Fonón

Un fonón es una cuasipartícula , una excitación colectiva en una disposición elástica y periódica de átomos o moléculas en la materia condensada , específicamente en sólidos y algunos líquidos . En el contexto de objetos atrapados ópticamente, el modo de vibración cuantizado puede definirse como fonones siempre que la longitud de onda modal de la oscilación sea menor que el tamaño del objeto. Un tipo de cuasipartícula en física , ^{[ 1 ]} un fonón es un estado excitado en la cuantización cuántica de los modos de vibración para estructuras elásticas de partículas interactuantes. Los fonones pueden considerarse como ondas sonoras cuantizadas , de forma similar a como los fotones son ondas de luz cuantizadas . ^{[ 2 ]}

El estudio de los fonones es una parte importante de la física de la materia condensada. Desempeñan un papel fundamental en muchas de las propiedades físicas de los sistemas de materia condensada, como la conductividad térmica y la conductividad eléctrica , así como en los modelos de dispersión de neutrones y efectos relacionados.

El concepto de fonones fue introducido en 1930 por el físico soviético Igor Tamm . El nombre fonón fue sugerido por Yakov Frenkel . ^{[ 3 ]} Proviene de la palabra griega φωνή ( phonē ), que se traduce como sonido o voz , porque los fonones de longitud de onda larga dan origen al sonido . El nombre enfatiza la analogía con la palabra fotón , ya que los fonones representan la dualidad onda-partícula para las ondas sonoras de la misma manera que los fotones representan la dualidad onda-partícula para las ondas de luz . Los sólidos con más de un átomo en la celda unitaria más pequeña exhiben fonones acústicos y ópticos .

Un fonón es la descripción cuántica de un movimiento vibracional elemental en el que una red de átomos o moléculas oscila uniformemente a una única frecuencia . ^{[ 4 ]} En mecánica clásica, esto designa un modo normal de vibración. Los modos normales son importantes porque cualquier vibración arbitraria de la red puede considerarse una superposición de estos modos vibracionales elementales (véase el análisis de Fourier ). Si bien los modos normales son fenómenos ondulatorios en mecánica clásica, los fonones también poseen propiedades de partícula , en un sentido relacionado con la dualidad onda-partícula de la mecánica cuántica.

Las ecuaciones de esta sección no utilizan axiomas de la mecánica cuántica, sino relaciones para las que existe una correspondencia directa en la mecánica clásica.

Por ejemplo: una red cristalina rígida y regular (no amorfa ) está compuesta por N partículas. Estas partículas pueden ser átomos o moléculas. N es un número grande, digamos del orden de 10²³ ^, o del orden del número de Avogadro para una muestra típica de un sólido. Dado que la red es rígida, los átomos deben ejercer fuerzas entre sí para mantener cada átomo cerca de su posición de equilibrio. Estas fuerzas pueden ser fuerzas de Van der Waals , enlaces covalentes , atracciones electrostáticas y otras, todas las cuales se deben en última instancia a la fuerza eléctrica . Las fuerzas magnéticas y gravitatorias son generalmente despreciables. Las fuerzas entre cada par de átomos pueden caracterizarse mediante una función de energía potencial V que depende de la distancia de separación de los átomos. La energía potencial de toda la red es la suma de todas las energías potenciales de los pares multiplicada por un factor de 1/2 para compensar el doble conteo: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

donde r _i es la posición del i- ésimo átomo, y V es la energía potencial entre dos átomos.

Es difícil resolver este problema de muchos cuerpos explícitamente, tanto en mecánica clásica como cuántica. Para simplificar la tarea, se suelen imponer dos aproximaciones importantes . Primero, la suma se realiza solo sobre átomos vecinos. Aunque las fuerzas eléctricas en sólidos reales se extienden hasta el infinito, esta aproximación sigue siendo válida porque los campos producidos por átomos distantes se apantallan eficazmente . Segundo, los potenciales V se tratan como potenciales armónicos . Esto es permisible siempre que los átomos permanezcan cerca de sus posiciones de equilibrio. Formalmente, esto se logra mediante el ^desarrollo de Taylor de V alrededor de su valor de equilibrio hasta el orden cuadrático, lo que da como resultado V proporcional al desplazamiento x² y la fuerza elástica simplemente proporcional a x . El error al ignorar términos de orden superior sigue siendo pequeño si x permanece cerca de la posición de equilibrio.

La red resultante puede visualizarse como un sistema de esferas conectadas por resortes. La siguiente figura muestra una red cúbica, un buen modelo para muchos tipos de sólidos cristalinos. Otras redes incluyen una cadena lineal, una red muy simple que utilizaremos próximamente para modelar fonones. (Para otras redes comunes, véase la sección de estructura cristalina ).

La energía potencial de la red ahora se puede escribir como

${\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}$

Aquí, ω es la frecuencia natural de los potenciales armónicos, que se suponen iguales ya que la red es regular. R _i es la coordenada de posición del átomo i , que ahora medimos desde su posición de equilibrio. La suma sobre los vecinos más cercanos se denota (nn).

Es importante mencionar que el tratamiento matemático aquí presentado está altamente simplificado para hacerlo accesible a personas no expertas. Esta simplificación se logró mediante dos supuestos básicos en la expresión de la energía potencial total del cristal. Estos supuestos son: (i) la energía potencial total puede escribirse como una suma de interacciones por pares, y (ii) cada átomo interactúa solo con sus vecinos más cercanos. Estos supuestos se utilizan con poca frecuencia en la dinámica de redes moderna. ^{[ 6 ]} Un enfoque más general consiste en expresar la energía potencial en términos de constantes de fuerza. ^{[ 6 ]} Véase, por ejemplo, el artículo de la Wiki sobre funciones de Green multiescala.

Ondas reticulares

Debido a las conexiones entre los átomos, el desplazamiento de uno o más átomos respecto a sus posiciones de equilibrio genera un conjunto de ondas de vibración que se propagan a través de la red cristalina. Una de estas ondas se muestra en la figura de la derecha. La amplitud de la onda viene dada por el desplazamiento de los átomos respecto a sus posiciones de equilibrio. Se indica la longitud de onda λ .

Existe una longitud de onda mínima posible, dada por el doble de la separación de equilibrio a entre los átomos. Cualquier longitud de onda menor que esta puede mapearse a una longitud de onda mayor que 2a , debido a la periodicidad de la red. Esto puede considerarse una consecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , donde los puntos de la red se consideran los "puntos de muestreo" de una onda continua.

No todas las vibraciones de la red cristalina tienen una longitud de onda y una frecuencia bien definidas. Sin embargo, los modos normales sí poseen longitudes de onda y frecuencias bien definidas .

Red unidimensional

Para simplificar el análisis necesario para una red tridimensional de átomos, resulta conveniente modelar una red unidimensional o una cadena lineal. Este modelo es lo suficientemente complejo como para mostrar las características más destacadas de los fonones.

Tratamiento clásico

Se supone que las fuerzas entre los átomos son lineales y entre vecinos más cercanos, y se representan mediante un resorte elástico. Se supone que cada átomo es una partícula puntual y que el núcleo y los electrones se mueven al unísono ( teorema adiabático ):

n − 1 n n + 1 ← a →     

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

→→  →  →→→

u _{n − 1} u _n u _{n + 1}  

donde n etiqueta el n -ésimo átomo de un total de N , a es la distancia entre átomos cuando la cadena está en equilibrio, y u _n el desplazamiento del n -ésimo átomo desde su posición de equilibrio.

Si C es la constante elástica del resorte y m la masa del átomo, entonces la ecuación de movimiento del n- ésimo átomo es

${\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}$

Se trata de un conjunto de ecuaciones acopladas.

Dado que se espera que las soluciones sean oscilatorias, se definen nuevas coordenadas mediante una transformada discreta de Fourier para desacoplarlas. ^{[ 7 ]}

Poner

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

Aquí, na corresponde y se reduce a la variable continua x de la teoría de campos escalares. Las Q _k se conocen como las coordenadas normales para los modos de campo continuo.${\displaystyle \phi _{k}=e^{ikna}}$con${\displaystyle k=2\pi j/(Na)}$para${\displaystyle j=1\dots N}$.

La sustitución en la ecuación de movimiento produce las siguientes ecuaciones desacopladas (esto requiere una manipulación significativa utilizando las relaciones de ortonormalidad y completitud de la transformada discreta de Fourier), ^{[ 8 ]}

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

Estas son las ecuaciones para osciladores armónicos desacoplados que tienen la solución

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

Cada coordenada normal Q _k representa un modo vibracional independiente de la red con número de onda k , que se conoce como modo normal .

La segunda ecuación, para ω _k , se conoce como la relación de dispersión entre la frecuencia angular y el número de onda .

En el límite continuo , a →0, N →∞, con Na fijo, u _n → φ ( x ) , un campo escalar, y ${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$Esto equivale a la teoría clásica de campos escalares libres , un conjunto de osciladores independientes.

Tratamiento cuántico

Una cadena armónica cuántica unidimensional consta de N átomos idénticos. Este es el modelo cuántico más simple de una red que permite la aparición de fonones. El formalismo de este modelo se puede generalizar fácilmente a dos y tres dimensiones.

A diferencia de la sección anterior, las posiciones de las masas no se indican mediante${\displaystyle u_{i}}$, pero en cambio por${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$según se miden desde sus posiciones de equilibrio. (Es decir,${\displaystyle x_{i}=0}$si partícula${\displaystyle i}$está en su posición de equilibrio.) En dos o más dimensiones, el${\displaystyle x_{i}}$son cantidades vectoriales. El hamiltoniano para este sistema es

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

donde m es la masa de cada átomo (suponiendo que es igual para todos), y x _i y p _i son los operadores de posición y momento , respectivamente, para el átomo i y la suma se realiza sobre los vecinos más cercanos (nn). Sin embargo, se espera que en una red también puedan aparecer ondas que se comporten como partículas. Es habitual trabajar con ondas en el espacio de Fourier , que utiliza los modos normales del vector de onda como variables en lugar de las coordenadas de las partículas. El número de modos normales es igual al número de partículas. Aun así, el espacio de Fourier es muy útil dada la periodicidad del sistema.

Se puede introducir un conjunto de N "coordenadas normales" Q _k , definidas como las transformadas discretas de Fourier de x _k y N "momentos conjugados" Π _k definidos como las transformadas de Fourier de p _k :

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

La cantidad k resulta ser el número de onda del fonón, es decir, 2π dividido por la longitud de onda .

Esta elección conserva las relaciones de conmutación deseadas tanto en el espacio real como en el espacio de vectores de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(kk'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

Del resultado general

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}$

El término de energía potencial es

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _ {j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

dónde

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

El hamiltoniano puede escribirse en el espacio de vectores de onda como

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

Los acoplamientos entre las variables de posición se han eliminado mediante una transformación; si Q y Π fueran hermíticas (lo cual no es el caso), el hamiltoniano transformado describiría N osciladores armónicos desacoplados.

La forma de la cuantización depende de la elección de las condiciones de contorno; para simplificar, se imponen condiciones de contorno periódicas , definiendo el átomo ( N  +  1) como equivalente al primer átomo. Físicamente, esto corresponde a unir la cadena por sus extremos. La cuantización resultante es

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

El límite superior de n proviene de la longitud de onda mínima, que es el doble del espaciado de la red a , como se explicó anteriormente.

Los autovalores o niveles de energía del oscilador armónico para el modo ω _k son:

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

Los niveles están espaciados uniformemente a:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

donde ⁠ 1 / 2 ⁠ ħω es la energía de punto cero de un oscilador armónico cuántico .

Se debe suministrar una cantidad exacta de energía ħω a la red del oscilador armónico para impulsarlo al siguiente nivel de energía. Por analogía con el caso del fotón , cuando el campo electromagnético está cuantizado, el cuanto de energía vibracional se denomina fonón.

Todos los sistemas cuánticos muestran propiedades ondulatorias y corpusculares simultáneamente. Las propiedades corpusculares del fonón se comprenden mejor utilizando los métodos de segunda cuantización y las técnicas de operadores que se describen más adelante. ^{[ 9 ]}

Relación de dispersión

Para una matriz alternada unidimensional de dos tipos de iones o átomos de masa m ₁ , m ₂ repetida periódicamente a una distancia a , conectados por resortes de constante elástica K , resultan dos modos de vibración: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

donde k es el vector de onda de la vibración relacionado con su longitud de onda por ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$.

La relación entre frecuencia y vector de onda, ω  = ω ( k ), se conoce como relación de dispersión . El signo positivo corresponde al modo óptico , y el signo negativo al modo acústico . En el modo óptico, dos átomos adyacentes de diferente naturaleza se mueven uno contra el otro, mientras que en el modo acústico se mueven juntos. 

La velocidad de propagación de un fonón acústico, que también es la velocidad del sonido en la red cristalina, viene dada por la pendiente de la relación de dispersión acústica, ⁠ ∂ ω _k / ∂ k ⁠ (véase velocidad de grupo ). Para valores bajos de k (es decir, longitudes de onda largas), la relación de dispersión es casi lineal y la velocidad del sonido es aproximadamente ωa , independientemente de la frecuencia del fonón. Como resultado, paquetes de fonones con longitudes de onda diferentes (pero largas) pueden propagarse a grandes distancias a través de la red sin fragmentarse. Esta es la razón por la que el sonido se propaga a través de los sólidos sin distorsión significativa. Este comportamiento falla para valores grandes de k , es decir, longitudes de onda cortas, debido a los detalles microscópicos de la red.

Para un cristal que tiene al menos dos átomos en su celda primitiva , las relaciones de dispersión exhiben dos tipos de fonones, a saber, modos ópticos y acústicos que corresponden a la curva azul superior y roja inferior en el diagrama, respectivamente. El eje vertical es la energía o frecuencia del fonón, mientras que el eje horizontal es el vector de onda . Los límites en − ⁠ π / a ⁠ y ⁠ π / a ⁠ son los de la primera zona de Brillouin . ^{[ 11 ]} Un cristal con N ≥ 2 átomos diferentes en la celda primitiva exhibe tres modos acústicos: un modo acústico longitudinal y dos modos acústicos transversales . El número de modos ópticos es 3 N – 3. La figura inferior muestra las relaciones de dispersión para varios modos de fonones en GaAs como función del vector de onda k en las direcciones principales de su zona de Brillouin. ^{[ 10 ]}    

Los modos también se conocen como ramas de dispersión de fonones. En general, si hay p átomos (denotados anteriormente por N) en la celda unitaria primitiva, habrá 3p ramas de dispersión de fonones en un cristal tridimensional. De estas, 3 ramas corresponden a modos acústicos y las 3p-3 restantes corresponden a modos ópticos. En ciertas direcciones, algunas ramas coinciden debido a la simetría. Estas ramas se denominan degeneradas. En los modos acústicos, todos los átomos p vibran en fase. Por lo tanto, no hay cambios en los desplazamientos relativos de estos átomos durante la propagación de la onda.

El estudio de la dispersión de fonones es útil para modelar la propagación de ondas sonoras en sólidos, caracterizada por la presencia de fonones. La energía de cada fonón, como se mencionó anteriormente, es ħω. La velocidad de la onda también se expresa en función de ω y k . La dirección del vector de onda indica la dirección de propagación, y el vector de polarización de fonones define la dirección de vibración de los átomos. En general, la velocidad de la onda en un cristal varía según la dirección de k. En otras palabras, la mayoría de los cristales presentan anisotropía en la propagación de fonones.

Una onda es longitudinal si los átomos vibran en la misma dirección que la propagación de la onda. En una onda transversal, los átomos vibran perpendicularmente a la propagación de la onda. Sin embargo, salvo en cristales isótropos, las ondas en un cristal no son exactamente longitudinales ni transversales. En cristales anisótropos en general, las ondas de fonones son longitudinales o transversales solo en ciertas direcciones de simetría especiales. En otras direcciones, pueden ser casi longitudinales o casi transversales. Es solo por conveniencia de nomenclatura que a menudo se las denomina longitudinales o transversales, cuando en realidad son cuasi-longitudinales o cuasi-transversales. Cabe destacar que, en el caso tridimensional, existen dos direcciones perpendiculares a una línea recta en cada punto de la misma. Por lo tanto, siempre hay dos ondas (cuasi) transversales por cada onda (cuasi) longitudinal.

Se han medido numerosas curvas de dispersión de fonones mediante dispersión inelástica de neutrones .

La física del sonido en los fluidos difiere de la física del sonido en los sólidos, aunque ambas son ondas de densidad: las ondas sonoras en los fluidos solo tienen componentes longitudinales, mientras que las ondas sonoras en los sólidos tienen componentes longitudinales y transversales. Esto se debe a que los fluidos no pueden soportar esfuerzos cortantes (pero véase el caso de los fluidos viscoelásticos , que solo se aplican a altas frecuencias).

Los sólidos con más de un átomo en la celda unitaria más pequeña presentan dos tipos de fonones: fonones acústicos y fonones ópticos.

Los fonones acústicos son movimientos coherentes de los átomos de la red cristalina que se desvían de sus posiciones de equilibrio. Si el desplazamiento se produce en la dirección de propagación, los átomos estarán más cerca en algunas zonas y más lejos en otras, como en una onda sonora en el aire (de ahí su nombre). El desplazamiento perpendicular a la dirección de propagación es comparable al de las ondas en una cuerda. Si la longitud de onda de los fonones acústicos tiende al infinito, esto corresponde a un simple desplazamiento de todo el cristal, sin coste energético de deformación. Los fonones acústicos presentan una relación lineal entre la frecuencia y el vector de onda para longitudes de onda largas. Las frecuencias de los fonones acústicos tienden a cero a medida que aumenta la longitud de onda. Los fonones acústicos longitudinales y transversales se abrevian como fonones LA y TA, respectivamente.

Los fonones ópticos son movimientos desfasados ​​de los átomos en la red cristalina, donde un átomo se mueve hacia la izquierda y su vecino hacia la derecha. Esto ocurre si la base de la red está formada por dos o más átomos. Se denominan ópticos porque en cristales iónicos, como el cloruro de sodio , las fluctuaciones en el desplazamiento crean una polarización eléctrica que se acopla al campo electromagnético. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, pueden ser excitados por radiación infrarroja : el campo eléctrico de la luz desplazará cada ion de sodio positivo en la dirección del campo y cada ion de cloruro negativo en la dirección opuesta, provocando la vibración del cristal.

Los fonones ópticos tienen una frecuencia distinta de cero en el centro de la zona de Brillouin y no muestran dispersión cerca de ese límite de longitud de onda larga. Esto se debe a que corresponden a un modo de vibración donde los iones positivos y negativos en sitios de red adyacentes oscilan entre sí, creando un momento dipolar eléctrico variable en el tiempo . Los fonones ópticos que interactúan de esta manera con la luz se denominan activos en el infrarrojo . Los fonones ópticos que son activos en Raman también pueden interactuar indirectamente con la luz, a través de la dispersión Raman . Los fonones ópticos se abrevian a menudo como fonones LO y TO, para los modos longitudinal y transversal respectivamente; el desdoblamiento entre las frecuencias LO y TO se describe a menudo con precisión mediante la relación de Lyddane-Sachs-Teller .

Al medir experimentalmente la energía de los fonones ópticos, las frecuencias de estos se expresan a veces en notación de número de onda espectroscópico, donde el símbolo ω representa ^la frecuencia ordinaria (no la angular) y se expresa en unidades de cm⁻¹ . Este valor se obtiene dividiendo la frecuencia por la velocidad de la luz en el vacío . En otras palabras, el número de onda en unidades de cm⁻¹ ^corresponde al inverso de la longitud de onda de un fotón en el vacío con la misma frecuencia que el fonón medido. ^{[ 13 ]}

Por analogía con los fotones y las ondas de materia , los fonones se han tratado con un vector de onda k como si tuviera un momento ħk ; ^{[ 14 ]} sin embargo, esto no es estrictamente correcto, porque ħk no es realmente un momento físico; se le llama momento cristalino o pseudomomento . Esto se debe a que k solo se determina hasta la suma de vectores constantes (los vectores de la red recíproca y sus múltiplos enteros). Por ejemplo, en el modelo unidimensional, las coordenadas normales Q y Π se definen de manera que

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

dónde

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

para cualquier entero n . Un fonón con número de onda k es , por lo tanto , equivalente a una familia infinita de fonones con números de onda k ± 2π/a, k ± 4π /  a , y así sucesivamente . Físicamente , los vectores de la red recíproca actúan como fragmentos adicionales de momento que la red puede impartir al fonón. Los electrones de Bloch obedecen un conjunto similar de restricciones.   

Generalmente, resulta conveniente considerar los vectores de onda de fonones k que tienen la menor magnitud | k | dentro de su "familia". El conjunto de todos estos vectores de onda define la primera zona de Brillouin . Se pueden definir zonas de Brillouin adicionales como copias de la primera zona, desplazadas por algún vector de la red recíproca.

Las propiedades termodinámicas de un sólido están directamente relacionadas con su estructura fonónica. El conjunto completo de todos los fonones posibles, descritos por las relaciones de dispersión fonónica, se combina en lo que se conoce como densidad de estados fonónicos , la cual determina la capacidad calorífica de un cristal. Debido a la naturaleza de esta distribución, la capacidad calorífica está dominada por la parte de alta frecuencia, mientras que la conductividad térmica es principalmente resultado de la región de baja frecuencia.

A temperatura de cero absoluto , una red cristalina se encuentra en su estado fundamental y no contiene fonones. Una red a temperatura distinta de cero tiene una energía que no es constante, sino que fluctúa aleatoriamente alrededor de un valor medio . Estas fluctuaciones de energía son causadas por vibraciones aleatorias de la red, que pueden considerarse como un gas de fonones. Debido a que estos fonones se generan por la temperatura de la red, a veces se les denomina fonones térmicos. ^{[ 15 ]}

Los fonones térmicos pueden crearse y destruirse por fluctuaciones aleatorias de energía. En el lenguaje de la mecánica estadística, esto significa que el potencial químico para agregar un fonón es cero. ^{[ 15 ]} Este comportamiento es una extensión del potencial armónico al régimen anarmónico. El comportamiento de los fonones térmicos es similar al del gas de fotones producido por una cavidad electromagnética , donde los fotones pueden ser emitidos o absorbidos por las paredes de la cavidad. Esta similitud no es casual, ya que resulta que el campo electromagnético se comporta como un conjunto de osciladores armónicos, dando lugar a la radiación de cuerpo negro . Ambos gases obedecen la estadística de Bose-Einstein : en equilibrio térmico y dentro del régimen armónico, la probabilidad de encontrar fonones o fotones en un estado dado con una frecuencia angular dada es: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

donde ω _{k , s} es la frecuencia de los fonones (o fotones) en el estado, k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura.

El hamiltoniano de fonones viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

En términos de los operadores de creación y aniquilación , estos vienen dados por

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

Aquí, al expresar el hamiltoniano en el formalismo de operadores, no hemos tenido en cuenta el término ⁠ 1 / 2 ⁠ ħω _q ya que, dado un continuo o una red infinita , los términos ⁠ 1 / 2 ⁠ ħω _q se sumarán produciendo un término infinito . Debido a que lo que medimos es la diferencia de energía y no su valor absoluto, el término constante ⁠ 1 / 2 ⁠ ħω _q puede ignorarse sin cambiar las ecuaciones de movimiento. Por lo tanto, el factor ⁠ 1 / 2 ⁠ ħω _q está ausente en la expresión formalizada de operadores para el hamiltoniano .

El estado fundamental, también llamado " estado de vacío ", es el estado compuesto por la ausencia de fonones. Por lo tanto, la energía del estado fundamental es 0. Cuando un sistema se encuentra en el estado | n ₁ n ₂ n ₃ … ⟩ , decimos que hay n _α fonones de tipo α , donde n _α es el número de ocupación de los fonones. La energía de un solo fonón de tipo α viene dada por ħω _q y la energía total de un sistema de fonones general viene dada por n ₁ ħω ₁  + n ₂ ħω ₂ +.... Como no hay términos cruzados (por ejemplo, n ₁ ħω ₂ ), se dice que los fonones no interactúan. La acción de los operadores de creación y aniquilación viene dada por:  

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

y,

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

El operador de creación, a _α ^†, crea un fonón de tipo α, mientras que a _α lo aniquila. Por lo tanto, son respectivamente los operadores de creación y aniquilación de fonones. De forma análoga al caso del oscilador armónico cuántico , podemos definir el operador de número de partículas como

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

El operador de número conmuta con una cadena de productos de los operadores de creación y aniquilación si y solo si el número de operadores de creación es igual al número de operadores de aniquilación.

Se puede demostrar que los fonones son simétricos bajo el intercambio (es decir , | α , β ⟩  = | β , α ⟩ ), por lo que se consideran bosones . ^{[ 18 ]} 

Además de los fotones , los fonones pueden interactuar mediante conversión descendente paramétrica ^{[ 19 ]} y formar estados coherentes comprimidos . ^{[ 20 ]}

Investigaciones recientes han demostrado que los fonones y rotones pueden tener una masa no despreciable y verse afectados por la gravedad al igual que las partículas estándar. ^{[ 21 ]} En particular, se predice que los fonones tienen una especie de masa negativa y gravedad negativa. ^{[ 22 ]} Esto puede explicarse por el hecho de que se sabe que los fonones viajan más rápido en materiales más densos. Debido a que la parte de un material que apunta hacia una fuente gravitatoria está más cerca del objeto, se vuelve más densa en ese extremo. A partir de esto, se predice que los fonones se desviarían al detectar la diferencia de densidades, exhibiendo las cualidades de un campo gravitatorio negativo. ^{[ 23 ]} Aunque el efecto sería demasiado pequeño para medirlo, es posible que equipos futuros puedan conducir a resultados exitosos.

La superconductividad es un estado de la materia electrónica en el que la resistencia eléctrica desaparece y los campos magnéticos se expulsan del material. En un superconductor, los electrones se unen formando pares de Cooper mediante una débil fuerza de atracción. En un superconductor convencional, esta atracción se conoce como interacción de Bardeen-Pines y es causada por un intercambio de fonones entre los electrones. ^{[ 24 ]} La evidencia de que los fonones, las vibraciones de la red iónica, son relevantes para la superconductividad la proporciona el efecto isotópico , la dependencia de la temperatura crítica superconductora de la masa de los iones.

En 2019, los investigadores lograron aislar fonones individuales sin destruirlos por primera vez. ^{[ 25 ]}

También se demostró que el flujo de fonones es responsable de la generación de corriente eléctrica a nanoescala cuando un líquido fluye sobre una superficie de grafeno. ^{[ 26 ]}

• Born, Max; Huang, Kun (1996) [1954]. Teoría dinámica de las redes cristalinas . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-267008-3.
• Ziman, JM (2001) [1960]. Electrones y fonones . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850779-6.
• Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido . Nueva York: Cengage Learning. ISBN 978-0-03-083993-1.Capítulos 22 – 26
• Kittel, Charles (2004). Introducción a la física del estado sólido (8.ª  ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-41526-8.Capítulos 4 y 5
• Girvin, Steven M.; Yang, Kun (2019). Física moderna de la materia condensada . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 64–97 . ISBN  978-1-316-48064-9.

• Citas relacionadas con el fonón en Wikiquote
• "Explicación: Fonones" . Noticias del MIT | Instituto Tecnológico de Massachusetts . 8 de julio de 2010. Consultado el 12 de octubre de 2024 .* Modos ópticos y acústicos