Álgebra de Lie

La dimensión de un álgebra de Lie sobre un cuerpo significa su dimensión como espacio vectorial . En física, una base de espacio vectorial del álgebra de Lie de un grupo de Lie${\displaystyle G}$puede llamarse un conjunto de generadores para${\displaystyle G}$. (Son "generadores infinitesimales" para${\displaystyle G}$(por así decirlo.) En matemáticas, un conjunto${\displaystyle S}$de generadores para un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$significa un subconjunto de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de tal manera que cualquier subálgebra de Lie (como se define a continuación) que contenga${\displaystyle S}$debe ser todo de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. De forma equivalente,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$está generado (como un espacio vectorial) por todos los corchetes iterados de elementos de${\displaystyle S}$.

Un álgebra de Lie se llama abeliana si su corchete de Lie es idénticamente cero. Cualquier espacio vectorial${\displaystyle V}$Una estructura dotada del corchete de Lie idénticamente nulo se convierte en un álgebra de Lie. Toda álgebra de Lie unidimensional es abeliana, debido a la propiedad alternante del corchete de Lie.

• Sobre un álgebra asociativa${\displaystyle A}$sobre un campo${\displaystyle F}$con la multiplicación escrita como${\displaystyle xy}$, un corchete de Lie puede definirse mediante el conmutador${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$. Con este corchete,${\displaystyle A}$es un álgebra de Lie. (La identidad de Jacobi se deduce de la asociatividad de la multiplicación en${\displaystyle A}$.) ^{[ 4 ]}
• El anillo de endomorfismo de un${\displaystyle F}$-espacio vectorial${\displaystyle V}$con el corchete de Lie anterior se denota${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.
• Para un campo${\displaystyle F}$y un número entero positivo${\displaystyle n}$, el espacio de${\displaystyle n\times n}$matrices sobre${\displaystyle F}$, denotado${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$o${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$, es un álgebra de Lie con corchete dado por el conmutador de matrices:${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$. ^{[ 5 ]} Este es un caso especial del ejemplo anterior; es un ejemplo clave de un álgebra de Lie. Se denomina álgebra de Lie lineal general .

Cuando${\displaystyle F}$son los números reales,${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$es el álgebra de Lie del grupo lineal general${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$, el grupo de invertibles${\displaystyle n\times n}$ matrices reales (o equivalentemente, matrices con determinante distinto de cero ), donde la operación de grupo es la multiplicación de matrices. Asimismo,${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$es el álgebra de Lie del grupo de Lie complejo${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$. El soporte de mentira en${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$describe el fallo de la conmutatividad para la multiplicación de matrices, o equivalentemente para la composición de aplicaciones lineales. Para cualquier campo${\displaystyle F}$,${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$puede considerarse como el álgebra de Lie del grupo algebraico${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$encima${\displaystyle F}$.

El corchete de Lie no tiene por qué ser asociativo , lo que significa que${\displaystyle [[x,y],z]}$no tiene por qué ser igual a${\displaystyle [x,[y,z]]}$No obstante, gran parte de la terminología para anillos y álgebras asociativas (y también para grupos) tiene análogos para álgebras de Lie. Una subálgebra de Lie es un subespacio lineal.${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$que se cierra bajo el corchete de Lie. Un ideal${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$es un subespacio lineal que satisface la condición más fuerte ^{[ b ] [ 6 ]}

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

En la correspondencia entre grupos de Lie y álgebras de Lie, los subgrupos corresponden a subálgebras de Lie, y los subgrupos normales corresponden a ideales.

Un homomorfismo de álgebra de Lie es una aplicación lineal compatible con los respectivos corchetes de Lie ^{[ 7 ]} :

${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},\quad \varphi ([x,y])=[\varphi (x),\varphi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

Un isomorfismo de álgebras de Lie es un homomorfismo biyectivo .

Al igual que los subgrupos normales en los grupos, los ideales en las álgebras de Lie son precisamente los núcleos de los homomorfismos. Dado un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y un ideal${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$en él, el álgebra de Lie cociente${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$se define, con un homomorfismo sobreyectivo${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$de álgebras de Lie. El primer teorema de isomorfismo se cumple para las álgebras de Lie: para cualquier homomorfismo${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$de álgebras de Lie, la imagen de${\displaystyle \varphi }$es una subálgebra de Lie de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$que es isomorfo a${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\ker(\varphi )}$.

Para el álgebra de Lie de un grupo de Lie, el corchete de Lie es una especie de conmutador infinitesimal. Como resultado, para cualquier álgebra de Lie, dos elementos${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$Se dice que conmutan si su paréntesis desaparece:${\displaystyle [x,y]=0}$. ^{[ 8 ]}

La subálgebra centralizadora de un subconjunto${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$es el conjunto de elementos que conmutan con${\displaystyle S}$: eso es,${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}}$. El centralizador de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$En sí mismo es el centro${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$. De manera similar, para un subespacio S , la subálgebra normalizadora de${\displaystyle S}$es${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}}$. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Si${\displaystyle S}$es una subálgebra de Lie,${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$es la subálgebra más grande tal que${\displaystyle S}$es un ideal de${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$.

Para dos álgebras de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$, el álgebra de Lie del producto es el espacio vectorial${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$que consta de todos los pares ordenados${\displaystyle (x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$, con corchete de Lie ^{[ 11 ]}

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).}$

Este es el producto en la categoría de álgebras de Lie. Tenga en cuenta que las copias de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$viajar juntos${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ser un álgebra de Lie y${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$un ideal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Si el mapa canónico${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$divisiones (es decir, admite una sección)${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}}$, como un homomorfismo de álgebras de Lie), entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Se dice que es un producto semidirecto de${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$, escrito${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$. Véase también suma semidirecta de álgebras de Lie .

Para un álgebra A sobre un cuerpo F , una derivación de A sobre F es una aplicación lineal.${\displaystyle D\colon A\to A}$que satisface la regla de Leibniz

${\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)}$

a pesar de${\displaystyle x,y\in A}$. (La definición tiene sentido para un álgebra posiblemente no asociativa .) Dadas dos derivaciones${\displaystyle D_{1}}$y${\displaystyle D_{2}}$, su conmutador${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$es de nuevo una derivación. Esta operación hace que el espacio${\displaystyle {\text{Der}}_{F}(A)}$de todas las derivaciones de A sobre F en un álgebra de Lie. ^{[ 12 ]}

En términos informales, el espacio de derivaciones de A es el álgebra de Lie del grupo de automorfismos de A. (Esto es literalmente cierto cuando el grupo de automorfismos es un grupo de Lie, por ejemplo, cuando F son los números reales y A tiene dimensión finita como espacio vectorial). Por esta razón, los espacios de derivaciones son una forma natural de construir álgebras de Lie: son los "automorfismos infinitesimales" de A. De hecho, al escribir la condición que

${\displaystyle (1+\varepsilon D)(xy)\equiv (1+\varepsilon D)(x)\cdot (1+\varepsilon D)(y){\pmod {\varepsilon ^{2}}}}$

(donde 1 denota la aplicación identidad en A ) da exactamente la definición de que D sea una derivación.

Ejemplo: el álgebra de Lie de campos vectoriales. Sea A el anillo${\displaystyle C^{\infty }(X)}$de funciones suaves en una variedad suave X. Luego, una derivación de A sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$es equivalente a un campo vectorial en X. (Un campo vectorial v proporciona una derivación del espacio de funciones suaves al diferenciar funciones en la dirección de v ). Esto hace que el espacio${\displaystyle \operatorname {Vect} (X)}$de campos vectoriales en un álgebra de Lie (véase corchete de Lie de campos vectoriales ). ^{[ 13 ]} Hablando informalmente,${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$es el álgebra de Lie del grupo de difeomorfismos de X. Por lo tanto, el corchete de Lie de campos vectoriales describe la no conmutatividad del grupo de difeomorfismos. Una acción de un grupo de Lie G sobre una variedad X determina un homomorfismo de álgebras de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}$(A continuación se muestra un ejemplo).

Un álgebra de Lie puede ser vista como un álgebra no asociativa, y por lo tanto cada álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un cuerpo F determina su álgebra de Lie de derivaciones,${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$. Es decir, una derivación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un mapa lineal${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$de tal manera que

${\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]}$.

La derivación interna asociada a cualquier${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$es el mapeo adjunto${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$definido por${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$. (Esta es una derivación como consecuencia de la identidad de Jacobi.) Eso da un homomorfismo de álgebras de Lie,${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$La imagen${\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$es un ideal en${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$y el álgebra de Lie de derivaciones externas se define como el álgebra de Lie cociente,${\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$(Esto es exactamente análogo al grupo de automorfismos externos de un grupo). Para un álgebra de Lie semisimple (definida más adelante) sobre un cuerpo de característica cero, toda derivación es interna. ^{[ 14 ]} Esto está relacionado con el teorema que establece que el grupo de automorfismos externos de un grupo de Lie semisimple es finito. ^{[ 15 ]}

En contraste, un álgebra de Lie abeliana tiene muchas derivaciones externas. Es decir, para un espacio vectorial${\displaystyle V}$con corchete de Lie cero, el álgebra de Lie${\displaystyle {\text{Out}}_{F}(V)}$puede identificarse con${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.

Un grupo de matrices es un grupo de Lie que consta de matrices invertibles,${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$, donde la operación de grupo de G es la multiplicación de matrices. El álgebra de Lie correspondiente${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es el espacio de matrices que son vectores tangentes a G dentro del espacio lineal${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$: esto consiste en derivadas de curvas suaves en G en la matriz identidad${\displaystyle I}$:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {R} ):{\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.}$

El soporte de mentiras de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$viene dado por el conmutador de matrices,${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$. Dado un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$, se puede recuperar el grupo de Lie como el subgrupo generado por la exponencial matricial de elementos de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 16 ]} (Para ser precisos, esto da el componente identidad de G , si G no está conectado.) Aquí el mapeo exponencial${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )}$se define por${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots }$, que converge para cada matriz${\displaystyle X}$.

Los mismos comentarios se aplican a los subgrupos de Lie complejos de${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$y la exponencial de matriz compleja,${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$(definido por la misma fórmula).

Aquí se muestran algunos grupos de Lie de matrices y sus álgebras de Lie. ^{[ 17 ]}

• Para un entero positivo n , el grupo lineal especial${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$consta de todas las matrices reales n  × n  con determinante 1. Este es el grupo de aplicaciones lineales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a sí mismo que conservan el volumen y la orientación . De forma más abstracta,${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$es el subgrupo conmutador del grupo lineal general${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$. Su álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$Consiste en todas las matrices reales n  × n  con traza 0. De manera similar, se puede definir el grupo de Lie complejo análogo.${\displaystyle {\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )}$y su álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$.
• El grupo ortogonal${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$desempeña un papel fundamental en geometría: es el grupo de aplicaciones lineales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a sí mismo que preservan la longitud de los vectores. Por ejemplo, las rotaciones y reflexiones pertenecen a${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$. De forma equivalente, este es el grupo de matrices ortogonales n x n , lo que significa que${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$, dónde${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$denota la transpuesta de una matriz. El grupo ortogonal tiene dos componentes conexas; la componente identidad se llama grupo ortogonal especial.${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$, que consiste en matrices ortogonales con determinante 1. Ambos grupos tienen la misma álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$, el subespacio de matrices antisimétricas en${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$(${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$). Véase también rotaciones infinitesimales con matrices antisimétricas .

El grupo ortogonal complejo${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$, su componente de identidad${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$y el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$se dan mediante las mismas fórmulas aplicadas a matrices complejas n x n . Equivalentemente,${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$es el subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$que conserva la forma bilineal simétrica estándar en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

• El grupo unitario${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$es el subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$que conserva la longitud de los vectores en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$(con respecto al producto interno hermitiano estándar ). Equivalentemente, este es el grupo de matrices unitarias n  × n (que satisfacen ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$, dónde${\displaystyle A^{*}}$denota la transpuesta conjugada de una matriz). Su álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$consta de las matrices antihermíticas en${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$(${\displaystyle X^{*}=-X}$). Este es un álgebra de Lie sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$, no terminado${\displaystyle \mathbb {C} }$. (De hecho, i veces una matriz antihermítica es hermítica, en lugar de antihermítica). Del mismo modo, el grupo unitario${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$es un subgrupo de Lie real del grupo de Lie complejo${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$. Por ejemplo,${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$es el grupo circular , y su álgebra de Lie (desde este punto de vista) es${\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )}$.
• El grupo unitario especial${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$es el subgrupo de matrices con determinante 1 en${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$. Su álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$consta de matrices antihermíticas con traza cero.
• El grupo simpléctico${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$es el subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$que conserva la forma bilineal alternada estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$Su álgebra de Lie es el álgebra de Lie simpléctica .${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$.
• Las álgebras de Lie clásicas son las enumeradas anteriormente, junto con variantes sobre cualquier cuerpo.

Aquí se describen algunas álgebras de Lie de baja dimensión. Consulte la clasificación de las álgebras de Lie reales de baja dimensión para ver más ejemplos.

• Existe un álgebra de Lie no abeliana única${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de dimensión 2 sobre cualquier cuerpo F , salvo isomorfismo. ^{[ 18 ]} Aquí${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tiene una base${\displaystyle X,Y}$para el cual el corchete viene dado por${\displaystyle \left[X,Y\right]=Y}$. (Esto determina completamente el corchete de Lie, porque los axiomas implican que${\displaystyle [X,X]=0}$y${\displaystyle [Y,Y]=0}$.) Sobre los números reales,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$puede considerarse como el álgebra de Lie del grupo de Lie${\displaystyle G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )}$de transformaciones afines de la recta real,${\displaystyle x\mapsto ax+b}$.

El grupo afín G puede identificarse con el grupo de matrices

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)}$

bajo multiplicación de matrices, con${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$,${\displaystyle a\neq 0}$Su álgebra de Lie es la subálgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$que consta de todas las matrices

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).}$

En estos términos, la base anterior para${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$viene dado por las matrices

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

Para cualquier campo${\displaystyle F}$, el subespacio unidimensional${\displaystyle F\cdot Y}$es un ideal en el álgebra de Lie bidimensional${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, por la fórmula${\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y}$. Ambas álgebras de Lie${\displaystyle F\cdot Y}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)}$son abelianos (porque son unidimensionales). En este sentido,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$puede dividirse en "piezas" abelianas, lo que significa que es resoluble (aunque no nilpotente), en la terminología que se presenta a continuación.

• El álgebra de Heisenberg${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$Sobre un cuerpo F es el álgebra de Lie tridimensional con una base${\displaystyle X,Y,Z}$de tal manera que ^{[ 19 ]}

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0}$.

Puede considerarse como el álgebra de Lie de matrices triangulares superiores estrictas de 3 × 3 , con el corchete de Lie conmutador y la base

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Sobre las cifras reales,${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )}$es el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg${\displaystyle \mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )}$, es decir, el grupo de matrices

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)}$

bajo multiplicación de matrices.

Para cualquier campo F , el centro de${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$es el ideal unidimensional${\displaystyle F\cdot Z}$y el cociente${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)}$es abeliano, isomorfo a${\displaystyle F^{2}}$En la terminología que se presenta a continuación, se deduce que${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$es nilpotente (aunque no abeliano).

• El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$del grupo de rotación SO(3) es el espacio de matrices antisimétricas de 3 x 3 sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$. Una base viene dada por las tres matrices ^{[ 20 ]}

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Las relaciones de conmutación entre estos generadores son

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

El producto vectorial de vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$se da mediante la misma fórmula en términos de la base estándar; de modo que el álgebra de Lie es isomorfa a${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$. También,${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$es equivalente a los operadores de componente de momento angular de espín (física) para partículas de espín 1 en mecánica cuántica . ^{[ 21 ]}

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$no se puede dividir en pedazos de la misma manera que los ejemplos anteriores: es simple , lo que significa que no es abeliano y sus únicos ideales son 0 y todos los de${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$.

• Otra álgebra de Lie simple de dimensión 3, en este caso sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$, es el espacio${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$de matrices de 2 x 2 de traza cero. Una base viene dada por las tres matrices.

${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).}$

H

mi

F

La acción de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$en la esfera de Riemann${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$En particular, los corchetes de Lie de los campos vectoriales mostrados son:${\displaystyle [H,E]=2E}$,${\displaystyle [H,F]=-2F}$,${\displaystyle [E,F]=H}$.

El corchete de Lie viene dado por:

${\displaystyle [H,E]=2E,}$

${\displaystyle [H,F]=-2F,}$

${\displaystyle [E,F]=H.}$

Utilizando estas fórmulas, se puede demostrar que el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$es simple, y clasifica sus representaciones de dimensión finita (definidas a continuación). ^{[ 22 ]} En la terminología de la mecánica cuántica, se puede pensar en E y F como operadores de creación y aniquilación . De hecho, para cualquier representación de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$, las relaciones anteriores implican que E mapea el espacio propio c de H ( para un número complejo c ) en el${\displaystyle (c+2)}$-espacio propio, mientras que F mapea el c -espacio propio en el${\displaystyle (c-2)}$-espacio propio.

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$es isomorfo a la complejización de${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$, lo que significa el producto tensorial${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$. Las fórmulas para el corchete de Lie son más fáciles de analizar en el caso de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$. Como resultado, es común analizar representaciones complejas del grupo${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$relacionándolos con representaciones del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$.

• El álgebra de Lie de campos vectoriales en una variedad diferenciable de dimensión positiva es un álgebra de Lie de dimensión infinita sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Las álgebras de Kac-Moody son una gran clase de álgebras de Lie de dimensión infinita, digamos sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$, con una estructura muy parecida a la de las álgebras de Lie simples de dimensión finita (como${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$).
• El álgebra de Moyal es un álgebra de Lie de dimensión infinita que contiene todas las álgebras de Lie clásicas como subálgebras.
• El álgebra de Virasoro es importante en la teoría de cuerdas .
• El functor que transforma un álgebra de Lie sobre un cuerpo F en el espacio vectorial subyacente tiene un adjunto izquierdo.${\displaystyle V\mapsto L(V)}$, llamada álgebra de Lie libre en un espacio vectorial V. Está generada por todos los corchetes de Lie iterados de elementos de V , módulo solo las relaciones que provienen de la definición de un álgebra de Lie. El álgebra de Lie libre${\displaystyle L(V)}$es de dimensión infinita para V de dimensión al menos 2. ^{[ 23 ]}

Dado un espacio vectorial V , sea${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$denotemos el álgebra de Lie que consta de todas las aplicaciones lineales de V en sí mismo, con el corchete dado por${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$. Una representación de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en V es un homomorfismo de álgebra de Lie

${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

Eso es,${\displaystyle \pi }$envía cada elemento de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a un mapeo lineal de V a sí mismo, de tal manera que el corchete de Lie en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$corresponde al conmutador de aplicaciones lineales. ^{[ 24 ]}

Se dice que una representación es fiel si su núcleo es cero. El teorema de Ado establece que toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero tiene una representación fiel en un espacio vectorial de dimensión finita. Kenkichi Iwasawa extendió este resultado a álgebras de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de cualquier característica. ^{[ 25 ]} De forma equivalente, toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo F es isomorfa a una subálgebra de Lie de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$para algún entero positivo n .

Para cualquier álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, la representación adjunta es la representación ^{[ 26 ]}

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

dado por${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$. (Esta es una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$por la identidad jacobi.)

Un aspecto importante del estudio de las álgebras de Lie (especialmente las álgebras de Lie semisimples, como se definen más adelante) es el estudio de sus representaciones. Aunque el teorema de Ado es un resultado importante, el objetivo principal de la teoría de la representación no es encontrar una representación fiel de un álgebra de Lie dada.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. De hecho, en el caso semisimple, la representación adjunta ya es fiel. Más bien, el objetivo es comprender todas las posibles representaciones de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Para un álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo de característica cero, el teorema de Weyl ^{[ 27 ]} afirma que toda representación de dimensión finita es una suma directa de representaciones irreducibles (aquellas sin subespacios invariantes no triviales). Las representaciones irreducibles de dimensión finita se comprenden bien desde varios puntos de vista; véase la teoría de representaciones de álgebras de Lie semisimples y la fórmula de caracteres de Weyl .

El functor que transforma un álgebra asociativa A sobre un cuerpo F en A como un álgebra de Lie (por${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$) tiene un adjunto izquierdo${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})}$, llamada álgebra envolvente universal . Para construirla: dada un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre F , sea

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots }$

sea ​​el álgebra tensorial en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, también llamada álgebra asociativa libre en el espacio vectorial${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Aquí${\displaystyle \otimes }$denota el producto tensorial de espacios vectoriales F. Sea I el ideal bilateral en${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$generado por los elementos${\displaystyle XY-YX-[X,Y]}$para${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$; entonces el álgebra envolvente universal es el anillo cociente${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$. Satisface el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt : si${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$es una base para${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$como un espacio vectorial F , entonces una base para${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$se proporciona con todos los productos pedidos${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$con${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$números naturales. En particular, el mapa${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$es inyectivo . ^{[ 28 ]}

Representaciones de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$son equivalentes a módulos sobre el álgebra envolvente universal. El hecho de que${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$es inyectiva implica que toda álgebra de Lie (posiblemente de dimensión infinita) tiene una representación fiel (de dimensión infinita), a saber, su representación en${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$Esto también demuestra que toda álgebra de Lie está contenida en el álgebra de Lie asociada a alguna álgebra asociativa.

La teoría de representación de las álgebras de Lie juega un papel importante en varias partes de la física teórica. Allí, se consideran operadores en el espacio de estados que satisfacen ciertas relaciones de conmutación naturales. Estas relaciones de conmutación provienen típicamente de una simetría del problema; específicamente, son las relaciones del álgebra de Lie del grupo de simetría relevante. Un ejemplo son los operadores de momento angular , cuyas relaciones de conmutación son las del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$del grupo de rotación${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$Por lo general, el espacio de estados está lejos de ser irreducible bajo los operadores pertinentes, pero se puede intentar descomponerlo en partes irreducibles. Para ello, es necesario conocer las representaciones irreducibles del álgebra de Lie dada. En el estudio del átomo de hidrógeno , por ejemplo, los libros de texto de mecánica cuántica clasifican (de forma más o menos explícita) las representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$. ^{[ 21 ]}

De forma análoga a los grupos abelianos , nilpotentes y resolubles , se pueden definir álgebras de Lie abelianas, nilpotentes y resolubles.

Un álgebra de mentiras${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es abelianosi el corchete de Lie desaparece; es decir, [ x , y ] = 0 para todo x e y en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. En particular, el álgebra de Lie de un grupo de Lie abeliano (como el grupo${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$bajo adición o el grupo toroidal${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$) es abeliana. Toda álgebra de Lie abeliana de dimensión finita sobre un cuerpo${\displaystyle F}$es isomorfo a${\displaystyle F^{n}}$para algunos${\displaystyle n\geq 0}$, lo que significa un espacio vectorial n -dimensional con corchete de Lie cero.

Una clase más general de álgebras de Lie se define por la anulación de todos los conmutadores de longitud dada. Primero, la subálgebra conmutadora (o subálgebra derivada ) de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$, lo que significa el subespacio lineal abarcado por todos los corchetes${\displaystyle [x,y]}$con${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$. La subálgebra de conmutadores es un ideal en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$De hecho, es el ideal más pequeño tal que el álgebra de Lie cociente es abeliana. Es análogo al subgrupo conmutador de un grupo.

Un álgebra de mentiras${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es nilpotente si la serie central inferior

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots }$

se convierte en cero después de un número finito de pasos. Equivalentemente,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es nilpotente si existe una secuencia finita de ideales en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,

${\displaystyle 0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$es fundamental en${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$para cada j . Por el teorema de Engel , un álgebra de Lie sobre cualquier cuerpo es nilpotente si y solo si para cada u en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$el endomorfismo adjunto

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

es nilpotente . ^{[ 29 ]}

De manera más general, un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Se dice que es resoluble si la serie derivada :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots }$

se convierte en cero después de un número finito de pasos. Equivalentemente,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es resoluble si existe una secuencia finita de subálgebras de Lie,

${\displaystyle 0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j-1}}$es un ideal en${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}}$con${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}}$abeliano para cada j . ^{[ 30 ]}

Cada álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo tiene un único ideal maximal resoluble, llamado su radical . ^{[ 31 ]} Bajo la correspondencia de Lie , los grupos de Lie nilpotentes (respectivamente, resolubles) corresponden a álgebras de Lie nilpotentes (respectivamente, resolubles) sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Por ejemplo, para un entero positivo n y un cuerpo F de característica cero, el radical de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$es su centro, el subespacio unidimensional generado por la matriz identidad. Un ejemplo de un álgebra de Lie resoluble es el espacio${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$de matrices triangulares superiores en${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$; esto no es nilpotente cuando${\displaystyle n\geq 2}$Un ejemplo de álgebra de Lie nilpotente es el espacio${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{n}}$de matrices estrictamente triangulares superiores en${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$; esto no es abeliano cuando${\displaystyle n\geq 3}$.

Un álgebra de mentiras${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se llama simple si no es abeliano y los únicos ideales en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$son 0 y${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. (En particular, un álgebra de Lie unidimensional —necesariamente abeliana—)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$por definición no es simple, aunque sus únicos ideales sean 0 y${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.) Un álgebra de Lie de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se llama semisimple si el único ideal resoluble en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es 0. En característica cero, un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple si y solo si es isomorfo a un producto de álgebras de Lie simples,${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}}$. ^{[ 32 ]}

Por ejemplo, el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$es simple para todos${\displaystyle n\geq 2}$y todo cuerpo F de característica cero (o simplemente de característica que no divide a n ). El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$encima${\displaystyle \mathbb {R} }$es simple para todos${\displaystyle n\geq 2}$El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$encima${\displaystyle \mathbb {R} }$es simple si${\displaystyle n=3}$o${\displaystyle n\geq 5}$. ^{[ 33 ]} (Existen "isomorfismos excepcionales"${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$y${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)}$.)

El concepto de semisimplicidad para las álgebras de Lie está estrechamente relacionado con la reducibilidad completa (semisimplicidad) de sus representaciones. Cuando el cuerpo base F tiene característica cero, toda representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple es semisimple (es decir, una suma directa de representaciones irreducibles). ^{[ 27 ]}

Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero se denomina reductiva si su representación adjunta es semisimple. Toda álgebra de Lie reductiva es isomorfa al producto de un álgebra de Lie abeliana y un álgebra de Lie semisimple. ^{[ 34 ]}

Por ejemplo,${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$es reductivo para F de característica cero: para${\displaystyle n\geq 2}$, es isomorfo al producto

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),}$

donde F denota el centro de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$, el subespacio unidimensional generado por la matriz identidad. Dado que el álgebra de Lie lineal especial${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$es simple,${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$contiene pocos ideales: solo 0, el centro F ,${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$y todos los${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$.

El criterio de Cartan (por Élie Cartan ) proporciona condiciones para que un álgebra de Lie de dimensión finita y característica cero sea resoluble o semisimple. Se expresa en términos de la forma de Killing , la forma bilineal simétrica en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$definido por

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

donde tr denota la traza de un operador lineal. Es decir: un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple si y solo si la forma de Killing no es degenerada . Un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es resoluble si y solo si${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}$^{[ 35 ]}

La descomposición de Levi afirma que toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero es un producto semidirecto de su radical resoluble y un álgebra de Lie semisimple. ^{[ 36 ]} Además, un álgebra de Lie semisimple en característica cero es un producto de álgebras de Lie simples, como se mencionó anteriormente. Esto centra la atención en el problema de clasificar las álgebras de Lie simples.

Las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F de característica cero fueron clasificadas por Killing y Cartan en las décadas de 1880 y 1890, utilizando sistemas de raíces . Es decir, cada álgebra de Lie simple es de tipo A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , o G ₂ . ^{[ 37 ]} Aquí el álgebra de Lie simple de tipo A _n es${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,F)}$, B _n es${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,F)}$, C _n es${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)}$y D _n es${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,F)}$Las otras cinco se conocen como álgebras de Lie excepcionales .

La clasificación de álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$es más complicado, pero también fue resuelto por Cartan (ver grupo de Lie simple para una clasificación equivalente). Se puede analizar un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$encima${\displaystyle \mathbb {R} }$al considerar su complejización${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$.