí${\displaystyle \vartheta _{0}}$es el umbral de disparo de una neurona inactiva y${\displaystyle \theta _{1}(t-t^{f})}$describe el aumento del umbral después de un pico en el tiempo${\displaystyle t^{f}}$. ^{[ 22 ] [ 23 ]} En caso de un umbral fijo, se establece${\displaystyle \theta _{1}(t-t^{f})=0}$. Para${\displaystyle \beta \to \infty }$El proceso de umbral es determinista. ^{[ 27 ]}

La evolución temporal de los filtros${\displaystyle \eta ,\kappa ,\theta _{1}}$que caracterizan el modelo de respuesta de picos se pueden extraer directamente de datos experimentales. ^{[ 23 ]} Con parámetros optimizados, el SRM describe la evolución temporal del voltaje de membrana subumbral para una entrada dependiente del tiempo con una precisión de 2 mV y puede predecir la sincronización de la mayoría de los picos de salida con una precisión de 4 ms. ^{[ 22 ] [ 23 ]} El SRM está estrechamente relacionado con los modelos de cascada lineal-no lineal-Poisson (también llamados Modelo Lineal Generalizado). ^{[ 54 ]} La estimación de parámetros de modelos neuronales probabilísticos como el SRM utilizando métodos desarrollados para Modelos Lineales Generalizados ^{[ 59 ]} se analiza en el Capítulo 10 del libro de texto Dinámica Neuronal . ^{[ 27 ]}

El nombre modelo de respuesta de pico surge porque, en una red, la corriente de entrada para la neurona i es generada por los picos de otras neuronas, de modo que en el caso de una red la ecuación de voltaje se convierte en

${\displaystyle V_{i}(t)=\sum _{f}\eta _{i}(t-t_{i}^{f})+\sum _{j=1}^{N}w_{ij}\sum _{f'}\varepsilon _{ij}(t-t_{j}^{f'})+V_{\mathrm {rest} }}$

dónde${\displaystyle t_{j}^{f'}}$son los tiempos de disparo de la neurona j (es decir, su tren de impulsos);${\displaystyle \eta _{i}(t-t_{i}^{f})}$describe la evolución temporal del potencial de acción y el potencial posterior al potencial de acción para la neurona i; y${\displaystyle w_{ij}}$ y${\displaystyle \varepsilon _{ij}(t-t_{j}^{f'})}$Describir la amplitud y la evolución temporal de un potencial postsináptico excitatorio o inhibitorio (PSP) causado por la espiga.${\displaystyle t_{j}^{f'}}$de la neurona presináptica j. El curso temporal${\displaystyle \varepsilon _{ij}(s)}$del PSP resulta de la convolución de la corriente postsináptica${\displaystyle I(t)}$causado por la llegada de un pico presináptico de la neurona j con el filtro de membrana${\displaystyle \kappa (s)}$. ^{[ 27 ]}

El SRM 0 ^{[ 56 ] [ 60 ] [ 61 ]} es un modelo neuronal estocástico relacionado con la teoría de renovación no lineal dependiente del tiempo y una simplificación del Modelo de Respuesta de Espiga (SRM). La principal diferencia con la ecuación de voltaje del SRM introducida anteriormente es que en el término que contiene el núcleo refractario${\displaystyle \eta (s)}$No hay signo de suma sobre picos pasados: solo el pico más reciente (denotado como el tiempo)${\displaystyle {\hat {t}}}$) importa. Otra diferencia es que el umbral es constante. El modelo SRM0 puede formularse en tiempo discreto o continuo. Por ejemplo, en tiempo continuo, la ecuación de una sola neurona es

${\displaystyle V(t)=\eta (t-{\hat {t}})+\int _{0}^{\infty }\kappa (s)I(t-s)\,ds+V_{\mathrm {rest} }}$

y las ecuaciones de red del SRM 0 son ^{[ 56 ]}

${\displaystyle V_{i}(t\mid {\hat {t}}_{i})=\eta _{i}(t-{\hat {t}}_{i})+\sum _{j}w_{ij}\sum _{f}\varepsilon _{ij}(t-{\hat {t}}_{i},t-t^{f})+V_{\mathrm {rest} }}$

dónde${\displaystyle {\hat {t}}_{i}}$es el último tiempo de disparo de la neurona i. Nótese que la evolución temporal del potencial postsináptico${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$También se permite que dependa del tiempo transcurrido desde el último pico de la neurona i para describir un cambio en la conductancia de la membrana durante el período refractario. ^{[ 60 ]} La tasa de disparo instantánea (intensidad estocástica) es

${\displaystyle f(V-\vartheta )={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-V_{th})]}$

dónde${\displaystyle V_{th}}$es un umbral de disparo fijo. Por lo tanto, el disparo de potenciales de acción de la neurona i depende únicamente de su entrada y del tiempo transcurrido desde que la neurona i disparó su último potencial de acción.

Con el SRM 0 , la distribución del intervalo entre picos para una entrada constante se puede vincular matemáticamente con la forma del núcleo refractario.${\displaystyle \eta }$. ^{[ 46 ] [ 56 ]} Además, la relación frecuencia-corriente estacionaria se puede calcular a partir de la tasa de escape en combinación con el núcleo refractario${\displaystyle \eta }$. ^{[ 46 ] [ 56 ]} Con una selección apropiada de los núcleos, el SRM 0 aproxima la dinámica del modelo de Hodgkin-Huxley con un alto grado de precisión. ^{[ 60 ]} Además, se puede predecir la respuesta del PSTH a una entrada arbitraria dependiente del tiempo. ^{[ 56 ]}

FitzHugh y Nagumo introdujeron simplificaciones radicales al modelo de Hodgkin-Huxley en 1961 y 1962. Buscando describir la "autoexcitación regenerativa" mediante un voltaje de membrana de retroalimentación positiva no lineal y la recuperación mediante un voltaje de puerta de retroalimentación negativa lineal, desarrollaron el modelo descrito en ^{[ 62 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}{rcl}{\dfrac {dV}{dt}}&=V-V^{3}/3-w+I_{\mathrm {ext} }\\\tau {\dfrac {dw}{dt}}&=V-a-bw\end{aligned}}}$

donde nuevamente tenemos un voltaje y una corriente de entrada similares a los de una membrana con un voltaje de puerta general más lento w y parámetros determinados experimentalmente a = -0.7, b = 0.8, τ = 1/0.08 . Aunque no se puede derivar de la biología, el modelo permite una dinámica simplificada y de acceso inmediato, sin ser una simplificación trivial. ^{[ 63 ]} El respaldo experimental es débil, pero el modelo es útil como herramienta didáctica para introducir la dinámica de la generación de picos a través del análisis del plano de fase . Véase el Capítulo 7 del libro de texto Métodos de modelado neuronal . ^{[ 64 ]}

En 1981, Morris y Lecar combinaron los modelos de Hodgkin-Huxley y FitzHugh-Nagumo en un modelo de canal de calcio dependiente de voltaje con un canal de potasio rectificador retardado representado por

${\displaystyle {\begin{aligned}C{\frac {dV}{dt}}&=-I_{\mathrm {ion} }(V,w)+I\\{\frac {dw}{dt}}&=\varphi \cdot {\frac {w_{\infty }-w}{\tau _{w}}}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle I_{\mathrm {ion} }(V,w)={\bar {g}}_{\mathrm {Ca} }m_{\infty }\cdot (V-V_{\mathrm {Ca} })+{\bar {g}}_{\mathrm {K} }w\cdot (V-V_{\mathrm {K} })+{\bar {g}}_{\mathrm {L} }\cdot (V-V_{\mathrm {L} })}$. ^{[ 17 ]} El respaldo experimental del modelo es débil, pero el modelo es útil como herramienta didáctica para introducir la dinámica de la generación de picos a través del análisis del plano de fase . Véase el Capítulo 7 ^{[ 65 ]} en el libro de texto Métodos de modelado neuronal . ^{[ 64 ]}

Se puede derivar paso a paso un modelo neuronal bidimensional muy similar al modelo de Morris-Lecar a partir del modelo de Hodgkin-Huxley. Véase el capítulo 4.2 del libro de texto Dinámica Neuronal. ^{[ 27 ]}

Partiendo del modelo de FitzHugh-Nagumo , Hindmarsh y Rose propusieron en 1984 ^{[ 66 ]} un modelo de actividad neuronal descrito por tres ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y+3x^{2}-x^{3}-z+I\\{\frac {dy}{dt}}&=1-5x^{2}-y\\{\frac {dz}{dt}}&=r\cdot (4(x+{\tfrac {8}{5}})-z)\end{aligned}}}$

con r ² = x ² + y ² + z ² , y r ≈ 10 ⁻² de modo que la variable z cambia muy lentamente. Esta complejidad matemática adicional permite una gran variedad de comportamientos dinámicos para el potencial de membrana, descrito por la variable x del modelo, que incluye dinámicas caóticas. Esto hace que el modelo de neurona de Hindmarsh-Rose sea muy útil, porque sigue siendo simple y permite una buena descripción cualitativa de los muchos patrones de disparo diferentes del potencial de acción, en particular las ráfagas, observados en experimentos. Sin embargo, sigue siendo un modelo de juguete y no se ha ajustado a datos experimentales. Se utiliza ampliamente como modelo de referencia para la dinámica de ráfagas. ^{[ 66 ]}

El modelo theta , o modelo canónico de tipo I de Ermentrout-Kopell , es matemáticamente equivalente al modelo cuadrático de integración y disparo, que a su vez es una aproximación al modelo exponencial de integración y disparo y al modelo de Hodgkin-Huxley. Se denomina modelo canónico porque es uno de los modelos genéricos para una entrada constante cercana al punto de bifurcación, es decir, cerca de la transición de disparo silencioso a disparo repetitivo. ^{[ 67 ] [ 68 ]}

La formulación estándar del modelo theta es ^{[ 27 ] [ 67 ] [ 68 ]}

${\displaystyle {\frac {d\theta (t)}{dt}}=(I-I_{0})[1+\cos(\theta )]+[1-\cos(\theta )]}$

La ecuación para el modelo cuadrático de integración y disparo es (véase el Capítulo 5.3 del libro de texto Dinámica Neuronal ^{[ 27 ]} )

${\displaystyle \tau _{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=(I-I_{0})R+[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }][V_{\mathrm {m} }(t)-V_{\mathrm {T} }]}$

La equivalencia del modelo theta y el modelo cuadrático de integración y disparo se revisa, por ejemplo, en el Capítulo 4.1.2.2 de los modelos de neuronas de disparo. ^{[ 1 ]}

Para la entrada${\displaystyle I(t)}$que cambia con el tiempo o está lejos del punto de bifurcación, es preferible trabajar con el modelo exponencial de integración y disparo (si se quiere permanecer en la clase de modelos neuronales unidimensionales), porque las neuronas reales exhiben la no linealidad del modelo exponencial de integración y disparo. ^{[ 31 ]}

Siebert ^{[ 69 ] [ 70 ]} modeló el patrón de disparo de potenciales de acción neuronales utilizando un modelo de proceso de Poisson no homogéneo , siguiendo experimentos que involucraban el sistema auditivo. ^{[ 69 ] [ 70 ]} Según Siebert, la probabilidad de un evento de disparo en el intervalo de tiempo${\displaystyle [t,t+\Delta _{t}]}$es proporcional a una función no negativa${\displaystyle g[s(t)]}$, dónde${\displaystyle s(t)}$es el estímulo en bruto.:

${\displaystyle P_{\text{spike}}(t\in [t',t'+\Delta _{t}])=\Delta _{t}\cdot g[s(t)]}$

Siebert consideró varias funciones como${\displaystyle g[s(t)]}$, incluido${\displaystyle g[s(t)]\propto s^{2}(t)}$para intensidades de estímulo bajas.

La principal ventaja del modelo de Siebert es su simplicidad. Las limitaciones del modelo radican en su incapacidad para reflejar adecuadamente los siguientes fenómenos:

• El aumento transitorio de la actividad de disparo neuronal en respuesta a un estímulo escalonado.
• La saturación de la frecuencia de disparo.
• Los valores del histograma del intervalo entre picos en intervalos cortos (cercanos a cero).

Estas deficiencias se abordan mediante el modelo de proceso puntual dependiente de la edad y el modelo de Markov de dos estados. ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]}

Berry y Meister ^{[ 74 ]} estudiaron la refractariedad neuronal utilizando un modelo estocástico que predice los picos como un producto de dos términos, una función f(s(t)) que depende del estímulo dependiente del tiempo s(t) y una función de recuperación. ${\displaystyle w(t-{\hat {t}})}$Eso depende del tiempo transcurrido desde el último pico.

${\displaystyle \rho (t)=f(s(t))w(t-{\hat {t}})}$

El modelo también se denomina proceso de intervalo de Markov no homogéneo (IMI) . ^{[ 75 ]} Modelos similares se han utilizado durante muchos años en neurociencia auditiva. ^{[ 76 ] [ 77 ] [ 78 ]} Dado que el modelo conserva la memoria del último tiempo de espiga, no es de Poisson y pertenece a la clase de modelos de renovación dependientes del tiempo. ^{[ 27 ]} Está estrechamente relacionado con el modelo SRM0 con tasa de escape exponencial. ^{[ 27 ]} Es importante destacar que es posible ajustar los parámetros del modelo de proceso puntual dependiente de la edad para describir no solo la respuesta PSTH, sino también las estadísticas del intervalo entre espigas. ^{[ 75 ] [ 76 ] [ 78 ]}

El modelo de cascada lineal-no lineal-Poisson es una cascada de un proceso de filtrado lineal seguido de un paso de generación de picos no lineales. ^{[ 79 ]} En el caso de que los picos de salida retroalimenten, a través de un proceso de filtrado lineal, llegamos a un modelo conocido en neurociencias como Modelo Lineal Generalizado (GLM). ^{[ 54 ] [ 59 ]} El GLM es matemáticamente equivalente al modelo de respuesta de picos (SRM) con ruido de escape; pero mientras que en el SRM las variables internas se interpretan como el potencial de membrana y el umbral de disparo, en el GLM las variables internas son cantidades abstractas que resumen el efecto neto de la entrada (y los picos de salida recientes) antes de que se generen picos en el paso final. ^{[ 27 ] [ 54 ]}

El modelo de neurona de disparo de Nossenson y Messer ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]} produce la probabilidad de que la neurona dispare un potencial de acción en función de un estímulo externo o farmacológico. ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]} El modelo consta de una cascada de un modelo de capa receptora y un modelo de neurona de disparo, como se muestra en la Fig. 4. La conexión entre el estímulo externo y la probabilidad de disparo se realiza en dos pasos: primero, un modelo de célula receptora traduce el estímulo externo bruto a la concentración de neurotransmisor, y luego, un modelo de neurona de disparo conecta la concentración de neurotransmisor con la tasa de disparo (probabilidad de disparo). Por lo tanto, el modelo de neurona de disparo depende de la concentración de neurotransmisor en la etapa de entrada. ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]}

Una característica importante de este modelo es la predicción del patrón de frecuencia de disparo neuronal, que captura, mediante un número reducido de parámetros libres, la respuesta característica de las neuronas a un pulso de estímulo, como se muestra en la figura 5. La frecuencia de disparo se identifica tanto como una probabilidad normalizada de disparo de potenciales de acción neuronales como una magnitud proporcional a la corriente de neurotransmisores liberados por la célula. La expresión para la frecuencia de disparo adopta la siguiente forma:

${\displaystyle R_{\text{fire}}(t)={\frac {P_{\text{spike}}(t;\Delta _{t})}{\Delta _{t}}}=[y(t)+R_{0}]\cdot P_{0}(t)}$

dónde,

• P0 es la probabilidad de que la neurona esté "activada" y lista para disparar. Se obtiene mediante la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle {\dot {P}}_{0}=-[y(t)+R_{0}+R_{1}]\cdot P_{0}(t)+R_{1}}$

P0 podría calcularse generalmente de forma recursiva utilizando el método de Euler, pero en el caso de un pulso de estímulo, produce una expresión simple de forma cerrada. ^{[ 71 ] [ 80 ]}

• y ( t ) es la entrada del modelo y se interpreta como la concentración de neurotransmisor en el entorno celular (en la mayoría de los casos, glutamato). Para un estímulo externo, se puede estimar mediante el modelo de capa receptora:

${\displaystyle y(t)\simeq g_{\text{gain}}\cdot \langle s^{2}(t)\rangle ,}$

con${\displaystyle \langle s^{2}(t)\rangle }$siendo un promedio temporal corto de la potencia del estímulo (dada en vatios u otra energía por unidad de tiempo).

• R ₀ corresponde a la tasa de disparo espontáneo intrínseco de la neurona.
• R ₁ es la tasa de recuperación de la neurona desde el estado refractario.

Otras predicciones de este modelo incluyen:

1) El potencial evocado promedio (ERP) debido a la población de muchas neuronas en mediciones sin filtrar se asemeja a la tasa de disparo. ^{[ 73 ]}

2) La variación de voltaje de la actividad debida a la actividad de múltiples neuronas se asemeja a la tasa de disparo (también conocida como potencia de actividad de unidades múltiples o MUA). ^{[ 72 ] [ 73 ]}

3) La distribución de probabilidad del intervalo entre picos toma la forma de una función similar a la distribución gamma. ^{[ 71 ] [ 80 ]}

Según el modelo de Koch y Segev, ^{[ 17 ]} la respuesta de una neurona a neurotransmisores individuales puede modelarse como una extensión del modelo clásico de Hodgkin-Huxley con corrientes cinéticas tanto estándar como no estándar. Cuatro neurotransmisores influyen principalmente en el SNC. Los receptores AMPA/kainato son mediadores excitatorios rápidos, mientras que los receptores NMDA median corrientes considerablemente más lentas. Las corrientes inhibitorias rápidas se transmiten a través de los receptores GABA _A , mientras que los receptores GABA _B median mediante canales de potasio secundarios activados por proteína G. Este rango de mediación produce la siguiente dinámica de corriente:

• ${\displaystyle I_{\mathrm {AMPA} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {AMPA} }\cdot [O]\cdot (V(t)-E_{\mathrm {AMPA} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {NMDA} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {NMDA} }\cdot B(V)\cdot [O]\cdot (V(t)-E_{\mathrm {NMDA} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {GABA_{A}} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {GABA_{A}} }\cdot ([O_{1}]+[O_{2}])\cdot (V(t)-E_{\mathrm {Cl} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {GABA_{B}} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {GABA_{B}} }\cdot {\tfrac {[G]^{n}}{[G]^{n}+K_{\mathrm {d} }}}\cdot (V(t)-E_{\mathrm {K} })}$

donde ḡ es la conductancia máxima ^{[ 8 ] [ 17 ]} (alrededor de 1 S ) y E es el potencial de equilibrio del ion o transmisor dado (AMDA, NMDA, Cl , o K ), mientras que [ O ] describe la fracción de receptores abiertos. Para NMDA, hay un efecto significativo del bloqueo de magnesio que depende sigmoidalmente de la concentración de magnesio intracelular por B ( V ) . Para GABA _B , [ G ] es la concentración de la proteína G , y K _d describe la disociación de G en la unión a las compuertas de potasio.

La dinámica de este modelo más complejo ha sido bien estudiada experimentalmente y produce resultados importantes en términos de potenciación y depresión sináptica muy rápidas , es decir, aprendizaje rápido a corto plazo.

El modelo estocástico de Nossenson y Messer traduce la concentración de neurotransmisores en la etapa de entrada a la probabilidad de liberación de neurotransmisores en la etapa de salida. ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]} Para una descripción más detallada de este modelo, consulte la sección anterior sobre el modelo de Markov de dos estados .

El esquema de detección de energía basado en neurotransmisores ^{[ 73 ] [ 80 ]} sugiere que el tejido neural ejecuta químicamente un procedimiento de detección similar al de un radar.

Como se muestra en la Fig. 6, la idea clave de la conjetura es considerar la concentración, la generación y la eliminación de neurotransmisores como cantidades importantes para la ejecución de la tarea de detección, mientras que los potenciales eléctricos medidos se consideran un efecto secundario que solo en ciertas condiciones coincide con el propósito funcional de cada paso. El esquema de detección es similar a una "detección de energía" tipo radar, ya que incluye elevación al cuadrado de la señal, suma temporal y un mecanismo de conmutación de umbral, al igual que el detector de energía, pero también incluye una unidad que enfatiza los bordes del estímulo y una longitud de memoria variable (memoria variable). Según esta conjetura, el equivalente fisiológico de las estadísticas de la prueba de energía es la concentración de neurotransmisores, y la tasa de disparo corresponde a la corriente de neurotransmisores. La ventaja de esta interpretación es que conduce a una explicación coherente que permite establecer un vínculo entre las mediciones electrofisiológicas, las mediciones bioquímicas y los resultados psicofísicos.

La evidencia revisada en ^{[ 73 ] [ 80 ]} sugiere la siguiente asociación entre la funcionalidad y la clasificación histológica:

1. Es probable que la neutralización del estímulo la realicen las células receptoras.
2. Las neuronas se encargan de enfatizar el borde del estímulo y de la transducción de la señal.
3. La acumulación temporal de neurotransmisores la realizan las células gliales. Es probable que la acumulación de neurotransmisores a corto plazo también ocurra en algunos tipos de neuronas.
4. La conmutación lógica es ejecutada por las células gliales y se produce al superarse un umbral de concentración de neurotransmisores. Este cruce de dicho umbral también conlleva un cambio en la tasa de fuga de neurotransmisores.
5. El cambio de movimiento físico, que es de todo o nada, se debe a las células musculares y es el resultado de superar un determinado umbral de concentración de neurotransmisores en el entorno muscular.

Cabe destacar que, si bien las señales electrofisiológicas de la figura 6 suelen ser similares a la señal funcional (potencia de la señal/concentración de neurotransmisores/fuerza muscular), existen algunas etapas en las que la observación eléctrica difiere del propósito funcional de la etapa correspondiente. En particular, Nossenson et al. sugirieron que el cruce del umbral glial tiene una función completamente distinta a la de la señal electrofisiológica emitida, y que esta última podría ser simplemente un efecto secundario de la ruptura glial.